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2013 年 09 月 03 日 寿 险 精 算 学

任 课 教 师 姓 名 徐 海 云 邮 箱 hayux@sohu.com

教 材 教 材 王 燕, 寿 险 精 算 学, 中 国 人 民 大 学 出 版 社,2008 年 王 晓 军, 寿 险 精 算 学, 中 国 人 民 大 学 出 版 社,2005 参 考 Kellso, S.G.,Theory of Iterest,SOA,1991 Bowers, N.L,Actuaral Mathematcs,SOA,1997

考 核 办 法 到 课 率 60% 平 时 作 业 30% 课 堂 表 现 10%

背 景 知 识 保 险 的 基 本 概 念 精 算 学 及 其 应 用 领 域 寿 险 精 算 学 的 基 本 思 想 精 算 师 精 算 师 职 业 资 格 考 试

保 险 的 概 念 保 险 的 概 念 投 保 人 根 据 合 同 约 定, 向 保 险 人 支 付 保 险 费, 保 险 人 对 于 合 同 约 定 的 可 能 发 生 事 故 因 其 发 生 所 造 成 的 财 产 损 失 承 担 赔 偿 保 险 金 责 任, 或 者 当 被 保 险 人 死 亡 伤 残 疾 病 或 者 达 到 约 定 年 龄 期 限 时 承 担 给 付 保 险 金 责 任 的 商 业 保 险 行 为 关 键 概 念 保 险 合 同 可 保 风 险

保 险 分 类 财 产 保 险 车 险 房 屋 保 险 火 灾 险 信 用 险 知 识 产 权 保 险 人 身 保 险 寿 险 健 康 险 意 外 险

精 算 学 及 其 应 用 领 域 精 算 学 概 念 以 概 率 论 和 数 理 统 计 为 基 础, 与 经 济 学 金 融 学 及 保 险 理 论 相 结 合 的 具 有 应 用 性 和 交 叉 性 的 学 科 应 用 领 域 保 险 领 域 社 会 保 障 领 域 投 资 领 域 所 有 与 风 险 评 估, 控 制 相 关 领 域

寿 险 精 算 学 基 本 思 想 损 失 补 偿 思 想 不 能 阻 止 风 险 发 生, 但 能 将 风 险 带 来 的 损 失 降 低 最 小 事 先 防 范 风 险 净 均 衡 思 想 自 助 互 助 性 大 数 定 律

精 算 师 精 算 师 金 融 保 险 投 资 和 风 险 管 理 的 工 程 师 精 算 师 的 职 责 1. 保 证 风 险 经 营 的 财 务 稳 健 性 2. 对 风 险 和 损 失 的 预 先 评 价 3. 对 风 险 事 件 做 出 预 先 的 财 务 安 排

精 算 管 理 和 控 制 系 统 利 润 分 析 风 险 分 析 产 品 设 计 定 价 经 验 数 据 分 析 负 债 评 估 偿 付 能 力 评 价 资 产 负 债 管 理 资 产 评 估

精 算 师 职 业 资 格 考 试 精 算 师 执 业 资 格 认 证 考 试 体 系 北 美 英 国 日 本 中 国 认 可 标 准 1998 年, 欧 共 体 精 算 协 会 顾 问 团 公 布 了 欧 洲 精 算 培 训 核 心 大 纲, 以 此 建 立 欧 洲 国 家 精 算 师 互 相 资 格 认 可 1998 年 国 际 师 精 算 协 会 通 过 了 国 际 精 算 教 育 指 南 和 培 训 大 纲, 要 求 至 少 到 2005 年 以 后 正 是 会 员 的 资 格 符 合 教 学 大 纲 的 要 求 2000 年, 北 美 精 算 学 会, 英 国 精 算 学 会 对 各 自 的 教 育 大 纲 进 行 修 改, 向 国 际 精 算 师 协 会 推 荐 的 教 育 体 系 靠 拢 2000 年 底, 开 始 中 国 精 算 师 资 格 考 试,2004 年, 中 国 精 算 师 分 寿 险 和 非 寿 险 两 个 方 向 考 试

