# 列 车 - 长 大 曲 线 桥 梁 车 桥 耦 合 振 动 分 析 ** 宋 郁 民, 吴 定 俊, 李 奇 ( 同 济 大 学 桥 梁 工 程 系, 上 海,9) 5 摘 要 : 基 于 列 车 - 直 线 桥 梁 的 耦 合 振 动 分 析 理 论, 采 用 模 态 叠 加 法, 建 立 列 车 - 曲 线 桥 梁 的 耦 合 振 动 方 程 采 用 移 动 坐 标 系, 通 过 坐 标 变 转 换, 解 决 列 车 曲 线 通 过 时 轮 轨 耦 合 的 几 何 关 系 依 据 赫 兹 弹 性 接 触 理 论, 考 虑 密 贴 接 触 和 非 密 贴 接 触, 求 解 轮 轨 接 触 力 基 于 列 车 直 线 运 动 的 Kalker 线 形 蠕 滑 理 论, 修 正 后 得 出 列 车 曲 线 运 行 的 蠕 滑 率 同 时, 广 义 力 向 量 中 考 虑 了 列 车 曲 线 运 动 时 产 生 的 离 心 力 和 超 高 分 力 采 用 分 离 迭 代 法 求 解 运 动 方 程, 得 出 车 桥 耦 合 振 动 响 应 基 于 这 些 理 论 分 析, 结 合 具 体 工 程 实 例, 通 过 数 值 分 析, 得 出 了 列 车 通 过 小 半 径 曲 线 上 长 大 桥 梁 的 一 些 车 桥 振 动 特 性 和 规 律 关 键 词 : 桥 梁 工 程, 曲 线 桥 梁, 车 桥 耦 合 振 动, 模 态 叠 加 法, 小 半 径 曲 线, 振 动 特 性 和 规 律 中 图 分 类 号 :TU3.3 5 5 3 Couplng Vbraton Analyss of Tran and Mult-Span Brdges on Small Radus Curves SONG Yumn, WU Dngun, LI Q (Department of Brdge Engneerng,Tong Unversty,Shangha,9) Abstract: Based on the theory of vehcle-straght-lne-brdge coupled vbraton, the dfferental equatons of vehcle-curved-brdge coupled vbraton are establshed by usng mode superposton method. The geometry of vehcle-curved brdge was determned by movng coordnate systems and coordnate transformaton. Based on the Hertz s theory of elastc contact and Kalker s creep theory of wheel-ral nteracton, the wheel-ral contact force s determned consderng non-ump and ump, and the creep rate of vehcle curvng s determned by amendng the creep rate of vehcle passng straght. In addton, the generalzed force vector ncludes centrfugal force and ultrahgh component force. Moton equatons and response of vehcle-curved brdge coupled vbraton are solved by separate teratve method. Wth an engneerng example, some vbraton characterstcs and laws are obtaned by numercal analyss whle vehcle