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高 等 数 学 自 测 题 华 东 理 工 大 学 高 等 数 学 教 研 组 编

图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 高 等 数 学 自 测 题 / 华 东 理 工 大 学 高 等 数 学 教 研 组 编. 上 海 : 华 东 理 工 大 学 出 版 社,2015.9 ISBN978 7 5628 4353 5 Ⅰ.1 高 Ⅱ.1 华 Ⅲ.1 高 等 数 学 高 等 学 校 习 题 集 Ⅳ.1O13 44 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2015) 第 182106 号 高 等 数 学 自 测 题 编 者 / 华 东 理 工 大 学 高 等 数 学 教 研 组 策 划 编 辑 / 周 永 斌 责 任 编 辑 / 刘 婧 责 任 校 对 / 金 慧 娟 封 面 设 计 / 裘 幼 华 出 版 发 行 / 华 东 理 工 大 学 出 版 社 有 限 公 司 地 址 : 上 海 市 梅 陇 路 130 号,200237 电 话 :(021)64250306( 营 销 部 ) (021)64251837( 编 辑 室 ) 传 真 :(021)64252707 网 址 :press.ecust.edu.cn 印 刷 / 上 海 展 强 印 刷 有 限 公 司 开 本 /787mm 1092mm 1/16 印 张 /20.25 字 数 /312 千 字 版 次 /2015 年 9 月 第 1 版 印 次 /2015 年 9 月 第 1 次 书 号 /ISBN978 7 5628 4353 5 定 价 /45.00 元 联 系 我 们 : 电 子 邮 箱 press@ecust.edu.cn 官 方 微 博 e.weibo.com/ecustpress 天 猫 旗 舰 店 htp://hdlgdxcbs.tmal.com

编 委 会 名 单 顾 问 谢 国 瑞 龚 成 通 主 编 殷 锡 鸣 龚 成 通 编 者 谢 国 瑞 龚 成 通 殷 锡 鸣 王 刚 冯 家 裕 许 树 声 蒲 思 立 陈 秀 华 曹 宵 临 李 红 英 江 志 松 苏 纯 洁 统 稿 殷 锡 鸣 李 红 英

