011 第 期 獨家發行 數學 專刊 有 Fu feelig 的 歸納法與遞迴教學 以河內塔 大象尺與九連環等Puzzle遊戲為例 台北市立麗山高級中學 彭良禎老師 一 前言 長久以來 數學歸納法 一直是臺灣高中生認識數學證明的重要課題之一 雖然國中基測與高 中學測兩大升學考試的題型 皆已改為選擇題或選填題的模式呈現 但高中數學在歷經 九五暫綱 與 九八課綱 兩波課程系統大翻修之後 數學歸納法 依舊是屹立不搖 足見其舉足輕重的地位 反倒是 遞迴 單元的出現與消失 有了較為戲劇性的變化 九年一貫之後 因為國中數學的 等比數列與等比級數 單元被挪到高一課程 因此在 九五暫 綱 裡 高中數學新增了 遞迴關係 但其定位卻有意擺脫遞迴數列的窠臼 而被刻意安排在高二 數學的 排列 組合 章節之後 該單元的教學內容雖涉及複雜的二階遞迴關係 但因為被數甲與數 乙定位為一顆星 的單元 即老師要教 學生該學 而大考並不青睞的單元 所以第一線的教師 並未因為如此的調整 而感受到太大的教學與備課壓力 如今在最新的 九八課綱 中 有關遞迴的 內容又從排列 組合處消聲匿跡 悄悄地回歸到數列與級數的懷抱
二 教學單元 本文介紹的趣味教案設計起源於十幾年前 筆者替遠哲科學教育基金會冬 夏令營研發規 劃 學校學不到的 的課程教學 後來雖因故不曾在該基金會的 數學發現之旅 活動中上場 但已陸陸續續在全臺多所國 高中的數學資優營或教師研習活動中操作分享 且經歷過多次的 增修與調整 本教案曾於去年 010 參加國立臺灣大學師資培育中心所舉辦的 第三屆臺大 Super 教 案獎 有幸榮獲教師組佳作 今在此分享筆者實際教學的心得與經驗 期能拋磚引玉 增添 大家課堂教學的創意與新意 99 學年度下學期的高中數學教師可搭配以下單元 安插並改良本 教學設計 一 高一 九八課綱 數列與級數 發現數列的規律性 由具體實例讓學生從前 項推測下一項 並歸納出遞迴關係或公 式 再以數學歸納法加以證明 核心的公式不含一階遞迴不等式與二階遞迴關係 只處 a+1=ra 即等比數列 a+1=a+ 即等差級數或 理諸如 a+1=a+d 即等差數列 a+1=(+1)a 等一階線性遞迴關係 二階等差數列 a+1=a+ 即三階等差數列 二 高二 九五暫綱 排列 組合 遞迴關係 以 a=αa-1+ƒ() 及 a=βa-1+γa- 的形式為主 其中 α β γ 為常數 f 是次數小於 的多項式 三 藝數 Fu 手玩 一 河內塔 準備數組河內塔益智玩具 或上網下載電 玩遊戲 從初階操作到進階的紙筆探索與 引導 約需一小時的教學時間 建議 杕介紹河內塔遊戲時 一般都會伴隨著一 個引人入勝的印度古老神廟裡 和尚搬 塔 的傳說 此一虛擬情境雖有助於柔 化數學學習的歷程 但在數學教學的最 後 當學生得知該傳說 好人上天堂 壞人下地獄 的結局約需 5840 億年 共 64 1 秒 才可能達成時 這堂課卻變成是一 種 教壞小孩 的負面教育 因為我們的地球誕生至今也才不過 46 億年左右 結論反變 成 好人不上天堂 壞人不下地獄 故宜謹慎處理 如南一版本寫成 世界末日
杌 1 4 5 杈 杝 5 OK S 1 1 4 5 6 7 S 1 =1 S = S =7 S 4 =15 S 5 =1 S 6 =6 S 7 =17 S +1 =S +1 杍 S +1 =S +1 S +1 +1= S +1 S = 1 1 ( 1) S ( 1) ( ) 1 ( 1 ) ( ) S