curvng mult-span on small radus curves. Key words: brdge engneerng; curved brdge; vehcle-brdge coupled vbraton; modal superposton method; small radus curve; vbraton characterstcs and law 引 言 35 4 列 车 通 过 桥 梁 时, 列 车 与 桥 梁 的 耦 合 振 动 一 直 是 国 内 外 铁 路 桥 梁 科 技 工 作 者 所 重 视 的 问 题 国 内 外 关 于 列 车 直 线 桥 梁 的 耦 合 振 动 研 究 与 试 验 很 多, 取 得 了 极 大 的 成 就 [~3] 然 而, 列 车 曲 线 桥 梁 的 耦 合 振 动 问 题 研 究 相 对 较 少 美 国 AASHTO 规 范 通 过 大 量 的 实 测 试 验, 给 出 了 高 速 公 路 曲 线 桥 梁 的 振 动 冲 击 系 数 [4] 单 德 山 李 乔 教 授 等 对 高 速 铁 路 曲 线 桥 梁 的 车 桥 耦 合 振 动 做 了 一 定 的 研 究, 得 出 了 许 多 有 价 值 的 结 论 [5~6] 近 几 年, 李 忠 献 教 授 对 公 路 曲 线 箱 梁 的 车 桥 耦 合 振 动 做 了 研 究 [7] 本 文 在 已 有 的 列 车 曲 线 桥 梁 耦 合 振 动 研 究 成 果 基 础 上 [8], 基 于 同 济 大 学 李 奇 博 士 提 出 的 列 车 桥 梁 的 耦 合 振 动 研 究 方 法 论 [9], 以 某 小 半 径 上 的 长 大 曲 线 桥 梁 的 为 背 景 例, 进 行 小 半 径 曲 线 上 长 大 曲 线 桥 梁 的 车 桥 耦 合 振 动 研 究, 得 出 一 些 基 金 项 目 : 教 育 部 博 士 点 基 金 ( 项 目 号 9744) 资 助 作 者 简 介 : 宋 郁 民 (976-) 男, 讲 师, 主 要 研 究 方 向 是 桥 梁 结 构 设 计 理 论 与 车 桥 耦 合 振 动 分 析 通 信 联 系 人 : 吴 定 俊 (956-), 男, 福 建 闽 清 人, 教 授, 博 士, 博 导, 从 事 桥 梁 结 构 设 计 理 论 和 桥 梁 结 构 抗 震 与 振 动 研 究. E-mal: TJwd@tong.edu.cn - -
有 价 值 的 规 律 列 车 - 直 线 桥 梁 耦 合 振 动 理 论 分 析 45 5 55. 列 车 和 桥 梁 运 动 微 分 方 程 模 态 坐 标 系 下, 列 车 和 桥 梁 运 动 微 分 方 程 可 统 一 表 示 为 : T q + q + q [ ] F = f 其 中 {} q 模 态 坐 标,[ ] 模 态 阻 尼 矩 阵, 规 一 化 的 振 型 矩 阵,{ f } 所 有 外 力 和 虚 拟 内 力 向 量 () [ ] 结 构 圆 频 率 矩 阵, [ ] 将 列 车 和 桥 梁 分 为 列 车 和 桥 梁 两 个 子 系 统, 且 列 车 和 桥 梁 耦 合 振 动 系 统 中 不 含 Maxwell 阻 尼, 系 统 运 动 微 分 方 程 可 表 达 为 : q + q + v v v v v q f q, q, q, q, v v v v v b q b, qb q b+b b q b+ b q b fb q v, q v, q v, q b, q b, qb () 式 中 下 标 v 和 b 分 别 表 示 列 车 和 桥 梁 由 运 动 微 分 方 程 () 可 以 得 知 : 每 个 子 系 统 运 动 微 分 方 程 的 右 端 同 时 含 有 待 求 列 车 和 桥 梁 的 轨 道 响 应, 这 是 由 于 非 线 性 内 力 移 项 后 所 致, 但 其 本 质 是 列 车 - 桥 梁 耦 合 振 动 的 反 映. 