高 等 数 学 课 程 教 学 大 纲 课 程 名 称 : 高 等 数 学 课 程 编 码 :607010001(2) 英 文 名 称 : Higher Mathematics 学 时 : 144 学 分 :8 开 课 学 期 : 第 一 学 期 第 二 学 期 适 用 专 业 : 本 科 经 管 类 各 专 业 课 程 类 别 : 公 共 必 修 课 先 修 课 程 : 完 成 高 中 阶 段 的 数 学 课 程 建 议 教 材 : 经 济 数 学 微 积 分 ( 第 二 版 ), 吴 传 生 主 编, 高 等 教 育 出 版 社, 2009 一 课 程 的 性 质 与 任 务 高 等 数 学 课 程 是 高 等 学 校 经 济 类 管 理 类 学 生 的 一 门 必 修 的 重 要 基 础 理 论 课, 它 是 为 培 养 新 时 期 适 应 社 会 发 展 需 要 的 高 素 质 高 质 量 的 专 业 人 才 服 务 的 通 过 本 课 程 的 学 习, 要 使 学 生 获 得 : 1. 函 数 2. 极 限 与 连 续 3. 一 元 函 数 微 积 分 学 4. 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 5. 多 元 函 数 微 积 分 学 6. 常 微 分 方 程 7. 无 穷 级 数 等 方 面 的 基 本 概 念 基 本 理 论 和 基 本 运 算 技 能, 为 学 习 后 继 课 程 和 进 一 步 获 得 数 学 知 识 奠 定 必 要 的 数 学 基 础 在 传 授 知 识 的 同 时, 要 通 过 各 个 教 学 环 节 逐 步 培 养 学 生 具 有 抽 象 思 维 能 力 逻 辑 推 理 能 力 空 间 想 象 能 力 和 自 学 能 力, 还 要 特 别 注 意 培 养 学 生 具 有 比 较 熟 练 的 运 算 能 力 和 综 合 运 用 所 学 知 识 去 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力
本 课 程 属 于 考 试 课 程 考 试 采 用 闭 卷 形 式, 满 分 为 100 分, 题 型 有 填 空 题 选 择 题 计 算 题 证 明 题 等, 易 中 难 比 例 为 4:4:2 学 期 总 评 成 绩 由 平 时 成 绩 ( 作 业 测 验 和 考 勤 等 ) 期 中 考 试 成 绩 和 期 末 考 试 成 绩 三 部 分 组 成, 计 算 公 式 为 : 总 评 成 绩 = 平 时 成 绩 10%+ 期 中 成 绩 30%+ 期 末 成 绩 60% 二 课 程 的 教 学 内 容 基 本 要 求 及 学 时 分 配 ( 一 ) 教 学 内 容 1. 函 数 集 合 : 集 合 的 概 念, 集 合 的 运 算, 区 间 和 邻 域 ; 映 射 : 映 射 的 概 念, 逆 映 射 与 复 合 映 射 ; 函 数 : 函 数 的 概 念, 函 数 的 基 本 性 态, 复 合 函 数 与 反 函 数, 函 数 的 运 算, 基 本 初 等 函 数 与 初 等 函 数, 函 数 关 系 的 建 立, 经 济 学 中 常 见 的 函 数 2. 极 限 与 连 续 极 限 : 数 列 极 限 的 定 义, 收 敛 数 列 的 性 质 ( 唯 一 性 有 界 性 ); 函 数 极 限 的 定 义, 函 数 的 左 右 极 限, 函 数 极 限 的 性 质 ( 局 部 保 号 性 局 部 有 界 性 ), 无 穷 小 与 无 穷 大 的 概 念 ; 极 限 的 四 则 运 算 法 则, 两 个 极 限 存 在 准 则 ( 夹 逼 准 则 和 单 调 有 界 准 则 ), 两 个 重 要 极 限, 无 穷 小 的 比 较 函 数 的 连 续 性 : 函 数 连 续 的 定 义, 间 断 点 及 其 分 类, 初 等 函 数 的 连 续 性, 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ( 最 大 最 小 值 定 理, 零 点 定 理 和 介 值 定 理 ) 3. 一 元 函 数 微 积 分 学 导 数 与 微 分 : 导 数 的 定 义, 导 数 的 几 何 意 义, 导 数 的 经 济 意 义 ( 含 边 际 与 弹 性 的 概 念 ), 可 导 性 与 连 续 性 的 关 系 ; 导 数 的 四 则 运 算 法 则, 复 合 函 数 求 导 法 则, 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 ; 高 阶 导 数 的 概 念, 初 等 函 数 的 一 二 阶 导 数 的 求 法, 隐 函 数 和 参 数 式 所 确 定 的 函 数 的 一 二 阶 导 数 的 求 法 ; 微 分 的 定 义, 微 分 的 运 算 法 则 ( 含 微 分 形 式 的 不 变 性 ) 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 : 罗 尔 定 理, 拉 格 朗 日 中 值 定 理, 柯 西 中 值 定 理 ; 洛 必 达 法 则 ; 用 导 数 判 定 函 数 的 单 调 性, 函 数 极 值 概 念 及 其 求 法, 简 单 的 最 大 值 最 小 值 应 用 问 题, 用 导 数 判 定 函 数 曲 线 的 凹 凸 性 与 拐 点, 水 平 与 垂 直 渐 近 线, 函 数
