分 形 图 形 中 的 数 学 奥 秘 靳 亚 云 ( 山 东 大 学 物 理 学 院, 山 东 济 南,250100) 摘 要 : 四 种 分 形 图 形 Koch 曲 线 Hilbert 曲 线 Sierpinski 三 角 形 和 Cantor 集, 均 包 含 着 某 些 数 学 上 的 规 律 或 者 与 数 学 上 的 某 些 内 容 有 紧 密 的 联 系 Koch 曲 线 的 特 性 证 明 了 无 限 长 的 曲 线 可 能 围 住 一 块 有 限 的 面 积 ;Hilbert 曲 线 可 以 填 满 整 个 平 面 ;Sierpinski 三 角 形 与 杨 辉 三 角 Hanoi 塔 和 随 机 运 动 有 着 密 切 的 联 系 ;Cantor 三 分 集 的 Lebesgue 测 度 为 0, 却 是 一 个 有 着 不 可 数 点 的 集 合,Cantor 集 中 的 元 素 两 两 相 加 可 以 遍 历 [0,2] 关 键 词 :Koch 曲 线 ;Hilbert 曲 线 ;Sierpinski 三 角 形 ;Cantor 集 ; 分 形 中 图 分 类 号 :O 189 文 献 标 识 码 :A 非 线 性 科 学 是 近 几 十 年 在 各 门 以 非 线 性 为 特 征 的 子 学 科 研 究 基 础 上 逐 渐 形 成 的 复 杂 性 [1] 科 学 分 形 学 作 为 非 线 性 的 一 个 活 跃 分 支, 它 研 究 的 对 象 是 非 线 性 系 统 中 产 生 的 不 光 滑 和 不 可 微 的 几 何 形 体 分 形 是 一 种 具 有 自 相 似 特 性 的 现 象 图 像 或 者 物 理 过 程 自 相 似 性 指 客 观 事 物 具 有 自 相 似 的 层 次 结 构, 局 部 与 整 体 在 形 态 功 能 信 息 时 间 空 间 等 方 面 具 有 统 [2] 计 意 义 上 的 相 似 性 [3] 分 形 既 是 一 门 科 学, 又 是 一 门 艺 术 自 然 界 中 的 美 丽 的 雪 花 看 似 弯 曲 无 规 则 的 海 岸 [4] [5] 线 奇 特 诡 异 的 麦 田 怪 圈, 纷 纷 向 我 们 昭 示 着 分 形 艺 术 的 魅 力, 又 饱 含 着 无 穷 无 尽 的 科 学 奥 妙 一 些 看 似 抽 象 费 解 的 数 学 原 理 便 隐 藏 在 其 中 本 文 接 下 来 会 以 从 几 个 典 型 的 分 形 图 形 引 出 其 背 后 的 数 学 奥 秘 1 Koch 曲 线 1.1 koch 曲 线 的 构 造 构 造 步 骤 如 下 : i. 画 一 个 线 段, 然 后 把 它 平 分 成 三 段, 去 掉 中 间 那 一 段 并 用 两 条 等 长 的 线 段 代 替 这 样, 原 来 的 一 条 线 段 就 变 成 了 四 条 小 的 线 段 ii. 用 相 同 的 方 法 把 每 一 条 小 的 线 段 的 中 间 三 分 之 一 替 换 为 等 边 三 角 形 的 两 边, 得 到 了 16 条 更 小 的 线 段 iii. 继 续 对 16 条 线 段 进 行 相 同 的 操 作, 并 无 限 地 迭 代 下 去 图 1 是 这 个 图 形 前 五 次 迭 代 的 过 程
