概 率 部 分. 概 率 这 门 课 的 特 点 与 线 性 代 数 一 样, 概 率 也 比 高 数 容 易, 花 同 样 的 时 间 复 习 概 率 也 更 为 划 算 但 与 线 代 一 样, 概 率 也 常 常 被 忽 视, 有 时 甚 至 被 忽 略 一 般 的 数 学 考 研 参 考 书 是 按 高 数 线 代 概 率 的 顺 序 安 排 的, 概 率 被 放 在 最 后, 复 习 完 高 数 和 线 代 以 后 有 可 能 时 间 所 剩 无 多 ; 而 且 因 为 前 两 部 分 分 别 占 6% 和 的 分 值, 复 习 完 以 后 多 少 会 有 点 满 足 心 理 ; 这 些 因 素 都 可 能 影 响 到 概 率 的 复 习 概 率 这 门 课 如 果 有 难 点 就 应 该 是 记 忆 量 大 在 高 数 部 分, 公 式 定 理 和 性 质 虽 然 有 很 多, 但 其 中 相 当 大 一 部 分 都 比 较 简 单, 还 有 很 多 可 以 借 助 理 解 来 记 忆 ; 在 线 代 部 分, 需 要 记 忆 的 公 式 定 理 少, 而 需 要 通 过 推 导 相 互 联 系 来 理 解 记 忆 的 多, 所 以 记 忆 量 也 不 构 成 难 点 ; 但 是 在 概 率 中, 由 大 量 的 概 念 公 式 性 质 和 定 理 需 要 记 清 楚, 而 且 若 靠 推 导 来 记 这 些 点 的 话, 不 但 难 度 大 耗 时 多 而 且 没 有 更 多 的 用 处 ( 因 为 概 率 部 分 考 试 时 对 公 式 定 理 的 内 在 推 导 过 程 及 联 系 并 没 有 什 么 要 求, 一 般 不 会 在 更 深 的 层 次 上 出 题 ) 记 得 当 初 看 到 陈 文 灯 复 习 指 南 概 率 部 分 第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布 第 三 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 中 在 每 章 开 始 列 出 的 那 些 大 表 格 时, 感 觉 其 中 必 然 会 有 很 多 内 容 是 超 纲 的 不 用 细 看 ; 但 后 来 复 习 时 才 发 现, 可 以 省 略 不 看 的 内 容 少 之 又 少, 由 大 量 的 内 容 需 要 记 忆 所 以 对 于 概 率 部 分 相 当 多 的 内 容 都 只 能 先 死 记 硬 背, 然 后 通 过 足 量 做 题 再 来 牢 固 掌 握, 走 一 条 在 记 忆 的 基 础 上 理 解 的 路 记 牢 公 式 性 质, 同 时 保 证 足 够 的 习 题 量, 考 试 时 概 率 部 分 % 的 分 值 基 本 上 就 不 难 拿 到 了. 概 率 第 一 章 随 机 事 件 和 概 率 本 章 内 容 在 历 年 真 题 中 都 有 涉 及, 难 度 一 般 不 大 虽 然 对 于 本 章 中 的 古 典 概 型 可 以 出 很 难 的 题 目, 但 大 纲 的 要 求 并 不 高, 考 试 时 难 题 很 少 填 空 选 择 常 考 关 于 事 件 概 率 运 算 的 题 目, 大 多 围 绕 形 如 ( AB) P( AB) P( A B C) P P( B A) P( B A) 这 样 的 式 子 利 用 各 种 概 率 运 算 公 式 求 解 ; 其 它 内 容 如 全 概 率 公 式 和 贝 叶 斯 公 式 在 小 题 中 和 大 题 中 都 有 可 能 考 到 在 概 率 事 件 的 关 系 及 运 算 部 分 有 很 多 公 式 可 以 借 助 画 集 合 运 算 图 来 辅 助 做 题, 比 如 事 件 A 若 与 事 件 B 有 包 含 关 系 B A, 则 可 作 图 长 方 形 内 的 点 都 属 于 B 的 范 围, 圆 形 则 代 表 A 的 范 围 这 样 一 来 即 易 看 出 事 件 包 含 关 系 的 定 义 A 发 生 时 B 必 发 生, B 发 生 时 A 不 一 定 发 生 ;
事 件 A 与 B 的 并 A B 可 作 图, 则 A B 是 A B 两 个 圆 形 ( 包 含 相 交 部 分 ), 对 于 这 个 大 图 形 中 的 任 意 一 点 来 说, 不 是 属 于 A 就 是 属 于 B, 体 现 了 A B 事 件 A 与 B 至 少 有 一 个 发 生 的 定 义 ; 同 理, 事 件 A 与 B 的 差 A B 表 示 事 件 A 与 B 同 时 发 生, 在 上 图 中 所 有 满 足 条 件 的 点 组 成 了 两 圆 相 交 的 那 一 部 分 对 于 其 它 的 概 率 运 算 公 式 也 可 用 图 辅 助 理 解, 有 的 题 甚 至 可 以 直 接 通 过 作 图 来 得 到 答 案 如 公 式 P( A B C) P( A) P( B) P( C) P( AB) P( BC) P( AC) P( ABC) 可 以 借 助 右 图 表 示 公 式 左 端 的 P( A B C) B C 三 个 圆 形 各 自 互 不 相 交 的 三 部 分 再 加 上 b, c, d 等 于 A, 四 小 部 分, 而 公 式 右 端 中 的 P( A) P( B) P( C) 代 表 的 区 域 包 括 A B C 各 自 互 不 相 交 的 三 部 分 ( b c d), 比 左 端 多 加 了 一 次, b, c 和 两 次 d, 这 时 等 式 是 不 平 衡 的 ; 再 减 去 [ P( AB) P( BC) P( AC)] 即 是 b c 3d ( d) ( c d) b c, 与 公 式 左 端 所 代 表 的 图 形 相 比 只 少 了 一 块 d, 加 上 即 可, 故 再 加 P (ABC) 后 等 式 成 立 区 别 互 斥 互 逆 对 立 与 不 相 容 : 事 件 A 与 事 件 B 互 斥 也 叫 A 与 B 不 相 容, 即 A B, 事 件 A 与 事 件 B 对 立 就 是 A 与 B 互 逆, 即 为 A 与 A 的 关 系 P( AB) P( A) P( AB) () 公 式 组 P( AB) P( A) P( B A) () P( AB) P( A) P( B) ( A, B 相 互 独 立 ) (3) 在 历 年 考 研 真 题 中 频 繁 用 到,
很 多 题 利 用 这 三 个 公 式 间 的 相 互 转 化 关 系 很 容 易 求 得 答 案 这 三 个 公 式 的 含 义 从 直 观 上 就 能 理 解 : 公 式 () 表 示 事 件 A B 同 时 发 生 的 概 率 等 于 A 发 生 的 概 率 减 去 A 发 生 而 B 不 发 生 的 概 率 ;() 式 表 示 事 件 A B 同 时 发 生 的 概 率 等 于 A 发 生 的 概 率 乘 以 在 A 发 生 的 条 件 下 B 也 发 生 的 概 率 ; 当 A B 相 互 独 立 时, 也 就 是 指 事 件 A 与 事 件 B 的 发 生 互 不 影 响, 此 时 应 该 有 ( B A) P( B) P( AB) P( A) P( B A) P( A) P( B) P P( A B) P( A) 所 以 由 () 式 即 可 得 出 (3) 式 出 题 人 从 这 三 个 公 式 意 义 上 的 相 通 性 出 发 可 以 很 灵 活 地 构 造 题 目, 在 后 面 的 评 题 中 会 对 这 个 知 识 点 作 更 具 体 的 讨 论.3 第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布 第 三 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 第 四 章 大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理 对 于 这 一 部 分 的 复 习 可 说 的 东 西 不 多, 因 为 在 考 试 中 出 现 的 概 率 题 目 其 实 有 相 当 大 一 部 分 难 度 是 被 解 题 所 用 的 繁 杂 公 式 分 走 了, 既 然 理 解 掌 握 和 牢 记 公 式 本 身 就 不 容 易, 那 么 题 目 的 结 构 相 对 而 言 就 要 简 单 一 些, 我 们 甚 至 会 发 现 历 年 真 题 中 的 有 的 题 就 像 是 课 本 上 的 例 