这 对 大 兔 都 要 繁 殖 于 是 第 个 月 就 比 第 个 月 增 加 了 对 兔 这 样 我 们 就 有 这 是 一 个 连 续 三 个 月 的 兔 子 对 数 之 间 满 足 的 关 系 式 我 们 又 注 意 到 第 个 月 和 第 个 月 都 只 有 一 对 兔 也 就 是 说!!

从 斐 波 那 契 数 列 谈 起 中 世 纪 的 意 大 利 曾 有 过 一 个 商 业 蓬 勃 发 展 的 时 期 有 一 位 和 马 可 波 罗 几 乎 同 时 代 的 著 名 数 学 家 名 叫 里 昂 纳 多 斐 波 那 契 约 约 他 曾 以 一 个 商 人 的 身 份 去 东 方 旅 行 途 中 搜 集 了 许 多 算 术 与 代 数 方 面 的 素 材 在 年 写 出 了 一 本 书 算 盘 书 在 这 本 书 中 有 一 个 兔 子 繁 殖 问 题 很 能 给 人 以 启 迪 直 到 现 在 人 们 还 常 常 引 用 它 问 题 是 这 样 的 如 果 一 对 大 兔 每 个 月 繁 殖 一 对 小 兔 而 小 兔 一 个 月 后 长 成 大 兔 即 到 第 个 月 便 能 繁 殖 在 没 有 兔 子 死 亡 的 情 况 下 一 对 大 兔 在 一 年 中 繁 殖 成 多 少 对 兔 现 在 让 我 们 借 用 这 个 问 题 打 开 一 扇 数 学 之 门 这 就 是 本 书 的 主 题 差 分 方 程 先 来 着 手 分 析 和 解 决 这 个 兔 子 繁 殖 问 题 我 们 将 第 个 月 第 个 月 第 个 月 的 兔 子 对 数 分 别 记 作 然 后 注 意 这 些 数 之 间 的 联 系 在 第 个 月 的 对 兔 子 中 有 对 在 第 个 月 就 已 经 存 在 了 因 而 在 第 个 月 已 长 成 大 兔 而 其 余 的 都 是 小 兔 在 第 个 月

这 对 大 兔 都 要 繁 殖 于 是 第 个 月 就 比 第 个 月 增 加 了 对 兔 这 样 我 们 就 有 这 是 一 个 连 续 三 个 月 的 兔 子 对 数 之 间 满 足 的 关 系 式 我 们 又 注 意 到 第 个 月 和 第 个 月 都 只 有 一 对 兔 也 就 是 说!! 由 式 我 们 就 可 以 推 算 出 以 后 逐 月 的 兔 子 对 数 它 们 分 别 是 " # " $ % " % & "# %& ## 可 见 一 年 中 繁 殖 成 了 ## 对 兔 学 过 高 中 代 数 的 读 者 立 即 会 想 到 数 列 的 递 推 形 式 不 就 是 这 样 的 吗 确 实 它 也 正 是 我 们 了 解 差 分 方 程 的 起 点 和 现 在 我 们 丢 开 兔 子 繁 殖 这 个 实 际 问 题 只 注 意 式 这 样 便 得 到 一 个 数 列 它 被 人 们 称 作 斐 波 那 契 数 列 对 它 的 任 一 项 都 可 以 像 上 面 求 那 样 通 过 逐 步 推 算 求 出 尽 管 如 此 我 们 仍 有 理 由 感 到 不 满 足 因 为 对 一 个 数 列 我 们 常 常 特 别 重 视 它 的 通 项 公 式 有 了 通 项 公 式 不 仅 可 以 直 接 算 出 任 意 一 项 还 有 利 于 研 究 数 列 的 各 种 性 质 那 么 数 列 有 没 有 通 项 公 式 呢 如 果 你 试 着 按 公 式 " 写 出 一 个 数 列 就 会 看 到 写 出 的 各 项 与 斐 波 那 契 数 列 的 各 项 完

全 相 同 事 实 上 我 们 可 以 用 数 学 归 纳 法 来 证 明 这 一 点 过 程 如 下 因 为 所 以! 和! 时 结 论 成 立 # 假 设 结 论 对! 和! 都 成 立 则 有 所 以 结 论 对 于! 也 成 立 因 此 对 任 意 自 然 数 都 有 换 句 话 说 式 $ 正 是 我 们 所 希 望 找 到 的 $ 的 通 项 公 式 读 者 若 把 式 和 $ 作 一 个 比 较 可 能 会 有 一 串 疑 问 这 里 所 用 的 是 稍 有 变 化 的 数 学 归 纳 法 不 了 解 这 种 方 法 的 读 者 可 以 参 阅 关 于 数 学 归 纳 法 的 小 丛 书 例 如

