数 值 积 分 与 数 值 微 分 解 题 方 法 专 题 一 知 识 点 复 习 了 解 数 值 积 分 与 数 值 微 分 的 基 本 思 想 掌 握 代 数 精 确 度 的 概 念 和 插 值 型 求 积 公 式 如 梯 形 公 式 Spso 公 式 和 牛 顿 柯 斯 特 公 式 节 点 为 高 斯 点 的 高 斯 公 式 以 及 相 应 的 复 化 求 积 公 式 ; 掌 握 求 数 值 微 分 的 Tylor 展 开 法 插 值 型 求 导 公 式 和 样 条 求 导 并 能 对 上 述 数 值 方 法 进 行 误 差 分 析 ; 熟 悉 Rcrdso 外 推 算 法 与 数 值 积 分 的 Roerg 算 法 从 中 体 会 加 速 收 敛 的 技 巧. 数 值 求 积 公 式 代 数 精 度 概 念 插 值 型 求 积 公 式 定 积 分 I d 的 数 值 求 积 公 式 d A 其 中 为 求 积 节 点 A L 为 求 积 系 数 如 果 作 被 积 函 数 的 次 插 值 多 项 式 L l 去 代 替 被 积 函 数 便 得 到 插 值 型 求 积 公 式 : 其 余 项 为 d A ξ R d I j d! j 若 取 个 节 点 等 距 即 有 L 则 : d C 称 之 为 阶 牛 顿 柯 斯 特 Newto-Cotes 求 积 公 式 其 中 特 例 : 梯 形 求 积 公 式 取 辛 卜 生 Spso 或 抛 物 线 公 式 柯 斯 特 Cotes 求 积 公 式 定 义 如 果 插 值 求 积 公 式 对 于 任 意 次 数 小 于 等 于 的 多 项 式 均 能 准 确 成 立 而 至 少 一 个 次 多 项 式 不 能 准 确 成 立 则 称 该 求 积 公 式 具 有 次 的 代 数 精 确 度.Guss 求 积 公 式 考 虑 带 权 定 积 分 I ρ d
其 中 ρ 是 [ ] 上 的 权 函 数 其 插 值 型 求 积 公 式 d I ρ A 把 个 求 积 节 点 作 为 待 定 节 点 来 确 定 加 上 个 待 定 的 求 积 系 数 根 据 代 数 精 确 度 的 概 念 令 分 别 取 L 可 建 立 下 述 个 方 程 求 解 : d k ρ A L 定 义 由 式 确 定 的 互 异 节 点 L 使 插 值 型 求 积 公 式 的 代 数 精 确 度 至 少 达 到 次 则 称 相 应 的 求 积 公 式 为 Guss 型 求 积 公 式 求 积 节 点 为 Guss 点 相 应 的 求 积 系 数 为 Guss 求 积 系 数 关 于 Guss 点 的 充 分 必 要 条 件 带 权 ρ 的 次 正 交 多 项 式 ϕ 的 个 零 点 k k 就 是 一 组 Guss 点 Guss 求 积 公 式 的 余 项 等 相 关 知 识 请 认 真 阅 读 教 材. 复 化 合 求 积 公 式 由 于 高 阶 插 值 公 式 的 数 值 不 稳 定 性 导 致 高 阶 数 值 求 积 公 式 Guss 求 积 公 式 除 外 也 存 在 不 稳 定 问 题 于 是 当 积 分 区 间 较 大 时 可 将 积 分 区 间 分 段 在 每 一 小 段 上 采 用 低 阶 求 积 公 式 这 样 得 到 的 数 值 求 积 公 式 称 为 复 化 合 求 积 公 式 将 积 分 区 间 [ ] 做 等 分 则 步 长 节 点 L 此 时 对 被 积 函 数 在 每 个 小 区 间 ] 上 的 积 分 分 别 应 用 梯 形 公 式 和 辛 卜 生 公 式 则 得 到 [ 相 应 的 复 化 合 公 式 复 化 合 梯 形 公 式 和 复 化 合 辛 卜 生 公 式 的 截 断 误 差 分 别 为 I T η η I S η η 8 p 复 化 求 积 公 式 可 以 通 过 截 断 误 差 与 步 长 幂 次 方 的 同 阶 比 较 大 致 描 述 计 算 过 程 的 收 敛 速 度 精 度 如 果 一 个 复 化 求 积 公 式 的 截 断 误 差 有 估 计 式 : I I O 则 称 求 积 算 式 I 是 p 阶 收 敛 精 度 的 对 相 同 的 步 长 p 越 大 收 敛 速 度 就 越 快 显 然 复 化 梯 形 公 式 是 阶 收 敛 复 化 辛 卜 生 公 式 是 阶 收 敛 的. 数 值 微 分 根 据 函 数 在 一 些 离 散 点 上 的 函 数 值 来 估 计 函 数 在 某 点 导 数 或 高 阶 导 数 的 近 似 值 的 方 法 称 为 数 值 微 分 给 定 函 数 在 个 节 点 上 的 函 数 值 最 简 单 的 算 法 就 是 用 差 商 近 似 代 p