作 图 不 定 积 分 : 原 函 数 与 不 定 积 分 的 定 义, 不 定 积 分 的 性 质, 基 本 积 分 公 式, 换 元 积 分 法, 分 部 积 分 法, 有 理 函 数 三 角 函 数 有 理 式 及 简 单 无 理 函 数 的 积 分 定 积 分 及 其 应 用 : 定 积 分 的 定 义 及 其 性 质, 积 分 上 限 的 函 数 及 其 导 数, 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式, 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法 ; 广 义 积 分 的 概 念 ; 定 积 分 的 近 似 计 算 ; 定 积 分 在 几 何 学 中 的 应 用 ( 面 积 旋 转 体 体 积 ), 定 积 分 在 经 济 学 中 的 简 单 应 用 4. 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 向 量 代 数 : 空 间 直 角 坐 标 系, 向 量 概 念, 向 量 的 线 性 运 算, 向 量 的 坐 标, 向 量 的 数 量 积, 向 量 的 向 量 积, 两 向 量 的 夹 角, 两 向 量 平 行 与 垂 直 的 条 件 平 面 与 直 线 : 平 面 的 方 程 ( 点 法 式 一 般 式 截 距 式 ), 直 线 的 方 程 ( 参 数 式 对 称 式 一 般 式 ), 夹 角 ( 平 面 与 平 面 平 面 与 直 线 直 线 与 直 线 ), 平 行 与 垂 直 的 条 件 ( 平 面 与 平 面 平 面 与 直 线 直 线 与 直 线 ) 曲 面 与 空 间 曲 线 : 曲 面 方 程 的 概 念, 球 面 方 程, 以 坐 标 轴 为 旋 转 轴 的 旋 转 曲 面, 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 方 程 ; 空 间 曲 线 的 参 数 方 程 和 一 般 方 程, 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影 5. 多 元 函 数 微 积 分 学 多 元 函 数 : 多 元 函 数 的 概 念, 二 元 函 数 的 几 何 表 示, 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 性, 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质 偏 导 数 与 全 微 分 : 偏 导 数 的 定 义 及 其 计 算 法, 高 阶 偏 导 数 的 概 念 及 复 合 函 数 二 阶 偏 导 数 的 求 法 ; 全 微 分 的 定 义, 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件, 多 元 复 合 函 数 的 求 偏 导 法 则, 隐 函 数 的 求 偏 导 公 式 ( 含 方 程 组 的 情 形 ) 偏 导 数 的 应 用 : 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法, 最 大 值 最 小 值 问 题, 条 件 极 值, 拉 格 朗 日 乘 数 法 二 重 积 分 : 二 重 积 分 的 概 念 性 质 及 计 算 ( 直 角 坐 标 极 坐 标 ); 无 界 区 域 上 较 简 单 的 二 重 积 分 6. 常 微 分 方 程 微 分 方 程 的 一 般 概 念 : 微 分 方 程 的 定 义 阶 解 通 解 初 始 条 件 特 解 一 阶 微 分 方 程 : 可 分 离 变 量 微 分 方 程, 齐 次 方 程, 一 阶 线 性 微 分 方 程