前 言 高 等 数 学 课 程 是 高 等 院 校 理 工 科 商 学 院 各 专 业 的 一 门 重 要 的 基 础 课. 长 期 以 来, 高 等 数 学 课 程 以 其 概 念 抽 象 内 容 多 范 围 广 习 题 量 大 技 巧 性 强 等 特 点 成 为 大 学 学 习 的 一 道 坎. 所 以, 如 何 帮 助 学 生 学 好 高 等 数 学, 让 他 们 顺 利 地 跨 过 这 道 坎 就 成 为 我 们 必 须 思 考 和 解 决 的 问 题. 本 书 的 编 者 以 帮 助 学 生 跨 过 这 道 坎, 提 高 学 生 的 高 等 数 学 解 题 能 力 为 目 标, 针 对 学 生 普 遍 反 映 的 问 题, 以 自 测 练 习 的 形 式 组 织 编 写 了 这 本 学 习 辅 导 书. 我 们 认 为 一 本 好 的 练 习 书 就 是 一 间 好 的 练 功 房, 而 构 建 一 间 好 的 练 功 房 对 学 生 而 言 是 学 好 课 程 所 必 不 可 少 的, 同 时 也 是 广 大 学 生 所 迫 切 需 要 的. 本 书 的 前 身 是 华 东 理 工 大 学 高 等 数 学 第 二 课 堂 的 自 测 练 习 册. 该 练 习 册 作 为 高 等 数 学 第 二 课 堂 课 程 的 辅 导 书 在 华 东 理 工 大 学 已 经 运 用 近 30 年, 其 间 经 过 多 次 修 订, 因 此 可 以 说, 它 是 华 东 理 工 大 学 广 大 高 等 数 学 教 师 几 代 人 共 同 努 力 长 期 积 累 的 结 晶.30 年 的 运 用 表 明, 该 练 习 册 特 色 鲜 明, 深 受 历 届 学 生 的 喜 爱, 是 学 生 不 可 或 缺 的 学 习 辅 导 资 料. 该 练 习 册 所 发 挥 的 作 用 经 过 近 30 年 的 检 验, 证 明 它 对 提 高 高 等 数 学 解 题 能 力 保 证 高 等 数 学 课 程 的 教 学 质 量 是 非 常 有 效 的, 取 得 了 丰 硕 的 教 学 成 果. 更 可 喜 的 是 它 让 广 大 学 生 心 中 的 那 道 坎 变 成 向 成 功 更 迈 进 一 步 的 新 起 点. 全 书 对 原 练 习 册 进 行 了 修 订, 具 有 以 下 特 点. (1) 练 习 题 内 容 全 面 新 颖 典 型 富 有 启 发 性 学 习 高 等 数 学 的 第 一 个 难 点 是 习 题 量 大 方 法 多. 本 书 以 问 题 为 主 线 设 计 练 习 卷, 总 共 安 排 了 38 个 练 习 卷. 每 一 练 习 卷 涵 盖 这 一 问 题 中 的 典 型 习 题 典 型 方 法 以 及 所 延 伸 出 的 综 合 性 习 题, 内 容 全 面, 习 题 典 型, 富 有 启 发 性. (2) 解 题 方 法 解 题 技 巧 全 面, 满 足 考 研 要 求 学 习 高 等 数 学 的 另 一 难 点 是 概 念 多 解 题 技 巧 性 强. 本 书 在 每 一 练 习 卷 中 尽 可 能 安 排 了 有 关 问 题 的 概 念 性 练 习 题, 有 些 练 习 题 的 概 念 性 很 强, 具 有 较 大 的 难 度. 本 书 分 层 次 地 安 排 了 各 种 难 度 的 习 题, 全 面 深 入 地 覆 盖 了 所 涉 问 题 的 解 题 技 巧, 全 书 的 总 体 难 度 达 到 了 考 研 的 要 求. 本 书 由 华 东 理 工 大 学 高 等 数 学 教 研 组 编 写. 全 书 由 殷 锡 鸣 教 授 和 李 红 英 副 教 授 统 稿. 在 编 写 过 程 中, 得 到 了 华 东 理 工 大 学 理 学 院 院 长 鲁 习 文 教 授 数 学 系 主 任 李 建 奎 教 授 学 校 教 务 处 领 导 以 及 华 东 理 工 大 学 出 版 社 的 大 力 关 心 和 支 持, 在 此 表 示 衷 心 的 感 谢. 同 时 还 要 特 别 感 Ⅰ

高 等 数 学 自 测 题 谢 为 本 书 作 出 重 要 贡 献, 长 期 在 华 东 理 工 大 学 从 事 高 等 数 学 教 学 的 谢 国 瑞 龚 成 通 冯 家 裕 许 树 声 王 刚 蒲 思 立 陈 秀 华 老 师, 感 谢 曹 宵 临 江 志 松 苏 纯 洁 赵 建 丛 邵 方 明 宋 洁 李 继 根 陆 履 亨 孟 雅 琴 李 义 龙 方 民 吕 雪 芹 胡 海 燕 贺 秀 霞 卢 俊 杰 赵 瑞 芳 马 先 锋 黄 秋 深 等 老 师, 他 们 在 本 书 的 编 写 过 程 中 提 出 了 许 多 宝 贵 的 建 议. 由 于 编 者 水 平 有 限, 书 中 难 免 存 在 不 足 之 处, 敬 请 读 者 予 以 指 正. 编 者 2015 年 7 月 Ⅱ