替 微 商 即 导 数 若 由 此 构 造 的 一 个 次 插 值 多 项 式 p 用 插 值 多 项 式 的 高 阶 导 数 去 近 似 函 数 的 高 阶 导 数 则 得 到 插 值 型 求 导 公 式 : p p L 如 果 p 表 示 为 Lgrge 插 值 多 项 式 形 式 L 则 上 述 插 值 型 求 导 公 式 在 接 k 处 的 余 项 为 其 中 ω ξ L ω! 当 时 为 两 点 公 式 时 为 三 点 公 式 时 为 五 点 公 式 若 构 造 的 一 个 分 段 次 样 条 插 值 多 项 式 S S 则 得 到 次 样 条 求 导 法 另 外 根 据 泰 勒 Tylor 展 开 原 理 也 可 以 构 造 数 值 微 分 公 式. 里 查 逊 Rcrdso 外 推 算 法 和 龙 贝 格 Roerg 求 积 公 式 在 科 学 和 工 程 计 算 中 许 多 算 法 与 空 间 步 长 有 关 如 何 利 用 已 有 的 算 法 F 对 应 步 长 去 推 算 步 长 缩 比 为 q > 的 公 式 q F 以 进 一 步 提 高 计 算 精 度 便 是 Rcrdso 外 推 算 法 的 思 想 设 F 是 计 算 F 的 一 种 近 似 算 法 其 截 断 误 差 为 p s F F O p > s p p > 其 中 p 与 无 关 现 将 步 长 缩 比 为 q > 代 入 上 式 可 得 q p s F / q F / q O 将 q p 式 式 消 去 截 断 误 差 的 主 项 便 得 到 的 新 的 近 似 算 法 : p q F / q F F F F O p q 我 们 称 这 个 过 程 为 Rcrdso 外 推 算 法 可 以 把 外 推 算 法 分 别 应 用 于 数 值 积 分 和 数 值 微 分 考 虑 求 的 一 阶 中 心 差 商 公 式 k k k 得 到 计 算 的 一 个 外 推 序 列 为 k p k s
F F / F L 再 考 虑 求 I d 于 是 得 到 计 算 I 的 一 个 外 推 序 列 为 T k T k T k L k s s L 二 常 见 解 题 方 法 与 示 例 数 值 积 分 与 数 值 微 分 的 理 论 与 方 法 是 本 课 程 的 重 点 内 容 之 一 同 学 们 在 课 程 学 习 时 一 方 面 要 仔 细 理 解 各 个 方 法 的 基 本 原 理 与 算 法 过 程 另 一 方 面 还 要 适 当 做 一 些 习 题 加 深 对 课 程 内 容 的 认 识 提 高 数 值 计 算 的 动 手 能 力 和 分 析 应 用 能 力 这 里 我 们 将 一 些 基 本 的 问 题 进 行 归 类 给 出 一 些 基 本 的 解 题 思 路 方 法 供 同 学 们 学 习 时 参 考 题 型 确 定 或 验 证 数 值 求 积 公 式 和 数 值 微 分 公 式 的 参 数 使 其 代 数 精 度 尽 量 高 或 对 次 数 的 多 项 式 精 确 成 立 并 推 出 其 余 项 方 法 : 根 据 代 数 精 度 的 概 念 数 值 求 积 公 式 或 数 值 微 分 公 式 对 次 数 的 多 项 式 精 确 成 立 等 价 于 对 个 简 单 多 项 式 项 式... 精 确 成 立 即 余 项 为 而 对 多 不 能 精 确 成 立 即 其 余 项 不 为 由 此 可 确 定 其 中 的 参 数 对 Guss 型 求 积 公 式 还 可 以 通 过 Guss 点 和 Guss 求 积 系 数 的 有 关 性 质 确 定 其 中 的 参 数 在 推 导 数 值 求 积 公 式 和 数 值 微 分 公 式 的 余 项 R 时 可 设 ξ R k k为 待 定 系 数 ; 对 数 值 微 分 公 式 还 可 构 造 适 当 的 插 值 多 项 式 或 应 用 Tylor 展 开 式 推 导 例 给 定 求 积 分 公 式 d A B C - 试 确 定 ABC 使 它 的 代 数 精 度 尽 可 能 地 高 并 指 明 所 构 造 出 的 求 积 分 公 式 具 有 的 代 数 精 度 代 入 所 给 近 似 求 积 公 式 使 公 式 精 确 成 立 得 : 解 : 令 A B C A C 6 A C 联 立 求 解 关 于 系 数 A B C 的 方 程 得 8 8 A B C 将 A B C 的 上 述 取 值 代 回 式 得