例 如 式 是 一 个 只 有 加 法 运 算 的 表 达 式 为 什 么 式 $ 中 会 出 现 指 数 运 算 呢 能 不 能 找 到 一 个 不 含 指 数 运 算 的 通 项 公 式 呢 还 有 由 式 和 出 发 逐 项 计 算 所 得 的 每 个 显 然 都 应 当 是 正 整 数 可 是 为 什 么 这 些 整 数 却 要 用 这 个 无 理 数 来 表 示 呢 如 果 你 试 图 消 去 这 个 无 理 数 还 会 徒 劳 一 场 而 我 们 更 应 该 关 心 的 是 表 达 式 $ 到 底 是 怎 样 得 来 的 其 实 这 个 问 题 一 解 决 前 面 那 些 疑 问 也 就 不 难 解 释 了 这 些 问 题 将 在 本 书 第 " 节 中 加 以 解 决 从 数 列 的 角 度 看 式 和 $ 是 同 一 个 数 列 所 满 足 的 两 个 式 子 其 中 式 $ 是 我 们 熟 悉 的 解 析 表 达 式 而 式 则 通 常 称 为 一 个 差 分 方 程 它 表 达 数 列 的 相 邻 几 项 之 间 的 关 系 谈 到 方 程 人 们 往 往 最 关 心 它 的 解 是 什 么 不 妨 把 差 分 方 程 与 代 数 方 程 作 一 个 比 较 代 数 方 程 的 未 知 量 是 一 个 数 因 而 它 的 解 也 是 数 而 对 于 差 分 方 程 我 们 所 求 的 是 一 个 数 列 如 所 以 我 们 把 这 个 数 列 的 通 项 公 式 如 式 $ 称 作 这 个 差 分 方 程 如 式 的 解 一 个 数 列 也 可 以 看 做 一 个 整 变 量 函 数 即 定 义 在 整 数 集 的 一 个 子 集 上 的 函 数 例 如 我 们 可 以 定 义 一 个 正 整 数 集 上 的 函 数 如 下 那 么 也 可 以 说 是 方 程 的 一 个 解 如 果 读 者 将 来 学 到 了 微 分 方 程 就 会 发 现 微 分 方 程 与 差 分 方 程 有 很 多 相 似 之 处 微 分 方 程! 差 分 方 程 以 及 函 数 方 程 的 未 知 元 都 是 函 数

其 实 差 分 方 程 与 我 们 的 距 离 并 不 遥 远 甚 至 并 不 陌 生 我 们 的 读 者 一 定 熟 悉 等 差 数 列 与 等 比 数 列 它 们 的 基 本 形 式 分 别 为 和 为 常 数 为 非 零 常 数 它 们 本 身 就 是 两 个 差 分 方 程 而 它 们 的 通 项 公 式 和 则 分 别 就 是 上 面 两 个 方 程 的 解 % & 还 有 一 个 例 子 我 们 知 道 组 合 数! " 满 足 公 式! "! "! " 这 也 可 以 看 做 一 个 差 分 方 程 由 于 其 中 含 有 和 " 两 个 变 元 我 们 把 这 样 的 差 分 方 程 叫 做 偏 差 分 方 程 应 用 公 式 进 行 推 算 我 们 便 可 以 写 出 杨 辉 三 角 形 许 多 差 分 方 程 具 有 很 有 趣 的 性 质 或 重 要 的 应 用 例 如 方 程 " 它 的 右 端 含 有 的 平 方 项 这 一 点 和 我 们 上 面 看 到 的 差 分 方 程 都 不 相 同 当!" 时 我 们 不 难 算 出!"!#! 组 合 数! " 的 定 义 为 从 个 不 同 元 素 中 取 出 " 个 不 同 元 素 的 所 有 取 法 的 种 数 " 它 的 公 式 为! "! "" 在 有 的 书 中 组 合 数 也 记 作 "

$$% 如 果 我 们 计 算 " " 和 # # " 就 会 惊 奇 地 发 现 前 者 是 ## 后 者 是 ##"$"# 分 别 与 相 差 不 足 "' $ 和 ' 这 样 我 们 就 有 一 个 计 算 的 好 方 法 迄 今 为 止 还 没 有 什 么 方 法 比 这 更 快! 更 准 确 有 时 候 我 们 还 会 遇 到 像 下 面 这 样 看 上 去 似 乎 不 难 但 做 起 来 却 很 棘 手 的 问 题 例 给 定 一 个 平 面 上 的 三 角 形 " 设 # 为 " 的 重 心 为 "# 的 重 心 一 图 般 地 为 " 的 重 心 这 样 我 们 就 得 到 一 列 点 如 果 画 一 个 图 就 会 看 到 图 我 们 得 到 一 串 一 个 套 一 个 的 三 角 形 每 个 三 角 形 的 面 积 是 前 一 个 的 " 因 而 很 自 然 地 想 到 点 列 " 会 趋 向 某 个 点 # 也 就 是 说 当 趋 于 无 穷 大 时 线 段 # 的 长 度 趋 于 可 是 怎 样 确 定 点 # 的 位 置 呢 如 果 我 们 建 立 一 个 坐 标 系 并 设 的 坐 标 为 $% 那 么 由 解 析 几 何 知 识 可 知 " 的 重 心 坐 标 是 $" $ $ %" % % " " 由 于 " 熟 悉 复 数 的 读 者 可 以 建 立 复 平 面 将 点 的 坐 标 记 为 & 于 是 式 # 可 改 写 成 &! &" & & " 参 看