题 一 样 这 种 情 况 有 点 像 我 们 在 英 语 考 试 中 作 阅 读 理 解 题, 问 题 本 身 的 含 义 并 不 复 杂, 难 就 难 在 文 章 中 的 单 词 似 曾 相 识 和 句 子 看 不 懂 上 而 英 国 学 生 考 语 文 时 做 的 阅 读 理 解 问 题 肯 定 要 比 我 们 遇 到 的 题 目 要 复 杂 深 入 的 多 因 为 考 察 的 重 点 不 一 样 所 以 对 于 概 率 部 分 的 复 习, 有 两 个 步 骤 即 可 : 首 先 是 牢 记 公 式, 然 后 是 把 题 做 熟, 在 练 习 过 程 中 透 彻 理 解 概 念 公 式 和 性 质 定 理 陈 文 灯 复 习 指 南 概 率 第 二 三 章 把 知 识 点 列 成 了 大 表 格, 所 有 东 西 一 目 了 然, 复 习 时 用 来 记 忆 和 对 比 很 方 便 对 于 第 二 章 的 大 表 格 也 可 以 利 用 各 部 分 之 间 的 联 系 来 对 照 复 习, 比 如 说 二 维 分 布 的 性 质 基 本 上 与 一 维 分 布 的 性 质 一 一 对 应 ( 类 似 于 二 重 积 分 和 定 积 分 性 质 之 间 的 关 系 ), 二 维 边 沿 分 布 的 内 容 与 一 维 分 布 本 质 上 也 是 相 通 的, 离 散 型 和 连 续 型 分 布 的 各 知 识 点 也 可 互 相 对 比 区 别 记 忆 也 就 是 一 维 和 二 维 相 联 系 离 散 和 连 续 相 对 比 随 机 变 量 分 布 和 随 机 变 量 函 数 的 分 布 相 区 别 同 时 对 于 重 要 分 布 如 二 项 泊 松 正 态 均 匀 指 数 分 布 必 需 记 得 非 常 牢, 因 为 考 试 时 会 直 接 拿 这 些 分 布 做 题 干 来 考 察 各 章 知 识 点, 万 一 出 现 由 于 题 干 中 的 分 布 函 数 不 会 写 或 写 错 而 导 致 整 道 大 题 知 道 怎 么 做 也 没 法 做 的 情 况 将 是 非 常 可 惜 的 本 章 的 一 维 连 续 分 布 和 二 维 离 散 分 布 在 历 年 真 题 中 出 现 频 率 最 高, 最 常 考 分 布 是 均 匀 指 数 和 正 态 分 布 对 于 一 维 连 续 型 分 布 的 性 质 可 借 助 图 像 理 解 3
b 因 为 分 布 函 数 F( ) ( ) d P{ X }, 所 以 P{ X } P{ b} 分 别 可 用 图 中 的 阴 影 部 分 表 示, 容 易 看 出 多 条 性 质, 包 括 ( ) d P ( ) ( ) d F( ) F( ) 等 ; 而 且 在 具 体 做 题 时 用 图 像 辅 助 理 解 也 很 有 效, 比 如 频 繁 在 真 题 中 出 现 的 正 态 分 布, 作 图 辅 助 解 题 的 效 果 更 为 明 显 陈 文 灯 复 习 指 南 第 三 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 也 是 用 表 格 说 话 的, 同 样 需 要 认 真 记 好 本 章 在 历 年 真 题 中 最 常 出 现 的 题 目 考 察 点 是 几 个 重 点 公 式, 尤 其 是 式 子 D( X ) E( X E( X )) E( X ) E ( X ), 大 \ 小 题 都 可 能 利 用 这 一 式 子 的 左 端 或 右 端 出 题 而 以 另 一 端 设 置 答 案 还 有 数 学 期 望 EX 与 方 差 DX 的 定 义 及 性 质 也 是 考 察 重 点, 可 由 下 表 对 比 记 忆 : 数 学 期 望 EX 方 差 DX EX ( ) d ( 连 DX E( ) E ( ) 续 型 ) E( c) c D ( c) E( cx ) ce( X ) D( cx ) c D( X ) E( X c) E( X ) c D( X c) D( X ) 4
E( X Y ) E( X ) E( Y ) E( X Y ) E( X ) E( Y ) D( X Y ) D( X ) D( Y ) cov( X, Y ) 若 X Y 相 互 独 立, 则 有 D( X Y ) D( X ) D( Y ) D( X Y ) D( X ) D( Y ) ( 历 年 真 题 不 止 一 次 利 用 这 个 点 作 为 填 空 和 选 择 题 中 的 小 陷 阱, 因 为 一 不 留 神 就 会 写 成 D( X Y ) D( X ) D( Y ), 正 如 E( X Y ) E( X ) E( Y ) 一 样, 但 实 际 上 D( X Y ) D( X ) D( Y ) cov( X, Y ) ) 若 X Y 相 互 独 立, 则 有 E( XY ) E( X ) E( Y ) DX 无 对 应 性 质 若 X Y 相 互 独 立 则 同 时 具 有 以 下 4 条 性 质 :. E( XY) E( X ) E( Y ). D( X Y ) D( X ) D( Y ) (, 4. cov(, 3., 利 用 各 式 定 义 可 以 推 导 出 来 考 试 大 纲 对 第 四 章 大 数 定 理 和 中 心 极 限 定 理 的 要 求 是 : 了 解 切 比 雪 夫 不 等 式, 了 解 切 比 雪 夫 大 数 定 律 伯 努 利 大 数 定 律 辛 钦 大 数 定 律, 了 解 格 林 定 理 和 林 莫 佛 定 理 这 三 个 了 解 在 历 年 真 题 中 的 体 现 就 是 本 章 内 容 几 乎 是 不 考 的, 只 出 现 过 直 接 考 察 公 式 定 义 的 小 题 同 时 本 章 的 几 个 公 式 定 理 也 不 好 记, 推 导 就 更 不 是 什 么 简 单 任 务 了 即 便 如 此, 以 上 的 信 息 也 还 是 不 能 成 为 放 弃 这 一 章 的 理 由, 因 为 对 于 这 样 又 难 大 纲 要 求 又 低 的 知 识 点 考 试 时 出 题 的 深 度 也 会 是 最 浅 的 如 在 真 题 中 出 现 过 的 一 个 本 章 的 填 空 题 几 乎 就 是 直 接 考 察 切 比 雪 夫 不 等 式 的 公 式 本 身, 这 样 的 情 况 对 于 难 度 低 的 知 识 点 和 重 要 知 识 点 来 说 是 绝 不 可 能 出 现 的, 比 如 若 你 在 6 年 考 研 数 学 试 卷 上 见 到 一 道 填 空 题 是 让 填 出 DX E( ) E ( ) 这 个 公 式 的 话, 那 你 肯 定 是 把 题 义 理 解 错 了 所 以 花 时 间 记 住 这 几 个 公 式 其 实 是 比 较 划 算 的, 因 为 如 果 考 试 出 一 道 有 关 的 填 空 题, 4 分 的 得 失 将 完 全 取 决 于 记 没 记 住 公 式 这 样 的 4 分 当 然 要 比 在 大 题 中 绞 尽 脑 汁 得 到 的 4 分 好 拿 的 多 从 另 一 方 面 说, 这 些 定 理 也 是 可 以 理 解 的 : 本 章 所 有 的 大 数 定 理 都 是 指 在 独 立 同 分 布 且 存 在 数 学 期 望 的 条 件 下 若 干 随 机 变 量 的 平 均 值 依 概 率 收 敛 到 均 值 的 期 望, 即 P X i E( X i ) i i 因 为 X i 独 立 同 分 布, 所 以 有 E ( X i ), 5