课 程 结 构 利 息 理 论 基 础 生 命 表 基 础 净 保 费 计 算 净 责 任 准 备 金 计 算 产 品 定 价 责 任 准 备 金 评 估

第 一 部 分 利 息 理 论 基 础 2006 年 11 月 18 日

利 息 理 论 在 精 算 中 基 础 地 位 寿 险 是 以 人 的 身 体 和 生 命 为 保 险 标 的 的 保 险, 在 人 们 的 生 命 周 期 内, 一 直 面 临 着 生 老 病 死 的 风 险, 都 需 要 通 过 保 险 得 到 经 济 安 全 保 障, 为 了 在 较 长 时 期 内 平 衡 缴 费 水 平, 寿 险 通 常 为 长 期 合 同 因 此, 在 寿 险 精 算 中, 需 要 考 虑 资 金 的 投 资 收 益 利 息 理 论 便 构 成 了 寿 险 精 算 的 基 础

利 息 理 论 利 息 理 论 利 息 理 论 基 本 概 念 年 金 债 务 偿 还 债 券 价 值

一 利 息 的 定 义 定 义 利 息 产 生 在 资 金 的 所 有 者 和 使 用 者 不 统 一 的 场 合, 它 的 实 质 是 资 金 的 使 用 者 付 给 资 金 所 有 者 的 租 金, 用 以 补 偿 所 有 者 在 资 金 租 借 期 内 不 能 支 配 该 笔 资 金 而 蒙 受 的 损 失 影 响 利 息 大 小 的 要 素 本 金 风 险 时 期 通 货 膨 胀

从 投 资 的 角 度 来 看, 我 们 可 将 投 资 回 报 率 ( 即 利 息 率 ) 分 为 三 部 分 : 投 资 回 报 率 无 风 险 利 息 率 + 风 险 利 息 率 + 通 货 膨 胀 利 息 率 无 风 险 利 息 是 指 单 纯 由 时 间 因 素 引 起 的 资 本 增 值 ; 风 险 利 息 率 是 指 单 纯 由 风 险 因 素 引 起 的 资 本 增 值 ; 通 货 膨 胀 利 息 率 是 指 单 纯 由 通 货 膨 胀 因 素 引 起 的 资 本 增 值 后 面 所 谈 的 利 息 率 则 专 指 无 风 险 利 息 率 和 通 货 膨 胀 利 息 率 构 成 的 利 息 率

二 利 息 的 度 量 a(t) A(t) a 1 ( t) I() 1------------------------------ K------------------------------ a 1 ( t a(t) A(t) )----------------------------1 0 t I ( ) A( ) A( 1)

利 息 度 量 一 单 利 和 复 利 线 形 积 累 单 利 指 数 积 累 复 利 a( t) 1 + t a ( t ) (1 + ) t 1 + ( 1)

单 复 利 计 息 之 间 的 相 关 关 系 单 利 的 实 质 利 率 逐 期 递 减, 复 利 的 实 质 利 率 保 持 恒 定 t 时 1, 相 同 单 复 利 场 合, 单 利 计 息 比 复 利 计 息 产 生 更 大 的 积 累 值 所 以 短 期 业 务 一 般 单 利 计 息 t 1 时, 相 同 单 复 利 场 合, 复 利 计 息 比 单 利 计 息 产 生 更 大 的 积 累 值 所 以 长 期 业 务 一 般 复 利 计 息

单 / 复 利 场 合 积 累 函 数 示 图 a 5 4 3 2 1 0 1 2 3 t

例 1.1 某 人 以 1 万 元 本 金 进 行 5 年 投 资, 前 2 年 的 利 率 为 5%, 后 3 年 的 利 率 为 6%, 分 别 以 单 利 和 复 利 计 算 5 年 后 的 累 计 积 累 值

例 1.1 答 案 单 利 A(5) 10000 (1 + 2 5% + 3 6%) 12800 复 利 2 3 A(5) 10000 (1 + 5% ) (1 + 6%) 13130

利 息 度 量 二 利 率 和 贴 现 率 期 末 计 息 利 率 第 N 期 实 质 利 率 I ( ) A( 1) 期 初 计 息 贴 现 率 第 N 期 实 质 贴 现 率 d I ( ) A ( )