可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 : y n f x 型, y f x, y 型, y f y y x 方 程, 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 ( f ( x) e P ( x) 分 方 程 型, m, 型 高 阶 线 性 微 分 方 程 : 高 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构, 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 型 ) 微 分 方 程 的 简 单 的 经 济 应 用 7. 无 穷 级 数 常 数 项 级 数 : 无 穷 级 数 及 其 收 敛 与 发 散 的 定 义, 无 穷 级 数 的 基 本 性 质, 级 数 收 敛 的 必 要 条 件, 几 何 级 数 和 P 级 数 的 敛 散 性 ; 正 项 级 数 的 比 较 比 值 及 根 值 审 敛 法, 交 错 级 数 的 莱 布 尼 兹 定 理, 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 概 念 及 其 关 系 幂 级 数 : 幂 级 数 的 概 念, 阿 贝 尔 定 理, 较 简 单 的 幂 级 数 的 收 敛 域 的 求 法, 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质, 幂 级 数 求 和 函 数 ; 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 ( 二 ) 基 本 要 求 1. 正 确 理 解 下 列 基 本 概 念 和 它 们 之 间 的 内 在 联 系 : 函 数, 极 限, 无 穷 小, 连 续, 导 数, 微 分, 极 值, 不 定 积 分, 定 积 分, 偏 导 数, 全 微 分, 条 件 极 值, 重 积 分, 无 穷 级 数, 微 分 方 程, 差 分 方 程 2. 正 确 理 解 下 列 基 本 定 理 和 公 式 并 能 正 确 运 用 : 极 限 的 主 要 定 理, 罗 尔 定 理 和 拉 格 朗 日 中 值 定 理, 定 积 分 作 为 其 上 限 函 数 的 求 导 定 理, 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 3. 牢 固 掌 握 下 列 公 式 : 两 个 重 要 极 限, 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式, 基 本 积 分 公 式, 函 数 x f ( x) e P ( x)cos x P ( x)sin x e x l, sin x,ln(1 x n x),(1 ) 的 幂 级 数 展 开 式 4. 熟 练 运 用 下 列 法 则 和 方 法 : 导 数 的 四 则 运 算 法 则 和 复 合 函 数 的 求 导 法, 换 元 积 分 法 和 分 部 积 分 法, 二 重 积 分 的 计 算 法, 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法, 变 量 可 分 离 的 方 程 及 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 解 法, 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 5. 会 运 用 微 积 分 和 常 微 分 方 程 的 方 法 解 一 些 简 单 的 几 何 经 济 应 用 问 题 ( 三 ) 学 时 分 配 本 课 程 的 教 学 时 数 为 144 学 时, 课 内 外 学 时 比 例 为 1:2, 课 内 学 时 分 配 如 下
表 : 课 程 内 容 教 学 环 节 学 时 讲 课 习 题 课 小 计 函 数 2 2 4 极 限 连 续 12 2 14 导 数 与 微 分 12 4 16 中 值 定 理 与 导 数 应 用 10 4 14 不 定 积 分 8 2 10 定 积 分 10 2 12 定 积 分 的 应 用 4 2 6 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 10 2 12 多 元 函 数 微 分 学 12 2 14 二 重 积 分 4 2 6 微 分 方 程 与 差 分 方 程 14 2 16 无 穷 级 数 16 4 20 合 计 114 30 144 ( 四 ) 课 程 内 容 的 重 点 难 点 1. 函 数 极 限 连 续 重 点 : 函 数 概 念, 复 合 函 数 概 念, 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形, 极 限 概 念, 极 限 四 则 运 算 法 则, 连 续 概 念 难 点 : 极 限 的 ε N ε δ 定 义, 等 价 无 穷 小 求 极 限 2. 一 元 函 数 微 分 学 重 点 : 导 数 和 微 分 的 概 念, 导 数 的 几 何 意 义 与 经 济 意 义 及 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系, 导 数 的 四 则 运 算 法 则 和 复 合 函 数 的 求 导 法, 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式, 初 等 函 数 的 一 阶 二 阶 导 数 的 求 法, 罗 尔 定 理 和 拉 格 朗 日 定 理, 函 数 的 极 值 概 念, 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 和 求 极 值 的 方 法 难 点 : 复 合 函 数 的 求 导 法, 隐 函 数 和 参 数 式 所 确 定 的 函 数 的 高 阶 导 数 3. 一 元 函 数 积 分 学