故 有 公 式 右 侧 i E( X i ) E( X ), 应 有 lim P ( X i ), 即 为 辛 钦 大 数 定 律 ; 若 用 i Y 表 示 在 重 伯 努 利 Y 试 验 中 事 件 A lim P( P ) 的 发 生 次 数 则 可 得 到 伯 努 利 大 数 定 律 以 上 的 分 析 可 以 减 少 一 些 死 记 硬 背 的 难 度.4 概 率 第 五 章 数 理 统 计 的 基 本 概 念 第 六 章 参 数 估 计 第 七 章 假 设 检 验 通 过 数 理 统 计 部 分 在 考 研 数 学 试 卷 中 占 有 概 率 部 分 /3 的 分 值, 这 一 部 分 考 点 较 少, 参 数 估 计 最 为 重 要, 其 次 是 样 本 与 抽 样 分 布, 假 设 检 验 部 分 则 很 少 考 到 对 于 参 数 估 计 部 分, 需 要 记 清 楚 据 估 计 和 极 大 似 然 估 计 各 自 的 步 骤, 然 后 通 过 足 量 做 题 来 熟 练 掌 握 ; 对 于 样 本 与 抽 样 分 布, 重 要 的 是 分 布 t 分 布 和 F 分 布 各 自 的 条 件 和 结 论 公 式, 在 历 年 真 题 中 考 察 过 ; 对 于 假 设 检 验, 大 纲 要 求 为 :. 理 解 显 著 性 检 验 的 基 本 思 想, 掌 握 假 设 检 验 的 基 本 步 骤, 了 解 假 设 检 验 可 能 产 生 的 两 类 错 误 可 见 大 纲 对 于 假 设 检 验 的 要 求 还 是 较 高 的, 但 往 年 出 题 不 多, 不 知 道 会 不 会 在 以 后 的 考 试 中 加 大 考 察 力 度 概 率 这 门 课 的 全 称 是 概 率 论 和 数 理 统 计, 数 理 统 计 是 对 概 率 论 的 实 际 应 用, 而 概 率 论 则 充 当 了 理 论 基 础 的 角 色 数 理 统 计 中 的 统 计 量 如 样 本 均 值 样 本 方 差 等 的 概 念 性 质 都 能 在 概 率 论 中 找 到 出 发 点 其 实, 数 理 统 计 就 是 一 个 先 对 随 机 变 量 做 实 际 观 测 得 到 一 系 列 具 体 数 据, 再 利 用 样 本 与 抽 样 分 布 部 分 的 公 式 归 纳 出 样 本 均 值 方 差 等 统 计 量, 在 此 基 础 上 利 用 参 数 估 计 等 方 法 推 断 出 随 机 变 量 整 体 分 布 和 数 学 特 征 的 过 程 参 数 估 计 中 的 矩 估 计 法 就 是 令 总 体 矩 与 样 本 矩 相 等, 建 立 等 式 以 求 出 总 体 矩 ; 极 大 似 然 估 计 中 的 似 然 函 数 L ( ) 就 是 指 样 本 ( X, X, X ) 取 观 察 值,, ) ( 的 概 率 P( X, X, X ), 自 然 应 等 于 i f ( i, ), 其 值 越 大 就 说 明 越 有 利 于 使 者 组 样 本 值 出 现, 故 极 大 似 然 估 计 法 要 求 求 出 使 L ( ) 取 最 大 值 的 作 为 参 数 的 估 计 量 分 析 理 解 一 下 概 率 论 和 数 理 统 计 的 前 后 联 系 可 以 起 到 在 大 脑 中 进 行 数 据 压 缩 的 作 用, 而 且 这 两 部 分 的 题 目 应 该 可 以 相 互 结 合, 从 近 年 来 的 真 题 中 可 以 隐 隐 约 约 感 受 到 这 种 趋 势 6
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考 研 必 备 : 超 经 典 的 考 研 数 学 考 点 与 题 型 归 类 分 析 总 结 高 数 部 分. 高 数 第 一 章 函 数 极 限 连 续. 求 极 限 题 最 常 用 的 解 题 方 向 :. 利 用 等 价 无 穷 小 ;. 利 用 洛 必 达 法 则, 对 于 型 的 题 目 直 接 用 洛 必 达 法 则, 对 于 型 的 题 目 则 是 先 转 化 为 型 和 型 或 型, 再 使 用 洛 比 达 法 则 ;3. 利 用 重 要 极 限, 包 括 ( ) e si lim ( ) e ;4. 夹 逼 定 理 lim lim.3 高 数 第 二 章 导 数 与 微 分 第 三 章 不 定 积 分 第 四 章 定 积 分 第 二 章 导 数 与 微 分 与 前 面 的 第 一 章 函 数 极 限 连 续 后 面 的 第 三 章 不 定 积 分 第 四 章 定 积 分 都 是 基 础 性 知 识, 一 方 面 有 单 独 出 题 的 情 况, 如 历 年 真 题 的 填 空 题 第 一 题 常 常 是 求 极 限 ; 更 重 要 的 是 在 其 它 题 目 中 需 要 做 大 量 的 灵 活 运 用, 故 非 常 有 必 要 打 牢 基 础 对 于 第 三 章 不 定 积 分, 陈 文 灯 复 习 指 南 分 类 讨 论 的 非 常 全 面, 范 围 远 大 于 考 试 可 能 涉 及 的 范 围 在 此 只 提 醒 一 点 : 不 定 积 分 f ) d F( ) C ( 中 的 积 分 常 数 C 容 易 被 忽 略, 而 考 试 时 如 果 在 答 案 中 少 写 这 个 C 会 失 一 分 所 以 可 以 这 样 建 立 起 二 者 之 间 的 联 系 以 加 深 印 象 : 定 积 分 f ) d ( 的 结 果 可 以 写 为 F()+, 指 的 就 是 那 一 分, 把 它 折 弯 后 就 是 f ) d F( ) C ( 中 的 那 个 C, 漏 掉 了 C 也 就 漏 掉 了 这 分 第 四 章 定 积 分 及 广 义 积 分 可 以 看 作 是 对 第 三 章 中 解 不 定 积 分 方 法 的 应 用, 解 题 的 关 键 除 了 运 用 各 种 积 分 方 法 以 外 还 要 注 意 定 积 分 与 不 定 积 分 的 差 异 出 题 人 在 定 积 分 题 目 中 首 先 可 能 在 积 分 上 下 限 上 做 文 章 : 对 于 f ) d ( 型 定 积 分, 若 f() 是 奇 函 数 则 有 f ( ) d =; 若 f() 为 偶 函 数 则 有 f ( ) d = f ( ) d ; 对 于 f ( ) d 型 积 分,f() 一 般 含 三 角 函 数, 此 时 用 t 的 代 换 是 常 用 方 法 所 以 解 这 一 部 分 题 的 思 路 应 该 是 先 看 是 否 能 从 积 分 上 下 限 中 入 手, 对 于 对 称 区 间 上 的 积 分 要 同 时 考 虑 到 利 用 变 量
替 换 =- 和 利 用 性 质 奇 函 数 偶 函 数 偶 函 数 在 处 理 完 积 分 上 下 限 的 问 题 后 就 使 用 第 三 章 不 定 积 分 的 套 路 化 方 法 求 解 这 种 思 路 对 于 证 明 定 积 分 等 式 的 题 目 也 同 样 有 效.4 高 数 第 五 章 中 值 定 理 的 证 明 技 巧 由 本 章 中 值 定 理 的 证 明 技 巧 讨 论 一 下 证 明 题 的 应 对 方 法 用 以 下 这 组 逻 辑 公 式 来 作 模 型 : 假 如 有 逻 辑 推 导 公 式 A E (A B)C (C D E)F, 由 这 样 一 组 逻 辑 关 系 可 以 构 造 出 若 干 难 易 程 度 不 等 的 证 明 题, 其 中 一 个 可 以 是 这 样 的 : 条 件 给 出 A B D, 求 证 F 成 立 为 了 证 明 F 成 立 可 以 从 条 件 结 论 两 个 方 向 入 手, 我 们 把 从 条 件 入 手 证 明 称 之 为 正 方 向, 把 从 结 论 入 手 证 明 称 之 为 反 方 向 正 方 向 入 手 时 可 能 遇 到 的 问 题 有 以 下 几 类 :. 已 知 的 逻 辑 推 导 公 式 太 多, 难 以 从 中 找 出 有 用 的 一 个 如 对 于 证 明 F 成 立 必 备 逻 辑 公 式 中 的 A E 就 可 能 有 A H A (I K) (A B) M 等 等 公 式 同 时 存 在, 有 的 逻 辑 公 式 看 起 来 最 有 可 能 用 到, 如 (A B) M, 因 为 其 中 涉 及 了 题 目 所 给 的 3 个 条 件 中 的 个, 但 这 恰 恰 走 不 通 ;. 