论 奥 数 教 育 的 症 结 2015-12-14 玄 野 作 为 应 试 教 育 的 极 端, 奥 数 已 经 侵 淫 中 国 二 十 余 年, 同 时 在 欧 美 发 达 国 家 的 基 础 教 育 中 也 影 响 巨 大 人 们 对 奥 数 教 育 微 辞 颇 多, 甚 至 于 深 恶 痛 绝, 称 之 为 杂 耍 数 学 教 育, 毁 灭 孩 子 的 正 常 理 性 思 维 然 而 奥 数 教 育 却 在 一 片 质 疑 声 和 斥 责 声 中 蓬 勃 发 展, 如 火 如 荼 当 然 这 种 现 象 也 不 是 数 学 教 育 中 独 有, 各 类 应 试 教 育 都 有 相 似 格 局, 只 是 这 奥 数 发 展 得 比 较 极 致, 其 对 孩 子 的 理 性 思 维 造 成 的 淆 乱 比 较 严 重, 为 其 他 应 试 教 育 无 法 相 比 数 学 是 一 切 科 学 的 基 础, 不 适 当 的 教 学 路 径 对 学 生 造 成 的 影 响 深 远 而 严 重 但 是 公 允 地 说, 奥 数 教 育 就 只 是 坑 害 学 生 吗? 私 以 为 并 非 如 此, 至 少 帮 助 孩 子 们 建 立 了 合 适 的 学 习 习 惯, 其 解 题 思 路 虽 然 光 怪 陆 离, 但 孩 子 依 然 会 从 其 中 领 悟 到 数 学 与 科 学 需 要 的 是 一 些 严 密 复 杂 的 流 程, 而 不 是 灵 光 一 现 就 解 决 了 问 题 问 题 在 于, 对 于 悟 性 一 般 的 孩 子, 专 注 于 解 题 思 路, 而 不 是 着 重 在 科 学 概 念 的 理 解 上, 会 造 成 其 对 科 学 概 念 与 解 析 流 程 的 理 解 紊 乱, 无 法 构 建 正 确 的 理 性 思 维 架 构 而 实 际 中 能 达 到 从 老 师 的 怪 异 解 题 方 法 中 悟 出 正 确 原 理 的 孩 子 应 该 是 很 稀 少 的 教 孩 子 们 科 学 知 识, 尤 其 是 数 学 知 识, 目 标 必 须 在 科 学 的 基 本 概 念 和 现 实 物 理 意 义 上, 而 不 可 以 局 限 在 解 决 某 种 题 目 的 方 法 上 洋 洋 自 得 于 解 题 方 法, 与 孩 子 们 沉 迷 于 电 子 游 戏 无 异 这 些 都 与 孩 子 们 理 解 自 然 事 理 和 实 际 应 用 没 有 太 大 关 系, 反 而 会 成 为 大 多 数 孩 子 心 中 的 障 碍 奥 数 的 症 结 在 于 其 专 注 在 解 决 各 类 数 学 考 题 的 高 效 快 速 的 方 法 上, 而 不 是 将 解 题 作 为 一 种 手 段 帮 助 孩 子 们 正 确 理 解 数 学 与 科 学 的 基 本 原 理 概 念 和 正 确 的 分 析 流 程, 有 坐 井 观 天 之 虞 下 面 我 们 以 一 个 实 际 的 奥 数 题 目 为 例 来 解 析 一 下 奥 数 教 育 的 症 结 所 在 有 这 样 一 个 奥 数 题 目 : 如 果 274! 可 以 被 12^x 整 除 (12^x 代 表 12 的 x 次 幂, 比 如 12^5 = 12*12*12*12*12 ), 那 么 x 的 最 大 可 能 整 数 值 是 多 少? 