的 重 心 是 我 们 有 $ $"$$ " % %"%% # " 而 点 # 的 坐 标 应 该 是 数 列 $ 和 % 的 极 限 读 者 如 果 尝 试 一 下 从 式 # 出 发 就 会 发 现 这 不 是 一 个 简 单 的 求 极 限 问 题 我 们 将 在 第 节 看 到 怎 样 利 用 差 分 方 程 来 解 决 这 个 问 题 例 有 一 位 幼 儿 园 老 师 给 个 小 朋 友 分 糖 果 她 打 开 糖 盒 看 了 看 然 后 把 盒 里 糖 果 的 分 给 第 个 小 朋 友 接 着 从 另 一 个 盒 中 抓 了 # 块 糖 补 充 进 来 再 将 盒 里 糖 果 的 分 给 第 个 " 小 朋 友 以 后 她 一 直 这 样 先 从 别 的 盒 子 中 抓 # 块 糖 补 充 进 来 再 将 盒 里 糖 果 的 分 给 第 个 小 朋 友 这 样 所 有 的 小 朋 友 都 分 过 了 盒 里 最 后 余 下 # 块 糖 问 哪 个 小 朋 友 分 得 的 糖 最 多 看 到 这 里 你 也 许 会 怀 疑 难 道 这 也 与 差 分 方 程 有 关 吗 如 果 你 要 用 推 算 的 方 法 找 答 案 可 别 从 第 个 小 朋 友 开 始 而 应 该 从 最 后 的 结 果 算 起 只 要 推 算 几 次 就 会 觉 得 其 中 有 一 种 固 定 的 关 系 而 这 恰 好 可 以 表 达 为 一 个 差 分 方 程 解 出 这 个 差 分 方 程 那 么 分 糖 果 的 情 况 便 明 白 了 那 时 你 一 定 会 说 这 个 老 师 分 糖 分 得 很 公 平 呢 有 意 思 吗 在 第 % 节 我 们 将 对 这 个 问 题 先 建 立 一 个 差 分 方 程 再 做 出 答 案 还 可 以 举 一 些 例 子 如 你 能 将 根 式 重 根 号

写 成 一 个 关 于 的 解 析 式 吗 又 如 你 会 求!! "!! $ 的 和 吗 这 些 问 题 不 是 一 眼 看 去 就 知 道 与 差 分 方 程 有 关 的 甚 至 有 的 数 学 游 戏 也 与 差 分 方 程 有 不 解 之 缘 如 果 你 的 朋 友 中 有 人 喜 欢 玩 猜 测 型 的 游 戏 你 不 妨 拿 下 面 一 个 问 题 给 他 猜 猜 看 有 一 位 先 生 有 着 良 好 的 储 蓄 习 惯 他 每 月 都 要 将 自 己 收 入 的 一 部 分 存 入 银 行 待 需 要 花 费 时 再 取 出 来 在 去 年 最 后 一 个 月 中 他 存 入 和 取 出 的 钱 相 同 今 年 他 的 计 划 是 每 个 月 存 入 的 钱 比 前 一 个 月 取 出 的 钱 多 元 而 取 出 的 钱 比 前 一 个 月 存 入 的 钱 少 元 那 么 从 今 年 开 始 他 每 个 月 中 是 存 入 的 多 还 是 取 出 的 多 假 如 你 的 朋 友 很 粗 心 可 能 会 轻 而 易 举 地 上 当 如 果 是 位 乐 于 细 算 的 朋 友 你 不 妨 把 问 题 问 得 更 难 些 如 这 位 先 生 是 不 是 有 哪 个 月 存 的 少 取 的 多 为 什 么 还 可 以 改 变 去 年 最 后 一 个 月 的 存 取 情 况 那 样 答 案 立 即 就 可 能 改 变 这 更 有 利 于 把 问 题 编 得 出 人 意 料 读 到 这 里 可 能 有 的 读 者 已 经 感 到 留 下 的 问 题 太 多 了 不 要 紧 在 以 后 的 各 节 中 它 们 会 与 我 们 重 新 见 面 并 一 一 得 到 解 答 总 的 来 讲 我 们 的 目 的 是 要 搞 清 楚 差 分 方 程 是 怎 么 回 事 怎 样 解 差 分 方 程 " 差 分 方 程 有 哪 些 应 用