图 1 无 数 次 迭 代 之 后 得 到 的 曲 线 叫 Koch 雪 花, 把 三 条 这 样 的 曲 线 头 尾 相 接 组 成 一 个 封 闭 图 形, 便 得 到 了 雪 花 图 形, 即 Koch 雪 花 如 图 2 图 2 [6] 1.2 无 限 长 的 曲 线 可 能 围 住 一 块 有 限 的 面 积 从 上 面 得 到 Koch 曲 线 和 Koch 雪 花 的 过 程, 可 以 发 现 : 整 个 线 条 的 长 度 每 一 次 都 变 成 了 原 来 的 4/3 如 果 最 初 的 线 段 长 为 一 个 单 位, 那 么 第 一 次 操 作 后 总 长 度 变 成 了 4/3, 第 二 次 操 作 后 总 长 增 加 到 16/9, 第 n 次 操 作 后 长 度 为 ( 4 3 )n 毫 无 疑 问, 操 作 无 限 进 行 下 去, 这 条 曲 线 将 达 到 无 限 长 然 而, 这 个 雪 花 一 样 的 图 形 有 着 无 限 长 的 边 界, 但 是 它 的 总 面 积 却 是 有 限 的 换 句 话 说, 无 限 长 的 曲 线 围 住 了 一 块 有 限 的 面 积 这 里 给 出 一 个 简 单 的 证 明 : 三 条 曲 线 中 每 一 条 的 第 n 次 迭 代 前 有 4 n 1 个 长 为 ( 1 3 )n 1 的 线 段, 迭 代 后 多 出 的 面 积 为 4 n 1 个 边 长 为 ( 1 3 )n 的 等 边 三 角 形 把 4 n 1 扩 大 到 4 n, 再 把 所 有 边 长 为 ( 1 3 )n 的 等 边 三 角 形 扩 大 为 同 样 边 长 的 正 方 形, 因 为 无 穷 级 数 4 9 n 显 然 收 敛, 所 以 总 面 积 是 有 限 的 1.3 Hausdorff 维 度 分 形 图 形 有 一 种 特 殊 的 计 算 维 度 的 方 法 我 们 可 以 看 到, 在 有 限 空 间 内 就 可 以 达 到 无 限
长 的 分 形 曲 线 似 乎 已 经 超 越 了 一 维 的 境 界, 但 说 它 是 二 维 图 形 又 还 不 够 Hausdorff 维 度 就 是 专 门 用 来 处 理 这 种 分 形 图 形 的 简 单 地 说,Hausdorff 维 度 描 述 分 形 图 形 中 整 个 图 形 的 大 小 与 一 维 大 小 的 关 系 比 如, 正 方 形 是 一 个 分 形 图 形, 因 为 它 可 以 分 成 四 个 一 模 一 样 的 小 正 方 形, 每 一 个 小 正 方 形 的 边 长 都 是 原 来 的 1/2 当 然, 你 也 可 以 把 正 方 形 分 成 9 个 边 长 为 1/3 的 小 正 方 形 事 实 上, 一 个 正 方 形 可 以 分 割 为 a 2 个 边 长 为 1 a 的 小 正 方 形 那 个 指 数 2 就 是 正 方 形 的 维 度 矩 形 三 角 形 都 是 一 样, 给 你 a 2 个 同 样 的 形 状 才 能 拼 成 一 个 边 长 为 a 倍 的 相 似 形, 因 此 它 们 都 是 二 维 的 我 们 把 这 里 的 边 长 理 解 为 一 维 上 的 长 度, 那 个 1 a 则 是 两 个 相 似 形 的 相 似 比 1 如 果 一 个 自 相 似 形 包 含 自 身 N 份, 每 一 份 的 一 维 大 小 都 是 原 来 的, 则 这 个 相 似 形 的 Hausdorff s 维 度 为 log(n)/log(s) 一 个 立 方 体 可 以 分 成 8 份, 每 一 份 的 一 维 长 度 都 是 原 来 的 一 半, 因 此 立 方 体 的 维 度 为 log(8)/log(2)=3 同 样 地, 一 个 Koch 曲 线 包 含 四 个 小 Koch 曲 线, 大 小 两 个 1 Koch 曲 线 的 相 似 比 为, 因 此 Koch 曲 线 的 Hausdorff 维 度 为 log(4)/log(3) 它 约 等 于 1.26, 3 是 一 个 介 