显 然, 这 个 题 目 是 考 查 素 数 的 概 念, 就 是 如 下 的 原 理 : 一, 任 何 一 个 整 数 都 可 以 分 解 成 多 个 素 数 的 乘 积 二, 任 何 素 数 只 能 被 一 和 其 自 身 整 除 三, 任 意 多 素 数 的 乘 积, 如 果 因 子 中 不 含 有 某 个 素 数, 这 个 乘 积 也 必 然 不 可 以 被 这 个 素 数 整 除 其 肯 定 意 义 上 的 表 述 为 : 如 果 这 个 乘 积 可 以 被 某 素 数 整 除, 那 么 其 因 子 中 必 然 含 有 这 个 素 数 条 件 与 结 论 互 为 充 要 条 件 直 观 地 说, 题 目 的 要 求 就 是 在 被 除 数 中 能 分 解 出 多 少 个 12 解 决 这 道 题, 首 先 要 看 除 数, 因 为 其 根 12 是 一 个 合 数, 而 我 们 不 能 直 接 在 被 除 数 中 简 单 地 寻 找 12 的 倍 数 来 解 题, 因 为 两 个 偶 数 和 另 外 一 个 三 的 倍 数 就 可 以 构
成 一 个 因 子 12, 例 如 14,22, 和 15 的 乘 积 就 可 以 凑 出 一 个 12 那 么 第 一 步 就 是 分 解 12: 12 = 3 * (2^2) 第 二 步, 寻 找 被 除 数 中 有 多 少 因 子 3 和 因 子 2 一 般 来 说, 寻 找 有 合 数 因 子 的 数 比 较 麻 烦, 而 寻 找 有 素 数 因 子 的 数 就 很 简 单 274 的 阶 乘 中 有 多 少 个 因 子 3 呢, 首 先 就 是 1 到 274 这 些 数 中 有 多 少 个 三 的 倍 数, 每 三 个 数 一 个 吗, 用 274 一 除 就 行 了, 取 整 就 是 其 中 有 多 少 个 三 的 倍 数 更 细 致 的 问 题 是, 某 些 数 中 不 止 有 一 个 因 子 3, 比 如 9 有 两 个 因 子 3, 所 有 9 的 倍 数 也 有 两 个 因 子 3 27 有 三 个 因 子 3, 而 27 的 倍 数 也 会 有 三 个 因 子 3; 依 此 类 推 那 么 这 第 二 步 就 应 该 分 解 成 多 个 步 骤 来 解 决 : 第 一,274 除 以 3, 弃 尾 取 整 得 到 有 多 少 个 数 至 少 有 一 个 因 子 3, 得 A1 第 二,274 除 以 9, 弃 尾 取 整 得 到 有 多 少 个 数 至 少 有 两 个 因 子 3, 得 A2 第 三,274 除 以 27, 弃 尾 取 整 得 到 有 多 少 个 数 至 少 有 三 个 因 子 3, 得 A3 依 此 类 推, 直 到 最 后 的 商 An 小 于 三 最 后, 因 子 3 数 量 如 何 算 呢?9 中 有 两 个 因 子 3, 是 否 要 A1+2*A2? 显 然 不 行, 因 为 9 作 为 三 的 倍 数 已 经 在 A1 中 被 记 过 一 次 因 子 3 了, 所 以 A2 所 贡 献 的 因 子 3 只 能 再 算 一 个 而 27 呢, 因 为 在 A1 和 A2 中 被 记 过 两 次, 所 以 也 只 能 再 算 一 个 那 么, 最 后 因 子 3 的 数 量 将 会 是 A=A1+A2+A3+ +An=135 因 子 2 的 数 量 也 依 此 计 算 出 来 : B=B1+B2+B3+ +Bm=271 第 三 步, 计 算 指 数 x 的 最 大 值 除 数 12^x 可 以 化 作 两 个 因 子 的 幂, 即 (3*2^2)^x = (3^x) * ((2^2)^x) 这 里 面 有 一 个 极 其 重 要 的 概 念, 就 是 指 数 运 算 的 分 配 律 这 从 加 法 的 分 配 律 衍 生