习 题 福 建 省 & 年 高 考 题 五 位 同 学 围 成 一 圈 依 序 循 环 报 数 规 定 第 位 同 学 首 次 报 出 的 数 为 第 位 同 学 首 次 报 出 的 数 也 为 之 后 每 位 同 学 所 报 出 的 数 都 是 前 两 位 同 学 所 报 出 的 数 之 和 若 报 出 的 数 为 " 的 倍 数 则 报 该 数 的 同 学 需 拍 手 一 次 当 第 " 个 数 被 报 出 时 五 位 同 学 拍 手 的 总 次 数 是 多 少 某 人 上 楼 时 可 以 每 步 迈 一 阶 也 可 以 迈 两 阶 他 从 地 面 到 达 第 级 台 阶 共 有 多 少 种 不 同 的 上 法 " 右 图 是 一 个 程 序 框 图 算 法 流 程 图 该 算 法 的 输 出 值 $ 是 多 少 如 果 将 图 中 的 判 断 框 中 的 条 件 $% 改 为 $ 则 程 序 运 行 结 束 时 共 对 变 量 $ 赋 值 了 多 少 次 # 三 人 传 球 由 甲 发 球 经 过 $ 次 传 球 后 球 回 到 甲 手 中 的 传 法 有 多 少 种 第 " 题 图

定 义 与 定 理 在 第 节 中 我 们 已 经 对 差 分 方 程 有 了 初 步 的 印 象 和 了 解 本 节 中 我 们 来 系 统 地 对 一 些 概 念 给 予 定 义 并 引 入 两 个 定 理 为 以 后 几 节 中 有 关 解 差 分 方 程 的 内 容 做 准 备 前 面 我 们 曾 提 到 差 分 方 程 是 一 个 数 列 相 邻 几 项 之 间 均 满 足 的 一 个 关 系 式 一 般 地 设 是 一 个 数 列 或 者 说 是 一 个 整 数 变 量 函 数 我 们 把 关 系 式 叫 做 一 个 差 分 方 程 其 中 是 一 个 元 函 数 是 一 个 固 定 的 正 整 数 从 数 列 的 意 义 看 差 分 方 程 也 就 是 数 列 的 递 推 关 系 式 例 如 上 一 节 的 式 % 和 & 还 可 以 举 几 个 例 子 如 " " 等 等 都 是 差 分 方 程 在 式 中 除 了 之 外 还 是 的 函 数 我 们 把 这 样 的 差 分 方 程 叫 做 阶 的 就 是 说 阶 差 分 方 程 是 一 个 数 列 中 任 意 个 相 邻 项 之 间 均 满 足 的 关 系 式 前 一 节 的 方 程 是 二 阶 的 而 方 程 % 和 & 是 一 阶 的 本 节 中 方 程 是 一 阶 的 但 方 程 " 是 三 阶 的 我 们 把 差 分 方 程

# 叫 做 线 性 差 分 方 程 其 中 都 是 的 已 知 函 数 当! 时 又 叫 做 线 性 齐 次 差 分 方 程 如 果 都 是 常 数 则 把 式 # 叫 做 常 系 数 线 性 差 分 方 程 上 节 的 式 和 & 是 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 而 方 程 % 在 时 是 常 系 数 线 性 非 齐 次 的 方 程 " 虽 不 是 常 系 数 的 但 却 是 线 性 齐 次 差 分 方 程 而 方 程 则 是 非 线 性 的 我 们 知 道 对 一 个 给 定 的 代 数 方 程 通 常 是 不 需 要 附 加 什 么 条 件 便 可 以 求 解 的 但 差 分 方 程 呢 我 们 再 次 看 一 看 方 程 由!! 我 们 便 可 以 根 据 方 程 计 算 出 "# 这 就 是 说 数 列 的 各 项 均 被 唯 一 确 定 了 它 们 都 满 足 公 式 " 但 如 果 我 们 将 前 两 项 稍 做 改 变 变 为!! 以 后 各 项 便 成 为 "%" 恰 好 与 斐 波 那 契 数 列 的 各 项 序 号 相 差 因 此 方 程 的 解 也 相 应 地 变 成 若 前 两 项 变 为 则 以 后 各 项 都 是 原 来 的 倍 解 便 成 了 可 见 和 的 值 对 方 程 的 解 有 重 要 的 影 响 应 该 说 它 们 与 差 分 方 程 共 同 决 定 了 解 的 表 达 式 我 们 把 上 一 节 的 式