列 车 桥 梁 耦 合 振 动 边 界 将 列 车 和 桥 梁 分 为 列 车 和 桥 梁 两 个 子 系 统, 则 轮 轨 接 触 界 面 以 及 接 触 界 面 处 系 统 响 应 就 是 两 个 子 系 统 的 边 界 条 件, 这 一 边 界 条 件 即 为 轮 轨 的 相 互 作 用 力 ( 包 含 轮 轨 接 触 力 和 轮 轨 蠕 滑 力 ), 或 者 说 列 车 桥 梁 之 间 的 耦 合 是 通 过 轮 轨 相 互 作 用 力 的 耦 合 实 现 的 6 65 7.. 轮 轨 接 触 力 求 解 空 间 振 动 状 态 下, 轮 轨 接 触 力 包 含 轮 轨 竖 向 力 横 向 力 法 向 力 和 切 向 力 在 轮 轨 密 贴 接 触 模 型 下, 小 摇 头 假 设 下, 绝 对 坐 标 系 下 的 轮 轨 竖 向 力 F y 和 横 向 力 F z 与 接 触 点 坐 标 系 下 轮 轨 法 向 力 N 和 切 向 力 T z 的 关 系 式 为 : sn cos sn cos F N cos T F N sn T F N cos T F N sn T y ws z ws z ws z ws y ws z ws z ws z ws 式 中 : 轮 轨 接 触 角, ws 轮 对 侧 滚 角 [] 非 密 贴 接 触 模 型 下 轮 轨 法 向 力 由 赫 兹 弹 性 接 触 理 论 确 定 :.5 wr N, wr G N, wr 式 中 : wr 轮 轨 法 向 压 缩 量, G 赫 兹 接 触 常 数.. 轮 轨 蠕 滑 力 求 解 (3) (4) 根 据 Kalker 线 形 蠕 滑 理 论, 在 接 触 斑 坐 标 系 下, 蠕 滑 力 和 蠕 滑 系 数 蠕 滑 率 在 线 形 范 围 内 的 关 系 为 [] : - -
75 f 3 T f x T f f M f f z 3 3 3 33 3 式 中 T x 轮 轨 纵 向 蠕 滑 力, T z 轮 轨 横 向 蠕 滑 力, M 旋 转 蠕 滑 力 矩 ; f (5) f f 33 为 蠕 滑 系 数, 分 别 为 列 车 直 线 运 动 时 的 轮 轨 的 纵 向 和 横 向 蠕 滑 率, 3 为 自 旋 蠕 滑 率, 其 表 达 式 为 [,] : r v b ws v r zw zr r ws v ws cos ws b sn v v 3 w cos ws sn v r ws (6) 式 中 :v 轮 对 滚 动 速 度, r 轮 对 名 义 半 径, r 轮 对 滚 动 半 径, ws 轮 对 摇 头 角 列 车 - 曲 线 桥 梁 耦 合 振 动 分 析 方 法 8. 移 动 坐 标 系 及 坐 标 变 换 采 用 移 动 坐 标 法, 借 助 于 坐 标 变 换, 可 很 好 的 解 决 列 车 曲 线 通 过 时 的 轮 轨 耦 合 关 系 [8] 首 先 建 立 每 个 轮 对 沿 轨 道 中 心 线 匀 速 移 动 的 坐 标 系, 坐 标 系 原 点 为 轮 对 处 轨 道 中 心 线,X 方 向 为 曲 线 切 向,Y 方 向 沿 垂 直 轨 道 平 面 向 上,Z 方 向 为 曲 线 法 向, 并 遵 循 右 手 螺 旋 法 则, 如 图 所 示 的 坐 标 系 o x y z 和 o x y z 85 9 轮 对 (B ) 轮 对 桥 梁 形 心 线 Fg. B 图 轨 道 中 心 线 桥 梁 形 心 列 车 - 曲 线 桥 梁 的 移 动 坐 标 系 示 意 图 Movng coordnate of vehcle-curved brdge system 假 定 列 车 在 沿 线 路 中 心 线 以 车 速 v 匀 速 前 进, 则 t 时 刻 到 达 的 线 路 里 程 为 S 根 据 线 路 里 程 可 确 定 曲 线 在 整 体 坐 标 系 下 的 坐 标 ( x O, y O, z O ) 及 其 切 线 与 