出 来, 基 本 可 以 算 作 人 思 维 的 基 础 直 觉, 看 似 简 单 没 意 思, 实 则 是 最 重 要 的 概 念 这 就 像 建 筑 中 的 基 本 原 料 水 泥 一 样 (a*b)^n= (a^n) * (b^n) 通 过 以 上 运 算 可 以 知 道 274!= (3^135) * (2^ 271) * C 其 中 C 是 不 含 有 因 子 2 和 3 的 某 个 整 数 x 所 必 须 满 足 的 条 件 是 : (3^x) * ((2^2)^x) <= (3^135) * (2^271) 最 后 的 条 件 就 可 以 简 化 成 : 一,x 135 二,2x 271 因 为 两 个 条 件 是 与 的 关 系, 也 就 是 说, 两 个 条 件 必 须 同 时 满 足, 答 案 才 是 正 确 的 这 里 面 又 是 一 个 更 加 重 要 更 加 基 础 的 概 念, 就 是 逻 辑 中 的 运 算 因 子 与 或 者 说 形 式 逻 辑 中 的 两 个 必 要 条 件 构 成 一 个 充 分 条 件 这 里 不 必 要 追 溯 到 数 理 逻 辑 的 同 一 律, 排 中 律 和 矛 盾 律, 但 逻 辑 常 识 应 该 借 此 机 会 讲 授 由 此 可 以 得 出 答 案, x 的 最 大 值 为 135 题 外 之 话, 如 果 改 变 阶 乘 的 基 数 274 为 其 他 数 值, 求 其 中 的 因 子 2 和 因 子 3 的 数 量, 可 以 发 现 因 子 2 的 数 量 总 大 约 是 因 子 3 数 量 的 两 倍 有 兴 趣 的 人 可 以 逻 辑 上 推 演 一 下, 最 后 的 结 论 就 是 比 较 这 样 两 个 数 的 关 系 1/2+1/4+ +2^(-m) 1/3+1/9+ +3^(-n) 如 这 里 的 274 当 m,n 趋 近 于 无 穷 大 时,M=1,N=1/2 一 般 来 说,n 必 然 要 小 于 m, 因 为 这 是 递 减 的 等 比 数 列, 头 几 个 数 值 基 本 决 定 了 M 和 N 的 大 致 值, 所 以 M 总 是 N 的 两 倍 多 一 点 我 们 再 来 看 奥 数 班 的 讲 解 方 式 当 然, 解 题 思 路 不 会 有 什 么 变 化, 只 是 其 中 细 节 可 以 找 点 巧 处 如 果 有 哪 位 奥 数 老 师 会 强 调 讲 解 以 上 所 提 到 的 几 大 基 础 概 念 与 原 理, 那 就 是 学 生 们 的 福 气 了 但 我 极 其 怀 疑 在 当 代 奥 数 教 育 中 一 百 个 老 师 里 会 不 会 找 到 一 个 老 师 这 么 讲, 因 为 这 种 讲 解 方 式 与 奥 数 教 育 目 标 是 完 全 相 反 的
儿 子 从 奥 数 课 上 回 来, 这 道 题 让 他 做 得 简 洁 得 难 以 接 受 整 个 解 题 过 程 就 剩 下 这 样 几 步 ( 以 下 等 式 为 取 整 运 算 ): 274/3=91 91/3=30 30/3=10 10/3=3 3/3=1 91+30+10+3+1=135 274/2=137 137/2=68 68/2=34 34/2=17 17/2=8 8/2=4 4/2=2 2/2=1 137+68+34+17+8+4+2+1=271 135<271, 所 以 最 终 答 案 是 x 的 最 大 值 是 135 我 相 信 老 师 在 讲 解 此 类 题 目 时 已 经 完 整 地 讲 解 了 具 体 思 路, 但 是 学 生 所 记 住 的 只 有 针 对 于 此 