叫 做 方 程 的 初 始 条 件 而!! 则 是 方 程 的 另 一 个 初 始 条 件 一 般 地 差 分 方 程 的 初 始 条 件 是 整 变 量 的 连 续 若 干 个 函 数 值 或 数 列 的 前 若 干 连 续 项 通 常 将 它 们 写 成 若 干 个 等 式 什 么 样 的 初 始 条 件 是 合 理 的 呢 我 们 说 给 定 的 函 数 值 个 数 如 果 恰 好 使 差 分 方 程 能 确 定 以 后 的 所 有 函 数 值 便 是 合 理 的 仍 以 方 程! 为 例 " 若 只 给 出! 便 求 不 出 当 然 "# 都 无 法 求 出 但 如 果 不 仅 给 出 了!! 另 外 又 给 了 一 个 " 的 值 则 要 么 " 与 相 等 因 而 是 多 余 的 可 以 由 方 程 求 得 要 么 与 不 等 反 使 差 分 方 程 无 法 求 解 因 此 对 方 程 来 说 给 定 和 的 值 是 初 始 条 件 的 唯 一 合 理 形 式 同 理 对 于 阶 的 方 程 合 理 的 初 始 条 件 应 当 有 个 等 式 如 给 出 的 值 这 样 我 们 就 可 以 用 前 个 函 数 值 或 数 列 的 前 项 去 推 算 出 其 余 的 函 数 值 以 后 各 项 如 果 在 已 知 的 情 况 下 根 据 方 程 便 能 求 得!! 我 们 就 得 到 了 一 个 函 数 关 系!! 找 出 这 个 函 数 关 系 的 过 程 就 是 解 差 分 方 程 通 常 我 们 把 这 个 函 数 的 解 析 表 达 式 或 数 列 的 通 项 公 式 叫 做 差 分 方 程 在 初 始 条 件 式 下 的 解 例 如 上 一 节 中 式 " 就 是 方 程 在 初 始 条 件 式 下 的 解

注 意 差 分 方 程 在 初 始 条 件 式 下 的 解 不 仅 是 指 由 式 和 共 同 确 定 的 函 数 或 数 列 满 足! 还 包 含 以 下 含 义 由! 计 算 出 的 就 是 初 始 条 件 式 按! 写 出 的!! 使 等 式 成 立 即 $ 按 以 上 内 容 我 们 便 能 得 知 在 合 理 的 初 始 条 件 下 差 分 方 程 的 解 只 能 是 唯 一 的 因 为 此 时 所 有 的 函 数 值 都 已 被 确 定 当 然 函 数 的 关 系 式 是 唯 一 的 了 这 里 不 排 除 某 些 形 式 上 的 差 别 这 个 事 实 便 是 以 下 的 定 理 定 理 若 有 两 个 整 变 量 函 数 都 满 足 差 分 方 程 及 初 始 条 件 式 则 这 两 个 函 数 相 等 这 个 定 理 看 上 去 几 乎 是 显 而 易 见 的 事 实 但 却 很 重 要 在 后 面 的 内 容 中 将 会 有 它 的 应 用 例 证 明! 是 差 分 方 程!# 在 初 始 条 件!!"!#! 下 的 解 证 明 不 难 验 证! 满 足 初 始 条 件 的 四 个 等 式 另 外 # ## #

这 表 明! 也 满 足 方 程!# 因 此 是 方 程!# 在 初 始 条 件!!"!#! 下 的 解 但 当 我 们 读 到 后 面 的 第 节 时 再 回 过 头 来 解 这 个 例 题 中 的 方 程 则 会 求 得 # 这 并 不 是 说 方 程!# 在 所 给 定 的 初 始 条 件 下 有 两 个 解 而 只 应 该 认 为 #! 对 任 何 正 整 数 都 成 立 这 就 是 前 面 提 到 的 形 式 上 的 差 别 另 外 对 一 个 差 分 方 程 来 说 不 一 定 任 意 给 出 一 组 初 始 条 件 就 一 定 可 以 确 定 一 个 函 数 关 系 如 方 程 当 或 时 不 难 证 明 必 有 " 从 方 程 右 边 可 以 看 出 后 面 得 出 的 # 都 是 正 值 因 此 函 数 关 系 一 定 存 在 但 当! 时! 于 是 " 不 存 在 当 然 函 数 关 系 也 就 不 存 在 了 但 很 显 然 出 现 这 个 现 象 的 原 因 是 存 在 一 个! 使 对 的 计 算 超 出 了 式 右 端 函 数 的 定 义 域 因 此 当 方 程 右 端 函 数 对 所 有 变 量 的 所 有 可 能 的 取 值 都 有 定 义 时 上 面 那 种 现 象 也 就 不 会 存 在 了 此 时 便 有 定 理 设 方 程 右 端 的 函 数 对 所 有 变 量 的 所 有 可 能 取 值 其 中 最 后 一 个 变 量 只 取 正 整 数 都 有 定 义 则 对 任 意

