第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 导 数 和 微 分 是 微 积 分 学 的 重 要 概 念. 导 数 刻 画 的 是 函 数 相 对 于 自 变 量 的 变 化 快 慢 程 度, 而 微 分 则 给 出 自 变 量 有 微 小 改 变 量 时 函 数 改 变 量 的 近 似 值. 本 章 着 重 对 导 数 与 微 分 的 基 本 概 念 基 本 运 算 及 基 本 应 用 进 行 训 练. 3 畅 导 数 与 微 分 基 本 要 求 畅 理 导 数 和 微 分 的 概 念 及 其 几 何 意 义, 会 用 导 数 ( 变 化 率 ) 描 述 一 些 简 单 的 实 际 问 题. 畅 熟 练 掌 握 导 数 和 微 分 的 四 则 运 算 法 则 和 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式. 3 畅 熟 练 掌 握 复 合 函 数 隐 函 数 以 及 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 一 阶 导 数 的 求 法. 4 畅 了 高 阶 导 数 的 概 念, 熟 练 掌 握 初 等 函 数 的 二 阶 导 数 的 求 法. 5 畅 了 可 导 可 微 连 续 之 间 的 关 系. 重 点 : 导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义, 计 算 导 数 的 方 法, 初 等 函 数 的 二 阶 导 数 的 求 法. 难 点 : 求 复 合 函 数 和 隐 函 数 导 数 的 方 法. 3 畅 导 数 与 微 分 内 容 提 要 畅 导 数 的 概 念 () 导 数 设 函 数 y =f( ) 在 点 0 的 某 一 邻 域 内 有 定 义, 当 自 变 量 在 点 0 处 有 增 量 Δ( Δ 0), 0 +Δ 仍 在 该 邻 域 内 时, 相 应 地, 函 数 有 增 量 Δy =f( 0 +Δ) -f( 0 ), 若 极 限 Δy lim Δ 0 Δ Δ 0 f( 0 +Δ) -f( 0 ) Δ 存 在, 则 称 f() 在 点 0 处 可 导, 并 称 此 极 限 值 为 f() 在 点 0 处 的 导 数, 记 为 f ( 0 ), 也 可 记 为 y ( 0 ), y = 0 或 d =0 df 或, 即 d =0 Δy f ( 0 ) Δ 0 Δ f( 0 +Δ) -f( 0 ). Δ 0 Δ 若 极 限 不 存 在, 则 称 y =f() 在 点 0 处 不 可 导.
3 畅 导 数 与 微 分 内 容 提 要 43 若 固 定 0, 令 0 +Δ =, 则 当 Δ 0 时, 有 0, 所 以 函 数 f( ) 在 点 0 处 的 导 数 f ( 0 ) 也 可 表 示 为 () 左 导 数 与 右 导 数 函 数 f( ) 在 点 0 处 的 左 导 数 函 数 f( ) 在 点 0 处 的 右 导 数 f ( 0 ) 0 f() -f( 0 ) - 0. Δy f - ( 0 ) = lim Δ 0 -Δ = lim f( 0 +Δ) -f( 0 ). Δ 0 - Δ Δy f +( 0 ) = lim Δ 0 +Δ = lim f( 0 +Δ) -f( 0 ). Δ 0 + Δ 3 函 数 f() 在 点 0 处 可 导 的 充 分 必 要 条 件 是 f() 在 点 0 处 的 左 导 数 和 右 导 数 都 存 在 且 相 等. 畅 导 数 的 几 何 意 义 () 曲 线 的 切 线 在 曲 线 上 点 M 的 附 近, 再 取 一 点 M, 作 割 线 MM, 当 点 M 沿 曲 线 移 动 而 趋 向 于 M 时, 若 割 线 MM 的 极 限 位 置 MT 存 在, 则 称 直 线 MT 为 曲 线 在 点 M 处 的 切 线. () 导 数 的 几 何 意 义 函 数 y =f() 在 点 0 处 的 导 数 表 示 曲 线 y =f() 在 点 ( 0,f( 0 )) 处 的 切 线 斜 率. 关 于 导 数 的 几 何 意 义 的 3 点 说 明 : 曲 线 y =f( ) 上 点 ( 0,y 0 ) 处 的 切 线 斜 率 是 纵 坐 标 变 量 y 对 横 坐 标 变 量 的 导 数. 这 一 点 在 考 虑 用 参 数 方 程 表 示 的 曲 线 上 某 点 的 切 线 斜 率 时 尤 为 重 要. Δy 如 果 函 数 y =f() 在 点 0 处 的 导 数 为 无 穷 即 Δ lim 0 Δ =, 此 时 f( ) 在 0 处 不 可 导, 则 曲 线 y =f() 上 点 ( 0,y 0 ) 处 的 切 线 垂 直 于 轴. 3 函 数 在 某 点 可 导 几 何 上 意 味 着 函 数 曲 线 在 该 点 相 应 点 处 必 存 在 不 垂 直 于 轴 的 切 线. 3 畅 变 化 率 函 数 的 增 量 与 自 变 量 增 量 之 比, 在 自 变 量 增 量 趋 于 零 时 的 极 限, 即 为 导 数. 在 科 学 技 术 中 常 常 把 导 数 称 为 变 化 率 ( 即 因 变 量 关 于 自 变 量 的 变 化 率 就 是 因 变 量 关 于 自 变 量 的 导 数 ). 变 化 率 反 映 了 因 变 量 随 着 自 变 量 在 某 处 的 变 化 而 变 化 的 快 慢 程 度. 4 畅 可 导 与 连 续 的 关 系 若 函 数 y =f( ) 在 点 处 可 导, 则 y =f( ) 在 点 处 一 定 连 续. 但 反 过 来 不 一 定 成 立, 即 在 点 处 连 续 的 函 数 未 必 在 点 处 可 导. 5 畅 高 阶 导 数 () 二 阶 导 数 函 数 y =f() 的 一 阶 导 数 y =f ( ) 仍 然 是 的 函 数, 则 将 一 阶 导 数 f () 的 导 数 ( f ( ) ) d y 称 为 函 数 y =f() 的 二 阶 导 数, 记 为 f ( ) 或 y 或, 即 d y =(y ) 或 d y = d d d d.