重 点 : 不 定 积 分 和 定 积 分 的 概 念 及 性 质, 不 定 积 分 的 基 本 公 式, 不 定 积 分 定 积 分 的 换 元 法 与 分 部 积 分 法, 变 上 限 的 积 分 作 为 其 上 限 的 函 数 及 其 求 导 定 理, 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式, 用 定 积 分 表 达 一 些 几 何 量, 用 定 积 分 求 解 一 些 简 单 的 经 济 应 用 题 难 点 : 变 上 限 函 数 的 求 导, 广 义 积 分 4. 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 重 点 : 空 间 直 角 坐 标 系, 向 量 的 概 念 及 其 表 示, 向 量 的 运 算 ( 线 性 运 算 点 乘 法 叉 乘 法 ), 单 位 向 量 方 向 余 弦 向 量 的 坐 标 表 达 式 以 及 用 坐 标 表 达 式 进 行 向 量 运 算 的 方 法, 平 面 方 程 和 直 线 方 程 及 其 求 法, 曲 面 方 程 的 概 念 难 点 : 向 量 的 叉 乘 法, 利 用 平 面 直 线 的 相 互 关 系 解 决 有 关 问 题, 曲 线 曲 面 的 投 影 5. 多 元 函 数 微 积 分 学 重 点 : 多 元 函 数 的 概 念, 偏 导 数 和 全 微 分 的 概 念, 复 合 函 数 阶 偏 导 数 的 求 法, 多 元 函 数 极 值 和 条 件 极 值 的 概 念, 二 重 积 分 的 概 念, 二 重 积 分 的 计 算 方 法 难 点 : 复 合 函 数 的 高 阶 偏 导 数, 隐 函 数 的 偏 导 数, 求 条 件 极 值 的 拉 格 朗 日 乘 数 法, 极 坐 标 下 二 重 积 分 的 计 算 6. 常 微 分 方 程 重 点 : 变 量 可 分 离 的 方 程 及 一 阶 线 性 方 程 的 解 法, 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构, 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 难 点 : 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 求 解 7. 无 穷 级 数 重 点 : 无 穷 级 数 收 敛 发 散 以 及 和 的 概 念, 几 何 级 数 和 P 级 数 的 收 敛 性, 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法, 比 较 简 单 的 幂 级 数 收 敛 区 间 的 求 法 难 点 : 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法, 交 错 级 数 的 莱 布 尼 兹 定 理, 幂 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数, 函 数 展 开 为 幂 级 数 三 推 荐 教 材 及 参 考 书 推 荐 教 材 : 经 济 数 学 - 微 积 分, 主 编 : 吴 传 生 出 版 社 : 高 等 教 育 出 版 社
出 版 或 修 订 时 间 :2005 年 6 月 参 考 书 : 高 等 数 学, 第 五 版, 主 编 : 同 济 大 学 应 用 数 学 系 出 版 社 : 高 等 教 育 出 版 社 出 版 或 修 订 时 间 :2002 年 7 月 高 等 数 学 习 题 课 教 程, 主 编 : 彭 斯 俊 出 版 社 : 武 汉 理 工 大 学 出 版 社 出 版 或 修 订 时 间 :2003 年 9 月 新 编 高 等 数 学 导 学, 主 编 : 蔡 子 华 出 版 社 : 科 学 出 版 社 出 版 或 修 订 时 间 :2000 年 9 月 高 等 数 学 习 题 课 讲 义, 主 编 : 梅 顺 治 出 版 社 : 科 学 出 版 社 出 版 或 修 订 时 间 :2000 年 7 月 Calculus, 第 七 版 主 编 :Howard Anton 出 版 社 :John Wiley & Sons 出 版 或 修 订 时 间 :2001 年 制 定 人 : 邹 赢 审 定 人 : 批 准 人 : 2010 年 9 月