于 1 和 2 之 间 的 实 数 2 Hilbert 曲 线 2.1 一 条 曲 线 可 以 填 满 整 个 平 面 [7] 在 介 绍 Hilbert 曲 线 之 前, 请 读 者 先 来 思 考 一 个 问 题 : 如 何 构 造 一 条 曲 线 使 得 它 可 以 填 满 整 个 平 面 在 这 里 我 们 仅 仅 说 明 存 在 一 条 填 满 单 位 正 方 形 的 曲 线 就 够 了, 因 为 将 此 单 位 正 方 形 平 铺 在 平 面 上 就 可 以 得 到 填 满 整 个 平 面 的 曲 线 大 多 数 人 可 能 会 想 到 下 面 这 种 构 造 方 法 : 先 画 一 条 单 位 长 的 曲 线, 然 后 把 它 变 成 一 个 几 字 形, 接 着 把 每 一 条 水 平 的 小 横 线 段 变 成 一 个 几 字 形, 然 后 不 断 迭 代 下 去, 最 后 得 到 的 图 形 一 定 可 以 填 满 整 个 单 位 正 方 形 如 图 三 图 3 我 们 甚 至 可 以 递 归 地 定 义 出 一 个 描 述 此 图 形 的 函 数 : 将 定 义 域 平 均 分 成 五 份, 第 二 和 第
四 份 对 应 两 条 竖 直 线 段 上 的 点, 并 继 续 对 剩 下 的 三 个 区 间 重 复 进 行 这 种 操 作 这 个 函 数 虽 然 分 布 得 有 些 不 均 匀, 但 它 确 实 是 一 个 合 法 的 函 数 最 后 的 图 形 显 然 可 以 填 充 一 个 正 方 形, 但 它 是 不 是 一 条 曲 线 我 们 无 法 确 定 而 事 实 上, 稍 作 分 析 便 会 发 现 这 条 曲 线 是 不 符 合 函 数 连 续 性 定 义 的 我 们 知 道, 函 数 连 续 性 定 义 如 下 : 函 数 f(x) 在 x = c 处 连 续 当 且 仅 当 对 于 一 个 任 意 小 的 正 数 ε, 你 总 能 找 到 一 个 正 数 δ, 使 得 对 于 定 义 域 上 的 所 有 满 足 c δ < x < c + δ 的 x 都 有 f(c) ε < f(x) < f(c) + ε 直 观 地 说, 如 果 函 数 上 有 一 点 P, 对 于 任 意 小 的 ε,p 点 左 右 一 定 范 围 内 的 点 与 P 的 纵 坐 标 之 差 均 小 于 ε, 那 么 函 数 在 P 点 处 连 续 这 样 就 保 证 了 P 点 两 旁 的 点 与 P 无 限 接 近, 也 就 是 我 们 常 说 的 连 续 这 又 被 称 作 为 Epsilon-Delta 定 义, 可 以 写 成 ε δ 定 义 在 拓 扑 学 中, 也 有 类 似 于 ε δ 的 连 续 性 定 义 假 如 一 个 函 数 f(t) 对 应 空 间 中 的 点, 对 于 任 意 小 的 正 数 ε, 总 能 找 到 一 个 δ 使 得 定 义 域 (t δ, t + δ) 对 应 的 所 有 点 与 f(t) 的 距 离 都 不 超 过 ε, 那 么 我 们 就 说 f(t) 所 对 应 的 曲 线 在 点 f(t) 处 连 续 回 到 图 3, 考 虑 任 何 一 个 可 以 无 限 细 分 的 地 方 ( 比 如 x = 1 处 ), 只 要 ε < 1,δ 再 小 其 范 2 2 围 内 也 有 一 条 竖 线 捅 破 ε 的 界 线 这 就 好 像 当 n 趋 于 无 穷 时 sin(nx) 根 本 不 是 一 条 确 定 的 曲 线 一 样, 因 为 某 个 特 定 的 函 数 值 根 本 不 能 汇 聚 到 一 点 考 虑 到 这 一 点, 我 们 能 