44 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 () n 阶 导 数 ( n -) 阶 导 数 的 导 数 称 为 n 阶 导 数, 当 n =3,4,,( n -), n 时, 分 别 记 f( ) 的 3,4,, ( n -), n 阶 导 数 为 二 阶 及 二 阶 以 上 的 导 数 称 为 高 阶 导 数. 6 畅 微 分 () 微 分 的 定 义 f 碶 ( ), f ( 4 ) ( ),, f ( n - ) (),f ( n) () 或 y 碶,y ( 4 ),,y ( n - ),y ( n) d 3 y y 或, d4,, d n - y y, dn. d 3 d 4 d n - d n 如 果 函 数 y =f() 在 点 处 的 改 变 量 Δy =f( +Δ) -f( ) 可 以 表 示 成 Δy =AΔ +o(δ), 其 中 o( Δ) 是 比 Δ(Δ 0) 高 阶 的 无 穷 小, 则 称 函 数 y =f( ) 在 点 处 可 微, 称 AΔ 为 Δy 的 线 性 主 部, 又 称 AΔ 为 函 数 y =f( ) 在 点 处 的 微 分, 记 为 或 df( ), 即 =AΔ. () 微 分 的 计 算 df() =f ( ) d, 其 中 d =Δ, 为 自 变 量. (3) 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 对 于 函 数 f( u), 不 论 u 是 自 变 量 还 是 因 变 量, 总 有 df( u) =f (u) du 成 立. 7 畅 求 导 公 式, 微 分 公 式 表 3 畅 给 出 了 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式 及 微 分 公 式. 对 求 导 公 式 作 如 下 说 明 : () 求 导 公 式 ( f()) 表 示 函 数 f( ) 对 自 变 量 的 导 数, 即 (f() ) = df() d =(f() ). () 将 每 个 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式 的 左 右 两 边 的 自 变 量 同 时 换 成 某 一 函 数 后, 所 得 新 公 式 仍 然 成 立, 即 若 (f( )) =h( ) 成 立, 则 (f(φ() ) φ( ) =h(φ( )) 也 成 立. 8 畅 求 导 法 则, 微 分 法 则 表 3 畅 给 出 了 求 导 法 则 微 分 法 则 复 合 函 数 求 导 法 则 参 数 方 程 求 导 法 则 隐 函 数 求 导 法 对 数 求 导 法. 9 畅 微 分 近 似 公 式 () 微 分 进 行 近 似 计 算 的 理 论 依 据 : 对 于 函 数 y =f(), 若 在 点 0 处 可 导 且 导 数 f ( 0 ) 0, 则 当 Δ 很 小 时, 函 数 的 增 量 近 似 等 于 函 数 的 微 分, 即 有 近 似 公 式 Δy. () 用 微 分 进 行 近 似 计 算 的 4 个 近 似 公 式 : 设 函 数 y =f() 在 点 0 处 可 导 且 导 数 f ( 0 ) 0, 当 Δ 很 小 时, 有 近 似 公 式 Δy, 即 令 0 +Δ =, 则 特 别 地, 当 0 =0, 很 小 时, 有 f( 0 +Δ) -f( 0 ) f ( 0 )Δ, f( 0 +Δ) f( 0 ) +f ( 0 )Δ. f( ) f( 0 ) +f ( 0 ) ( - 0 ). 3 f( ) f(0) +f (0). 4
3 畅 导 数 与 微 分 内 容 提 要 45 c =0 (c 为 常 数 ) 基 本 初 等 函 数 求 导 公 式 ( u ) =u u - (u 为 实 数 ) (a ) =a ln a (e ) =e (log a ) = ln a (ln ) = (sin ) =cos (cos ) =-sin (tan ) =sec (cot ) =-csc (sec ) =sec tan (csc ) =-csc cot (arcsin ) = - (arccos ) =- (arctan ) = + - (arccot ) =- + 表 3 畅 求 导 与 微 分 公 式 表 dc =0 (c 为 常 数 ) 基 本 初 等 函 数 微 分 公 式 d( u ) =u u - d (u 为 实 数 ) d(a ) =a ln ad d(e ) =e d d(log a ) = ln a d d(ln ) = d d(sin ) =cos d d(cos ) =-sin d d(tan ) =sec d d(cot ) =-csc d d(sec ) =sec tan d d(csc ) =-csc cot d d(arcsin ) = - d d(arccos ) =- - d d(arctan ) = + d d(arccot ) =- + d 求 导 法 则 表 3 畅 [u() ±v()] =u () ±v () 求 导 与 微 分 法 则 表 微 分 法 则 d[u() ±v()] =du() ±dv() 函 数 的 四 则 运 算 求 导 法 则 [u()v()] =u ()v() +u()v () [c u()] =c u () (c 为 常 数 ) u() v() (v() 0) v() = u ()v() -u()v () v () =- v () v () (v() 0) 函 数 的 四 则 运 算 微 分 法 则 d[u()v()] =v()du() +u()dv() d[cu()] =cdu() (c 为 常 数 ) d u() v() (v() 0) d v() -u()dv() =v()du() v () =-dv() v () (v() 0) 复 合 函 数 求 导 法 则 设 y =f(u), u =φ(), 则 复 合 函 数 y =f[φ()] 的 导 数 为 d = du du d 复 合 函 数 微 分 法 则 设 函 数 y =f(u), u =φ(), 则 函 数 y = f(u) 的 微 分 为 =f (u)du, 此 式 又 称 为 一 阶 微 分 形 式 不 变 性
46 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 续 表 参 数 方 程 确 定 的 函 数 的 导 数 若 参 数 方 程 =φ(t) y =ψ(t), 确 定 了 y 是 的 函 数, 则 d = dt d dt 或 d =ψ (t) φ (t) 反 函 数 求 导 法 则 设 y =f() 是 =φ(y) 的 反 函 数, 则 f () = φ (y) (φ (y) 0) 或 d = d 隐 函 数 求 导 法 对 数 求 导 法 设 函 数 y =f() 由 方 程 F(,y) =0 确 定, 该 方 程 的 两 边 分 别 对 求 导 ( 求 导 过 程 中 一 定 要 注 意 y 是 的 函 数 ), 即 可 得 到 关 于 的 方 程, 从 中 出 d d, 即 为 y 对 的 导 数 对 于 函 数 y =f(), 两 边 同 时 取 自 然 对 数 后, 再 利 用 隐 函 数 求 导 法, 对 方 程 两 边 求 导 的 方 法 即 为 对 数 求 导 法. 对 数 求 导 法 适 用 于 函 数 f() 的 表 达 式 为 幂 指 函 数 或 多 个 因 式 之 积 ( 之 商 ) 的 形 式, 或 为 乘 方 开 方 的 形 式. 通 过 取 对 数 可 把 乘 幂 化 成 乘 积, 把 乘 积 化 成 相 加, 从 而 简 化 求 导 运 算 3 畅 3 导 数 与 微 分 基 本 训 练 畅 基 本 概 念 训 练 导 数 与 微 分 是 本 章 中 的 两 个 重 要 基 本 概 念. 导 数 的 定 义 一 般 用 于 讨 论 函 数 在 某 一 点 的 可 导 性, 尤 其 是 分 段 函 数 在 分 段 点 的 可 导 性, 要 通 过 导 数 的 定 义 进 行 讨 论. 对 于 导 数 概 念 的 理, 还 要 把 握 导 数 的 几 何 意 义 及 物 理 意 义, 导 数 与 连 续 的 关 系. 对 于 微 分 概 念, 要 明 确 微 分 存 在 的 条 件 是 函 数 的 改 变 量 可 以 表 达 成 Δy =AΔ +o( Δ), 即 函 数 的 改 变 量 可 以 表 示 成 两 部 分, 一 部 分 是 关 于 Δ 的 线 性 函 数, 另 一 部 分 是 比 Δ 高 阶 的 无 穷 小 o( Δ). 微 分 的 形 式 为 =f ( ) d, 即 微 分 为 导 数 f ( ) 与 自 变 量 微 分 d 的 乘 积, 由 此, 导 数 的 表 示 也 可 理 为 函 数 微 分 与 自 变 量 微 分 d 之 商. d 例 回 答 下 列 问 题 : () 函 数 f() 在 点 0 处 的 连 续 性 与 可 导 性 有 何 关 系? () 表 达 式 f ( 0 ) =[f( 0 ) ], f ( 0 ) =f () =0, f +( 0 ) =f ( + 0 ) 是 否 成 立? (3) 几 何 上, f ( 0 ) 表 示 曲 线 y =f( ) 在 ( 0, f ( 0 )) 处 的 切 线 斜 率, 当 f ( 0 ) =0 及 f ( 0 ) = 时, 其 切 线 有 何 特 征? d 相 关? (4) 函 数 f( ) 在 = 0 的 导 数 f ( 0 ) 与 微 分 f ( 0 ) d 之 间 有 何 关 系? 它 们 是 否 都 与 0 和 (5) 试 在 图 3 -, 图 3 - 中 标 明 Δy,, Δy -, 并 指 明 其 符 号.