目 录 练 习 一 有 关 一 元 函 数 的 一 些 问 题 1 练 习 二 利 用 导 数 的 定 义 计 算 导 数 的 问 题 6 练 习 三 极 限 的 基 本 计 算 方 法 无 穷 小 与 无 穷 大 及 其 有 关 的 一 些 问 题 9 练 习 四 函 数 的 连 续 性 间 断 点 分 类 与 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质 有 关 的 方 程 根 和 等 式 证 明 问 题 19 练 习 五 可 导 性 问 题 以 及 导 数 的 计 算 25 练 习 六 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线 计 算 问 题 32 练 习 七 微 分 中 值 定 理 在 方 程 根 的 存 在 性 和 等 式 证 明 问 题 中 的 应 用 36 练 习 八 洛 必 达 法 则 在 极 限 导 数 计 算 中 的 应 用 41 练 习 九 泰 勒 公 式 及 其 在 极 限 计 算 等 式 和 不 等 式 证 明 问 题 中 的 应 用 47 练 习 十 函 数 的 单 调 性 极 值 凹 凸 性 曲 率 及 其 在 不 等 式 证 明 问 题 中 的 应 用 51 练 习 十 一 最 值 问 题 及 其 在 不 等 式 证 明 问 题 中 的 应 用 57 练 习 十 二 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 和 性 质, 变 限 积 分 函 数, 积 分 等 式 与 不 等 式 证 明 问 题 62 练 习 十 三 不 定 积 分 的 凑 微 分 法 与 换 元 法 69 练 习 十 四 不 定 积 分 的 分 部 积 分 法 76 练 习 十 五 有 理 函 数 三 角 有 理 函 数 简 单 无 理 函 数 的 积 分 法 80 练 习 十 六 定 积 分 的 积 分 法 及 其 在 数 列 极 限 积 分 等 式 与 不 等 式 证 明 问 题 中 的 应 用 85 练 习 十 七 定 积 分 的 应 用 94 练 习 十 八 广 义 积 分 的 计 算 107 练 习 十 九 数 项 级 数 的 敛 散 性 判 别 112 练 习 二 十 幂 级 数 的 收 敛 域 确 定 幂 级 数 求 和 函 数 的 幂 级 数 展 开 及 其 应 用 118 第 一 学 期 期 中 模 拟 试 题 ( 一 )(8 学 分 ) 123 第 一 学 期 期 中 模 拟 试 题 ( 二 )(8 学 分 ) 127 第 一 学 期 期 中 模 拟 试 题 ( 一 )(9 学 分 或 11 学 分 ) 131 第 一 学 期 期 中 模 拟 试 题 ( 二 )(9 学 分 或 11 学 分 ) 136 第 一 学 期 期 终 模 拟 试 题 ( 一 )(8 学 分 ) 141 1

高 等 数 学 自 测 题 第 一 学 期 期 终 模 拟 试 题 ( 二 )(8 学 分 ) 145 第 一 学 期 期 终 模 拟 试 题 ( 一 )(9 学 分 或 11 学 分 ) 149 第 一 学 期 期 终 模 拟 试 题 ( 二 )(9 学 分 或 11 学 分 ) 154 练 习 二 十 一 一 阶 微 分 方 程 的 求 解 159 练 习 二 十 二 二 阶 可 降 阶 微 分 方 程 高 阶 线 性 微 分 方 程 的 求 解 164 练 习 二 十 三 微 分 方 程 的 应 用 问 题 170 练 习 二 十 四 向 量 代 数 平 面 方 程 问 题 175 练 习 二 十 五 直 线 方 程 问 题 181 练 习 二 十 六 空 间 曲 面 与 空 间 曲 线 问 题 189 练 习 二 十 七 多 元 函 数 的 极 限 连 续 性 偏 导 数 方 向 导 数 全 微 分 的 计 算 192 练 习 二 十 八 多 元 函 数 微 分 学 在 几 何 问 题 上 的 应 用 199 练 习 二 十 九 高 阶 偏 导 数 的 计 算, 局 部 极 值 条 件 极 值 问 题 205 练 习 三 十 二 重 积 分 的 计 算 及 其 应 用 212 练 习 三 十 一 三 重 积 分 的 计 算 219 练 习 三 十 二 第 一 型 曲 线 曲 面 积 分 的 计 算 223 练 习 三 十 三 物 体 的 质 心 坐 标 转 动 惯 量 的 计 算 228 练 习 三 十 四 利 用 定 积 分 计 算 第 二 型 平 面 和 空 间 曲 线 积 分 233 练 习 三 十 五 利 用 格 林 公 式 积 分 与 路 径 无 关 性 质 计 算 第 二 型 平 面 曲 线 积 分 236 练 习 三 十 六 利 用 二 重 积 分 高 斯 公 式 无 散 度 场 的 曲 面 积 分 性 质 计 算 第 二 型 曲 面 积 分 240 练 习 三 十 七 利 用 斯 托 克 斯 公 式 无 旋 场 的 曲 线 积 分 性 质 计 算 第 二 型 空 间 曲 线 积 分 247 练 习 三 十 八 函 数 的 傅 里 叶 级 数 展 开 及 其 应 用 249 第 二 学 期 期 中 模 拟 试 题 ( 一 ) 252 第 二 学 期 期 中 模 拟 试 题 ( 二 ) 258 第 二 学 期 期 终 模 拟 试 题 ( 一 ) 263 第 二 学 期 期 终 模 拟 试 题 ( 二 ) 269 参 考 答 案 274 2