对 于 解 题 必 须 的 关 键 逻 辑 推 导 关 系 不 清 楚, 在 该 用 到 的 时 候 想 不 起 来 或 者 弄 错 如 对 于 模 型 中 的 (A B) C, 如 果 不 知 道 或 弄 错 则 一 定 无 法 得 出 结 论 从 反 方 向 入 手 证 明 时 也 会 遇 到 同 样 的 问 题 通 过 对 这 个 模 型 的 分 析 可 以 看 出, 对 可 用 知 识 点 掌 握 的 不 牢 固 不 熟 练 和 无 法 有 效 地 从 众 多 解 题 思 路 中 找 出 答 案 是 我 们 解 决 不 了 证 明 题 的 两 大 原 因 针 对 以 上 分 析, 解 证 明 题 时 其 一 要 灵 活, 在 一 条 思 路 走 不 通 时 必 须 迅 速 转 换 思 路, 而 不 应 该 再 从 头 开 始 反 复 地 想 自 己 的 这 条 思 路 是 不 是 哪 里 出 了 问 题 ; 另 外 更 重 要 的 一 点 是 如 何 从 题 目 中 尽 可 能 多 地 获 取 信 息 当 我 们 解 证 明 题 遇 到 困 难 时, 最 常 见 的 情 况 是 拿 到 题 莫 名 其 妙, 感 觉 条 件 与 欲 证 结 论 简 直 是 风 马 牛 不 相 及 的 东 西, 长 时 间 无 法 入 手 ; 好 不 容 易 找 到 一 个 大 致 方 向, 在 做 若 干 步 以 后 却 再 也 无 法 与 结 论 拉 近 距 离 了 从 出 题 人 的 角 度 来 看, 这 是 因 为 没 能 够 有 效 地 从 条 件 中 获 取 信 息 尽 可 能 多 地 从 条 件 中 获 取 信 息 是 最 明 显 的 一 条 解 题 思 路, 同 时 出 题 老 师 也 正 是 这 样 安 排 的, 但 从 题 目 的 欲 证 结 论 中 获 取 信 息 有 时 也 非 常 有 效 如 在 上 面 提 到 的 模 型 中, 如 果 做 题 时 一 开 始 就 想 到 了 公 式 (C D E) F 再 倒 推 想 到 (A B) C A E 就 可 以 证 明 了 如 果 把 主 要 靠 分 析 条 件 入 手 的 证 明 题 叫 做 条 件 启 发 型 的 证 明 题, 那 么 主 要 靠 倒 推 结 论 入 手 的 结 论 启 发 型 证 明 题 在 中 值 定 理 证 明 问 题 中 有 很 典 型 的 表 现 其 中 的 规 律 性 很 明 显, 甚 至 可 以 以 表 格 的 形 式 表 示 出 来 下 表 列 出 了 中 值 定 理 证 明 问 题 的 几 种 类 型 : 条 件 欲 证 结 论 可 用 定 理 A 关 于 闭 区 间 上 的 存 在 一 个 介 值 定 理 ( 结 论 部 分 为 : 存 在 一 个 使 得 连 续 函 数, 常 常 满 足 某 个 式 f ( ) 是 只 有 连 续 性 已 子 ) 知 零 值 定 理 ( 结 论 部 分 为 : 存 在 一 个 使 得 f ( ) )
B 条 件 包 括 函 数 在 闭 区 间 上 连 续 在 开 区 间 上 可 导 C 条 件 包 括 函 数 在 闭 区 间 上 连 续 在 开 区 间 上 可 导 存 在 一 个 满 足 f ( ) ( ) 存 在 一 个 满 足 ( ) f ( ) 费 尔 马 定 理 ( 结 论 部 分 为 : f ( ) ) f ( ) ) 洛 尔 定 理 ( 结 论 部 分 为 : 存 在 一 个 使 得 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ( 结 论 部 分 为 : 存 在 一 个 使 得 f f ( b) f ( ) ( ) b ) 柯 西 中 值 定 理 ( 结 论 部 分 为 : 存 在 一 个 使 得 f ( ) g ( ) f ( b) f ( ) g( b) g( ) ) 另 外 还 常 利 用 构 造 辅 助 函 数 法, 转 化 为 可 用 费 尔 马 或 洛 尔 定 理 的 形 式 来 证 明 从 上 表 中 可 以 发 现, 有 关 中 值 定 理 证 明 的 证 明 题 条 件 一 般 比 较 薄 弱, 如 表 格 中 B C 的 条 件 是 一 样 的, 同 时 A 也 只 多 了 一 条 可 导 性 而 已 ; 所 以 在 面 对 这 一 部 分 的 题 目 时, 如 果 把 与 证 结 论 与 可 能 用 到 的 几 个 定 理 的 的 结 论 作 一 比 较, 会 比 从 题 目 条 件 上 挖 掘 信 息 更 容 易 找 到 入 手 处 故 对 于 本 部 分 的 定 理 如 介 值 最 值 零 值 洛 尔 和 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 掌 握 重 点 应 该 放 在 熟 记 定 理 的 结 论 部 分 上 ; 如 果 能 够 做 到 想 到 介 值 定 理 时 就 能 同 时 想 起 结 论 存 在 一 个 使 得 f ( ) 看 到 题 目 欲 证 结 论 中 出 现 类 似 存 在 一 个 使 得 f ) ( 的 形 式 时 也 能 立 刻 想 到 介 值 定 理 ; 想 到 洛 尔 定 理 时 就 能 想 到 式 子 f ( ) ; 而 见 到 式 子 f ( ) g ( ) f ( b) f ( ) g( b) g( ) 也 如 同 见 到 拉 格 朗 日 中 值 定 理 一 样, 那 么 在 处 理 本 部 分 的 题 目 时 就 会 轻 松 的 多, 时 常 还 会 收 到 豁 然 开 朗 的 效 果 所 以 说, 牢 记 定 理 的 结 论 部 分 对 作 证 明 题 的 好 处 在 中 值 定 理 的 证 明 问 题 上 体 现 的 最 为 明 显 综 上 所 述, 针 对 包 括 中 值 定 理 证 明 在 内 的 证 明 题 的 大 策 略 应 该 是 尽 一 切 可 能 挖 掘 题 目 的 信 息, 不 仅 仅 要 从 条 件 上 充 分 考 虑, 也 要 重 视 题 目 欲 证 结 论 的 提 示 作 用, 正 推 和 倒 推 相 结 合 ; 同 时 保 持 清 醒 理 智, 降 低 出 错 的 可 能 希 望 这 些 想 法 对 你 能 有 一 点 启 发 不 过 仅 仅 弄 明 白 这 些 离 实 战 要 求 还 差 得 很 远, 因 为 在 实 战 中 证 明 题 难 就 难 在 答 案 中 用 到 的 变 形 转 换 技 巧 性 质 甚 至 定 理 我 们 当 时 想 不 到 ; 很 多 结 论 性 质 和 定 理 自 己 感 觉 确 实 是 弄 懂 了 也 差 不 多 记 住 了, 但 是 在 做 题 时 那 种 没 有 提 示 或 者 提 示 很 少 的 条 件 下 还 是 无 法 做 到 灵 活 运 用 ; 这 也 就 是 自 身 感 觉 与 实 战 要 求 之 间 的 差 别 这 就 像 在 记 英 语 单 词 时, 看 到 英 语 能 想 到 汉 语 与 看 到 汉 语 能 想 到 英 语 的 掌 握 程 度 是 不 同 的 一 样, 对 于 考 研 数 学 大 纲 中 理 解 和 掌 握 这 两 个 词 的 认 识 其 实 是 在 做 题 的 过 程 中 才 慢 慢 清 晰 的 我 们 需 要 做 的 就 是 靠 足 量 高 效 的 练 习 来 透 彻 掌 握 定 理 性 质 及 熟 练 运 用 各 种 变 形 转 换 技 巧, 从 而 达 到 大 纲 的 相 应 要 求, 提 高 实 战 条 件 下 解 题 的 胜 算 依 我 看, 最 大 的 技 巧 就 是 不 依 赖 技 巧, 做 题 的 问 题 必 须 要 靠 做 题 来 解 决.5 高 数 第 六 章 常 微 分 方 程 本 章 常 微 分 方 程 部 分 的 结 构 简 单, 陈 文 灯 复 习 指 南 对 一 阶 微 分 方 程 可 降 阶 的 高 阶 方
程 高 阶 方 程 都 列 出 了 方 程 类 型 与 解 法 对 应 的 表 格 历 年 真 题 中 对 于 一 阶 微 分 方 程 和 可 降 阶 方 程 至 少 是 以 小 题 出 现 的, 也 经 常 以 大 题 的 形 式 出 现, 一 般 是 通 过 函 数 在 某 点 处 的 切 线 法 线 积 分 方 程 等 问 题 来 引 出 ; 从 历 年 考 察 情 况 和 大 纲 要 求 来 看, 高 阶 部 分 不 太 可 能 考 大 题, 而 且 考 察 到 的 类 型 一 般 都 不 是 很 复 杂 对 于 本 章 的 题 目, 第 一 步 应 该 是 辨 明 类 型, 实 践 证 明 这 是 必 须 放 在 第 一 位 的 ; 分 清 类 型 以 后 按 照 对 应 的 求 解 方 法 按 部 就 班 求 解 即 可 这 是 因 为 其 实 并 非 所 有 的 微 分 方 程 都 是 可 解 的, 在 大 学 高 等 数 学 中 只 讨 论 了 有 限 的 可 解 类 型, 所 以 出 题 的 灵 活 度 有 限, 很 难 将 不 同 的 知 识 点 紧 密 结 合 或 是 灵 活 转 换 这 样 的 知 识 点 特 点 就 决 定 了 我 们 可 以 采 取 相 对 机 械 的 辨 明 类 型 套 用 对 应 方 法 求 解 的 套 路, 而 且 各 种 类 型 的 求 解 方 法 正 好 也 都 是 格 式 化 的, 便 于 以 这 样 的 方 式 使 用 先 讨 论 一 下 一 阶 方 程 部 分 这 一 部 分 结 构 清 晰, 对 于 各 种 方 程 的 通 式 必 须 牢 记, 还 要 能 够 对 易 混 淆 