3 畅 3 导 数 与 微 分 基 本 训 练 47 答 () 由 可 导 的 必 要 条 件 知, 若 f( ) 在 0 处 可 导, 则 f( ) 在 0 必 连 续, 即 连 续 是 可 导 的 必 要 条 件 ; 反 之, 连 续 不 一 定 可 导. 如 f() = 在 =0 连 续, 但 它 在 =0 不 可 导. () 表 达 式 f ( 0 ) =[f( 0 ) ] 不 成 立, 因 为 左 端 表 示 f( ) 在 0 点 的 导 数, 即 先 求 导, 再 求 值, 其 结 果 不 一 定 为 零 ; 右 端 表 示 函 数 值 f( 0 ) 的 导 数, 它 为 零. 表 达 式 f ( 0 ) =f ( ) =0 成 立, 因 为 f ( 0 ) 为 f( ) 在 = 0 的 导 数, 同 时 也 为 导 函 数 f () 在 = 0 处 的 函 数 值. 表 达 式 f +( 0 ) =f ( + 0 ) 不 成 立, 因 为 f +( 0 ) 表 示 f() 在 0 处 的 右 导 数, 而 f ( + 0 ) 表 示 导 函 数 f () 在 0 处 的 右 极 限, 这 是 两 个 不 同 的 概 念, 二 者 不 一 定 相 等. 如 f() = arctan, 0, 0, =0, 可 验 证 f +(0) =+, 而 f (0 + ) =-, 二 者 不 相 等. (3) 几 何 上, 当 f ( 0 ) =0 时, 曲 线 y =f ( ) 在 ( 0,f ( 0 )) 处 的 切 线 平 行 于 轴, 当 f ( 0 ) = 时, 曲 线 y =f() 在 ( 0,f( 0 )) 处 的 切 线 垂 直 于 轴. (4) 对 于 函 数 y =f() 来 讲, 其 可 导 与 可 微 是 等 价 的, 且 =f ( 0 ) d, 但 导 数 与 微 分 是 两 个 完 全 不 同 的 概 念 : 导 数 f ( 0 ) 是 函 数 增 量 与 自 变 量 增 量 比 的 极 限, 是 只 与 0 有 关 的 一 个 确 定 值 ; 而 微 分 =f ( 0 )d 是 自 变 量 增 量 Δ =d 的 线 性 函 数, 是 函 数 增 量 Δy 的 近 似 值, 它 同 时 依 赖 于 0 和 Δ. 在 几 何 上, f ( 0 ) 为 曲 线 y =f( ) 在 ( 0,f( 0 ) ) 处 的 切 线 斜 率, 而 表 示 曲 线 y =f() 在 点 ( 0,f( 0 ) ) 处 的 切 线 纵 坐 标 增 量. (5) 如 图 3 -, 图 3 - 畅 图 3 - 图 3 - f( 0 +) -f( 0 -) 例 设 f() 在 0 处 可 导, 求 lim 0. f( 0 +) -f( 0 -) lim 0 0 [ f( 0 +) -f( 0 ) ] +[f( 0 ) -f( 0 -)]
48 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 f( 0 +) -f( 0 ) f( 0 -) -f( 0 ) 0 + lim 0 - =f ( 0 ) +f ( 0 ) =3f ( 0 ). 练 习 设 f ( 0 ) 存 在, 由 导 数 定 义 指 出 下 列 极 限 中 A 表 示 什 么? f( 0 +Δ) -f( 0 ) () Δ lim 0 =A; Δ f() () lim 0 =A, 其 中 f(0) =0, 且 f (0) = 畅 说 明 导 数 定 义 有 两 种 等 价 形 式 : f( 0 +Δ) -f( 0 ) f( ) -f( 0 ) f ( 0 ) Δ 0, f ( 0 ) Δ 0. - 0 可 见, 导 数 实 质 上 是 一 种 特 殊 形 式 的 函 数 极 限. 对 于 极 限 而 言, 极 限 值 与 自 变 量 用 什 么 字 母 表 示 无 关, 因 此, 在 利 用 导 数 定 义 表 达 式 时, 必 须 凑 成 导 数 定 义 形 式 再 求 极 限. 即 有 及 f( 0 +h) -f( 0 ) f( 0 +t) -f( 0 ) f ( 0 ) h 0 h t 0. t f( 0 +Δ) -f( 0 ) f( 0 +AΔ) -f( 0 ) f ( 0 ) Δ 0 Δ Δ 0. AΔ 例 3 讨 论 下 列 函 数 在 =0 处 的 连 续 性 和 可 导 性 : () f( ) = -cos, 0, 0, =0; () f( ) = ( -). -cos () 由 于 lim 0 f() 0 0 =0, 所 以 有 lim 0 f( ) =f(0), 因 此 函 数 f() 在 =0 处 连 续. 又 由 于 f( Δ) -f(0) -cos(δ) ( Δ) f (0) Δ 0 Δ Δ 0 (Δ) Δ 0 =, ( Δ) 所 以, f() 在 =0 处 连 续 且 可 导. -, () 由 于 f() = ( -) = 0, 且 -, <0, lim f( ) ( ) =0, lim 0-0 - - 0 + f( ) -) =0, 0 + ( 即 lim f( ) f() =f(0) =0, 因 此, 函 数 f() 在 =0 处 连 续. 0-0 + 又 由 于 f() -f(0) - lim =, 0 - -0 0 - f() -f(0) lim 0 + -0 0 + - =-,
3 畅 3 导 数 与 微 分 基 本 训 练 49 故 f( ) 在 =0 处 不 可 导. sin( -),, 练 习 讨 论 函 数 f( ) = 的 可 导 性. ln, > 例 4 指 出 下 列 法 中 的 错 误, 并 加 以 纠 正 : () 设 φ( ) 在 = 0 处 连 续, 求 F() =φ()sin ( - 0 ) 在 = 0 处 的 导 数 F ( 0 ). 因 为 F () =φ ( )sin ( - 0 ) +φ( )cos ( - 0 ), 所 以 F ( 0 ) =φ( 0 ). sin () 讨 论 f() =, 0, 在 =0 处 的 可 导 性. 0, =0 因 为 f () =sin -cos, 当 =0 时, f ( ) 不 存 在, 所 以 f( ) 在 =0 处 不 可 导. 说 明 () 上 述 法 中 在 只 知 φ() 在 = 0 处 连 续, 而 不 能 确 定 φ( ) 在 = 0 处 可 导 的 情 况 下 进 行 求 导, 因 此 出 现 错 误. () 对 于 分 段 函 数 在 分 段 点 的 可 导 性 讨 论, 必 须 由 导 数 定 义 确 定, 不 能 按 上 述 方 法 直 接 求 导. 正 确 法 如 下. () 由 导 数 定 义 及 φ() 在 = 0 处 连 续, 有 F() -F( 0 ) φ()sin ( - 0 ) sin ( - 0 ) F ( 0 ) 0-0 0-0 φ() lim 0 =φ( 0 ). 0-0 () 由 导 数 定 义 有 所 以, f() 在 =0 处 可 导, 且 f (0) =0 畅 畅 基 本 理 论 训 练 sin -0 f (0) 0-0 0 sin =0, 函 数 的 和 差 积 商 的 导 数, 复 合 函 数 求 导 法 则, 反 函 数 求 导 法 则 是 本 讲 中 的 三 个 基 本 定 理, 这 三 个 定 理 是 确 定 初 等 函 数 导 数 的 基 础. 什 么? 例 5 可 导 函 数 的 和 差 积 商 ( 分 母 不 为 零 ) 及 复 合 函 数 仍 为 可 导 函 数, 反 之 如 何? 为 反 之 不 一 定 成 立, 各 举 反 例 如 下 : () 取 f() =, g( ) = 碢, 则 f( ) ±g( ) =0 可 导 ( R), 但 f( ) 和 g( ) 在 =0 处 不 可 导. 可 导. 不 可 导. () 取 f() =g() =, f()g() = 可 导 ( R), 但 f() 和 g() 在 =0 处 不 可 导. (3) 取 f( ) =g( ) = +, f() g() = 在 =0 处 可 导, 但 f( ) 和 g( ) 在 =0 处 不 (4) 取 f(u) =u, u =φ( ) =, 则 f [ φ() ] = 可 导 ( R), 但 u = 在 =0 处
50 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 思 考 下 列 问 题 矛 盾 出 在 何 处? 为 什 么? 用 导 数 运 算 法 则 求 f() = 5 sin 的 导 数 得 f ( ) = 5-3 5 sin + 5 cos, 从 而 得 f (0) 不 存 在 ; 然 而, 由 导 数 定 义 得 : 3 畅 基 本 方 法 训 练 f(0 +Δ) -f(0) f( Δ) f (0) Δ 0 Δ Δ 0 Δ 例 6 求 下 列 函 数 的 导 数. ( -) () y = +ln ; ()y = 3-4 +4 - +ln, 说 明 Δ 0 (Δ) Δ 0 (Δ) 5 sin Δ Δ lim 0 =0, 即 f (0) 存 在. Δ () y =sin ( - ). 5 sin Δ y = 3 - - - -3 +ln + = 3 - - +ln + 畅 利 用 导 数 的 四 则 运 算 法 则 求 导 数, 必 须 熟 记 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式. 在 使 用 求 导 法 则 之 前 要 先 对 函 数 进 行 化 简 然 后 再 求 导, 求 导 之 后 将 结 果 化 成 与 原 题 相 近 的 形 式. () 将 函 数 y =sin ( - ) 分 成 基 本 初 等 函 数 y =u, u =sin v, v = -. d = du du dv dv - =ucos v =-sin ( - )cos ( - ) d =- 说 明 Δ sin ( - ). 复 合 函 数 求 导 法 则 是 求 导 法 的 核 心. 在 运 用 复 合 函 数 求 导 法 则 求 导 数 时, 首 先 要 分 清 复 合 函 数 是 由 哪 些 基 本 初 等 函 数 复 合 而 成, 这 是 正 确 使 用 复 合 函 数 求 导 法 则 的 关 键 ; 其 次 是 由 外 到 里, 逐 层 求 导. 在 使 用 时 可 以 如 题 () 写 出 中 间 变 量 再 求 导, 也 可 不 写 中 间 变 量 直 接 求 导. 练 习 求 下 列 函 数 的 导 数. () y =( +) e sin +cos ; () y = ; + (3) y =e arctan ; (4) y = 3 sin ln( -). 例 7 答 下 列 各 题. () 设 f() =( -)( -) ( -00), 求 f (0); () 设 f (cos ) =cos, 求 f () ; (3) 设 函 数 φ( u) 可 微, 求 函 数 y = ln[ φ(sin )] 的 微 分. () 方 法 一 由 乘 积 求 导 法 则, 有 f () =( -)( -) ( -00) +( -) ( -00) + +( -) ( -99), 所 以 f (0) =00!. 方 法 二 由 导 数 定 义, 有 f() -f(0) f (0) 0-0 0 ( -) ( -) ( -00) =00!.