想 到 的 很 多 可 以 填 满 平 面 的 曲 线 都 不 是 真 正 意 义 上 的 连 续 曲 线 为 了 避 免 这 样 的 情 况 出 现, 这 条 曲 线 必 须 先 把 自 己 周 围 填 满 再 延 伸 出 去, 而 填 满 自 己 周 围 前 又 必 须 先 填 满 更 小 规 模 的 周 围 这 让 我 们 联 想 到 分 形 图 形 2.2 Hilbert 曲 线 的 构 造 德 国 数 学 家 David Hilbert 发 现 了 这 样 一 种 可 以 填 满 整 个 单 位 正 方 形 的 分 形 曲 线, 他 称 它 为 Hilbert 曲 线 我 们 来 看 一 看 这 条 曲 线 是 怎 么 构 造 出 来 的 首 先, 我 们 把 一 个 正 方 形 分 割 为 4 个 小 正 方 形, 然 后 从 左 下 角 的 那 个 小 正 方 形 开 始, 画 一 条 线 经 过 所 有 小 正 方 形, 最 后 到 达 右 下 角 现 在, 我 们 需 要 把 这 个 正 方 形 分 成 16 个 小 正 方 形, 目 标 同 样 是 从 左 下 角 出 发 遍 历 所 有 的 格 子 最 后 到 达 右 下 角 而 在 这 之 前 我 们 已 经 得 到 了 一 个 2x2 方 格 的 遍 历 方 法, 我 们 正 好 可 以 用 它 把 两 个 2x2 的 格 子 原 封 不 动 地 放 在 上 面 两 排, 右 旋 90 度 放 在 左 下, 左 旋 90 度 放 在 右 下, 然 后 再 补 三 条 线 段 把 它 们 连 起 来 现 在 我 们 得 到 了 一 种 从 左 下 到 右 下 遍 历 4x4 方 格 的 方 法, 而 这 又 可 以 用 于 更 大 规 模 的 图 形 中 用 刚 才 的 方 法 把 四 个 4x4 的 方 格 放 到 8x8 的 方 格
中, 我 们 就 得 到 了 一 条 经 过 所 有 64 个 小 方 格 的 曲 线 不 断 地 这 样 做 下 去, 无 限 多 次 地 迭 代 后, 每 个 方 格 都 变 得 无 穷 小, 最 后 的 图 形 显 然 经 过 了 方 格 上 所 有 的 点, 它 就 是 我 们 所 说 的 Hilbert 曲 线 如 图 4 图 4 下 图 是 一 个 迭 代 了 n 多 次 后 的 图 形, 大 致 上 反 映 出 Hilbert 曲 线 的 样 子 如 图 5 图 5 根 据 上 面 这 种 方 法, 我 们 可 以 构 造 出 函 数 f(t) 使 它 能 映 射 到 单 位 正 方 形 中 的 所 有 点 Hilbert 曲 线 完 全 符 合 ε-δ 定 义 2.3 Hilbert 曲 线 的 Hausdorff 维 度 与 意 义 Hilbert 曲 线 是 一 条 经 典 的 分 形 曲 线 它 违 背 了 很 多 常 理 比 如, 把 Hilbert 曲 线 平 铺 在 整 个 平 面 上, 它 就 成 了 一 条 填 满 整 个 平 面 的 曲 线 两 条 Hilbert 曲 线 对 接 可 以 形 成 一 个 封 闭 曲 线, 而 这 个 封 闭 曲 线 竟 然 没 有 内 部 空 间 可 以 计 算,Hilbert 曲 线 的 Hausdorff 维 度 等 于 log(4)/log(2) 这 再 一 次 说 明 了 它 可 以 填 满 整 个 平 面 Hilbert 曲 线 的 价 值 在 于 建 立 一 维 空 间 与 二 维 空 间 一 一 对 应 的 关 系 Hilbert 曲 线 可 以 看 作 是 一 个 一 维 空 间 到 二 维 空 间 的 映 射, 也 就 是 说 我 们 证 明 了 直 线 上 的 点 和 平 面 上 的 点 一 样 多 Hilbert 曲 线 也 是 一 种 遍 历 二 维 格 点 的 方 法, 它 同 样 可 以 用 来 证 明 自 然 数 和 有 理 数 一 样 多