d - 它 至 少 具 有 次 的 代 数 精 度 令 代 入 近 似 公 式 得 : 左 边 右 边 故 左 边 右 边 令 代 入 近 似 公 式 得 : 6 6 至 此 可 知 求 积 公 式 具 有 次 代 数 精 确 度 例 数 值 积 分 公 式 形 如 左 边 右 边 则 d S A B C D 确 定 求 积 公 式 中 的 参 数 A B C D 使 其 代 数 精 度 尽 量 高 设 C [ ] 推 导 余 项 表 达 式 d S 解 : 令 左 边 右 边 分 别 代 入 求 积 公 式 中 使 求 积 公 式 精 确 成 立 即 得 : A B B C D B D B D 联 立 式 求 解 得 7 A B C D 故 求 积 公 式 为 d 9 6 又 取 代 入 上 式 得 : 左 边 右 边 [ 9 ] 6 6 此 时 左 边 右 边 故 求 积 公 式 具 有 三 次 代 数 精 度 由 于 求 积 公 式 具 有 三 次 代 数 精 度 可 设 将 d S k ξ ξ 其 中 k为 待 定 系 数 代 入 上 式 得 :!k 故 k 6 从 而 得
d S ξ ξ 例 用 不 同 的 方 法 确 定 A A 使 下 面 公 式 为 Guss 求 积 公 式 : d A A 解 : 方 法 一 直 接 根 据 代 数 精 度 的 定 义 确 定 公 式 中 的 参 数 略 方 法 二 公 式 具 有 个 待 定 节 点 和 个 待 定 求 积 系 数 其 最 高 代 数 精 度 至 少 可 以 达 到 次 于 是 对 取 任 意 次 多 项 式 精 确 成 立 选 取 多 项 式 ω 则 有 d A A ω ω ω ω d Aω A ω 求 解 上 述 方 程 住 可 得 到 求 积 节 点 即 两 个 Guss 点 详 细 过 程 略 方 法 三 作 变 换 : t 则 求 积 公 式 可 转 换 为 Guss-Legedre 求 积 公 t 式 : d F t dt A F t A F t 其 中 t t 根 据 Guss 点 t t 是 次 Legedre 多 项 式 d P t t t! dt 的 两 个 零 点 可 得 : t ± 相 应 的 求 积 系 数 为 A A 即 A A 故 t t 方 法 四 因 为 是 Guss 求 积 公 式 的 两 个 Guss 点 故 β 是 [ ] 上 带 权 ρ g 交 多 项 式 的 性 质 得 β.d β. d 而 β.d β 的 二 次 正 交 多 项 式 根 据 正 β. d β 故 有 6
解 之 得 : β 6 再 根 据 代 数 精 度 的 定 义 得 β β 从 而 由 g 得 : 6 A A d A A d 解 之 得 : A A 例 求 如 下 数 值 微 分 公 式 的 系 数 使 其 对 次 数 尽 可 能 高 的 多 项 式 精 确 成 立 导 出 该 数 值 微 分 公 式 的 余 项 表 达 式 解 : 令 分 别 代 入 中 使 数 值 微 分 公 式 精 确 成 立 得 解 上 述 关 于 的 方 程 组 得 下 面 用 两 种 方 法 导 出 该 数 值 微 分 公 式 的 余 项 表 达 式 方 法 一 设 余 项 R k ξ 令 故 代 入 上 式 得 6.! k k 从 而 导 出 该 数 值 微 分 公 式 的 余 项 表 达 式 为 7