3 畅 3 导 数 与 微 分 基 本 训 练 5 () 因 为 f (cos ) =cos =cos -, 所 以 f ( ) = -, 其 中 畅 故 f ( ) =4, 畅 (3) 方 法 一 因 φ(u) 可 微, 由 复 合 函 数 求 导 法 则, 有 y =ln[φ( sin )] + φ (sin ) cos, φ(sin ) 故 = ln[ φ(sin ) ] + cos φ (sin ) φ(sin ) d. 方 法 二 由 微 分 运 算 法 则, 有 =ln[φ(sin )]d + dln[φ(sin )] =ln[φ( sin )]d + d[φ(sin ) ] φ(sin ) φ ( sin ) =ln[φ(sin ) ]d + φ(sin ) cos d = ln[φ(sin )] φ (sin ) cos + d. φ( sin ) 例 8 设 y -e =sin y, 求 d. 方 法 一 方 程 两 边 对 求 导, 得 y + y -e -y) =cos y y, 所 以 y = (e -cos y. 方 法 二 方 程 两 边 微 分, 得 yd + -e -y) d =cos y, 所 以 = (e -cos y d, 故 y = ( -y) e -cos y. 线 方 程. 练 习 设 y =f() 由 方 程 3 +y 3 -sin 3 +6y =0 所 确 定, 试 求 y =f( ) 在 (0,f(0)) 处 的 切 说 明 对 由 方 程 F(,y) =0 所 确 定 的 函 数 y =y( ), 求 导 法 有 : 方 程 两 边 对 求 导, 要 注 意 需 要 把 y 视 为 的 函 数, 按 照 复 合 函 数 求 导 法 则 把 y 视 为 中 间 变 量 进 行 求 导 ; 利 用 微 分 形 式 不 变 性, 对 方 程 两 边 求 微 分, 然 后 出 d. 例 9 设 方 程 =a(cos t +tsin t), d y 确 定 y =y(), 求. y =a(sin t -tcos t) d sin t -tcos t)] 方 法 一 由 参 数 方 程 求 导 公 式, 得 =[a( d [a( cos t +tsin t)] =sin t =tan t. cos t 由 复 合 函 数 及 反 函 数 求 导 法 则, 得 方 法 二 d y = d d d d =d dt d 由 导 数 为 微 分 之 商, 可 得 dt tan t) =d( d dt d dt = t sec atcos t = atcos 3 t. sin t -tcos t) dt =a( d a( cos t +tsin t) dt =sin t =tan t, cos t
5 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 练 习 说 明 求 曲 线 d y = d d d d = d d d d( tan t) tdt = = sec d atcos tdt = atcos 3 t. =t +cos t d y 在 t =0 处 的 切 线 方 程 及 y =t +sin t d. t =0 求 参 数 方 程 确 定 函 数 的 导 数, 既 可 以 用 复 合 函 数 与 反 函 数 求 导 法 则, 也 可 以 用 微 分 之 商 来 做, 后 者 比 前 者 更 简 单 方 便. 例 0 求 下 列 函 数 的 导 数. + () y = ( +) e ; () y = sin + sin. () 由 ln y = ln( +) -ln( +) - 求 导, 得 + 以 y = ( +) e + - 4 + -. sin () 令 y = sin, y = sin, 则 ln y =sin ln, 求 导 得 y y cos ln + sin. 由 ln y = sin ln =y ln, 求 导 得 y =y ln +y y. 所 以 y =y y ln +y 故 y =y +y = sin cos ln + sin 练 习 求 下 列 函 数 的 导 数. () y = + 说 明 ; () y = = sin sin cos ln + sin + sin sin +(3 -) 4 ( +) 5. cos ln + sin y y = + - 4 + -, 所 =cos ln + sin, 所 以 y = ln + sin. ln +. 当 函 数 表 达 式 由 多 项 式 的 积 商 幂 组 成 以 及 函 数 为 幂 指 函 数 时, 通 常 应 用 对 数 求 导 法, 通 过 先 对 函 数 取 对 数 再 求 导 来 简 化 函 数 的 求 导. 例 求 函 数 y = ln sin - 的 微 分. 利 用 微 分 运 算 法 则, 得 =ln sin - + dln sin - d =ln sin - d + sin - dsin - =ln sin - d + sin - cos - - d = ln sin - -cot - d.
3 畅 3 导 数 与 微 分 基 本 训 练 53 练 习 求 下 列 函 数 的 微 分. () y = sin ln( + ); () y = +e y. 说 明 求 函 数 的 微 分 时, 可 以 先 求 函 数 的 导 数 f ( ), 然 后 写 出 微 分 =f ( ) d; 也 可 以 直 接 应 用 微 分 运 算 法 则 来 求 微 分. y 碶 = 3 例 设 y =f() =ln 3 + -, 求 f ( 0 ) (0). y = 3 [ ln( +) -ln( -)], y = 3 - ( -) 3 ( +) 3 ( -),, n) =- 3 y( 3 练 习 () 设 y = -5 +4, 求 y ( n) ; + - - -, y =- 3 - ( -) ( +) ( -), (n -)! - ( -) n (n -)! ( +) n ( -). 故 f ( 0 ) (0) =0. n () 设 f() 有 任 意 阶 导 数, 且 f () =f ( ), 证 明 : f ( n) () =n! [ f()] n +. 例 3 求 tan 36 的 近 似 值. 由 近 似 公 式 f() f( 0 ) +f ( 0 )( - 0 ), 取 f() =tan, 0 =35 = 3 π, =36 = 4 35 + = 3π 4 + π 80, 得 tan 36 =tan 3π 4 + π 80 tan 3π 4 +sec 3π 4 π 80-0 畅 97 畅 练 习 求 函 数 值 sin 9, arcsin 0 畅 500 的 近 似 值. 说 明 求 函 数 值 的 近 似 值 时, 常 用 的 公 式 有 () f( ) f( 0 ) +f ( 0 )( - 0 )( 为 0 附 近 的 点 ); () f( ) f(0) +f (0) ( 很 小 ). 应 用 这 组 公 式 就 可 以 计 算 出 函 数 值 的 近 似 值. 4 畅 实 际 问 题 应 用 例 4( 钟 表 的 误 差 问 题 ) 对 于 机 械 挂 钟, 由 于 受 季 节 性 温 度 的 影 响, 其 摆 长 会 随 着 温 度 的 变 化 而 涨 缩, 因 此 影 响 钟 表 的 准 确 程 度, 给 钟 表 带 来 一 定 的 误 差. 现 假 设 有 一 机 械 挂 钟, 其 钟 摆 的 周 期 为 s, 在 冬 季 受 低 温 度 的 影 响, 摆 长 缩 短 了 0 畅 0 cm, 试 问 这 只 挂 钟 每 天 大 约 快 多 少? 由 于 挂 钟 的 钟 摆 为 单 摆 运 动, 因 此 符 合 单 摆 运 动 规 律 T =π l g, 其 中 T 为 单 摆 运 动 周 期, l 为 摆 长, g 为 重 力 加 速 度, g =980 cm /s 畅 dt 因 为 dl = π gl, 所 以 当 Δl 很 小 时, ΔT dt = π gl Δl. 当 T = s 时, 即 =π l g, 有 l = g (π) cm. 当 l 有 改 变 量 Δl =-0 畅 0 cm 时, 相 应 T 的 改 变 量 ΔT 为 ΔT dt = g π g (π) ( -0 畅 0) = π g ( -0 畅 0) -0 畅 000 (s).