二 大象尺 兩人一支或一人一支大象尺益智玩具 或 至教育部高中數學學科中心網站 從 電 子 報 第 0 期 下 載 電 玩 遊 戲 與 操 作 教 學 影 片 網 址 http://mathceter.ck.tp.edu. tw/resources/epaper/ 僅初階操作即可 進階的規律探索留待九連環上手之後 一節 課的教學 操作時間綽綽有餘 若是連堂運 作 可集合過關者提早解說九連環 少數學 生將可成為下一節課的得力助教 規則 杕 配合電玩的方向 先將大象從左至右編號 大象必須移至轉彎處才能轉彎 且大象只 能轉彎朝上或朝左 即出口方向 杌 1 號大象可隨時自由地移至轉彎處轉彎 杈 k 號大象要能轉彎朝上或朝左的充要條件有二 坽 k-1 號大象必須朝上 夌 1 號 號 號 k- 號大象必須全部朝左 1 4 5 4 號象要轉彎朝上的條件 1 4 5 5 號象要轉彎朝左的條件 說明 杕目前臺灣有出版社代理專售大象尺益智玩具 因價格不斐 一般學校或專案活動無此 大筆經費採購 故推廣不易 第一代的產品 大象 大象扭出來 設計有大象模型 圖 中 方便操作者判定大象的方向 且有貼心的 後門 設計 萬一臨時不玩或無充足 時間還原時 大象可直接從後門推出並歸零 第二代的產品 扭轉脫逃 較為大型 圖 上 仍有後門 但卻少了大象 此為一大敗筆 因為初玩者易將 向左轉 錯轉為 向 右轉 會造成條件看似正確 但卻轉不動的意外 筆者手邊購得的萬年教具則是早期 臺灣市面上販售的玩具尺 圖下 因無後門設計 故教師需花費較多的時間善後 杌 九五暫綱 將遞迴關係納入 排列 組合 單元時 臺大數學系張鎮華教授與交大應 數系傅恆霖教授曾指導高中數學學科中心資訊組的教師群 產出並分享豐富的遞迴教 案設計與遞迴教學模組 其中建國中學的翁福永老師特別指導該校楊涵傑同學 設計 出 大象轉彎 Flash 程式互動遊戲 約 840KB 且可自行調整大象的數量 二至十 隻 此遊戲除了闖關挑戰之外 還貼心地替老師們設計有教學解說功能與自動播放功 能的選項 唯一的小小缺點就是 當滑鼠移至轉彎處時 不論條件是否吻合 轉彎處 4
數學 專刊 仍會顯示 轉彎的圖像 以至於少數自行摸索此電玩遊戲的學生 常常會誤以為是電 腦當機而減損其挑戰興致 杈大象尺的操作是筆者後來新增的教學設計 引進電玩遊戲的替代方案雖有其缺點 但 因破解手法與九連環一致 故仍非常適合作為認識九連環的熱身操作 學生剛開始把 玩時 多半需要一直反覆思考所謂的轉彎條件 但玩到後來 不少學生都能很快演化 成機械式的反射動作 甚至曾有學生掌握到不須思考的破解規律 上演 盲解 的快速 過關法 當然 也會有學生因為是這輩子頭一次密集地推論與思考 導致 用腦過度 而 當機 好不容易七隻大象轉出來時 已變得無心也無力還原 三 九連環 準備兩人一組或一人一 組九連環益智玩具 目 前尚未發現相關的電玩 遊戲 全班從五環至七 環的初階操作到進階的 規律賞析 至少需一小 時的教學時間 九環的 挑戰則可留作功課 下 次全班 PK 的目標 規則 杕仿大象尺電玩方位 將鐵環從左至右編 號 鐵環必須移至出口處 弓的前端 才能從弓的中央空隙取下或裝上 杌 1 號鐵環可隨時自由地移至出口處取下或裝上 杈 k 號鐵環要能取下或裝上的充要條件有二 坽 k-1 號鐵環必須掛在弓上 夌 1 號 號 號 k- 號鐵環必須全部取下 說明 杕筆者認知破解九連環的規則與大象尺相同 曾見識過成功高中游經祥老師於數資營傳 達不同的操作手法 簡言之 就是要不斷地創造出如同泝號環與沴號環的結構關係 如此便可輕易地取下位在沴號環位置的鐵環 不過不論是哪一種理解模式 要將鐵環 順利地從弓中穿越 藉以取下或裝上的操作機制卻是一大門檻 學生最常見的求救狀 況就是未通過弓的中央空隙 而將鐵環直接從外側掛在弓上 或是將鐵環直接推出弓 5
泝 沴 杌 杈 D D 1 1 D D 1 D +1 1 D +1 D + (-1) 6 1 4 5 6 7 D 1 =1 D = D =5 D 4 =10 D 5 =1 D 6 =4 D 7 =85 U 1 =1 U = U =5 U 4 =10 U 5 =1 U 6 =4 U 7 =85 泝 沴 D 1 D 1 1 Puzzle 6