练 习 一 有 关 一 元 函 数 的 一 些 问 题 一 选 择 题. (1) 下 列 各 组 函 数 中 所 表 示 的 两 个 函 数 是 同 一 个 函 数 的 是 ( ) æ (A)y =lnx 2,y =2lnx (B)y =tan x+ π ö ç,y = 1+tanx è 4 ø 1-tanx (C)y = 3 1+ 1 x 3, y = 3 1+x 3 x (D)y =arcsin(sinx),y =sin(arcsinx) (2) 函 数 æ f(x)=tan x 2 - π ö ç 是 ( ) è 2 ø (A) 奇 函 数 (C) 周 期 函 数 (B) 偶 函 数 (D) 单 调 函 数 (3) 函 数 f(x)= cosx + sinx 的 最 小 正 周 期 为 ( ) (A)2π (B)π (C) π 2 (D) π 4 (4) 设 f(x) 是 (-,+ ) 上 的 奇 函 数 且 x 0 时 f(x)=2 x -1, 则 当 x <0 时,f(x)= ( ) (A)2 -x -1 (B)- (2 x -1) (C)- (2 -x -1) (D)2 x -1 (5) 设 函 数 f(x) 是 (-,+ ) 上 的 以 T =3 为 周 期 的 周 期 函 数, 在 区 间 [0,3) 上 有 f(x)= x, 则 f(100)= ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)100 二 填 空 题. (1) 若 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [a,b], 则 函 数 f(2x+1) 的 定 义 域 为. (2) 若 f(x)=e 3 x,f[ φ (x)]=1+x 2, 则 φ ( x)=. (3) 若 函 数 f(x)= 1, x 1, 则 { f[f(x)]= 0, x >1. (4) 指 数 螺 旋 线 ρ=e θ 上 点 (1,0) 在 直 角 坐 标 系 上 的 坐 标 为. (5) 双 纽 线 ρ 2 =2cos2θ 和 圆 ρ =2sinθ 的 交 点 为. 1

高 等 数 学 自 测 题 三 证 明 下 列 恒 等 式. (1)ch2x =ch 2 x+sh 2 x; (2)sh(x+y)=shxchy+chxshy. 四 求 函 数 f(x), 使 其 对 一 切 非 零 实 数 x, 总 有 如 下 等 式 成 立 : æ f x+ 1 ö ç =x 2 + 1. è x ø x 2 五 设 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (-3,1], 求 函 数 f(2x-1)+f(1-x) 的 定 义 域. 2

练 习 一,x 0, 六 设 函 数 f(x)= x2 求 { f(1-x). x,x >0, 七 求 函 数 f(x)= (1+x 2 ) sgnx 的 反 函 数. 八 已 知 函 数 f(x) 和 f(ax +b) 是 两 个 不 同 的 函 数, 但 它 们 有 相 同 的 定 义 域 [0,1], 求 常 数 a 和 b. 3