54 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 这 就 是 说, 当 摆 长 缩 短 了 0 畅 0 cm, 钟 摆 的 周 期 相 应 缩 短 了 约 0 畅 000 s, 即 每 秒 约 快 0 畅 000 s, 从 而 每 天 约 快 0 畅 000 4 60 60 =7 畅 8 s. 3 畅 4 导 数 与 微 分 典 型 习 题 分 析 及 答 例 5 判 断 正 误. () 若 函 数 y =f() 在 点 0 可 导, 则 f() 在 点 0 一 定 可 导 ; () 若 f() 在 点 0 可 导, 则 f() 在 点 0 一 定 可 导 ; (3) 初 等 函 数 在 其 定 义 域 内 一 定 可 导 ; (4) 若 y =f() 在 ( -a,a) 内 可 导 且 为 奇 ( 偶 ) 函 数, 则 在 该 区 间 内 f () 为 偶 ( 奇 ) 函 数 ; (5) 若 y =f() 在 点 0 可 微, 则 f() 在 点 0 也 一 定 可 导. () 不 正 确. 如 f( ) =, 在 =0 处 可 导, 但 f( ) = 在 =0 处 不 可 导. () 不 正 确. 如 f( ) = 在 =0 处 不 可 导., 0, 有 f() =, 显 然 f( ) 在 =0 处 可 导, 但 f( ) -, <0 (3) 不 正 确. 如 f( ) = 3, =0 为 定 义 域 内 的 点, 但 f( ) = 3 在 =0 处 不 可 导. (4) 正 确. 若 f() 为 奇 函 数, 即 f( -) =-f(), 由 导 数 定 义, 有 即 f () 为 偶 函 数. f( ) 为 偶 函 数 的 情 形 类 似. f( - +Δ) -f( -) -f( -Δ) +f() f ( -) Δ 0 Δ Δ 0 Δ f [ +( -Δ)] -f() Δ 0 =f (), -Δ (5) 正 确. 因 为 对 于 f( ), 可 微 与 可 导 等 价. 例 6 填 空. () 曲 线 y =ln 上 点 (,0) 处 的 切 线 方 程 为 ; () 一 质 点 作 变 速 直 线 运 动, 且 路 程 与 时 间 的 函 数 关 系 为 s( t) =t +t, 则 其 运 动 速 度 v(t) =, 加 速 度 a(t) = ; f(3 -h) -f(3) (3) 已 知 f (3) =, 则 lim h 0 = ; h (4) d = + d; (5) 若 f(u) 可 导, 则 y =f( sin ) 的 导 数 为. () 因 为 y = =, 所 以 切 线 方 程 为 y = - 畅 = = () v(t) =s (t) =t +, a(t) =v (t) = 畅 (3) lim h 0 f(3 -h) -f(3) h =- lim f[3 +( -h)] -f(3) =- h 0 -h f (3) =- 畅
3 畅 4 导 数 与 微 分 典 型 习 题 分 析 及 答 55 (4) dln( +) = + d. (5) y =f (sin ) (sin ) =f ( sin )cos. 例 7 求 曲 线 +y - +3y + =0 平 行 于 直 线 +y - =0 的 切 线. 分 析 要 确 定 曲 线 的 切 线 方 程, 需 要 先 确 定 切 点 坐 标 及 切 线 斜 率, 因 为 切 点 在 曲 线 上, 切 点 处 的 导 数 与 直 线 +y - =0 的 斜 率 相 等, 据 此 即 可 求 出 切 点 坐 标 及 切 线 方 程. 所 以 由 设 所 求 切 线 的 切 点 坐 标 为 ( 0,y 0 ), 对 方 程 +y - +3y + =0 两 边 求 导, 得 y ( 0,y 0 ) +yy - +3y =0, y = - 3 +y. = - 0 =-, 3 +y 0 得 切 点 坐 标 为 (, - ) 或 ( 0, - ), 故 切 线 方 程 为 y + 0 +y 0-0 +3y 0 + =0 = ( -) 或 y + =, 即 -y -5 =0 或 -y - =0 畅 例 8 分 析 f() 设 f() 在 =0 处 连 续, 且 lim 0 =A(A 为 常 数 ), 证 明 : f() 在 =0 处 可 导. f() -f(0) f( ) 要 证 f() 在 =0 处 可 导, 由 定 义 需 证 极 限 lim 0 存 在. 由 于 lim -0 0 =A, 故 只 要 证 f(0) =0 即 可. 证 f( ) f( ) 因 为 lim 0 =A, 所 以 lim 0 f( ) 0 =A 0 =0 畅 因 为 f( ) 在 =0 处 连 续, 所 以 f(0) 0 f( ) =0 畅 故 即 f( ) 在 =0 处 可 导, 且 f (0) =A. 例 9 f() -f(0) f() f (0) 0-0 0 =A, 有 一 圆 锥 形 容 器, 高 为 0 m, 底 半 径 为 4 m, 现 以 5 m 3 /min 的 速 度 把 水 注 入 该 容 器, 求 当 水 深 5 m 时 水 面 上 升 的 速 度 : () 圆 锥 顶 点 在 上 ; () 圆 锥 顶 点 在 下. 分 析 dh 求 水 面 上 升 的 速 度, 即 求 dt ( 这 里 h 表 示 水 面 高 度 ), 为 此 需 要 先 建 立 体 积 与 高 度 dh 之 间 的 函 数 关 系, 然 后 再 确 定 水 面 上 升 的 速 度 dt. 设 t 时 刻 水 面 的 高 度 为 h(t), 水 的 体 积 为 V( t). r () 当 圆 锥 顶 点 在 上 时 ( 如 图 3-3), 由 4 =0 -h 0, 得 r =4-5 h, 故 V(t) = 3 π 4 0-3 πr (0 -h) = 60 3 π- 3 π 4-5 h (0 -h) 因 为 = 3 48h -4 5 h + 4 5 h3 π. dv dt = 3 dh 48 dt -48 5 h dh dt + 5 h dh dt π,
56 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 所 以 当 h =5m, dv dt =5 /min 时, 由 上 式 可 得, dh = 5 m3 dt h =5 4π 0 畅 398 (m /min). 因 为 图 3-3 图 3-4 () 当 圆 锥 顶 点 在 下 时 ( 如 图 3-4), 由 r 4 =h 0, 得 r = 5 h, 故 V(t) = 3 πr h = 3 π 5 h h = 4π 75 h3 畅 dv dt =4π 5 h dh 所 以 当 h =5 m, dv dt =5 m3 /min 时, 由 上 式 可 得, dh dt =5 4π 0 畅 398 (m /min). 例 0 dt, 设 扇 形 的 圆 心 角 α=60, 半 径 R =00 cm, 如 果 R 不 变, α 减 少 30, 问 扇 形 面 积 大 约 改 变 了 多 少? 又 如 果 α 不 变, R 增 加 cm, 问 扇 形 面 积 大 约 改 变 了 多 少? 扇 形 的 面 积 为 S = αr. () 当 R 固 定 不 变, R 0 =00 cm, α 从 α 0 =60 = π 3 ΔS αr 0 α= π 3 改 变 Δα=-30 =- π 时, 有 360 Δα= 00 - π 360-43 畅 63( cm ). () 当 α 固 定 不 变, α 0 =60 = π 3, R 从 R 0 =00 cm 改 变 ΔR = cm 时, 有 ΔS α0 R R =00 ΔR =α 0 RΔR = π 3 00 04 畅 7(cm ). 3 畅 5 导 数 与 微 分 习 题 详 畅 根 据 导 数 的 定 义 求 下 列 函 数 的 导 数. () f( ) = -, 计 算 f (5); () f() =cos, 求 f (). () Δy =f( +Δ) -f() = ( +Δ) - - - ( +Δ) - -( -) = ( +Δ) - + -.