3. Sierpinski 三 角 形 3.1 Sierpinski 三 角 形 的 构 造 和 之 前 介 绍 的 两 种 图 形 一 样,Sierpinski 三 角 形 也 是 一 种 分 形 图 形, 它 是 递 归 地 构 造 的 最 常 见 的 构 造 方 法 如 上 图 所 示 : 把 一 个 三 角 形 分 成 四 等 份, 挖 掉 中 间 那 一 份, 然 后 继 续 对 另 外 三 个 三 角 形 进 行 这 样 的 操 作, 并 且 无 限 地 递 归 下 去 如 图 6 图 6 每 一 次 迭 代 后 整 个 图 形 的 面 积 都 会 减 小 到 原 来 的 3/4, 因 此 最 终 得 到 的 图 形 面 积 显 然 为 0 这 也 就 是 说,Sierpinski 三 角 形 其 实 是 一 条 曲 线, 它 的 Hausdorff 维 度 介 于 1 和 2 之 间 [8] 3.2 随 机 运 动 与 Sierpinski 三 角 形 这 种 随 机 运 动 可 以 这 样 设 想, 从 平 面 某 一 点 z 0 开 始, 选 择 一 个 ( 随 机 选 择 ) 方 向 游 动 一 段 距 离 并 停 止, 再 选 择 另 一 方 向 游 动 一 段 距 离 并 停 止 取 一 个 等 边 三 角 形, 它 的 三 个 顶 点 用 数 字 1 2 3 表 示, 然 后 将 一 个 骰 子 的 4 5 6 三 点 分 别 改 为 3 2 1 这 样, 一 个 骰 子 只 有 1 2 3 三 种 数 字 从 Z 0 出 发, 若 掷 骰 子 的 数 为 2, 则 沿 Z 0 和 顶 点 2 的 连 线 游 动 一 半 距 离 到 达 Z 1 再 投 掷 骰 子 的 数 为 1, 则 沿 Z 1 和 三 角 形 顶 点 1 的 连 线 游 动 一 半 距 离 到 达 Z 2 骰 子 不 断 地 随 机 游 动, 在 三 角 形 内 产 生 很 多 点 :Z 1, Z 2, Z 3, Z 4,, Z n 最 后 出 现 了 具 有 自 相 似 性 结 构 的 的 Sierpinski 三 角 形 如 图 7 3.3 Sierpinski 三 角 形 与 杨 辉 三 角 图 7
图 8 杨 辉 三 角 如 图 8 其 中, 用 灰 色 的 衬 底 标 注 奇 数, 用 黑 色 的 衬 底 标 注 偶 数, 容 易 发 现, 杨 辉 三 角 前 四 行 的 可 以 组 成 一 个 二 阶 的 Sierpinski 三 角 形 由 于 它 的 第 四 行 全 是 奇 数, 奇 数 与 奇 数 之 和 等 于 偶 数, 那 么 第 五 行 中 除 了 首 尾 两 项 为 1 外 其 余 项 都 是 偶 数 而 偶 数 与 偶 数 之 和 还 是 偶 数, 因 此 中 间 那 一 排 连 续 的 偶 数 不 断 地 两 两 相 加 必 然 得 到 一 个 全 是 偶 数 项 的 倒 三 角 同 时, 第 五 行 首 尾 的 两 个 1 将 分 别 产 生 两 个 和 杨 辉 三 角 前 四 行 一 样 的 二 阶 Sierpinski 三 角 形 这 正 好 组 成 了 一 个 三 阶 的 Sierpinski 三 角 形 显 然 它 的 最 末 行 仍 然 均 为 奇 数, 那 么 对 于 更 大 规 模 的 杨 辉 三 角, 结 论 将 继 