OX 轴 的 夹 角 曲 率 超 高 角, 并 确 定 移 动 坐 标 系 o x y z 和 o x y z 若 此 时 轮 对 轴 线 在 桥 梁 形 心 线 上 的 投 影 正 好 与 节 点 B ( x B, y B 到 坐 标 系 o x y z 下 :, z B ) 位 置 重 合, 可 将 OXYZ 坐 标 下 节 点 B 第 k 阶 振 型 位 移 向 量 转 换 (7) 式 中 为 移 动 坐 标 系 下 相 对 桥 梁 形 心 的 振 型 位 移 向 量, 为 坐 标 转 换 矩 阵, 其 推 导 - 3 -
95 5 5 过 程 如 下 : () 列 车 沿 行 驶 方 向 前 进 t 时 刻 后 ( 假 定 此 时 无 曲 线 超 高 ), 列 车 行 驶 方 向 x 与 整 体 坐 标 系 下 的 夹 角 为, 设 o' x' y' z ' 为 列 车 此 时 的 临 时 坐 标 系, 则 整 体 坐 标 系 下 的 坐 标 值 转 换 到 该 临 时 坐 标 系 o' x' y' z ' 下 为 第 一 次 坐 标 转 换 () 此 时 刻, 列 车 再 绕 x ' 转 动, 形 成 超 高 角, 则 临 时 坐 标 系 o' x' y' z ' 下 的 坐 标 值 转 换 成 移 动 坐 标 系 o x y z 下 的 坐 标 值 为 第 二 次 转 换 两 次 坐 标 转 换 的 表 达 式 为 : x cos sn x x y sn sn cos cos sn y = y z sn sn sn cos cos z z (8) 上 述 坐 标 转 换 后 得 到 的 振 型 向 量 是 对 桥 梁 形 心 而 言 的, 尚 需 通 过 刚 臂 约 束 方 程, 换 算 为 轨 道 中 心 线 处 的 振 型 向 量 : 式 中 x 显 然 式 中 x z y y z 为 桥 梁 形 心 B 在 移 动 坐 标 系 下 的 位 置 坐 标, 且 为 : x S x x B O S y y y B O z z z B O (9) () 数 值 应 为 零 依 据 线 路 里 程 S, 可 确 定 桥 梁 节 点 在 线 路 上 的 投 影 位 置 当 轮 对 轴 线 在 桥 梁 形 心 线 上 投 影 与 节 点 不 重 合, 则 在 重 合 点 之 间, 通 过 样 条 插 值 得 到 线 路 中 心 线 上 任 意 点 的 桥 梁 振 型 位 移. 列 车 曲 线 运 动 时 的 轮 轨 相 互 作 用 力 列 车 曲 线 通 过 桥 梁 时 的 轮 轨 相 互 作 用 力 仍 包 含 轮 轨 接 触 力 和 蠕 滑 力 在 移 动 坐 标 系 下, 轮 轨 接 触 力 计 算 与 列 车 直 线 运 动 相 同, 而 轮 轨 蠕 滑 力 需 考 虑 曲 线 因 素 的 影 响 考 虑 曲 线 因 素 的 轮 轨 蠕 滑 力, 其 蠕 滑 系 数 与 接 触 几 何 关 系 相 关, 受 曲 线 影 响 不 大, 可 按 直 线 情 况 处 理, 但 蠕 滑 率 应 基 于 直 线 运 动 时 的 蠕 滑 率 修 正 为 []: 式 中 3 率, ' 3 为 自 旋 蠕 滑 率 b r sn cos cos ws 3 3 cos 同 前 文 ; ' () ' 为 车 轮 通 过 曲 率 为 的 曲 线 时 的 纵 向 和 横 向 蠕 滑.3 列 车 曲 线 运 动 时 广 义 力 处 理 分 析 表 明, 列 车 曲 线 运 动 时, 由 于 构 架 坐 标 系 相 对 轮 对 坐 标 系 的 偏 移 极 小, 无 需 对 第 一 系 悬 挂 力 和 第 二 系 悬 挂 力 进 行 坐 标 变 换, 其 广 义 力 主 要 考 虑 离 心 力 和 超 高 分 离 的 影 响 近 似 的 取 构 架 上 n 个 轮 对 ( 或 车 体 的 n 个 轮 对 ) 的 平 均 曲 率 和 超 高 角 进 行 计 算, 则 构 架 或 车 体 所 - 4 -