的 题 目 做 出 准 确 判 断 各 种 类 型 都 有 自 己 对 应 的 格 式 化 解 题 方 法, 这 些 方 法 死 记 硬 背 并 不 容 易, 但 有 规 律 可 循 这 些 方 法 最 后 的 目 的 都 是 统 一 的, 就 是 把 以 各 种 形 式 出 现 的 方 程 都 化 为 f()d=f(dy 这 样 的 形 式, 再 积 分 得 到 答 案 对 于 可 分 离 变 量 型 方 程 f ) g ( d f ( ) g ( dy, 就 是 变 形 为 d ( f ( ) f ( ) g ( =- dy, 再 积 分 求 g ( y y 解 ; 对 于 齐 次 方 程 y f ( ) 则 做 变 量 替 换, 则 y 化 为 d d, 原 方 程 就 可 化 为 关 于 和 的 可 分 离 变 量 方 程, 变 形 积 分 即 可 解 ; 对 于 一 阶 线 性 方 程 y p( ) y q( ) 第 一 步 先 求 y p( ) y 的 通 解, 然 后 将 变 形 得 到 的 dy y p( ) d 积 分, 第 二 步 将 通 解 中 的 C 变 为 C() 代 入 原 方 程 y p( ) y q( ) 解 出 C() 后 代 入 即 可 得 解 ; 对 于 贝 努 利 方 程 y p( ) y q( ) y, 先 做 变 量 代 换 z y 代 入 可 得 到 关 于 z 的 一 阶 线 性 方 程, 求 解 以 后 将 z 还 原 即 可 ; 全 微 分 方 程 M N M(,d+N(,dy 比 较 特 殊, 因 为 其 有 条 件 y, 而 且 解 题 时 直 接 套 用 通 解 公 式 y M (, y ) d N(, y ) dy C. y 所 以, 对 于 一 阶 方 程 的 解 法 有 规 律 可 循, 不 用 死 记 硬 背 步 骤 和 最 后 结 果 公 式 对 于 求 ( ) 解 可 降 阶 的 高 阶 方 程 也 有 类 似 的 规 律 对 于 y ( ) f ( ) 型 方 程, 就 是 先 把 y 当 作 未 知 函 数 Z, 则 分 即 得 ; 再 对 ( y ) Z 原 方 程 就 化 为 dz f ( ) d ( ) ( 3) y y 依 次 做 上 述 处 理 即 可 求 解 ; 的 一 阶 方 程 形 式, 积 y f (, 叫 不 显 含 y 的 二 阶 方 程, 解 法 是 通 过 变 量 替 换 y p y p (p 为 的 函 数 ) 将 原 方 程 化 为 一 阶 方 程 ; y f ( y, 叫 不 显 含 的 二 阶
方 程, 变 量 替 换 也 是 令 y p ( 但 此 中 的 p 为 y 的 函 数 ), 则 dp dy dp y p pp, 也 可 化 为 一 阶 形 式 dy d dy 所 以 就 像 在 前 面 解 一 阶 方 程 部 分 记 求 解 齐 次 方 程 就 用 变 量 替 换 努 利 方 程 就 用 变 量 替 换 变 量 替 换 y pp z y, 求 解 贝 y 一 样, 在 这 里 也 要 记 住 求 解 不 显 含 y 的 二 阶 方 程 就 用 y p y p 求 解 不 显 含 的 二 阶 方 程 就 用 变 量 替 换 y p 大 纲 对 于 高 阶 方 程 部 分 的 要 求 不 高, 只 需 记 住 相 应 的 公 式 即 可 其 中 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 定 理 与 线 性 代 数 中 线 性 方 程 组 解 的 结 构 定 理 非 常 相 似, 可 以 对 比 记 忆 : 若 y ( ) y ( 若 齐 次 方 程 组 A= 的 基 础 解 系 有 (-r) 个 线 性 无 ) 是 齐 次 方 程 关 的 解 向 量, 则 齐 次 方 程 组 的 通 解 为 y p( ) y q( ) y 的 两 个 线 性 无 关 的 y y r yr 特 解, 则 该 齐 次 方 程 的 通 解 为 ( ) c y( ) c y( ) y 非 齐 次 方 程 p( ) y q( ) y f ( ) 的 通 解 为 非 齐 次 方 程 组 A=b 的 一 个 通 解 等 于 A=b 的 一 个 特 解 与 其 导 出 组 齐 次 方 程 A= 的 通 解 之 和 y c y ) c y ( ) y ( ), 其 中 ( y ( ) 是 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解, c y ) c y ( ) 是 对 应 齐 次 方 程 ( y p( ) y q( ) y 若 非 齐 次 方 程 有 两 个 特 解 ( ) 的 通 解 y y ( ) 次 方 程 的 一 个 解 为 y ) y ( ) y ( ) (, 则 对 应 齐 若 r r 是 方 程 组 A=b 的 两 个 特 解, 则 ( r - r ) 是 其 对 应 齐 次 方 程 组 A= 的 解 由 以 上 的 讨 论 可 以 看 到, 本 章 并 不 应 该 成 为 高 数 部 分 中 比 较 难 办 的 章 节, 因 为 这 一 章 如 果 有 难 点 的 话 也 仅 在 于 如 何 准 确 无 误 地 记 忆 各 种 方 程 类 型 及 对 应 解 法, 也 可 以 说 本 章 难 就 难 在 记 忆 量 大 上.6 高 数 第 七 章 一 元 微 积 分 的 应 用 本 章 包 括 导 数 应 用 与 定 积 分 应 用 两 部 分, 其 中 导 数 应 用 在 大 题 中 出 现 较 少, 而 且 一 般 不 是 题 目 的 考 察 重 点 ; 而 定 积 分 的 应 用 在 历 年 真 题 的 大 题 中 经 常 出 现, 常 与 常 微 分 方 程 结 合
典 型 的 构 题 方 式 是 利 用 变 区 间 上 的 面 积 体 积 或 弧 长 引 出 积 分 方 程, 一 般 需 要 把 积 分 方 程 中 的 变 上 限 积 分 f ( t) dt 单 独 分 离 到 方 程 的 一 端 形 成 f ( t) dt 两 边 求 导 得 到 微 分 方 程 后 套 用 相 关 方 程 的 对 应 解 法 求 解 对 于 导 数 应 用, 有 以 下 一 些 小 知 识 点 : = 的 形 式, 在. 利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 和 研 究 极 最 值 其 中 判 断 函 数 增 减 性 可 用 定 义 法 或 求 导 判 断, 判 定 极 最 值 时 则 须 注 意 以 下 两 点 : A. 极 值 的 定 义 是 : 对 于 的 邻 域 内 异 于 的 任 一 点 都 有 f () > f ) 或 f () < f ) ( (, 注 意 是 > 或 < 而 不 是 或 ; B. 极 值 点 包 括 图 图 两 种 可 能, 处 取 极 值 时 才 有 f ( ) 在 处 可 导 且 在 掉 的 地 方, 故 有 必 要 加 深 一 下 印 象 所 以 只 有 在 f () 以 上 两 点 都 是 实 际 做 题 中 经 常 忘. 讨 论 方 程 根 的 情 况 这 一 部 分 常 用 定 理 有 零 值 定 理 ( 结 论 部 分 为 f ( ) ) 洛 尔 定 理 ( 结 论 部 分 为 f ( ) ); 常 用 到 构 造 辅 助 函 数 法 ; 在 作 题 时, 画 辅 助 图 会 起 到 很 好 的 作 用, 尤 其 是 对 于 讨 论 方 程 根 个 数 的 题 目, 结 合 函 数 图 象 会 比 较 容 易 判 断 3. 理 解 区 分 函 数 图 形 的 凸 凹 性 和 极 大 极 小 值 的 不 同 判 定 条 件 :A. 若 函 数 f () 上 的 ) 在 区 间 I f (, 则 f () 在 I 上 是 凸 的 ; 若 f () 在 I 上 的 f ( ) f () 在 I 上 是 凹 的 ;B. 若 () f 在 点 ( ) 处 有 f 且 f ( ) f ( ) 时 f ) 为 极 大 值, 当 f ( ) 时 ) ( f ( 为 极 小 值 其 中,A 是 判 断 函 数 凸 凹 性 的 充 要 条 件, 根 据 导 数 定 义, f () 是 f () ( ) 率, f () 是 f () 的 变 化 率 f, 则, 则 当 的 变 化 可 以 说 明 函 数 是 增 函 数, 典 型 图 像 是