方 法 二 将 R ξ 在 处 Tylor 展 开 得 ξ ξ在 与 之 间!! 故 ξ 题 型 计 算 定 积 分 和 函 数 导 数 的 近 似 值 并 估 计 误 差 或 满 足 指 定 的 误 差 要 求 方 法 : 明 确 被 积 函 数 或 求 导 函 数 然 后 应 用 指 定 的 数 值 求 积 公 式 或 数 值 微 分 公 式 计 算 即 可 需 要 注 意 的 是 对 奇 异 积 分 必 须 先 通 过 变 量 代 换 将 其 化 为 正 常 积 分 再 计 算 例 用 复 化 梯 形 公 式 计 算 积 分 I d 精 确 到 三 位 有 效 数 字 解 : 所 给 积 分 I 的 被 积 函 数 在 处 具 有 奇 异 性 不 存 在 因 而 需 要 作 变 量 代 换 :t 将 积 分 化 为 I g dt t 应 用 复 化 梯 形 公 式 : T g g g 这 里 g t 8 T. T. T.66 T.69 至 此 有 T t 计 算 可 得 I 8 T 故.7 题 型 确 定 复 化 合 求 积 公 式 和 数 值 微 分 公 式 的 步 长 或 节 点 数 使 计 算 结 果 满 足 给 定 的 精 度 要 求 方 法 : 根 据 复 化 合 求 积 公 式 和 数 值 微 分 公 式 的 余 项 或 截 断 误 差 表 达 式 视 问 题 要 求 确 定 是 否 加 入 舍 入 误 差 对 满 足 给 定 精 度 要 求 解 一 个 相 应 的 不 等 式 即 可 得 所 需 的 步 长 或 节 点 数 例 6 给 定 积 分 s d 辛 卜 生 公 式 计 算 是 所 需 节 点 数 及 步 距 分 别 为 多 少? 当 要 求 截 断 误 差 小 于 6 时 用 复 化 梯 形 公 式 计 算 即 复 化 解 : 设 s 应 用 复 化 梯 形 公 式 计 算 需 要 个 等 距 节 点 才 能 满 足 截 断 误 差 要 求 此 时 步 距 为 由 复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误 差 得 8
而 cos s 故 有 I T η η 根 据 题 意 必 须 满 足 π s s T I < ε 这 里 ε 6. 解 之 得 > 86. ε 取 87 即 至 少 需 要 将 区 间 87 等 分 才 能 使 计 算 结 果 满 足 给 定 的 误 差 要 求 再 设 应 用 复 化 辛 卜 生 公 式 计 算 需 要 个 等 距 节 点 才 能 满 足 给 定 的 截 断 误 差 要 求 此 时 步 距 为. 根 据 复 化 辛 卜 生 公 似 的 截 断 误 差 公 式 和 误 差 要 求 得 I S 8 η 9 结 合 < s 可 求 得 满 足 误 差 要 求 的 η η < ε >.7 9ε 取 即 至 少 需 要 在 区 间 [] 中 取 个 等 距 节 点 才 能 使 计 算 结 果 满 足 给 定 的 误 差 要 求 例 7 设 ε ε ε M " k k 计 算 的 误 差 不 超 过 试 证 明 : 当 取 opt 时 可 使 计 算 二 阶 倒 数 的 M 中 心 差 商 公 式 的 截 断 误 差 和 舍 入 误 差 的 总 和 达 到 最 小 " 似 计 算 设 s [.7.] 计 算 时 取 到 位 小 数 求 使 用 中 心 差 商 近 时 的 opt 以 opt " 为 步 长 计 算.9. 证 明 : 因 二 阶 导 数 的 中 心 差 商 公 式 的 截 断 误 差 估 计 为 R " M 9
又 设 的 舍 入 误 差 分 别 ε ε ε 令 ε { ε ε ε } 则 二 阶 导 数 的 中 心 差 商 公 式 的 舍 入 误 差 可 估 计 为 " δ 故 截 断 误 差 和 舍 入 误 差 界 的 总 和 为 使 E 达 到 最 小 的 步 长 应 满 足 ε ε ε ε " ε E M 从 而 得 最 佳 步 长 为 E 8ε M 6 opt 8ε M M k 根 据 的 结 论 现 有 s [.7.] 故 再 由 计 算 π s < 6 时 取 到 位 小 数 可 知 ε. π < s 又 M o 8 s..89 π 8ε 故. 8 M.89 opt 此 时 以 opt. 8为 步 长 得 ".9.8.9.9.8.9.8.78 题 型. 推 导 数 值 求 积 公 式 和 数 值 微 分 公 式 或 其 系 数 及 余 项 或 截 断 误 差 的 表 达 式 方 法 : 应 用 已 有 的 数 值 求 积 公 式 和 数 值 微 分 公 式 或 Tylor 公 式 函 数 插 值 公 式 等 作 为 工 具 进 行 推 导 对 Guss 型 求 积 公 式 经 常 利 用 正 交 多 项 式 的 定 义 和 性 质 例 8 利 用 埃 尔 米 特 插 值 公 式 推 导 带 有 导 数 值 的 求 积 公 式 d [ ] [ ] 7 η η