3 畅 5 导 数 与 微 分 习 题 详 57 Δy lim Δ 0 Δ Δ 0 所 以 f (5) = 5 - = 3. Δ ( +Δ) - + - Δ f( +Δ) -f() cos( +Δ) -cos () f ( ) Δ 0 Δ Δ 0 Δ Δ 0 =-lim Δ 0 =-sin. 所 以 ( cos ) =-sin. Δ -sin + Δ Δ sin Δ 畅 如 果 f() 在 点 0 处 可 导, 求 f( 0 -h) -f( 0 ) () lim h 0 ; h sin Δ sin + Δ f( 0 +αh) -f( 0 +βh) () lim h 0 ( 其 中 α,β 为 常 数 ). h Δ 0 ( +Δ) - + - = -. f( 0 -h) -f( 0 ) f( 0 -h) -f( 0 ) () lim h 0 =-lim h h 0 =-f ( 0 ); -h () lim h 0 f( 0 +αh) -f( 0 +βh) h h 0 f( 0 +αh) -f( 0 ) -[ f( 0 +βh) -f( 0 )] h f( 0 +αh) -f( 0 ) f( 0 +βh) -f( 0 ) =αlim h 0 -βlim αh h 0 βh =αf ( 0 ) -βf ( 0 ) =(α-β)f ( 0 ). 3 畅 求 下 列 曲 线 在 指 定 点 的 切 线 方 程 和 法 线 方 程. () y = 在 点 (,); () y = 3 在 点 (,8). () 因 为 y (, ) =- (, ) =-, 即 曲 线 y = 在 点 (,) 处 的 切 线 斜 率 为 k =-, 故 切 线 方 程 为 y - =-( -), 即 +y - =0, 法 线 方 程 为 y - = -, 即 -y =0. () 函 数 y = 3 的 导 数 y =3, 由 导 数 的 几 何 意 义 可 知, 曲 线 y = 3 在 点 (,8) 处 的 切 线
58 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 斜 率 为 y =3 =, 所 以, 所 求 的 切 线 方 程 = = 即 法 线 的 斜 率 为 -, 则 法 线 方 程 为 y -8 =( -), y = -6, y -8 =- ( -). 即 +y -98 =0. 4 畅 一 金 属 圆 盘, 当 温 度 为 t 时, 半 径 r =r 0 ( +αt)(r 0 与 α 为 常 数 ), 求 温 度 为 t 时, 该 圆 盘 面 积 对 温 度 的 变 化 率. 因 为 圆 盘 面 积 为 s =πr =πr 0 ( +αt) =πr 0 ( +αt +α t ), 所 以, 面 积 对 温 度 的 变 ds 化 率 为 dt =πr 0 (α+α t) =πr 0 α( +αt). 5 畅 假 设 制 作 供 出 售 的 三 叶 草 蜂 蜜 ( 单 位 :kg) 的 成 本 为 c( ) ( 单 位 : 分 ), 其 中 c( ) = 40-0 畅 (0 80), 求 制 作 40 kg 蜂 蜜 时 的 边 际 成 本. 故 因 为 c( ) =40-0 畅, 所 以 边 际 成 本 为 c () =40-0 畅, c (40) =40-0 畅 40 =3( 分 /kg)., 0, 6 畅 证 明 : 函 数 f() = 在 = 处 连 续 但 不 可 导. -, < <+ 分 析 对 于 分 段 函 数 在 分 段 点 处 的 连 续 性 与 可 导 性 的 讨 论, 需 要 考 察 lim f() f( ) = - + f() 与 f -() =f +() 是 否 成 立. 证 因 为 lim f ( ) = lim - - lim f() f() =f(), 故 f() 在 = 处 连 续. - + 又 =, lim f ( ) = lim ( - ) =, 且 f ( ) =, 所 以, + + f() -f() f -() - - - - - - + =, f() -f() ( -) - f +() + - + - =, + 即 f -() f +(), 故 f() 在 = 处 不 可 导.,, 7 畅 若 函 数 f() = 在 = 处 可 导, 试 求 参 数 a, b 的 值. a +b, > f() 在 = 处 可 导, 则 f() 在 = 处 连 续, 因 而 有 lim f() f() =f(). 而 - + lim f() - - =, lim + 所 以 a +b =. f() ( a +b) =a +b, +
3 畅 5 导 数 与 微 分 习 题 详 59 又 f( +Δ) -f() ( +Δ) - f - () = lim = lim =, Δ 0 - Δ Δ 0 - Δ f( +Δ) -f() a( +Δ) +b - f + () = lim = lim =a, Δ 0 + Δ Δ 0 + Δ 因 为 f() 在 = 处 可 导, 故 有 f - () =f + (), 即 a =. 故 所 求 参 数 为 a =, b =-. 8 畅 求 下 列 各 函 数 的 导 数. () y = - 3 +5 +; () y =3 3-3 +cos π 3 ; (3) y = sin ; (4) y =ln + ln ; (5) y =(sin -cos )ln ; (6) y = sin +cos ; (7) y = tan + ; (8) y =( +sec )sin. () y =4 + 3 4 +5. () y = 3 + 3 4. (3) y =sin + cos. (4) y = +ln + -ln. (5) y =(cos +sin ) ln +(sin -cos ) = +ln sin + ln - cos. (6) y = cos ( +cos ) +sin ( +cos ) = +cos. (7) y = ( tan + sec )( + ) -tan ( + ) = tan + tan +sec + 3 sec - tan ( + ) = ( )tan +( + ) sec -. ( + ) (8) y =( +sec ) sin +( +sec ) (sin ) =sec tan sin +cos +sec cos =sec sin cos =sec +cos. sin +cos +cos 9 畅 求 下 列 各 函 数 在 指 定 点 处 的 导 数 值.
60 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 所 以 () f( ) = +sin 在 =π 处 ; () f(t) = t -sin t 在 = π 处 ; t +sin t (3) y =( + 3 ) 5 - 在 = 处 ; (4) y = cos 在 = π 处. 3 +3 () f () = +cos. f (π) = +cos π=. (t -sin t) (t +sin t) -(t -sin t) (t +sin t) () f ( t) = ( t +sin t) ( -cos t)(t +sin t) -(t -sin t)( +cos t) = (t +sin t) -tcos t +sin t =. (t +sin t) 则 f π - π = π +sin π 0 + = 8 =. π + ( π+) (3) y =3 5 - +( +3 ) 3 =5 + 3 -. 所 以 y = =5 + - =6. (4) y = -sin (3 +3) -cos 6 ( 3 +3), y = π -sin π 3 π +3 -cos π 6 π = π 3 +3 - π3 = 4 +3 π 3 = 4 +3-4 π 3 +. 0 畅 曲 线 y = + - 上 哪 一 点 的 切 线 与 轴 平 行, 哪 一 点 的 切 线 与 直 线 y =4 - 平 行, 又 哪 一 点 的 切 线 与 轴 交 角 为 60? 曲 线 y = + - 的 切 线 斜 率 为 y = +. () 若 曲 线 的 切 线 与 轴 平 行, 则 y = + =0, 即 =-. 此 时, y =( + -) - 9 4, 故 所 求 曲 线 上 的 点 为 -, -9 4. = - = -) () 若 曲 线 切 线 与 y =4 - 平 行, 则 y = + =4, 即 = 3. 此 时, y =( + = 3 = 7 4, 故 所 求 曲 线 上 的 点 为 3, 7 4. (3) 若 曲 线 切 线 与 轴 交 角 为 60, 则 y = + =tan 60 = 3, 即 = 3 -. 此 时, y = - 3, 故 所 求 曲 线 上 的 点 为 3 -, - 3.