续 成 立 3.4 Sierpinski 三 角 形 与 Hanoi 塔 我 们 将 二 阶 Hanoi 塔 先 画 出 来, 如 图 9: 图 9 如 果 把 三 阶 的 Hanoi 塔 表 示 成 无 向 图 的 话, 得 到 的 结 果 就 是 三 阶 的 Sierpinski 三 角 形 下 面 的 这 张 图 说 明 了 这 一 点 把 二 阶 Hanoi 塔 对 应 的 无 向 图 复 制 两 份 放 在 下 面, 然 后 在 不 同 的 柱 子 上 为 每 个 子 图 的 每 个 状 态 添 加 一 个 更 大 的 盘 子 新 的 图 中 原 来 可 以 互 相 转 移 的 状 态 现 在 仍 然 可 以 转 移, 同 时 还 出 现 了 三 个 新 的 转 移 关 系 将 三 个 子 图 连 接 在 了 一 起 重 新 调 整 一 下 各 个 节 点 的 位 置, 我 们 可 以 得 到 一 个 三 阶 的 Sierpinski 三 角 形
图 10 显 然 对 于 更 大 规 模 的 Hanoi 塔, 结 论 同 样 成 立 4. Cantor 集 4.1 Cantor 集 的 形 成 康 托 集 合 是 闭 区 间 [0,1] 的 子 集, 它 的 定 义 如 下 : 给 定 区 间 [0,1], 把 这 个 区 间 分 成 三 段, 去 掉 中 间 那 一 端 ( 即 去 掉 (1/3,2/3)), 然 后 把 剩 下 的 两 段 中 每 一 段 都 按 照 刚 才 的 方 法 再 进 行 操 作, 然 后 再 分, 再 分, 就 这 样 一 直 挖 洞 挖 下 去 在 第 二 次 操 作 后, 剩 下 的 区 间 是 [0,1/9] [2/9,1/3] [2/3,7/9] [8/9,1], 再 操 作 一 次 后 区 间 将 由 8 段 构 成 依 次 类 推 如 图 11 4.2 Cantor 集 无 限 小 却 无 限 大 的 集 合 [9] 图 11
n 次 操 作 后, 区 间 的 总 长 度 为 ( 2 3 )n, 当 n 趋 于 无 穷 时, 区 间 长 度 趋 于 0 但 是 这 并 不 能 说 明 这 个 区 间 里 没 有 任 何 元 素 事 实 上, 我 们 可 以 找 到 至 少 一 个 元 素 比 如, 下 图 中 绿 色 的 点 表 示 三 等 分 点, 如 果 P 满 足 AP/AB=A'P/A'B' 的 话, 那 么 P 点 始 终 以 比 例 相 同 的 位 置 留 在 某 一 段 上, 这 样 的 话 即 使 无 限 地 分 下 去 也 不 会 把 它 挖 掉 图 12 P 点 的 坐 标 可 以 通 过 解 这 个 方 程 得 到 :x/1=(x-2/9)/(1/9) 解 出 来 x 为 1/4 因 此, 1/4 属 于 康 托 集 合 当 然, 除 了 1/4 之 外 还 有 很 多 点 在 这 个 集 合 内, 我 们 只 是 找 到 了 其 中 一 个 事 实 上, 康 托 集 合 内 的 元 素 有 无 穷 多 个 假 如 我 们 把 所 有 0 到 1 的 数 用 三 进 制 表 示, 那 么 我 们 发 现, 去 掉 的 部 分 都 是 三 进 制 小 数 里 有 数 字 1 的 比 如, 第 一 次 操 作 时,1/3 和 2/3 的 三 进 制 分 别 是 0.1 和 0.2, 我 们 去 掉 的 是 所 有 从 0.1 到 0.2 的 数 ( 不 包 含 端 点, 因 为 0.1 也 可 以 写 成 0.0222222222...) 