解 : 构 造 三 次 Herte 插 值 多 项 式 H 满 足 插 值 条 件 : H H H H 则 H β β 其 中 Herte 插 值 基 函 数 β 又 由 三 次 Herte 插 值 多 项 式 的 插 值 余 项 公 式 得 H < < ε ε! 从 而 可 得 d d H d ε d d d d β β d η η 应 用 换 元 法 容 易 求 得 d d d β d β 故 有 ] [ ] [ d 7 η η 题 型. 数 值 求 积 公 式 和 数 值 微 分 公 式 的 收 敛 性 收 敛 速 度 计 算 效 率 计 算 结 果 的 精 度 分 析 等 方 法 : 应 用 与 该 问 题 有 关 的 概 念 性 质 和 方 法 求 解 例 9. 在 复 化 求 积 公 式 中 常 以 达 到 同 一 精 度 时 所 需 计 算 的 函 数 值 的 个 数 来 衡 量 求 积 公 式 的 效 率 计 算 量 越 小 效 率 越 高 试 以 积 分 d 为 例 比 较 Spso 法 则 和
Guss-Legedre 两 点 公 式 的 效 率 假 定 [ ] 有 解 : 如 果 把 积 分 区 间 [ ] 划 分 成 个 N 大 区 间 则 由 [ ] Spso 法 则 的 总 误 差 量 不 超 过 N N s 9 设 总 误 差 要 求 s ε 则 由 N s s ε 得 N N 9 88 间 上 需 要 计 算 的 函 数 个 数 是 个 故 总 计 算 量 为 ε 在 每 个 大 区 N 8 ε 而 根 据 个 节 点 的 Guss-Legedre 公 式 的 误 差 估 计 式 取 得 R G L R! [!] G L! [!] ξ ξ 对 一 般 积 分 区 间 [ ] 作 变 换 : t 则 有 d t dt F t dt 这 里 t t 注 意 到 [ ] 从 而 有 F t 6 6 于 是 对 积 分 d 点 Guss-Legedre 公 式 的 误 差 为! R G L F ξ! [ / N] 把 区 间 [ ] 划 分 成 个 N 大 区 间 的 总 误 差 为 : N 根 据 总 误 差 精 度 要 求 : [ / N] N ε 得 N ε
而 点 Guss-Legedre 公 式 在 每 个 小 区 间 上 只 需 计 算 两 个 函 数 值 故 总 计 算 量 为 N 7 ε 于 是 Spso 法 则 和 Guss_Legedre 两 点 公 式 的 总 计 算 量 之 比 为 :.: 8ε 7ε 可 见 Guss_Legedre 两 点 公 式 的 效 率 要 高 一 些 三 思 考 练 习 题 同 学 们 在 学 习 之 余 如 果 有 兴 趣 和 时 间 可 以 参 照 教 材 的 内 容 和 上 面 介 绍 的 基 本 思 考 方 式 独 立 做 做 下 面 的 问 题 巩 固 所 学 知 识. 确 定 下 列 求 积 公 式 的 待 定 参 数 使 其 代 数 精 度 尽 量 高 指 出 其 代 数 精 确 度 的 次 数 并 求 出 余 项 中 的 常 数 k d A A k ξ ξ. 设 某 物 体 垂 直 于 轴 的 可 变 截 面 的 面 积 为 s 且 s A C D 其 中 A B C D 是 任 意 常 数 试 证 明 : 此 物 体 界 于 和 间 的 体 积 V 由 下 式 给 出 : V [ s s s ] 6 并 应 用 上 述 结 论 推 出 计 算 球 球 台 的 体 积 公 式. 设 在 区 间 [ ] 上 可 积 证 明 : 对 于 积 分 d 的 复 化 梯 形 公 式 和 复 化 辛 卜 生 公 式 当 时 趋 于 积 分 值 d ; 能 否 证 明 龙 贝 格 序 列 { } k k R 当 k 时 趋 于 积 分 值 d?. 验 证 数 值 微 分 公 式 [ 6 6 ] 对 次 多 项 式 精 确 成 立 进 一 步 求 出 微 分 公 式 的 余 项