单 利 场 合 利 率 与 贴 现 率 的 关 系 d I () A () a () a ( 1) a () 1 +

复 利 场 合 利 率 与 贴 现 率 的 关 系 d I () a () a ( 1) A () a () (1 + ) (1 + ) 1 + 1

复 利 场 合 利 率 与 贴 现 率 的 关 系 初 始 值 利 息 积 累 值 1 v d 1+ 1 v 1 1 d ( 1+ )

例 1.2 某 人 投 资 1 万 元, 如 果 以 5% 的 利 率 复 利 计 息, 那 么 此 人 利 息 获 取 的 方 式 是 怎 样 的, 两 年 后 一 共 获 得 多 少 利 息? 如 果 该 投 资 项 目 是 以 5% 的 贴 现 率 复 利 计 息, 那 么 此 人 利 息 获 取 的 方 式 是 怎 样 的, 两 年 后 一 共 获 得 多 少 利 息?

5% 复 利 计 息 10000(1+5%) 例 1.2 答 案 2 11025 投 资 10000元, 两 年 后 获 得 11025元 两 年 共 获 得 利 息 : 1025 5% 复 贴 现 率 计 息 10000(1-5%) 2 9025 期 初 投 资 9025元, 两 年 后 获 得 10000元 两 年 共 获 得 利 息 : 975

利 息 的 度 量 三 利 息 转 换 频 率 不 同 实 质 利 率 : 以 一 年 为 一 个 利 息 转 换 期, 该 利 率 记 为 实 质 利 (m) 名 义 利 率 : 在 一 年 里 有 m 个 利 息 转 换 期, 假 如 ( m) 每 一 期 的 利 率 为 j, 有 mj δ t 利 息 力 : 假 如 连 续 计 息, 那 么 在 任 意 时 刻 t 的 瞬 间 利 率 叫 作 利 息 力 实 质 贴 现 率 和 名 义 贴 现 率 的 定 义 与 实 质 利 率 名 义 利 率 类 似

当 前 无 法 显 示 此 图 像 名 义 利 率 名 义 利 率 (m) m ( m) 1 + 1 + m 1 1 + 4 ( 4 ) ( 4 ) 2 1 + 4 ( 4 ) 3 1 + 4 ( 4 ) 4 1 + 4 1 1+

当 前 无 法 显 示 此 图 像 名 义 贴 现 率 名 义 贴 现 率 d ( m ) m ( m) d 1 1 m d ( 4 ) 4 1 d 4 ( 4 ) 3 1 d 4 ( 4 ) 2 1 d 4 1 d 4 ( 4 ) 1 1 d d 1

例 1.3 1 确 定 500 元 以 季 度 转 换 8% 年 利 率 投 资 5 年 的 积 累 值 2 如 以 6% 年 利, 按 半 年 为 期 预 付 及 转 换, 到 第 6 年 末 支 付 1000 元, 求 其 现 时 值 3 确 定 季 度 转 换 的 名 义 利 率, 使 其 等 于 月 度 转 换 6% 名 义 贴 现 率

例 1.3 答 案 1 4 20 (4) 0.08 P 1 + 500 1+ 742.97 4 4 2 2 (2) d 0.06 A0 A 1 1000 1 2 2 12 693.84 3 1 + 4 (4) 4 1 d 12 (12) 12 (4) 4 1 0.06 12 3 1 6.0605%

利 息 力 定 义 : 瞬 间 时 刻 利 率 强 度 δ t A ( t) d A( t) dt a ( t) d a( t) dt lm m [ l A ( t )] [ l a( t) ] ( m ) ( m ) lm m d

等 价 公 式 一 般 公 式 a ( t ) t e 0 δ s ds 恒 定 利 力 场 合 δ 1 l v a ( ) exp{ δ } δ l(1 + ) a( ) exp{ δ }

例 1.4 确 定 1000 元 按 如 下 利 息 效 力 投 资 10 年 的 积 累 值 1 δ 5% 2 δ t 0.05(1 + t) 2

例 1.4 答 案 10δ e 10 0.05 1 1000e 1000 1648.72 10 0.05(1 + t) 2 2 1000e0 1000 dt e 0.05 0 1+ t 10 1046.50