间 I 上 是 递 减 的, 包 括 以 下 两 种 可 能 : f ( 可 以 说 明 函 数 f () ; ) 的 变 化 率 在 区. 此 时 f () 关 系 可 参 考 图 3); 为 正, 且 随 变 大 而 变 小 ( 大 小 系 可 参 考 图 3); b. 此 时 f () ( 同 样, f ) 也 只 有 两 种 对 应 图 像 : 为 负, 随 变 大 而 变 小 ( 大 小 关 c. 此 时 f () 为 正, 随 着 变 大 而 变 大 ; d. 此 时 f () 为 负, 随 变 大 而 变 大
( 所 以, 当 f ) 时, 对 应 或 的 函 数 图 像, 是 凸 的 ; ( 当 f ) 时, 对 应 或 的 函 数 图 像, 是 凹 的 ( ) 相 比 之 下, 判 断 函 数 极 大 极 小 值 的 充 分 条 件 比 判 断 函 数 凸 凹 性 的 充 要 条 件 多 了 f 且 f ( ), 这 从 图 像 上 也 很 容 易 理 解 : 满 足 f ( ) 的 图 像 必 是 凸 的, 即 或, 当 ( ) f 且 f ( ) 时 不 就 一 定 是 的 情 况 吗 对 于 定 积 分 的 应 用 部 分, 首 先 需 要 对 微 元 法 熟 练 掌 握 在 历 年 考 研 真 题 中, 有 大 量 的 题 是 利 用 微 元 法 来 获 得 方 程 式 的, 微 元 法 的 熟 练 应 用 是 倍 受 出 题 老 师 青 睐 的 知 识 点 之 一 ; 但 是 由 于 微 元 法 这 种 方 法 本 身 有 思 维 上 的 跳 跃, 对 于 这 种 灵 活 有 效 的 方 法 必 须 通 过 足 量 的 练 习 才 能 真 正 体 会 其 思 想 在 此 结 合 函 数 图 像 与 对 应 的 微 元 法 核 心 式 来 归 纳 微 元 法 的 三 种 常 见 类 型 :. 薄 桶 型. 本 例 求 的 是 由 平 面 图 型 b, y f() 绕 y 轴 旋 转 所 形 成 的 旋 转 体 体 积 方 法 是 在 旋 转 体 上 取 一 薄 桶 型 形 体 ( 如 上 图 阴 影 部 分 所 示 ), 则 根 据 微 元 法 思 想 可 得 薄 桶 体 积 dv f ( ) d, 其 中 f () 是 薄 桶 的 高, f ( ) 是 薄 桶 展 开 变 成 薄 板 后 的 底 面 积, d 就 是 薄 板 的 厚 度 ; 二 者 相 乘 即 得 体 积 对 dv f ( ) d 积 分 可 得 V f ( ) d 现 微 元 法 特 色 的 地 方 在 于 :. 虽 然 薄 桶 的 高 是 个 变 化 量, 但 却 用 f () 表 示 薄 桶 的 厚 度 ;3. 核 心 式 dv f ( ) d 在 这 个 例 子 中, 体 来 表 示 ;. 用 d
. 薄 饼 型. 本 例 求 的 是 由 抛 物 线 y 及 y 4 绕 y 轴 旋 转 形 成 的 高 H 的 旋 转 体 体 积, 方 法 是 取 如 上 图 阴 影 部 分 所 示 的 一 个 薄 饼 型 形 体, 可 得 微 元 法 核 心 式 dv y y ) dy 其 中 y ) ( 4 y ( 4 是 薄 饼 的 底 面 积, 薄 饼 与 r y 旋 转 面 相 交 的 圆 圈 成 的 面 积 是 y ; 同 理 薄 饼 与 r, r, y y 4 旋 转 面 相 交 的 圆 圈 成 的 面 积 是 4 二 者 相 减 即 得 薄 饼 底 面 积 核 心 式 中 的 dy 是 薄 饼 的 高 这 个 例 子 中 的 薄 饼 其 实 并 不 是 上 下 一 般 粗 的 圆 柱, 而 是 上 大 下 小 的 圆 台, 但 将 其 视 为 上 下 等 粗 来 求 解, 这 一 点 也 体 现 了 微 元 法 的 特 色, 3. 薄 球 型. 本 例 求 球 体 质 量, 半 径 为 R, 密 度 r, 其 中 r 指 球 内 任 意 一 点 到 球 心 的 距 离 方 法 是 取 球 体 中 的 一 个 薄 球 形 形 体, 其 内 径 为 r 厚 度 为 dr, 对 于 这 个 薄 球 的 体 积 有 dv 4rr dr, 其 中 4 r 是 薄 球 表 面 积,dr 是 厚 度 该 核 心 式 可 以 想 象 成 是 将 薄 球 展 开 摊 平 得 到 一 个 薄 面 以 后 再 用 底 面 积 乘 高 得 到 的 由 于 dr 很 小, 故 可 认 为 薄 球 内 质 量 均 匀, 为 4 r, 则 薄 球 质 量 dm 4r r dr 4r dr, 积 分 可 得 结 果 本 例 中 用 内 表 面 的 表 面 积 4 r 乘 以 薄 球 厚 度 dr 得 到 核 心 式 将 dv 内 的 薄 球 密 度 视 为 均 匀 体 现 了 微 元 法 的 特 色 通 过 以 上 三 个 例 子 谈 了 一 下 了 我 对 微 元 法 特 点 的 一 点 认 识 这 种 方 法 的 灵 活 运 用 必 须 通 过 自 己 动 手 做 题 体 会 才 能 实 现, 因 为 其 中 一 些 逻 辑 表 面 上 并 不 符 合 常 规 思 维, 但 也 许 这 正 是 研 究 生 入 学 考 试 出 题 老 师 喜 欢 微 元 法 的 原 因
关 于 定 积 分 的 应 用, 以 下 补 充 列 出 了 定 积 分 各 种 应 用 的 公 式 表 格 : 求 平 面 图 形 面 积 s b f ( ) d 求 旋 转 体 体 积 ( 可 用 微 元 法 也 可 用 公 式 ) 左 图 中 图 形 绕 轴 旋 转 体 的 体 积 V b f ( ) d, 绕 y 轴 旋 转 体 得 体 积 Vy b f ( ) d 左 图 中 图 形 绕 轴 旋 转 体 的 体 积 V b [ f ( ) f ( )] d, 绕 y 轴 旋 转 体 得 体 积 Vy b [ f ( ) f ( )] d
已 知 平 行 截 面 面 积 求 立 体 体 积 V b s( ) d 求 平 面 曲 线 的 弧 长 l b ( d.7 高 数 第 八 章 无 穷 级 数 本 章 在 考 研 真 题 中 最 频 繁 出 现 的 题 型 包 括 判 断 级 数 敛 散 性 级 数 求 和 函 数 和 函 数 的 幂 级 数 展 开 其 中 判 敛 是 大 小 题 都 常 考 的, 在 大 题 中 一 般 作 为 第 一 问 出 现, 求 和 与 展 开 则 都 是 大 题 这 一 章 与 前 面 的 常 微 分 方 程 后 面 的 曲 线 曲 面 积 分 等 章 都 是 比 较 独 立 的 章 节, 在 考 试 时 会 出 大 题, 而 且 章 内 包 含 的 内 容 多 比 较 复 杂 陈 文 灯 复 习 指 南 上 对 相 关 章 节 的 指 导 并 不 尽 如 人 意, 因 为 套 题 型 的 方 法 在 这 些 复 杂 章 节 中 不 能 展 现 其 长 处, 故 整 体 来 说 结 构 比 较 散 乱 对 于 级 数 判 敛 部 分, 主 要 用 的 方 法 是 比 较 法 级 数 敛 散 性 的 定 义 和 四 则 运 算 性 质 其 中 比 较 判 敛 法 有 一 般 形 式 和 极 限 形 式, 使 用 比 较 判 敛 法 一 般 形 式 有 以 下 典 型 例 子 :. 已 知 级 数 收 敛, 判 断 级 数 的 敛 散 性 其 判 敛 过 程 的 核 心 是 找 到 不 等 式 ( ), 再 应 用 比 较 法 的 一 般 形 式 即 可 判 明 其 实 这 种 知 一 判 一 式 的 题 目 是 有 局 限 性 的 若 已 知 级 数 收 敛, 则 所 要 求 判 敛 的 级 数 只 能 也 是 收 敛 的, 因 为 只 有 小 于 收 敛 级 数 的 级 数 必 收 敛 这 一 条 规 则 可 用, 若 待 判 敛 级 数 大 于 已 知 收 敛 级 数, 则 结