桥 梁 横 向 位 移 (mm) 桥 梁 横 向 位 移 (mm) 中 国 科 技 论 文 在 线 受 离 心 力 和 超 高 分 力 为 : n n n C m sn cos b,c b,c v H m g V m g ; ; b,c b,c b,c b,c n n n 式 中, 下 表 b 表 示 构 架,c 代 表 车 体, 其 余 符 号 意 义 同 前 () 5 3 3 列 车 - 曲 线 桥 梁 耦 合 振 动 数 值 算 例 基 于 上 述 理 论 分 析, 首 先 对 同 济 大 学 自 主 研 发 的 车 桥 耦 合 振 动 分 析 专 用 程 序 VBC. 进 行 了 改 进 该 程 序 在 模 态 坐 标 下 建 立 运 动 方 程, 采 用 分 离 迭 代 法 求 解 方 程 其 主 要 特 点 是 借 助 商 业 有 限 元 软 件 ( 如 ANSYS Mdas 等 ) 完 成 桥 梁 和 列 车 的 模 态 分 析, 提 取 模 态 坐 标, 然 后 运 行 VBC. 完 成 车 桥 耦 合 振 动 数 值 分 析 [8] 本 文 数 值 算 例 依 据 改 建 铁 路 宁 波 北 车 站 的 东 西 疏 解 线 特 大 桥 ( 桥 梁 全 长 分 别 为 78.9m.645m, 且 位 于 S 形 反 向 曲 线 上, 最 小 曲 线 半 径 35m) 该 两 桥 梁 的 ANYSYS 有 限 元 模 型 如 图 所 示 以 东 疏 解 线 大 桥 位 于 圆 曲 线 上 4 号 墩 和 位 于 夹 直 线 上 44 号 墩 的 为 例, 其 墩 顶 位 移 如 图 3~4 所 示 的 时 程 曲 线 (C6 货 车 编 组,V=4km/h) 所 示 图 5~ 图 7 是 C6 货 车 以 4km/h 的 速 度 通 过 东 疏 解 线 大 桥 时 列 车 的 动 力 响 应 曲 线 ELEMENTS Y Z X Y AUG :3:4 ELEMENTS Y Y AUG 9 5:4:35 Z Z X Z X X WestLne_NngBo 35 Fgure. 重 车 激 励 下 的 响 应 图 东 西 疏 解 线 大 桥 全 桥 ANSYS 有 限 元 整 体 模 型 图 Global ANSYS fnte element mode of the two brdges 空 车 激 励 下 的 响 应.5 X: 78. Y:.946 X: 9.6 Y:.444.8.6.4 -.5 - -.5. -. -.4 -.6-7 75 8 85 9 95 5 时 间 (s) -.8 8 85 9 95 5 5 时 间 (s) 图 3 4 号 墩 顶 振 幅 时 程 曲 线 图 4 44 号 墩 顶 振 幅 时 程 曲 线 Fg.3 Tme-hstory of lateral dsplacement of No. 4 Fg.4 Tme-hstory of lateral dsplacement of No. 44 4 图 5 车 体 横 向 加 速 度 图 图 6 轮 轨 横 向 相 对 位 移 图 Fg.5 Lateral acceleraton of vehcle Fg.6 Relatve lateral dsplacement of wheel - 5 -
轮 对 横 向 力 (kn) 中 国 科 技 论 文 在 线 3 - - -3 45 5 55-4 5 5 5 时 间 (s) 图 7 轮 对 横 向 力 Fg.7 Lateral force of wheel 通 过 数 值 分 析, 得 出 一 些 小 半 径 反 向 曲 线 上 车 桥 耦 合 振 动 的 若 干 规 律 () 同 一 车 速 下, 小 半 径 曲 线 上 的 墩 顶 横 向 振 幅 车 体 横 向 加 速 度 轮 对 力 比 直 线 桥 梁 上 或 大 半 径 桥 梁 上 较 大 车 体 的 横 向 加 