高 等 数 学 自 测 题 九 设 f(x) 是 (-,+ ) 上 的 奇 函 数, 曲 线 y=f(x) 有 对 称 轴 x =1, 试 证 明 函 数 f(x) 必 是 周 期 函 数. 十 用 不 等 式 组 表 示 心 形 线 ρ=a(1-cosθ) 外 且 在 圆 ρ= a 2 内 部 分 的 区 域, 并 求 这 两 条 曲 线 的 交 点. 十 一 设 fn(x)(n =0,1,2, ) 在 [0,1] 上 有 定 义, f0(x)=1,f1(x)=x,fn+1(x)=2xfn(x)-fn-1(x)(n =1,2, ), 证 明 fn(x)=cos(narccosx). 4

练 习 一 十 二 求 函 数 f(x), 使 其 对 任 一 实 数 x, 总 有 如 下 等 式 成 立 : f(2+x)+2f(1-x)=x 2. 十 三 已 知 y =f(x) 和 y =g(x) 互 为 反 函 数, 求 函 数 æ y =f 1+g (x) ö ç 的 反 函 数. è1-g(x) ø 十 四 若 函 数 f(x) 是 单 调 增 函 数, 曲 线 y=f(x) 和 y=f -1 (x) 有 交 点, 试 证 明 此 交 点 必 在 直 线 y =x 上. 5

练 习 二 利 用 导 数 的 定 义 计 算 导 数 的 问 题 一 填 空 题. (1) 函 数 f(x)= (x 2 -x-2) x 3 -x 的 不 可 导 点 为. (2) 设 函 数 f(x)=x(x+1)(x+2) (x+2n), 则 f'(-n)=. (3) 若 f'(0)=2, 则 lim f(-h)-f(3h) =. h 0 2h (4) 若 f'(x0)=-1, 则 x lim x 0 f(x0-2x)-f(x0 +5x) =. 二 从 导 数 定 义 出 发 证 明 : (1) 若 f(x)= x, 则 f'(x0)= 1 (x0 >0); 2 x0 (2) 若 f(x)= 1 x, 则 f'(x0)=- 1 x 2 0(x0 0). 6

练 习 二 f(x0 +h)-f(x0 三 (1) 若 函 数 f(x) 在 点 x0 处 可 导, 证 明 极 限 -h) lim 存 在 ; x x 0 h f(x0 +h)-f(x0 (2) 若 极 限 -h) lim 存 在, 则 函 数 f(x) 在 点 x0 处 是 否 一 定 可 导? x x 0 h 若 是, 则 证 明 之 ; 若 不 是, 则 举 一 反 例. 四 有 一 质 线 ( 具 有 质 量 的 线 段 ) 位 于 x 轴 的 [a,b] 区 间 上, 该 质 线 在 区 间 [a,x](a x b) 上 的 质 量 为 m(x), 对 质 量 为 Δm 且 长 为 Δx 的 质 线, 可 定 义 其 平 均 线 密 度 为 μ = Δm Δx, 试 建 立 此 质 线 在 点 x0 (a,b) 处 的 线 密 度 μ ( x0) 的 表 达 式. 7

高 等 数 学 自 测 题 五 设 对 任 意 实 数 x 均 有 f(1+x)=af(x), 且 f'(0)=b(a,b 为 非 零 常 数 ), 证 明 f(x) 在 x =1 点 处 可 导, 并 求 f'(1). 六 若 对 一 切 实 数 x,y, 有 f(x+y)=e x f(y)+e y f(x), 且 f'(0)=1, 证 明 当 x 0 时,f(x) 也 可 导, 且 f'(x)=e x +f(x). 8