三 利 息 问 题 求 解 利 息 问 题 求 解 四 要 素 原 始 投 资 本 金 投 资 时 期 长 度 利 率 及 计 息 方 式 期 初 / 期 末 计 息 : 利 率 / 贴 现 率 积 累 方 式 : 单 利 计 息 复 利 计 息 利 息 转 换 时 期 : 实 质 利 率 名 义 利 率 利 息 效 力 本 金 在 投 资 期 末 的 积 累 值

利 息 问 题 求 解 原 则 本 质 : 任 何 一 个 有 关 利 息 问 题 的 求 解 本 质 都 是 对 四 要 素 知 三 求 一 的 问 题 工 具 : 现 金 流 图 现 金 流 p 0 p1 p2 p 时 间 坐 标 0 t t 1 2 t 方 法 : 建 立 现 金 流 分 析 方 程 ( 求 值 方 程 ) 原 则 : 在 任 意 时 间 参 照 点, 求 值 方 程 等 号 两 边 现 时 值 相 等

例 1.5: 求 本 金 某 人 为 了 能 在 第 7 年 末 得 到 1 万 元 款 项, 他 愿 意 在 第 一 年 末 付 出 1 千 元, 第 3 年 末 付 出 4 千 元, 第 8 年 末 付 出 X 元, 如 果 以 6% 的 年 利 率 复 利 计 息, 问 X?

例 1.6 答 案 以 第 7 年 末 为 时 间 参 照 点, 有 6 4 1.06 + 4 1.06 + x1.06 10 x 3.7435 以 第 8 年 末 为 时 间 参 照 点, 有 7 5 1.06 + 4 1.06 + x 10 1.06 x 3.7435 请 同 学 们 自 己 练 习 以 其 他 时 刻 为 时 间 参 照 点

例 1.6: 求 利 率 (1) 某 人 现 在 投 资 4000 元,3 年 后 积 累 到 5700 元, 问 季 度 计 息 的 名 义 利 率 等 于 多 少? (2) 某 人 现 在 投 资 3000 元,2 年 后 再 投 资 6000 元, 这 两 笔 钱 在 4 年 末 积 累 到 15000 元, 问 实 质 利 率?

例 1.6 答 案 (1) 4000( 1 ( 4 ) 4 + j j) 3 4 12 % 5700 j 3% (2) 3000(1 + ) (1 + 由 (1 + ) ) 2 2 4 + 6000(1 + 1± 6( 舍 去 负 根 ) 1+ 6 ) 2 15000 20.4% ( 2.204舍 去 )

例 1.7: 求 时 间 假 定 分 别 为 12% 6% 2% (12) 计 算 在 这 三 种 不 同 的 利 率 场 合 复 利 计 息, 本 金 翻 倍 分 别 需 要 几 年?

(12 ) (12) 2% 时, 12% 时, 例 1.7 答 案 l 2 + 12 l1.0017 12 (1 0.17%) 2 34.7 (12) 6% 时, l 2 + 12l1.005 12 (1 0.5%) 2 11.6 l 2 (1 + 1%) 12 2 5.8 12l1.01

例 1.7 近 似 答 案 rule of 72 原 理 : (1 + ) 2 l(1 + ) l 2 l 2 l(1 + ) l 2 l(1 + ) 0.08 l 2 0.08 l1.08 0.72 (1) (2) (1) (12) (6) (12) 0.72 12% 6 0.12 0.72 12% 12 0.06 0.72 2% 36 0.02

例 1.8: 求 积 累 值 某 人 现 在 投 资 1000 元, 第 3 年 末 再 投 资 2000 元, 第 5 年 末 再 投 资 2000 元 其 中 前 4 年 以 半 年 度 转 换 名 义 利 率 5% 复 利 计 息, 后 三 年 以 恒 定 利 息 力 3% 计 息, 问 到 第 7 年 末 此 人 可 获 得 多 少 积 累 值?