初 始 条 件 式 存 在 一 个 以 正 整 数 为 自 变 量 的 函 数 或 数 列 满 足 式 和 我 们 把 定 理 和 合 称 为 常 差 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 在 定 理 的 叙 述 中 之 所 以 没 有 用 解 这 个 名 称 而 只 讲 整 变 量 函 数 或 数 列 原 因 是 人 们 对 解 的 理 解 不 尽 相 同 有 的 把 定 理 中 的 函 数 就 叫 做 解 也 有 的 则 只 在 能 用 我 们 熟 悉 的 函 数 显 式 表 达 时 才 称 为 解 至 于 我 们 所 熟 悉 的 表 达 形 式 究 竟 包 括 哪 些 例 如 能 否 使 用 求 和 符 号 也 没 有 统 一 的 规 定 在 下 面 我 们 一 般 是 把 解 理 解 为 函 数 的 一 个 解 析 表 达 式 除 此 而 外 还 需 要 说 明 并 非 任 何 差 分 方 程 都 可 以 找 到 一 个 表 达 式 作 为 它 的 解 例 如 一 阶 差 分 方 程 # # % 是 正 整 数 目 前 就 还 没 有 什 么 办 法 可 以 解 出 用 电 子 计 算 机 进 行 了 大 量 计 算 结 果 表 明 无 论 取 什 么 正 整 数 总 存 在 一 个 正 整 数 使! 但 这 个 结 果 却 至 今 没 能 被 人 们 证 明 对 于 差 分 方 程 & 如 果 不 允 许 出 现 求 和 符 号 的 话 则 它 是 一 个 无 法 写 出 解 的 方 程 类 似 的 方 程 后 面 还 会 遇 到 这 时 候 我 们 常 常 把 方 程 的 解 这 是 一 个 十 分 困 难 的 问 题 许 多 数 学 家 花 了 很 多 工 夫 也 未 能 解 决 因 而 我 们 希 望 读 者 不 要 为 此 而 花 时 间

写 成 其 他 形 式 有 的 差 分 方 程 在 未 给 出 初 始 条 件 时 便 可 以 写 出 解 所 具 有 的 形 式 只 是 这 种 形 式 的 解 中 无 可 避 免 地 将 留 有 若 干 个 待 定 的 常 数 它 们 可 以 根 据 所 给 的 初 始 条 件 来 确 定 我 们 把 这 样 的 解 叫 做 差 分 方 程 的 解 的 一 般 形 式 或 通 解 如 上 一 节 的 式 和 就 分 别 是 方 程 % 和 & 的 通 解 要 在 给 出 的 值 后 才 完 全 确 定 为 了 区 别 起 见 把 在 已 知 初 始 条 件 下 的 解 叫 做 特 解 具 有 通 解 的 差 分 方 程 是 我 们 要 研 究 的 主 要 方 面 之 一 习 题 说 出 下 列 差 分 方 程 各 是 几 阶 的!" "!# "$!$ $ #%! % '!' ' $! 是 一 个 正 整 数 说 出 第 题 中 哪 些 方 程 是 线 性 齐 次 的 常 系 数 线 性 差 分 方 程 " 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 # 非 线 性 的 " 通 过 验 证 满 足 方 程 和 初 始 条 件 的 方 法 证 明 $ "

是 差 分 方 程! 在 初 始 条 件 下!! 下 的 解 # 证 明 对 任 何 正 常 数 整 变 量 函 数 $! " 总 满 足 差 分 方 程 又 问 差 分 方 程 $ "$ 在 初 始 条 件 $! 下 的 解 是 什 么 $ "$

常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 在 各 种 形 式 的 差 分 方 程 中 有 一 类 具 有 特 别 重 要 的 地 位 这 就 是 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 它 之 所 以 重 要 一 方 面 是 由 于 这 类 方 程 有 一 般 解 法 因 而 使 那 些 可 以 转 化 为 这 类 方 程 的 其 他 方 程 也 有 了 求 解 的 途 径 另 一 方 面 这 类 方 程 有 着 许 多 有 趣 的 性 质 有 极 其 广 泛! 丰 富 多 彩 的 应 用 在 本 节 中 我 们 先 引 进 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 的 特 征 根 概 念 然 后 来 研 究 怎 样 解 这 一 类 方 程 按 上 一 节 所 述 我 们 可 以 把 一 个 阶 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 写 成 " 这 里 是 常 数 先 不 考 虑 初 始 条 件 我 们 在 第 节 曾 遇 到 过 一 个! 时 的 例 子 就 是 等 比 数 列 满 足 的 方 程 & 它 的 解 可 以 看 成 指 数 式 与 一 个 常 数 的 积 斐 波 那 契 数 列 所 满 足 的 方 程 正 是! 时 的 情 形 而 在 它 的 解 " 中 恰 好 又 出 现 了 两 个 指 数 式 和 的 解 总 是 与 指 数 式 有 关 这 两 个 例 子 启 发 我 们 做 出 猜 测 是 不 是 方 程 "