第 二 次 操 作 就 去 掉 了 百 分 位 有 1 的 那 些 数, 依 此 类 推 因 此, 只 要 一 个 位 于 0 和 1 之 间 的 三 进 制 小 数 能 够 只 用 0 和 2 写 出, 那 么 它 就 属 于 康 托 集 合, 因 为 它 永 远 不 会 被 去 掉 刚 才 的 1/4 转 化 为 三 进 制 是 0.020202..., 因 此 它 属 于 这 个 集 合 显 然, 这 样 的 数 有 无 穷 多 个, 比 如 三 进 制 0.002002002... 等 于 十 进 制 的 1/13, 因 此 它 也 属 于 康 托 集 合 同 样, 康 托 集 合 里 不 存 在 孤 点, 因 为 在 它 的 左 右 可 以 找 出 无 数 个 属 于 康 托 集 合 的 数 应 用 对 角 线 方 法, 这 个 集 合 里 的 元 素 居 然 还 是 不 可 数 的 事 实 上, 我 们 可 以 建 立 康 托 集 合 与 闭 区 间 [0,1] 的 一 一 对 应 关 系 用 以 下 方 法 可 以 把 康 托 集 合 里 的 所 有 数 与 [0,1] 的 所 有 实 数 对 应 起 来 : 将 康 托 集 合 内 的 任 意 一 个 转 化 为 三 进 制 小 数 后, 把 每 一 个 数 字 除 以 2, 再 当 成 是 二 进 制 小 数 转 化 回 来 由 于 这 些 三 进 制 小 数 里 只 含 0 和 2, 因 此 康 托 集 合 里 的 每 个 数 都 恰 好 能 转 化 为 一 个 [0,1] 之 间 的 二 进 制 小 数 ; 同 样 地, 二 进 制 小 数 里 的 每 个 1 变 成 2 后 也 能 得 到 一 个 康 托 集 合 里 的 数
图 13 设 f 为 定 义 域 在 康 托 集 合 内 的 函 数, 定 义 f(x) 为 按 照 上 面 的 转 化 方 法 x 所 对 应 的 二 进 制 小 数, 显 然 这 个 函 数 的 值 域 就 是 [0,1] 比 如 1/3 的 三 进 制 为 0.0222..., 而 二 进 制 0.01111...=0.1 即 十 进 制 的 1/2, 因 此 f(1/3)=1/2 我 们 发 现,2/3 的 三 进 制 为 0.2, 而 0.1 的 十 进 制 也 是 1/2 于 是 f(1/3)=f(2/3) 类 似 地, 那 些 被 挖 去 的 区 间 的 两 个 端 点 对 应 的 函 数 值 都 相 同 现 在, 我 们 把 这 个 函 数 的 定 义 域 也 扩 展 到 [0,1]: 让 康 托 集 合 里 的 那 些 被 挖 去 的 区 间 里 的 点 的 函 数 值 与 该 区 间 对 应 的 端 点 相 同 ( 在 函 数 图 象 上 看 相 当 于 把 函 数 值 相 等 的 点 用 横 线 段 连 起 来 ) 于 是, f(1/2)=f(1/3)=f(2/3)=1/2,f(1/8)=f(1/9)=f(2/9)=1/4 这 个 函 数 一 定 是 上 升 函 数, 它 在 长 度 为 1 的 区 间 里 从 0 增 长 到 了 1 同 时, 这 个 函 数 也 是 一 个 连 续 函 数, 因 为 康 托 集 合 与 [0,1] 的 所 有 实 数 一 一 对 应 这 个 函 数 是 一 个 阶 梯 状 的 函 数, 但 是 它 不 是 分 段 的, 是 连 续 的 它 是 无 穷 多 个 横 线 段 组 成 的 一 个 连 续 函 数, 除 端 点 无 意 义 以 外 导 数 值 都 是 0 或 者 说, 这 个 函 数 在 不 变 之 中 上 升 4.3 元 素 两 两 相 加 可 以 遍 历 [0,2] [10] 我 们 在 平 面 直 角 坐 标 系 上 构 造 出 点 集 C C, 原 问 题 就 可 以 等 价 于, 对 于 任 意 一 个 实 数 a [0, 2], 直 线 x + y = a 都 将 经 过 这 个 平 面 点 集 中 的 至 少 一 个 点 如 图 14 图 14 注 意 到,C C 也 可 以 用 下 面 的 这 个 方 法 来 构 造 先 把 [0, 1] [0, 1] 分 成 九 个 小 正 方 形,