例 1.8 答 案 A(7) 1000 (1 + j) e + 2000(1 + j) e + 2000e 8 3δ 2 3δ 2δ 1000 1.025 e + 2000 1.025 e + 2000e 8 0.09 2 0.09 0.06 5756

利 息 理 论 利 息 理 论 利 息 理 论 基 本 概 念 年 金 债 务 偿 还 债 券 价 值

一 年 金 的 定 义 与 分 类 定 义 按 一 定 的 时 间 间 隔 支 付 的 一 系 列 付 款 称 为 年 金 原 始 含 义 是 限 于 一 年 支 付 一 次 的 付 款, 现 已 推 广 到 任 意 间 隔 长 度 的 系 列 付 款 分 类 基 本 年 金 等 时 间 间 隔 付 款 付 款 频 率 与 利 息 转 换 频 率 一 致 每 次 付 款 金 额 恒 定 一 般 年 金 不 满 足 基 本 年 金 三 个 约 束 条 件 的 年 金 即 为 一 般 年 金

二 基 本 年 金 基 本 年 金 等 时 间 间 隔 付 款 付 款 频 率 与 利 息 转 换 频 率 一 致 每 次 付 款 金 额 恒 定 分 类 付 款 时 刻 不 同 : 初 付 年 金 / 延 付 年 金 付 款 期 限 不 同 : 有 限 年 金 / 永 久 年 金

基 本 年 金 图 示 1 1 1 --- 1 1 1 --- 延 付 永 久 年 金 1 1 1 1 --- 1 1 1 --- 初 付 永 久 年 金 1 1 1 1 --- 1 0 0 初 付 年 金 1 1 1 --- 1 0 0 延 付 年 金 0 1 2 3 ------- +1 ---

基 本 年 金 公 式 推 导 2 v(1 v ) 1 v a v+ v + + v 1 v 1 1 v a 1 + v+ + v (1 + ) a d 1 1 (1 + ) (1 + ) 1 s 1 + (1 + ) + + (1 + ) 1 (1 + ) s (1 + ) + + (1 + ) (1 + ) s a a 1 v 1 lm a lm 1 v 1 lm a lm d d 1 (1 + ) d

例 1.9 某 人 以 月 度 转 换 名 义 利 率 5.58% 从 银 行 贷 款 30 万 元, 计 划 在 15 年 里 每 月 末 等 额 偿 还 问 : (1) 他 每 月 等 额 还 款 额 等 于 多 少? (2) 假 如 他 想 在 第 五 年 末 提 前 还 完 贷 款, 问 除 了 该 月 等 额 还 款 额 之 外 他 还 需 一 次 性 付 给 银 行 多 少 钱?

例 1.9 答 案 (1) Ra 15 12 R 0.465 % 2464 300000 (2) PV 60 或 者 PV 60 Ra 120 300000 1.00465 226215.04 0.465% 226215.04 60 Rs 60 0.465%

例 1.10 某 人 在 30 岁 时 计 划 每 年 初 存 入 银 行 300 元 建 立 个 人 帐 户, 假 设 他 在 60 岁 退 休, 存 款 年 利 率 假 设 恒 定 为 3% (1) 求 退 休 时 个 人 帐 户 的 积 累 值 (2) 如 果 个 人 帐 户 积 累 值 在 退 休 后 以 固 定 年 金 的 方 式 在 20 年 内 每 年 领 取 一 次, 求 每 年 可 以 领 取 的 数 额

例 1.10 答 案 (1) 退 休 时 个 人 帐 户 积 累 值 计 算 1.03 1 300 s 300 14700 30 3% 0.03/1.03 (2) 退 休 后 每 年 可 领 取 退 休 金 300 s 30 303% 300(1.03 1) 300 s Xa X 959.34 303% 203% 20 a 11.03 30 203%

例 1.11 有 一 企 业 想 在 一 学 校 设 立 一 永 久 奖 学 金, 假 如 每 年 发 出 5 万 元 奖 金, 问 在 年 实 质 利 率 为 20% 的 情 况 下, 该 奖 学 金 基 金 的 本 金 至 少 为 多 少? P 5 5a 25 0.2 0.2

例 1.12 A 留 下 一 笔 10 万 元 的 遗 产 这 笔 财 产 头 10 年 的 利 息 付 给 受 益 人 B, 第 2 个 10 年 的 利 息 付 给 受 益 人 C, 此 后 的 利 息 都 付 给 慈 善 机 构 D 若 此 项 财 产 的 年 实 质 利 率 为 7%, 试 确 定 B, C,D 在 此 笔 财 产 中 各 占 多 少 份 额?