练 习 三 极 限 的 基 本 计 算 方 法 无 穷 小 与 无 穷 大 及 其 有 关 的 一 些 问 题 一 选 择 题. (1) 当 x 1 时, 函 数 x 2-1 x-1 e1 x-1 的 极 限 ( ) (A) 等 于 2 (B) 等 于 0 (C) 为 (D) 不 存 在, 但 非 (2) 当 x 0 时, 下 列 四 个 无 穷 小 中 哪 一 个 是 比 其 他 三 个 更 高 阶 的 无 穷 小 ( ) (A)x 2 (B)1-cosx (C) 1-x 2-1 (D)tanx-sinx (3) 当 t 0 时, 无 穷 小 量 f(t)=tsin2t 与 g(t)=cos2t-1 之 间 的 关 系 为 ( ) (A)g(t)=o[f(t)] (C)f(t)~g(t) (B)f(t)=o[g(t)] (D) 同 阶 无 穷 小, 但 非 等 价 无 穷 小 (4) 当 x π 时,tanxsinx 是 关 于 基 本 无 穷 小 x -π 的 ( ) (A) 一 阶 无 穷 小 (B) 二 阶 无 穷 小 (C) 三 阶 无 穷 小 (D) 四 阶 无 穷 小 (5) 设 f(x)= (1-cosx)ln(1+x 2 ), g(x)=xsin(x n ), h(x)=e -x2-1, 其 中 n 为 正 整 数. 已 知 在 x 0 时,f(x) 是 比 g(x) 高 阶 的 无 穷 小,g(x) 是 比 h(x) 高 阶 的 无 穷 小, 则 必 有 n = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ( ) (6)lim n f (n)=l 的 充 要 条 件 是 ( ) (A)lim n f (3+n)=L (C)lim n f (3n)=L (B)lim n f (3-n)=L (D)lim f æ n ö ç =L n è 3 ø (7) 数 列 { an } 有 界 是 数 列 { an } 收 敛 的 ( ) (A) 充 要 条 件 (C) 必 要 不 充 分 条 件 (B) 充 分 不 必 要 条 件 (D) 既 非 充 分 条 件 也 非 必 要 条 件 二 填 空 题. (1) 若 1-coskx lim =1(k >0), 则 k =. x 0 x 2 (2) 设 函 数 f(x)= 2x-3 3x-2 lnx, 则 当 x 时,f(x) 是 无 穷 小 ; 当 x 9

高 等 数 学 自 测 题 时,f(x) 是 无 穷 大. (3) 设 f(x)= x+1-1 x 2, 则 f(0+0)=,f(0-0)=. 3 (4)x 1 时, 无 穷 小 x -1~ A (x-1) k, 则 A =,k =. (5) 若 x 3 lim -ax 2 -x+4 x -1 x 2 +bx +b-1 =2, 则 a =,b=. æ 1 (6)lim n n 2 +3n+1 + 2 n 2 +3n+2 + 3 n 2 +3n+3 + n ö ç + è n 2 =. +3n+n ø 三 若 lim x x 0 f(x)= A 0,lim x x 0 g(x)=, 试 从 定 义 出 发 证 明 lim x x 0 f(x)g(x)=. 四 证 明 x 1 时, 有 ln(2x-x 2 )~- (x-1) 2. 10

练 习 三 五 求 下 列 各 题 中 的 常 数 A 和 k. (1)x π 时, 有 1+cosx ~ A (x-π) k ; (2)x 2 时, 有 x 2 +4-2x ~ A (x-2) k. 六 求 下 列 极 限. x+sin x 7 (1)lim x 0 x+sin x ; 3 11

高 等 数 学 自 测 题 (2)lim 1- cosx ; x 0 x 2 xsin (3)lim 4 (2x 2 ) x 0 sin 3 (2x 3 ). 七 求 下 列 极 限. sin15πx (1)lim x 1 sin12πx ; (2)lim (x-π)tan x x π 2 ; 12

练 习 三 sin3x (3)lim x πx 2 -π 2; 2x-1 (4)lim cosπx. x 1 2 八 求 下 列 极 限. t (1)lim 2 - t; t 1 t -1 3 x -4 (2)lim x 64 x -8. 13

高 等 数 学 自 测 题 九 求 下 列 极 限. (1)lim x 2 6-x - x+2; 2-x (2)lim x 1 3+x -2 3x+1-2. 十 求 下 列 极 限. x 2 sin 1 x (1)lim x 0 sinx ; æ 1 x 3 +sin 1 ö ç èx (2)lim 2 x 2 ø x 0 x+sinx. 14

练 习 三 十 一 求 下 列 极 限. ln(2x-5) (1)lim x 3 x 3-3 ; x e (2)lim cosx -1 2x-π. x π 2 十 二 求 下 列 极 限. (1)lim x 0 + 1- cosx x(1-cos x) ; π-2arccosx (2)lim x 0 1+x -1. 15