果 无 法 判 定 所 以 考 研 真 题 中 一 般 只 会 出 成 选 择 题 已 知 某 级 数 收 敛, 则 下 列 级 数 中 收 敛 的 是 (). 上 一 种 题 型 是 知 一 判 一, 下 面 的 例 子 则 是 给 出 级 数 某 些 性 质 要 求 判 断 敛 散 性, 方 法 是 通 过 不 等 式 放 缩 与 那 些 已 知 敛 散 性 的 级 数 建 立 起 联 系, 再 应 用 比 较 法 一 般 形 式 判 断 举 例 如 下 : 已 知 单 调 递 减 数 列 lim 满 足,, 判 断 级 数 ( ) 的 敛 散 性 关 键 步 骤 是 : 由 得 到 ( ) ( ), 再 利 用 比 较 判 敛 法 的 一 般 形 式 即 得 对 于 使 用 比 较 判 敛 法 极 限 形 式 的 题 目 一 般 也 不 会 超 出 知 一 判 一 和 知 性 质 判 敛 这 两 种 形 式 幂 级 数 求 和 函 数 与 函 数 的 幂 级 数 展 开 问 题 是 重 点 内 容, 也 是 每 年 都 有 的 必 考 题 通 过 做 历 年 真 题, 我 发 现 像 一 元 函 数 微 积 分 应 用 中 的 微 元 法 无 穷 级 数 中 的 求 和 与 展 开 这 样 倍 受 出 题 人 青 睐 的 知 识 点 都 有 一 个 相 似 之 处, 就 是 这 些 知 识 点 从 表 面 上 看 比 较 复 杂 难 于 把 握, 实 际 上 也 必 须 通 过 认 真 思 考 和 足 量 练 习 才 能 达 到 应 有 的 深 度, 但 在 领 会 到 解 决 方 法 的 精 髓 思 想 以 后 这 些 知 识 点 又 会 突 然 变 的 十 分 简 单 也 就 是 说, 掌 握 这 样 的 知 识 点 门 槛 较 高, 但 只 要 跨 过 缓 慢 的 起 步 阶 段, 后 面 的 路 就 是 一 马 平 川 了 ; 同 时, 具 有 这 种 特 点 的 知 识 点 也 可 以 提 供 给 出 题 人 更 大 的 出 题 灵 活 性, 而 通 过 找 到 更 多 便 于 灵 活 出 题 的 知 识 点 来 跳 出 题 型 套 路 正 是 近 几 年 考 研 真 题 出 题 专 家 致 力 达 到 的 目 标, 这 一 趋 势 不 仅 体 现 在 了 近 年 来 的 考 卷 上, 也 必 然 是 今 后 的 出 题 方 向 所 以 我 们 在 复 习 过 程 中 对 于 具 有 浅 看 复 杂 深 究 简 单 思 路 巧 妙 出 法 灵 活 的 知 识 点 要 倍 加 注 意, 对 于 无 穷 级 数 这 样 必 出 大 题 的 章 节 中 间 的 求 和 展 开 这 样 必 出 大 题 的 知 识 点, 更 是 要 紧 抓 不 放 因 为 这 种 知 识 点 对 复 习 时 间 投 入 量 的 要 求 接 近 于 一 个 定 值, 认 认 真 真 搞 明 白 以 后, 只 要 接 着 做 适 量 的 题 目 巩 固 就 行 了, 有 点 一 次 投 入, 终 生 受 益 的 意 思, 花 时 间 来 掌 握 很 划 算 另 外, 求 和 与 展 开 的 简 单 之 处 还 在 于 : 达 到 熟 练 做 题 程 度 以 后 会 发 现 其 大 有 规 律 可 循 这 种 规 律 是 建 立 在 对 6 个 关 键 的 函 数 展 开 式 熟 之 又 熟 的 掌 握 上 的 对 此 6 个 展 开 式 的 掌 握 必 须 像 掌 握 重 要 定 理 一 样, 对 条 件 等 式 的 左 端 和 右 端 都 要 牢 牢 记 住, 不 但 要 一 见 到 三 者 中 的 任 意 一 个 就 能 立 刻 写 出 其 他 两 部 分, 而 且 要 能 够 区 别 相 似 公 式, 将 出 错 概 率 降 到 最 小 公 式 如 下 :. (-,). 3 ( ) ( ) (-, ) 3.
l( ) 3 3 ( ) ( ) (, ) 4. e!!! (, ) 5. si 3! ( ) ()! ( ) ()! (, ) 6. cos 4 4 (!! ( ) )! ( ) ()! (, ) 这 六 个 公 式 可 以 分 为 两 个 部 分, 前 3 个 相 互 关 联, 后 3 个 相 互 关 联 式 是 第 一 部 分 式 子 的 基 础 时 的 求 和 公 式 不 就 是 一 个 无 穷 等 比 数 列 吗, 在 s 正 是 函 数 展 开 式 的 左 端 所 以 这 个 式 子 最 好 记, 以 此 为 出 发 点 看 式 子 : 式 左 端 是, 式 左 端 是 ; 式 右 端 是, 式 右 端 也 仅 仅 是 变 成 了 交 错 级 数 ( ), 故 可 以 通 过 这 种 比 较 来 记 忆 式 子 ; 对 于 3 式 来 说, 公 式 左 端 的 l( ) 与 式 左 端 的 存 在 着 关 系 [l( )], 故 由 的 展 开 式
可 以 推 导 出 l( ) 的 展 开 式 为 ( ) 这 三 个 式 子 中 的 (, ), 相 互 之 间 存 在 着 上 述 的 清 晰 联 系 后 3 个 式 子 的 (, ), 相 互 之 间 的 联 系 主 要 在 于 公 式 右 端 展 开 式 形 式 上 的 相 似 性 这 一 部 分 的 基 本 式 是 公 式 4: e! 与 之 相 比, si 的 展 开 式 是 ( ) ()!, cos 的 展 开 式 是 ( ) ()! 一 个 可 看 成 是 将 e 展 开 式 中 的 奇 数 项 变 成 交 错 级 数 得 到 的, 一 个 可 看 成 是 将 e 展 开 式 中 的 偶 数 项 变 成 交 错 级 数 而 得 到 像 这 样 从 形 似 上 掌 握 不 费 脑 子, 但 要 冒 记 混 淆 的 危 险, 但 此 处 恰 好 都 是 比 较 顺 的 搭 配 : si cos 习 惯 上 说 正 余 弦, 先 正 后 余 ; 而 si 的 展 开 式 对 应 的 是 奇 数 项, cos 的 展 开 式 对 应 的 是 偶 数 项, 习 惯 上 也 是 说 奇 偶 性, 先 奇 后 偶 记 好 6 个 关 键 式 是 解 决 幂 级 数 求 和 与 函 数 的 幂 级 数 展 开 问 题 的 基 础, 不 仅 在 记 忆 上 具 有 规 律 性, 在 解 题 时 也 大 有 规 律 可 循 在 已 知 幂 级 数 求 和 函 数 时, 最 佳 途 径 是 根 据 各 个 公 式 右 端 的 形 式 来 选 定 公 式 : 第 一 部 分 ( 前 3 式 ) 的 展 开 式 都 不 带 阶 乘, 其 中 只 有 的 展 开 式 不 是 交 错 级 数 ; 第 二 部 分 ( 后 3 式 ) 的 展 开 式 都 带 阶 乘, 其 中 只 有 e 的 展 开 式 不 是 交 错 级 数 由 题 目 给 出 的 幂 级 数 的 形 式 就 可 以 看 个 八 九 不 离 十 了, 比 如 给 出 的 幂 级 数 带 阶 乘 而 不 是 交 错 级 数, 则 应 该 用 公 式 4, 因 为 幂 级 数 的 变 形 变 不 掉 阶 乘 和 ( ) ; 若 题 目 给 出 的 幂 级 数 不 带 阶 乘 而 且 是 交 错 级 数, 则 必 从 3 两 式 中 选 择 公 式, 其 它 情 况 也 类 似 对 于 函 数 的 幂 级 数 展 开 题 目, 则 是 从 已 知 条 件 与 各 公 式 左 端 的 相 似 性 上 入 手, 相 对 来 说 更 为 简 单 在 判 断 出 所 用 公 式 以 后 一 般 要 使 用 下 列 变 形 方 法 使 得 题 目 条 件 的 形 式 与 已 知 公 式 相 符 : 变 量 替 换 ( 用 于 函 数 的 幂 级 数 展 开 ) 四 则 运 算 ( 用 于 展 开 求 和 ) 逐 项 微 积 分 ( 用 于 展 开 求 和 ) 对 于 数 项 级 数 求 和 的 题 目, 主 要 方 法 是 构 造 幂 级 数 法, 即 利 用 变 换 lim 求 得 幂 级 数 的 和 函 数 s () 以 后 代 入 极 限 式 即 可 其 中 的 关 键 步 骤 是 选 择 适 当 的, 一 般 情 况 下 如 果 ( ) 这 样 的 项 在 分 子 中, 则 应 该 先 用 逐 项 积 分 再 用 逐 项 求 导, 此 时 的 应 为 ( ) ) 的 形 式, 如 (