例 1.12 答 案 I 100000 7 % 7000 B : 7000 a 10 0.07 49465 C : 7000 ( a 20 0.07 a 10 0.07 ) 24993 D : 7000 ( a 0.07 a 20 0.07 ) 25842

基 本 年 金 公 式 总 结 年 金 有 限 年 金 永 久 年 金 现 时 值 积 累 值 现 时 值 延 付 a v 1 ( 1+ ) 1 s a 1 初 付 a v 1 d s ( 1+ ) 1 d a 1 d

二 一 般 年 金 一 般 年 金 利 率 在 支 付 期 发 生 变 化 付 款 频 率 与 利 息 转 换 频 率 不 一 致 每 次 付 款 金 额 不 恒 定 分 类 支 付 频 率 不 同 于 计 息 频 率 的 年 金 支 付 频 率 小 于 计 息 频 率 的 年 金 支 付 频 率 大 于 计 息 频 率 的 年 金 变 额 年 金

变 额 年 金 等 差 年 金 递 增 年 金 递 减 年 金 等 比 年 金

等 差 年 金 一 般 形 式 P P+Q P+(-1)Q 0 1 2 积 累 值 V ( ) Ps + Q s 现 时 值 V (0) Pa + Q a v

特 殊 等 差 年 金 年 金 递 增 年 金 递 减 年 金 P1,Q1 P,Q-1 现 时 值 积 累 值 1 0 ) ( t t t a v v a Ia 1 0 ) ( t t s s Is 1 0 ) ( t t a a Da + + 1 0 ) (1 ) (1 ) ( t t t s s Ds

例 1.13 某 人 第 1 年 末 存 近 银 行 1000 元, 以 后 每 年 都 在 前 一 年 的 基 础 上 加 存 100 元, 假 如 此 人 共 存 了 10 年 钱, 在 年 实 质 利 率 为 5% 的 情 况 下, 求 第 10 年 末 此 人 帐 户 上 的 积 累 值

例 1.13 答 案 s 10 10 5% 1000s + 100Is 1000s + 100 (1) 10 5% 9 5% 10 5% 0.05 s 10 5% 10 1.05 1 12.58 (2) 0.05 将 (2) 式 代 入 (1) 式 得 1000s + 100Is 17733.68 10 5% 9 5%

例 1.14 有 一 项 延 付 年 金, 其 付 款 额 从 1 开 始 每 年 增 加 1 直 至, 然 后 每 年 减 少 1 直 至 1, 试 求 其 现 时 值

例 1.14 答 案 a v ( 1) a 1 Ia + Da v + v 1 ( ) ( ) 1 1 + a v + v v v a 1 1 1 1 (1 v + v ) a 1 1 (1 v )(1 + a 1 ) aa

等 比 年 金 1 1+k (1 1 + k) 0 1 2 V(0) v+ v(1 + k) + + v (1+ k) 1 1+ k 1 ( ) 1+ k, k (1 + ) (1 + k) V( ) (1 + ) V(0) k

例 1.14: 某 期 末 付 永 久 年 金 首 付 款 额 为 5000 元, 以 后 每 期 付 款 额 是 前 一 期 的 1.05 倍, 当 利 率 为 0.08 时, 计 算 该 永 久 年 金 的 现 时 值.

例 1.14 答 案 1 1.05 ( ) V (0) lm 5000 1.08 0.08 0.05 5000 166666.67 0.03

例 1.15 我 国 城 镇 职 工 基 本 养 老 保 险 采 取 社 会 统 筹 与 个 人 帐 户 相 结 合 的 方 式 个 人 帐 户 以 个 人 缴 费 工 资 的 8% 记 入 如 果 某 职 工 从 20 岁 参 加 个 人 帐 户 保 险, 当 年 工 资 为 6000 元 工 资 年 增 长 率 为 2%, 个 人 帐 户 的 累 计 利 率 为 4% 求 他 在 60 岁 退 休 时 个 人 帐 户 的 积 累 值

例 1.15 答 案 2 2 39 39 %(+ ) V(0) 6000 8 1 1.02v+ 1.02 v + + 1.02 v 1 (1.02 v) 480 1-1.02v 13280.63 40 V V 40 (40) (0) 1.04 64720.78