3 畅 5 导 数 与 微 分 习 题 详 6 畅 设 f( ) = 3 +9 + +, 求 满 足 f( ) =f () 的 所 有 值. f () =3 +8 +, 因 为 f() =f (), 所 以 3 +9 + + =3 +8 +, ( +8) ( -) =0, 即 =-8, =0, 3 =. 畅 以 初 速 度 v 0 上 抛 的 物 体, 其 上 升 的 高 度 s 与 时 间 t 的 关 系 为 s( t) =v 0 t -, 求 : gt () 上 升 物 体 的 速 度 v(t); () 经 过 多 少 时 间, 它 的 速 度 为 零. () 物 体 上 升 速 度 v( t) =s ( t) = v 0 t - gt =v0 -gt. () 由 v(t) =v 0 -gt =0 得, t = v 0 g, 故 经 过 时 间 t = v 0 后, 物 体 运 动 速 度 为 零. g 3 畅 一 底 半 径 与 高 相 等 的 圆 锥 体 受 热 膨 胀. 在 膨 胀 过 程 中, 其 高 和 底 半 径 的 膨 胀 率 相 等, 问 : () 体 积 关 于 半 径 的 变 化 率 如 何? () 半 径 为 5 cm 时, 体 积 关 于 半 径 的 变 化 率 如 何? 设 圆 锥 的 底 半 径 为 r, 由 题 意 知 其 高 h =r, 则 圆 锥 的 体 积 为 由 于 高 和 底 半 径 膨 胀 率 相 等, 所 以, 有 dv () 体 积 关 于 半 径 的 变 化 率 为. dr =πr V = 3 πr h = 3 πr3. () r =5 cm 时, dv =5π 78 畅 5 cm /s. dr r =5 4 畅 求 下 列 函 数 的 导 数. () y =( 3 -) 6 ; () y = +ln ; (3) y =cot ; (4) y = sin ; (5) y =ln - ; (6) y ( cos 3); =sin (7) y =ln[ln( ln )]; (8) y = sin sin ; (9) y =arcsin( -); (0) y =arctan(ln ). () y =6( 3 -) 5 (3 -). () y = ln +ln = ln. +ln (3) y = csc.
6 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 (4) y = sin + sin = sin -cos. (5) y = - - = - - + = ( -) ( -). (6) y =-sin(cos 3) cos(cos 3) sin 3 3 =-3sin 3sin(cos 3). (7) y = ln(ln ) ln = ln ln(ln ). (8) y = sin cos sin -sin cos ( sin ) (9) y =- = sin (sin sin -sin cos ). -( -). (0) y = +ln (ln ) = ( +ln ). 5 畅 设 f, φ 可 导, 求 下 列 函 数 的 导 数. () y =ln f(e ) ; () y =f (sin ); (3) y =f( e sin ); (4) y =log f( ) φ() ( f() >0,φ() >0). () y = f( e ) f ( )e = f ( ) e e. e f( e ) () y =f(sin )f (sin )( sin ) =f(sin )f (sin )sin cos =f(sin )f (sin )sin. (3) y =f (e sin )(e sin ) =f (e sin )(e sin +e cos ) =f (e sin )e ( sin +cos ). ln φ() (4) 可 令 y = ln f(), 则 [ln φ()] ln f() -ln φ( )[ln f()] y = [ ln f( )] = [ln f()] φ ()ln f() φ( ) f ()ln φ() - f() 6 畅 已 知 电 容 器 极 板 上 的 电 量 为 q(t) =CU m sin wt, 其 中 C, U m, w 为 常 数, 求 电 流 I(t). 由 电 流 为 电 量 对 时 间 的 变 化 率 得, I( t) =q ( t) =CU m (sin wt) =CU m wcos wt. 7 畅 质 量 为 m 0 的 物 质, 在 化 学 分 中 经 过 时 间 t 后, 所 剩 质 量 m 与 时 间 t 的 关 系 为 m = m 0 e -kt (k >0 是 常 数 ), 求 物 体 的 分 速 度. dm -kt 物 体 的 分 速 度 为 质 量 对 时 间 的 变 化 率, 即 =m0 ( e ) =-km 0 e -kt. dt 8 畅 若 以 0 cm 3 /s 的 速 率 给 一 个 球 形 气 球 充 气, 那 么 当 气 球 半 径 为 cm 时, 它 的 表 面 积.
3 畅 5 导 数 与 微 分 习 题 详 63 增 加 多 快? 设 在 时 刻 t 时, 气 球 的 体 积 表 面 积 及 半 径 分 别 为 V, S 与 r, 则 V = 4, S =4πr, r =r( t), 3 πr3 所 以 V = 4 3 πr3 (t), S =4πr (t). 由 复 合 函 数 求 导 法 则, 得 dv dt =4πr (t)r (t), ds dt =8πr(t)r (t). 由 题 意 知, 当 r = cm 时, dv dt =0 cm3 /s, 所 以 有 0 =4π r ( t), 即 r ( t) = 5 8π cm /s, 故 ds 5 =8π dt 8π =0 ds /s, 即 当 r = cm 时, 表 面 积 S 的 增 加 速 率 为 cm dt =0 /s. cm 9 畅 求 下 列 函 数 的 导 数. () y =( 3 +), 求 y ; () y = sin, 求 y 碶. () y =( 3 +) 3 =6 5 +6, 则 y =30 4 +. () y =sin + cos, y =sin +4cos +4cos -4 sin, 则 y 碶 =4cos -8sin +4cos +4cos -8sin -(8sin +8 cos ) =cos -4sin -8 cos. 0 畅 求 下 列 函 数 的 n 阶 导 数. () y =e ; () y =sin. () y =e, y =e +e, y =e +e,, 由 此 可 得 y ( n) =( n +)e. () y =sin, y =sin cos =sin, y =cos =sin + π, y 碶 =-4sin = sin + π, y ( 4 ) y ( 5 ) =6sin = 4 sin +4 π,, =-8cos = 3 sin +3 π, 由 此 可 得 y ( n) = n - sin +( n -) π. 畅 求 下 列 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 的 导 数 y. () y 3 + 3-3y =0; () arctan y =ln +y. () 方 程 y 3 + 3-3y =0 的 两 端 对 求 导, 记 住 y 是 的 函 数, 得 3y y +3-3( y +y ) =0, 3y y +3-3y -3y =0, 即 y (3y -3) =3y -3, 因 此 3y -3 y = 3y -3 =y - y -.
64 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 () 方 程 arctan y =ln +y 的 两 端 对 求 导, 记 住 y 是 的 函 数, 得 + y y = ( +y ) +y, 即 y -y = +yy, +y +y y -y = +yy, 畅 用 对 数 求 导 法 求 下 列 函 数 的 导 数. y = +y -y. () y = ( +3) 4-6 3 + ; () y =(sin ) cos (sin >0). () 在 y = ( +3) 4-6 3 两 边 取 对 数, 得 + ln y =ln( +3) +ln( 4-6) -ln 3 + 两 端 对 求 导, 得 () y =(sin ) cos 两 边 取 对 数, 得 两 端 对 求 导 得 =ln( +3) + 4 ln( -6) - ln( +), 3 y y = +3 + 4( -6) - 3( +), y = ( +3) 4-6 3 + +3 + 4( -6) - 3( +). ln y =ln( sin ) cos =cos ln sin, y =-sin ln sin +cos cot, y y =( sin ) cos ( -sin ln sin +cos cot ). 3 畅 求 由 下 列 各 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 y =y( ) 的 导 数 d. = t +, =e t cos t, () y = t () 求 ; y =e t sin t, (t +) () d = () d t = π t (t +) = t + = ( et sin t) (e t cos t) t =π (t +) -t(t +) (t +) 4 - (t +) cos t +sin t = cos t -sin t t = π = t - t +. d t = π = - =-..
3 畅 5 导 数 与 微 分 习 题 详 65 4 畅 求 曲 线 当 t = π =ln sin t 在 t = π 处 的 切 线 方 程. y =cos t, (cos t) = d (lnsin t) =-sin t cos t sin t t =- sin cos t, 时, 不 存 在, 又 曲 线 过 点 (0,0), 所 以, 切 线 方 程 为 =0. d 5 畅 求 下 列 函 数 的 微 分. () y =ln sin ; () e y -y =0. () = cos sin d = cot d. () 方 程 e y -y =0 两 边 同 时 对 求 导, 得 e y -y y -(y +y ) =0 (e y y =y) 得 y -y y = +y, 即 6 畅 利 用 微 分 求 近 似 值. y -y = +y d. () arctan 畅 0; () sin 30 30 ; (3) ln 畅 0; (4) 6 65. () 令 f() =arctan, 0 =, Δ =0 畅 0, 则 由 公 式 f( 0 +Δ) f( 0 ) +f ( 0 )Δ 得 arctan 畅 0 arctan + + 0 畅 0 = π 4 +0 畅 0 0 畅 795. () 令 f( ) =sin, 因 为 sin 30 30 =sin (30 +30 ) =sin π 360, 由 近 似 公 式 f( 0 +Δ) f( 0 ) +f ( 0 )Δ 得 sin 30 30 sin π 6 +cos π 6 π 360 = + 3 π 360 0 畅 507 6. (3) 由 近 似 公 式 ln( +) ( 很 小 ) 有 ln 畅 0 =ln( +0 畅 0) 0 畅 0. (4) 由 近 似 公 式 ( +) α +α 有 6 65 = 6 64 + = 6 64 + 64 = 6 π 6 + π 360, 取 0 = π 6, Δ = + 64 + 6 64 畅 005. 7 畅 水 管 壁 的 横 截 面 是 一 个 圆 环, 设 它 的 内 径 为 R 0, 壁 厚 为 h, 试 利 用 微 分 来 计 算 这 个 圆 环 面 积 的 近 似 值. 设 圆 的 面 积 为 S, 半 径 为 R, 则 S =πr. 所 求 圆 环 面 积 为 ΔS =π(r 0 +h) -πr 0 =πr 0 h +πh.