挖 去 中 间 的 五 个 小 正 方 形, 剩 下 四 个 小 正 方 形 注 意 到 直 线 x + y = a 是 一 条 45 度 倾 斜 的 直 线, 它 不 管 摆 在 哪 儿 都 会 穿 过 至 少 一 个 角 上 的 小 正 方 形 我 们 继 续 对 每 个 剩 下 的 小 正 方 形 做 分 割 - 擦 除 操 作, 让 每 个 小 正 方 形 也 只 剩 下 四 个 角 刚 才 那 条 直 线 也 就 会 穿 过 它 所 经 过 的 那 个 小 正 方 形 的 其 中 一 个 角 如 此 进 行 下 去, 我 们 将 会 得 到 单 位 正 方 形 的 其 中 一 角 的 其 中 一 角 的 其 中 一 角 的 其 中 一 角 最 后 就 会 收 敛 到 一 个 点 这 个 点 显 然 既 属 于 直 线 x + y = a, 又 属 于 平 面 点 集 C C 因 此, 只 要 0 a 2, 在 C 中 总 有 两 个 数, 他 们 的 和 恰 好 是 a 参 考 文 献 : [1] 陈 力, 邵 瑞. 分 形 理 论 及 其 在 物 理 学 中 的 应 用 [J]. 皖 西 学 院 学 报, 2006, 22(2): 38-40. [2] 李 进 保. 自 然 界 的 自 相 似 性 与 分 形 [J]. 焦 作 矿 业 学 院 学 报, 1994, 13(2): 100-104. [3] 姚 云 霞. 用 程 序 实 现 Koch 雪 花 曲 线 的 渐 变 [J]. 陇 东 学 院 学 报, 2010, 21(005): 17-18. [4] 刘 孝 贤, 赵 青. 基 于 分 形 的 中 国 沿 海 省 区 海 岸 线 复 杂 程 度 分 析 [J]. [5] 临 杰. 破 译 麦 田 圈 的 奇 特 密 码 [J]. 新 科 幻 ( 文 摘 版 ), 2012 (6). [6] matrix67. 神 奇 的 分 形 艺 术 ( 一 ): 无 限 长 的 曲 线 可 能 围 住 一 块 有 限 的 面 积 [EB/OL]. 2007[2013-10-17]. http://www.matrix67.com/blog/archives/243. [7] matrix67. 神 奇 的 分 形 艺 术 ( 二 ): 一 条 连 续 的 曲 线 可 以 填 满 整 个 平 面 [EB/OL]. 2007[2013-10-17]. http://www.matrix67.com/blog/archives/249. [8] 刘 式 达, 刘 式 适. 孤 波 和 湍 流 [M]. 上 海 科 技 教 育 出 版 社, 1994. [9] matrix67. 无 限 小 却 无 限 大 的 集 合 & 阶 梯 状 的 连 续 函 数 [EB/OL]. 2007[2013-10-17]. http://www.matrix67.com/blog/archives/137. [10] matrix67. 无 限 小 却 无 限 大 的 集 合 & 阶 梯 状 的 连 续 函 数 [EB/OL]. 2011[2013-10-17]. http://www.matrix67.com/blog/archives/4453.