我 们 不 妨 先 假 设!$ $ 是 方 程 " 的 一 个 解 于 是!$! 将 它 们 带 入 式 " 得 到 $ $ $ $ 消 去 $ 得 $ $ $ " 这 可 以 看 成 一 个 关 于 $ 的 代 数 方 程 它 与 式 " 有 着 密 切 的 关 系 我 们 把 式 " 的 左 边 $ $ $ "" 叫 做 方 程 " 的 特 征 多 项 式 并 把 特 征 多 项 式 的 根 也 就 是 方 程 " 的 根 叫 做 方 程 " 的 特 征 根 上 面 的 讨 论 说 明 如 果! 是 差 分 方 程 " 的 解 则 就 是 方 程 " 的 特 征 根 即 方 程 " 的 根 反 过 来 若 是 方 程 " 的 一 个 特 征 根 便 有 也 就 是! 则! 是 方 程 " 的 解 简 言 之 即 引 理 设 为 非 零 常 数 则! 是 方 程 " 的 解 当 且 仅 当 是 方 程 " 的 特 征 多 项 式 "" 的 根 接 下 来 我 们 再 讨 论 斐 波 那 契 数 列 的 通 项 公 式 上 一 节 我 们 在 讨 论 初 始 条 件 时 就!! 及!! 两 种 情 况 写 出 了 方 程 的 解 它 们 与 有 一 个 共 同 之 处 就 是 解 都 可 以 表 示 为 即!! 时 的 解

"# 的 形 式 其 中 是 两 个 常 数 当!! 时 解 可 以 写 成 而 方 程 的 特 征 多 项 式 为 $ $ 它 的 两 个 根 正 是 和 根 据 引 理 " 知 都 是 方 程 的 解 也 就 是 于 是 有 和 这 说 明 不 论 是 什 么 常 数 式 "# 都 满 足 方 程 这 就 进 一 步 提 示 我 们 考 虑 更 一 般 的 情 形 设!! 都 是 方 程 " 的 解 即

" "$ 设 是 两 个 常 数 将 式 " 乘 以 再 加 上 式 "$ 乘 以 就 得 到 令! 就 有 " 这 就 是 说! 同 样 是 方 程 " 的 解 这 样 我 们 又 得 到 了 一 个 结 论 引 理 设!! 都 是 方 程 " 的 解 是 两 个 常 数 则 也 是 方 程 " 的 解 且 满 足 初 始 条 件 现 在 我 们 可 以 来 求 斐 波 那 契 数 列 的 通 项 公 式 了 根 据 引 理 " 无 论 取 什 么 常 数 值 式 "# 都 满 足 方 程 这 样 我 们 只 需 找 到 一 组 的 值 使 式 "# 也 满 足 条 件!! 也 就 是

这 是 一 个 关 于 的 二 元 一 次 方 程 组 不 难 解 得 代 入 式 "# 就 得 到 了 的 通 项 公 式 " 如 果 我 们 按 照 这 个 思 路 继 续 思 考 就 会 猜 想 当 我 们 求 出 了 方 程 " 的 所 有 特 征 根 时 就 可 以 对 任 意 一 组 常 数 下 结 论 "% 是 方 程 " 的 解 若 我 们 能 通 过 确 定 的 值 使 式 "% 满 足 已 给 的 初 始 条 件 就 得 出 了 方 程 " 在 初 始 条 件 下 的 解 这 样 不 是 就 完 全 解 决 了 方 程 " 在 初 始 条 件 下 的 求 解 问 题 了 吗 作 为 解 方 程 " 的 方 法 当 两 两 不 相 等 时 这 样 的 结 论 确 实 是 正 确 的 但 下 面 的 例 子 会 告 诉 我 们 当 方 程 " 有 重 根 时 用 式 "% 来 表 示 的 解 未 必 能 满 足 给 定 的 初 始 条 件 设 是 一 个 等 差 数 列 则 从 第 项 起 每 一 项 都 是 它 前! 后 两 项 的 等 差 中 项 为 什 么 也 就 是

将 它 写 成 一 个 线 性 齐 次 差 分 方 程 的 形 式 即 它 的 特 征 多 项 式 为 $ $ $ "& 因 而 有 二 重 特 征 根 此 时 若 像 式 "% 那 样 写 出 解 则 就 是 一 个 常 数 了 但 我 们 知 道 由 于 是 等 差 数 列 应 有 只 要 公 差 则! 也 不 为 零 可 见 差 分 方 程 "& 的 解 在 的 情 况 下 便 不 满 足 式 "% 的 形 式 对 这 个 问 题 推 广 一 步 考 察 方 程 为 常 数 " 因 为 它 的 特 征 根 为 二 重 根 除 了! 是 一 个 指 数 形 式 的 解 外 还 有 一 个 什 么 样 的 简 单 解 呢 联 系 前 面 等 差 数 列 的 例 子 试 一 试 就 会 发 现! 也 是 一 个 解 根 据 引 理 " 凡 是 具 有 形 式!! 其 中 是 两 个 常 数 的 整 变 量 函 数 都 是 方 程 " 的 解 接 下 去 再 对 特 征 根 的 重 数 作 推 广 就 能 得 出 结 论 若 是 方 程 " 的 重 根 则 对 任 意 一 个 次 数 小 于 的 多 项 式! 是 方 程 " 的 解 将 以 上 的 讨 论 作 一 个 总 结 就 是 下 面 重 要 的 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 的 通 解 定 理 定 理 差 分 方 程! 为 常 数 且 在 任 意 给 定 的 初 始 条 件!!! 下 都 有 形 如 "