类 题 目 的 这 种 解 题 过 程 与 公 式 应 用, 每 步 是 什 么 意 思 完 全 不 理 解 最 明 显 的, 不 用 274/9 计 算 A2, 而 是 用 91/3 计 算 A2, 导 致 其 数 学 过 程 更 难 以 理 解, 与 真 正 的 物 理 意 义 隔 阂 更 大 当 然 这 样 算 提 高 了 速 度, 却 为 学 生 的 正 确 理 解 增 加 了 一 堵 墙 这 就 像 教 孩 子 如 何 建 房 子 学 习 过 程 中 总 要 找 一 些 简 单 的 建 筑 来 教 授, 比 如 鸡 舍 鸭 房 之 类, 但 目 标 却 是 高 楼 大 厦 所 以 我 们 应 该 提 供 给 孩 子 们 砖 块, 水 泥 和 钢 筋 等 基 础 建 筑 材 料, 再 教 给 孩 子 们 正 确 的 建 筑 流 程, 其 中 过 程 可 能 十 分 复 杂 繁 琐
某 些 人 哗 众 取 宠, 争 夺 教 育 资 源, 显 示 自 己 教 学 方 法 何 等 高 效, 于 是 就 将 普 通 的 建 筑 材 料 预 制 成 几 块 合 成 板 料, 可 以 让 孩 子 快 速 学 会 搭 建 鸡 舍, 面 对 考 试 时 能 比 其 他 人 快 速 准 确 地 搭 建 起 来 当 孩 子 们 长 大 了, 需 要 建 高 楼 大 厦 了, 他 们 需 要 的 是 砖 头, 水 泥 和 钢 筋, 但 这 些 材 料 都 被 老 师 做 成 建 鸡 舍 的 预 制 板 料 存 储 在 孩 子 的 仓 库 里 了, 他 们 如 何 建 得 了 高 楼 大 厦 呢? 这 些 预 制 板 料 与 垃 圾 又 有 何 异? 其 中 有 某 些 原 理 是 必 须 讲 解 明 白 的, 我 相 信 老 师 都 提 到 了, 但 绝 没 有 强 调, 强 调 的 只 是 这 取 巧 提 高 解 题 速 度 的 鸡 舍 预 制 板 比 如 其 中 的 逻 辑 与 问 题, 必 须 花 大 力 气 讲 解 透 才 行, 这 是 现 实 生 活, 科 学 原 理 以 及 解 题 的 绝 对 基 础, 最 有 用 的 东 西 老 师 怎 么 讲 的 不 知 道, 但 这 学 生 解 题 时 一 点 儿 这 方 面 的 考 虑 都 没 有, 直 接 用 135<271 就 得 出 结 论 了 这 里 有 一 个 巧 合 就 是 题 目 要 求 的 是 12, 也 就 是 因 子 2 的 数 量 恰 为 因 子 3 的 两 倍, 而 被 除 数 中 恰 好 因 子 2 的 数 量 大 于 因 子 3 的 数 量 的 两 倍 解 题 时 根 本 用 不 着 走 逻 辑 与 这 个 过 程 于 是 我 问 他, 如 果 将 题 中 的 12 换 成 24, 那 答 案 是 多 少 回 答 是 135 当 然, 正 确 回 答 应 该 是 271/3=90<135, 答 案 是 90 原 因 是 24 中 有 三 个 因 子 2 显 然, 其 解 题 思 路 中 就 没 有 正 确 细 致 的 逻 辑 与 这 一 步 教 学 过 程 中, 这 关 键 有 用 的 一 步 不 过 是 走 个 过 场 而 已 还 需 要 强 调 一 下, 如 今 这 奥 数 教 育 在 数 论 领 域 的 份 量 极 大, 与 数 论 本 身 在 科 学 应 用 中 的 比 重 有 天 壤 之 别 因 为 这 个 领 域 可 以 很 容 易 地 编 出 无 穷 无 尽 的 绕 人 题 目 来, 而 且 学 生 的 父 母 一 看 就 晕 菜, 也 再 不 