數學 專刊 利用飯匙 衣架 鞋帶製成的九連環 換湯不換藥的四連環與五連環 四 後記 依數學歸納法可知 當 N 時 原式成立 筆者於高一學習 數學歸納法 時 印象最深刻的就是每次在證明流程的最後階段 數學 老師都會帶領大家脫口而出的經典結語 依數學歸納法可知 當 屬於正整數時 原式成立 當時只夢想著若能將這句例行公事的術語 每次都以剪下 貼上的方式處理 那該有多好 當 =1 時 先驗證原式一定成立 然後假設 =k 時 原式會成立 最後想辦法利用已知條件來拼湊出當 =k 1 時 原式也會成立 在數學系大一的 數論 課程裡 第一次從幾個經典的數學歸納法悖論 認識到還有所謂 的 第二數學歸納法 時 筆者對於上述數學歸納法千篇一律的證明框架 才有了較深一層的 體會 然而 在教學碩士班的教學反芻過程中 卻又被教授當頭棒喝地提醒 我們在課堂上教 授 數學歸納法 時 習慣只將重點放在已知的數學等式要如何證明 而忘了在原式是如何從 觀察 歸納到猜想的過程中著墨 以至於下述的數學課堂情景會不斷地歷史重演 數學老師明明是在教 數學歸納法 結果卻是百分之百地利用演繹法來證明 當 =k 1 時 原式會成立 過程中全然不見 歸納 的影子 筆者教書之後才有機會第一次把玩到九連環 當時尚不知如何解析其結構 即已被其緊密 的推論規律深深著迷 嚴格說來 九連環的操作過程雖無關乎歸納法 但卻是筆者這輩子頭一 次強烈地感受到從 =1 牽扯到 = 再牽扯到 = =4... 依此骨牌規律推 ㄉㄠ ˇ 的 經典設計 要形容九連環這個數學味極其濃厚的古童玩 相信非 環環相扣 莫屬 而因為心 靈的觸動 所以引發教學的行動 不也是如此環環相扣嗎 在正常的教學進度下 教師不易挪 出 節課來操作本教案設計 但可規劃成課外的數學社團或營隊課程 或是善用諸如段考後 畢旅前 校慶前等一些青黃不接的時段為之 7
數學 專刊 備註 在 九八課綱 的細則說明裡 希望教師能引領學生歸納出的基本求和公式有三則 k 1 Σ Σ Σ k(k+1) 第一則是基本的等差級數求和公式 但國中小已學過 梯形面 k 積法 公式 而第三則的計算題與變化 國中生早已算過 遍 故皆過了最佳的歸納學習時機 (+1)(+1) 的結論 6 至於第二則的結構過於複雜 如何期待學生能歸納出 筆者以為 k (1+++...+) ( Σ Σk) 應是學生陌生 卻又適宜歸納的較佳例 子 五 參考資料 ᨧ 教育部 98 普通高級中學課程 數學科綱課程綱要專刊 台北 教育部高中數學學科中 心 010 ᨨ 俞崇恩 張衛著 千變萬化的九連環 台北 九章出版社 004 ᨩ 吳鶴齡編著 七巧板 九連環和華容道 中國古典智力遊戲三絕 北京 科學出版社 004 頁 14~186 ᨪ 楊壬孝主編 高級中學數學 四 教師手冊 台北 全華圖書 008 頁 164~168 誠摯邀請老師分享您精闢的見解及投稿 投稿請寄 we04@chwa.com.tw 您的稿件企劃部將視情況刪修 修改後會寄給您過目 您同意後才會刊登 投稿作品 視同授權本刊書面及電子版刊載 作品一經刊登將依字數致贈 稿酬 來稿請勿侵害他人著作權 如有引文 請註明參考資料來源 來稿請附作者資料 姓名 任教學校 聯絡電話 地址 電子郵件信箱 如有任何疑問 歡迎您 E-mail 或來電詢問 0-6-5666 1 楊先生 本公司已盡力處理刊物中圖文的著作權事宜 倘有疏漏 惠請著作權人能與 本公司聯繫 僅此致謝 總公司 北區高中營業處 中區高中營業處 南區高中營業處 地址 新北市土城區忠義路 1 號 地址 臺中市南區樹義一巷 6 號 樓 地址 高雄市三民區應安街 1 號 電話 0 6-5666 電話 04 61-8485 電話 07 81-177 傳真 0 6-0565 傳真 04 601-8600 傳真 07 960-868 8