速 度 随 车 速 的 增 大 而 增 大, 随 曲 率 半 径 增 大 而 增 大, 且 离 心 加 速 度 所 占 比 例 约 为 8~9% 从 图 4 可 知, 在 4s~6s 之 间, 车 体 横 向 加 速 度 在.3 m/ s 附 近 波 动, 在 9s~5s 之 间, 车 体 横 向 加 速 度 在.5 m/ s 附 近 波 动, 该 值 接 近 列 车 以 4km/h 的 速 度 通 过 时 所 产 生 的 离 心 加 速 度 ; () 桥 梁 结 构 自 振 特 性 计 算 表 明, 墩 高 相 近 的 铁 路 标 准 跨 度 多 跨 简 支 梁 体 系, 曲 线 桥 梁 的 自 振 频 率 通 常 小 于 直 线 桥 梁 的 自 振 频 率, 接 近 铁 路 货 运 列 车 的 激 励 主 频, 容 易 导 致 共 振 当 桥 梁 较 长 时, 避 免 采 用 单 一 标 准 跨 度 ; (3) 曲 线 超 高 对 车 桥 的 振 动 响 应 影 响 明 显, 尤 其 在 欠 超 高 的 情 况 下, 动 力 响 应 明 显 加 剧 确 定 合 理 的 行 车 速 度 与 相 应 的 曲 线 超 高, 是 减 小 曲 线 桥 梁 振 动 的 关 键 (4) 从 图 5 和 图 6 可 以 看 出, 列 车 通 过 反 向 曲 线 时, 车 体 发 生 较 大 的 左 右 摆 动, 较 大 的 轮 对 横 向 力 发 生 在 夹 直 线 两 端 的 缓 和 曲 线 上 4 结 束 语 6 65 7 75 本 文 通 过 分 析, 可 给 出 以 下 结 论 : () 基 于 模 态 叠 加 法 进 行 列 车 曲 线 桥 梁 的 车 桥 耦 合 振 动 分 析, 其 优 点 在 于 借 助 通 用 有 限 元 程 序 建 模, 方 便 省 时 () 采 用 移 动 坐 标 法, 借 助 于 坐 标 变 换, 较 好 的 解 决 列 车 曲 线 通 过 时 的 轮 轨 耦 合 关 系 (3) 基 于 Kalker 的 线 形 理 论 的 轮 轨 蠕 滑 力 计 算, 依 据 曲 线 通 过 特 点, 进 行 修 正 后, 较 为 准 确 的 计 算 列 车 曲 线 通 过 时 的 轮 轨 蠕 滑 力 (4) 列 车 曲 线 通 过 时 的 广 义 力 需 要 考 虑 离 心 力 和 超 高 分 力 (5) 列 车 通 过 小 半 径 曲 线 桥 梁, 其 振 动 响 应 比 直 线 桥 梁 和 大 半 径 曲 线 桥 梁 大, 提 高 曲 线 上 桥 梁 刚 度, 限 制 车 速, 是 减 小 车 桥 动 力 响 应 的 有 效 措 施 同 时, 增 大 反 向 曲 线 间 的 夹 直 线 长 度, 可 减 小 列 车 的 横 向 摆 动 振 幅 和 轮 轨 作 用 力 [ 参 考 文 献 ] (References) [] Ladslav Fry'Ba. Dynamcs of Ralway Brdges [M]. nd Ed. London: Telford, 996; [] 夏 禾, 张 楠 列 车 与 桥 梁 动 力 相 互 作 用 [M]. 科 学 出 版 社,7; [3] 吴 定 俊 等, 轨 道 不 平 顺 速 度 项 对 车 桥 动 力 响 应 的 影 响 分 析 [J] 同 济 大 学 学 报,6Vol.34 No.4,494-498; [4] N.H. Galdos, D.R. Schellng and M.A. Sahn, Methodology for Impact Factor of Horzontally Curved Box Brdge, Journal of Structural Engneerng, Vol.9,No.6, June, 993, ASCE, pp97-934; - 6 -
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