敢 有 什 么 质 疑 而 数 论 知 识 在 实 际 生 活 中 的 应 用 十 分 有 限, 除 非 大 家 一 起 玩 通 信 编 码 解 码, 那 就 是 全 民 吃 错 药 了 诸 位 兄 弟 姐 妹, 为 了 防 止 具 有 数 理 天 赋 的 孩 子 们 长 大 后 只 会 搭 鸡 舍 而 不 会 盖 房 子, 请 关 切 一 下 孩 子 们 的 奥 数 教 育 内 容, 及 时 补 充 强 调 数 理 学 习 中 最 本 质 最 有 价 值 的 那 些 基 础 原 理 不 能 让 他 们 只 认 识 搭 鸡 舍 的 预 制 板, 纵 然 不 能 教 他 们 从 和 泥 脱 坯 开 始, 也 要 让 他 们 知 道 砖 块 水 泥 的 用 法, 让 他 们 学 习 一 个 正 确 完 整 的 建 筑 流 程 奥 数 教 育 的 蓬 勃 发 展 影 射 出 一 种 巨 大 的 社 会 力 量, 就 是 人 们 对 基 础 教 育 中 理 性 思 辩 的 迫 切 需 求, 而 且 这 种 需 求 被 各 国 的 基 础 教 育 忽 视 了 这 种 需 求 是 否 合 理, 与 人 的 理 性 成 长 过 程 是 相 契 合 的 还 是 相 悖 逆 的, 难 以 简 单 地 下 定 论, 需 学 术 界 给 出 充 足 证 据 才 可 以 但 两 个 方 面 是 比 较 确 信 的, 奥 数 教 育 对 培 养 孩 子 的 学 习 习 惯 有 比 较 好 的 效 果, 理 应 肯 定 ; 同 时, 以 解 题 为 目 标 的 教 学, 尤 其 在 理 性 思 辩 的 科 目 上, 完 全 是 喧 宾 夺 主 的 教 育, 就 像 人 的 饭 桌 上 酱 油 醋 成 了 主 食, 米 饭 馒 头 变 成 配 菜, 其 对 人 健 康 的 危 害 就 可 想 而 知 了 所 以, 不 能 说 奥 数 教 育 彻 底 负 面, 但 为 满 足 社 会 的 巨 大 需 求, 启 动 一 些 正 确 的 理 性 思 辩 教 育 是 必 须 的, 以 此 取 代 局 限 于 应 试 的 奥 数 教 育 玄 野 发 表 评 论 于 2015-12-15 12:34:20 回 复 ' 泥 中 隐 士 ' 的 评 论 : 没 错, 就 是 这 个 方 案 但 原 题 中 的 除 数 为 合 数, 所 以 要 分 解 成 2 和 3 泥 中 隐 士 发 表 评 论 于 2015-12-15 11:44:40
Let p be a prime number. Set n! = p^k Q where Q cannot be divided by p. The formula for k is k = [n/p]+[n/p^2]+... Applying this formula for p=2,3, one can find x in the original problem. bjszh 发 表 评 论 于 2015-12-15 10:16:21 讲 得 太 好 了, 大 赞! 小 孩 子 第 一 次 见 一 类 新 题 时 不 知 所 措, 天 才 数 学 家 自 己 能 找 出 解 决 方 法, 有 数 学 天 赋 的 重 视 其 中 如 您 所 解 释 的 道 理, 而 大 多 数 孩 子 只 是 学 了 方 法, 应 付 竞 赛 而 已 大 号 蚂 蚁 发 表 评 论 于 2015-12-14 08:35:22 课 外 活 动 的 一 种 选 择 是 好 事, 当 成 正 课, 甚 至 升 学 考 试 的 标 准 就 扯 淡 了