66 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 当 h 相 对 R 0 很 小 时, ΔS πr 0 h, 或 ΔS ds =πr 0 ΔR =πr 0 h. 8 畅 如 果 半 径 为 5 cm 的 球 的 半 径 伸 长 mm, 球 的 体 积 约 扩 大 多 少? 设 球 的 半 径 为 R, 则 球 的 体 积 为 V = 4 3 πr3. 当 R 0 =5 cm, ΔR =0 畅 cm 时, 球 的 体 积 改 变 量. ΔV dv =4πR 0 ΔR =4π 5 0 畅 565 畅 5( cm 3 ). 9 畅 已 知 单 摆 的 振 动 周 期 T =π l g, 其 中 g =980 cm /s, l 为 摆 长 ( 单 位 :cm), 设 原 摆 长 为 0 cm, 为 使 周 期 T 增 大 0 畅 05 s, 摆 长 需 加 长 多 少? Δl 由 T =π l g, 有 ΔT dt = π l g lg π ΔT = 畅 3(cm). Δl = π lg Δl. 令 ΔT =0 畅 05, l =0, 则 有 30 畅 顶 角 为 α 的 正 圆 锥 形 容 器 ( 如 图 3-5), 装 有 000 ml 水, 要 想 使 水 面 上 升 cm 需 再 添 多 少 ml 水? 设 水 面 的 高 度 为 h, 半 径 为 R, 水 的 体 积 为 V, 则 V = 3 πr h. 又 R =htan α, 所 以 V = α h 3, h = 3V 3, 3 πtan πtan α dv = 3 πtan α h 3 dh = 3 πtan α 3h dh =πtan α h dh, 所 以 ΔV πtan α 3 3V Δh =(9V πtan α) 3 Δh, πtan α 因 为 V =0 3 ml, Δh = cm, 则 ΔV (9V πtan α) 3 Δh =00(9πtan α) 3 (ml). 图 3-5 图 3-6 3 畅 用 内 卡 钳 测 量 内 孔 直 径, 卡 钳 的 一 只 脚 放 在 A 点, 另 一 只 脚 作 微 小 摆 动, 量 得 两 脚 间 的 长 度 为 a, 摆 动 的 幅 度 为 b( 如 图 3-6). 证 明 : 圆 孔 直 径 D = a a -b, 并 推 出 D 的 近 似 公 式 : D a + b a.
3 畅 6 导 数 与 微 分 自 测 题 67 证 如 图 3-6 所 示, 设 OAB =θ, 则 D = a cos θ, cos θ = -b a, 即 a D = a cos θ = a a -b a = a, a -b 又 D = a a -b = a - b a =a - b a -. 因 为 b 较 小, 由 微 分 近 似 公 式 ( +) α +α, 得 a D =a - b a - a - - 3 畅 如 图 3-7 所 示, 在 电 阻 电 容 串 联 电 路 中, 当 开 关 S 合 上 时, 直 流 电 源 对 电 容 器 充 电, 电 容 器 上 的 电 压 变 化 规 律 为 U C (t) =U 0 -e - t RC. 证 明 : 当 电 阻 R 与 电 容 C 的 乘 积 比 t 大 得 多 时, b a =a + b a. U C (t) 可 以 用 时 间 t 的 线 性 函 数 来 近 似 表 达, 即 U C ( t) U 0 RC t. 证 当 RC 比 t 大 得 多 时, e +( 很 小 时 ), 有 U C ( t) =U 0 t 相 对 很 小, 由 微 分 近 似 公 式 RC -e - t RC U 0 - - t RC = U0 RC t. 图 3-7 3 畅 6 导 数 与 微 分 自 测 题 畅 填 空 题 () 设 f( ) =( +)( +)(3 +) (4 +), 则 f (0) = ; () 设 f = +, 则 df() = ; (3) 设 一 质 点 按 运 动 规 律 s(t) =sin ( wt +φ) 作 直 线 运 动, 则 质 点 在 t 时 刻 的 速 度 v( t) =, 加 速 度 a( t) = ; (4) 设 y =f(e )e f( ), 且 f() 可 微, 则 d = ; (5) 若 f( ) 为 可 导 的 奇 函 数, 且 f ( 0 ) =5, 则 f ( - 0 ) =. 畅 选 择 题 f( 0 -h) -f( 0 ) () 设 f( ) 在 = 0 附 近 有 定 义, 且 lim h 0 =, 则 f ( 0 ) =( ) ; h ( A) - ( B) - (C) (D) () 若 f( ) =ln( +e - ), 则 f (0) =( );
68 第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 ( A) - ( B) (C) (D) - (3) 下 列 函 数 中 在 = 处 连 续, 但 不 可 导 的 是 ( ); ( A) y = - (B) y = - ( C) y =ln( -) (D) y =( -) (4) 曲 线 =cos t, y =sin t 在 t = π 处 的 法 线 方 程 是 ( ); 3 ( A) -4y + =0 (B) 4 -y - =0 ( C) +4y -3 =0 (D) 4 +y -3 =0 (5) 设 函 数 y =f( ) 可 微, 则 当 Δ 0 时, Δy - 与 Δ 相 比, 是 ( ). ( A) Δ 的 等 价 无 穷 小 (B) Δ 的 同 阶 无 穷 小 ( C) 比 Δ 高 阶 的 无 穷 小 (D) 比 Δ 低 阶 的 无 穷 小 3 畅 设 f () = e, 0, 问 a, b 取 何 值 时, 函 数 f( ) 在 =0 处 可 导? +a +b, >0, 4 畅 求 下 列 函 数 的 导 数 () y =sin ln( +) ; () y = ln + ln ; (3) y = e sin ( + ). 5 畅 试 在 括 号 内 填 入 适 当 的 函 数 () d( ) =sin cos d; () d( ) =tan d; (3) d( ) = + d. 6 畅 试 求 曲 线 +y +y -8 =0 在 点 (,3) 处 的 切 线 方 程 与 法 线 方 程. 7 畅 设 f( ) =(arcsin ), (0,), 试 证 明 : ( - )f ( ) -f ( ) - =0. 8 畅 现 有 扩 音 器 插 头 000 个, 插 头 为 截 面 半 径 r =0 畅 5 cm, 长 度 l =4 cm 的 圆 柱 形. 为 了 提 高 它 的 导 电 性 能, 需 要 在 每 一 个 插 头 的 圆 柱 侧 表 面 上 镀 上 一 层 厚 度 为 0 畅 00 cm 的 纯 铜, 问 约 需 多 少 克 纯 铜 ( 铜 的 密 度 为 8 畅 9 g /cm)? 畅 () ; () 3 畅 7 导 数 与 微 分 自 测 题 答 案 ( +) d; (3) wsin ( wt +φ), w cos ( wt +φ); (4) e f ( e )e f( ) +f(e )e f( ) f ( ); (5) 5. 畅 () A; () A; (3) B; (4) B; (5) C. 3 畅 a =, b =. 4 畅 () y =cos ln( + +) + sin ; +
3 畅 7 导 数 与 微 分 自 测 题 答 案 69 () y = ln + ln + 4 ln esin (3) y = ( + ) sin - - +. 5 畅 () sin +C; () -ln cos +C; (3) ln( + ) +C. 6 畅 +y -8 =0, -y - =0. 7 畅 略. 8 畅 33 畅 55 g. ;