的 解 其 中 是 多 项 式 "" 的 所 有 互 不 相 同 的 根 的 重 数 是 是 由 初 始 条 件 确 定 的 常 数!! 反 之 形 如 式 " 右 端 的 函 数 一 定 满 足 一 个 形 如 式 " 的 方 程 这 个 定 理 的 证 明 比 较 抽 象 且 涉 及 的 预 备 知 识 较 多 我 们 将 它 收 入 附 录 中 有 兴 趣 的 读 者 若 多 花 些 时 间 也 完 全 可 以 弄 懂 我 们 注 意 定 理 " 包 含 以 下 细 节 方 程 " 的 解 总 可 以 由 它 的 特 征 根 所 组 成 的 一 个 表 达 式 " 表 示 出 关 于 式 " 我 们 应 对 它 作 如 下 理 解 首 先 设 多 项 式 "" 在 复 数 范 围 内 可 以 分 解 为 $ $ $ 这 里! 于 是 便 可 以 表 示 为 当 然 如 果! 即 为 单 根 第 个 括 号 内 就 仅 有 常 数 项 了 这 就 是 与 式 "% 正 好 相 符 的 情 形 习 惯 于 双 重 和 号 的 读 者 也 可 以 将 式 " 改 记 为 根 据 代 数 基 本 定 理 在 复 数 范 围 内 一 元 次 多 项 式 有 个 根 因 而 能 分 解 为 个 一 次 因 式 的 乘 积 参 看 " 或 普 通 的 复 变 函 数 论 或 抽 象 代 数 教 材

式 " 或 " 的 右 边 有 " 个 常 数 这 些 常 数 在 给 定 初 始 条 件 的 个 等 式 时 便 可 以 与 式 " 组 成 一 个 关 于 的 元 线 性 方 程 组 这 个 方 程 组 总 是 有 解 的 因 为 形 如 式 " 的 解 对 于 任 何 初 始 条 件 都 存 在 另 外 这 个 方 程 组 仅 有 唯 一 解 这 是 因 为 根 据 定 理 方 程 " 在 初 始 条 件 下 的 解 是 唯 一 的 因 而 这 组 常 数 只 能 是 唯 一 确 定 的 我 们 通 过 解 这 个 关 于 的 方 程 组 求 出 的 值 从 而 就 求 出 方 程 " 的 一 个 特 解 " 对 于 一 个 形 如 式 " 的 函 数 总 可 以 写 出 一 个 它 所 满 足 的 阶 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 因 而 可 以 用 形 如 式 " 的 差 分 方 程 及 初 始 条 件 来 定 义 或 表 示 方 法 定 理 " 的 重 要 性 在 于 它 为 我 们 提 供 了 解 方 程 " 的 一 般 例 给 定 差 分 方 程!" # 求 方 程 的 特 征 多 项 式 和 特 征 根 写 出 方 程 的 通 解 " 求 满 足 初 始 条 件!! 的 特 解 解 由 "#! 可 以 写 出 特 征 多 项 式 $ "$#!$#$ 其 特 征 根 为 # 和 方 程 的 通 解 为 #

其 中 是 两 个 常 数 " 要 求 出 满 足!! 的 特 解 可 以 通 过 解 下 列 方 程 组 确 定 的 值 $ # 解 得!! 因 此! # 这 个 例 题 中 三 个 小 题 的 要 求 实 际 上 就 是 解 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 的 三 个 步 骤 写 出 方 程 的 特 征 多 项 式 并 求 出 特 征 根 写 出 通 解 " 根 据 初 始 条 件 和 通 解 列 出 一 个 关 于 待 定 常 数 的 线 性 方 程 组 并 解 之 进 而 写 出 特 解 对 二 阶 的 常 系 数 线 性 齐 次 差 分 方 程 也 并 非 一 定 要 用 上 述 的 办 法 求 解 例 如 我 们 可 以 用 代 换 的 方 法 设 方 程 可 以 写 成 其 中 是 两 个 特 定 的 常 数 也 就 有 对 照 例 的 方 程 应 有 解 这 个 方 程 组 可 以 得 到 " # ""