高 等 数 学 自 测 题 十 三 求 下 列 极 限. (1)lim (1-sin2x) 1 x ; x 0 (2)lim (5-2x) x-2; x x 2 (3)lim x x 2 x æ -2x+2 ö ç èx 2. +2x+2 ø 十 四 求 下 列 各 题 中 的 常 数 A,B 和 正 数 k, 使 满 足 各 题 中 的 条 件 : (1)x 2 时, 有 12x-B 6x 2 -x 3-1~ A (x-2) k ; 16

练 习 三 (2)x 3 时, 有 B+6x-x 2-4~ A (x-3) k. 十 五 对 于 函 数 f(x), 若 存 在 δ>0, 当 x (-δ,δ) 时, 恒 有 f(x) x 2, 试 利 用 极 限 存 在 的 夹 逼 准 则, 求 f'(0). 十 六 若 a 是 正 数,x1 = a(a+1),xn+1 = a(a+1)+xn (n = 1,2,3, ), 证 明 数 列 { xn } 收 敛, 并 求 lim n xn. 17

高 等 数 学 自 测 题 十 七 求 下 列 数 列 的 极 限. (1)lim sin n+1-sin n n ( ). (2)lim n cos a n æ ö 2 ç, 其 中 a 为 常 数. è n ø æ 1 (3)lim n 6 + 1 24 + + 1 ö ç è n(n 2-1) ø. 18

练 习 四 函 数 的 连 续 性 间 断 点 分 类 与 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质 有 关 的 方 程 根 和 等 式 证 明 问 题 一 选 择 题. (1) 设 f(x)= ex +1,x 1, 要 使 { f(x) 在 x =1 点 连 续, 则 a = ( ) x+a,x >1, (A)0 (B)1 (C)e (D)e+1 (2) 函 数 f(x) 在 x0 点 连 续 的 充 分 条 件 是 ( ) (A)lim x x 0 f(x) 存 在 (C)f(x0+0)=f(x0-0) (B)f(x)=f(x0)+α(x), 其 中 lim x x 0 α(x)=0 (D)f(x0+0)=f(x0) 或 f(x0-0)=f(x0) (3)x =0 是 函 数 f(x)= 1+e1 x 的 ( ) 2+3e 1 x (A) 可 去 间 断 点 (B) 跳 跃 间 断 点 (C) 无 穷 间 断 点 (D) 振 荡 间 断 点 ì 1 3 + 2 x sinx 3, x <0, ï (4)x =0 是 函 数 f(x)= í 1+ x 的 ( ) ï 3 sin2 x, x >0 î (A) 可 去 间 断 点 (B) 跳 跃 间 断 点 (C) 无 穷 间 断 点 (D) 振 荡 间 断 点 二 填 空 题. ì ï a+2x -2, x 0, (1) 若 函 数 f(x)= í x 在 x=0 点 连 续, 则 a=,b=. ï îb,x =0 (2) 若 x=1 是 函 数 4 x+3-ax -b f(x)= 的 可 去 间 断 点, 则 (x-c) a=,b=, 2 c=. (3) 函 数 f(x)= x2 -x x (x 2-1) sin 1 2x-1 的 跳 跃 间 断 点 是, 可 去 间 断 点 是, 振 荡 间 断 点 是, 无 穷 间 断 点 是. 19

高 等 数 学 自 测 题 三 若 函 数 f(x) 在 x =x0 点 处 连 续, 试 证 明 函 数 f(x) 在 x =x0 点 处 也 连 续. 四 若 函 数 f(x) 和 g(x) 在 (a,b) 内 都 连 续, 试 证 明 下 列 两 个 函 数 在 (a,b) 内 也 都 连 续 : (1)max[f(x),g(x)]; (2)min[f(x),g(x)]. 五 若 函 数 f(x) 在 (-,+ ) 上 连 续, 且 lim x f (x)=a, 证 明 f(x) 在 (-,+ ) 上 有 界. 六 若 lim x a f (x)= A(A >0,A 1), lim x a g (x)=b, 利 用 连 续 函 数 性 质 证 明 lim x a [ f (x) ] g (x) = A B. 20