( ), 以 方 便 先 积 分 ; 若 题 目 有 ( ) (3 ) 这 样 的 项, 则 ( ) 应 为 的 形 ) 式, 如 ( 3 ) (, 便 于 先 求 导 这 些 经 验 在 做 一 定 量 的 题 目 后 就 会 得 到 本 章 最 后 的 知 识 点 是 付 立 叶 级 数, 很 少 考 到, 属 于 比 较 偏 的 知 识 点, 但 其 思 想 并 不 复 杂, 花 时 间 掌 握 还 是 比 较 划 算 的 函 数 的 付 立 叶 级 数 的 物 理 意 义 就 是 谐 波 分 析, 即 把 一 个 复 杂 周 期 运 动 看 作 是 若 干 个 正 余 弦 运 动 的 叠 加 首 先 需 记 住 付 立 叶 展 开 式 和 收 敛 定 理, 在 具 体 展 开 时 有 以 下 两 种 情 况 :. 题 目 给 出 的 函 数 至 少 有 一 个 完 整 的 周 期, 如 图 拓 的 问 题 对 于 形 状 类 似 上 图 的 函 数, 展 开 以 后 级 数 中 既 有 正 弦 级 数 也 有 余 弦 级 数 ; 则 直 接 套 用 公 式 即 可, 不 存 在 奇 开 拓 和 偶 开 若 为 奇 函 数 如, 则 展 开 后 只 有 正 弦 级 数 ; 若 为 偶 函 数 则 展 开 后 只 有 余 弦 函 数 ;. 题 目 给 出 函 数 后 没 有 说 明 周 期, 则 需 要 根 据 题 目 要 求 进 行 奇 开 拓 或 偶 开 拓 如 图, 若 要 求 进 行 奇 开 拓 就 是 展 开 成 奇 函 数, 此 时 得 到 的 级 数 中 只 有 正 弦 级 数, 图 像 为 ;
若 要 求 进 行 偶 开 拓 就 是 要 展 开 成 偶 函 数, 此 时 得 到 的 展 开 式 中 只 有 余 弦 级 数, 图 像 为.8 高 数 第 九 章 矢 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 本 章 并 不 算 很 难, 但 其 中 有 大 量 的 公 式 需 要 记 忆, 故 如 何 减 少 记 忆 量 是 复 习 本 章 时 需 要 重 点 考 虑 的 问 题 抓 住 本 章 前 后 知 识 点 的 联 系 来 复 习 是 一 种 有 效 的 策 略, 因 为 这 样 做 既 可 以 避 免 重 复 记 忆 减 少 记 忆 量, 又 可 以 保 证 记 忆 的 准 确 性 同 时, 知 识 点 前 后 联 系 密 切 也 正 是 本 章 的 突 出 特 点 之 一 以 下 列 出 本 章 中 前 后 联 系 的 知 识 点 : ) 矢 量 间 关 系 在 讨 论 线 线 关 系 线 面 关 系 中 的 应 用 这 个 联 系 很 明 显, 举 例 来 说, 平 面 与 直 线 平 行 时, 平 面 的 法 矢 量 与 直 线 的 方 向 矢 量 相 互 垂 直, 而 由 矢 量 关 系 性 质 知 此 时 二 矢 量 的 数 积 为, 若 直 线 方 程 为 l y y m z z, 平 面 方 程 为 By Cz D A, 则 有 Bm C 面 面 关 系 进 行 判 定 为 Al 同 理 可 对 线 面 线 线 b) 数 积 定 义 与 求 线 线 线 面 面 面 夹 角 公 式 的 联 系 数 积 定 义 式 b b cos, 故 有 cos b, 这 个 式 子 是 所 有 线 线 线 面 面 面 夹 b yy zz 角 公 式 的 源 公 式 举 例 来 说, 设 直 线 l m l :, 直 线 l : yy zz l m ll mm b, 则 二 直 线 夹 角 l m l m, b 其 中 b 分 别 是 两 条 直 线 的 方 向 矢 量 对 于 线 面 面 面 夹 角 同 样 适 用, 只 需 注 意 一 点 就 是 线 面 夹 角 公 式 中 不 是 cos 而 是 si, 因 为 如 右 图 所 示
由 于 直 线 的 方 向 矢 量 与 直 线 的 走 向 平 行, 而 平 面 的 法 矢 量 却 与 平 面 垂 直, 所 以 线 面 夹 角 是 两 矢 量 夹 角 的 余 角, 即 9 式 的 左 端 是 si 对 于 线 线 夹 角 和 面 面 夹 角 则 无 此 问 题 c) 平 面 方 程 各 形 式 间 的 相 互 联 系 平 面 方 程 的 一 般 式 点 法 式, 故 求 夹 角 公 三 点 式 截 距 式 中, 点 法 式 和 截 距 式 都 可 以 化 为 一 般 式 点 法 式 A ) B( y y ) C( z z ) ( 点, y, ) ( ( z 为 平 面 上 已 知 点, { A, B, C} 为 法 矢 量 ) 可 变 形 为 A By Cz ( A By Cz ), 符 合 一 般 式 By Cz D y z A 的 形 式 ; 截 距 式 b c (, b, c 为 平 面 在 三 个 坐 标 轴 上 的 截 距 ) 可 变 形 为 bc cy bz bc, 也 符 合 一 般 式 的 形 式 这 样 的 转 化 不 仅 仅 是 为 了 更 好 地 记 公 式, 更 主 要 是 因 为 在 考 试 中 可 能 需 要 将 这 些 式 子 相 互 转 化 以 方 便 答 题 ( 这 种 情 况 在 历 年 真 题 中 曾 经 出 现 过 ) 同 样, 直 线 方 程 各 形 式 之 间 也 有 类 似 联 系, 直 线 方 程 的 参 数 形 式 和 标 准 式 之 间 可 以 相 互 转 化 直 线 方 程 的 参 数 形 式 { l, m, } y y z z lt mt t 为 方 向 矢 量 ) 可 变 形 为 ( (, y, z ) 是 平 面 上 已 知 点, l y y m zz t t t, 即 为 标 准 式 l y y z z m y y zz ; 标 准 式 l m 若 变 形 为 l yy m zz t 则 也 可 以 转 化 为 参 数 形 式 这 个 转 化 在 历 年 真 题 中 应 用 过 不 止 一 次 d) 空 间 曲 面 投 影 方 程 柱 面 方 程 柱 面 准 线 方 程 之 间 的 区 别 与 联
F 系 关 于 这 些 方 程 的 基 础 性 知 识 包 括 : (,, ) 表 示 的 是 一 个 空 间 曲 面 ; 由 于 空 间 曲 线 可 视 为 由 两 个 空 间 曲 面 相 交 而 得 到 的, 故 空 间 曲 面 方 程 为 面 方 程 如 圆 柱 面 y z F F (, y, z) (, y, z) ; 柱 y R 椭 圆 柱 面 可 视 为 是 二 元 函 数 f (, 在 三 维 坐 标 系 中 的 形 式 在 这 些 基 础 上 分 析, 柱 面 方 程 的 准 线 方 程 如 b y f (, z 可 视 为 是 由 空 间 曲 面 柱 面 与 特 殊 的 空 间 曲 面 坐 标 平 面 z 相 交 形 成 的 空 间 曲 线, 即 右 图 中 的 曲 线 ; 而 空 间 曲 线 的 投 影 方 程 与 柱 面 准 线 方 程 其 实 是 一 回 事, 如 上 图 中 曲 线 的 投 影 是 由 过 曲 线 的 投 影 柱 面 与 坐 标 平 面 相 交 得 到 的, 所 以 也 就 是 图 中 的 柱 面 准 线 在 由 空 间 曲 线 方 程 F F (, y, z) (, y, z) 程 组 中 消 去 z 得 到 一 个 母 线 平 行 于 z 轴 的 柱 面 方 程 ;; 再 与 z 求 投 影 方 程 时, 需 要 先 从 方 联 立 即 可 得 投 影 方 程 f (, y, z) z
.9 高 数 第 十 章 多 元 函 数 微 分 学 复 习 本 章 内 容 时 可 以 先 将 多 元 函 数 各 知 识 点 与 一 元 函 数 对 应 部 分 作 对 比, 这 样 做 即 可 以 将 相 似 知 识 点 区 别 开 以 避 免 混 淆, 又 可 以 通 过 与 一 元 函 数 的 对 比 来 促 进 对 二 元 函 数 某 些 地 方 的 理 解 本 章 主 要 内 容 可 以 整 理 成 一 个 大 表 格 : 二 元 函 数 的 定 义 ( 略 ) 二 元 函 数 的 连 续 性 及 极 限 : 二 元 函 数 的 极 限 要 求 点 (, 以 任 何 方 向 任 何 路 径 趋 向 (, y ) ( P 时 均 有 f (, A y y lim yy f (, 不 存 在 二 元 函 数 f (, ) 如 果 沿 不 同 路 径 的 lim 不 相 等, 则 可 断 定 yy z 在 点 P, y ) 性 判 断 条 件 为 : f (, y ) lim yy f (, ( f (, 处 连 续 存 在 且 等 于 相 的 定 义 ( 略 ) 似 一 元 函 数 的 连 续 性 及 极 限 : 一 元 函 数 的 极 限 与 路 径 无 关, 由 等 价 式 不 同 相 似 lim f ( ) A 断 f ( ) 一 元 函 数 f () f ( ) A y 在 点 lim f ( ) 即 可 判 处 连 续 性 判 断 条 件 为 且 等 于 f ( ) 二 元 函 数 的 偏 导 数 定 义 二 元 函 数 z f (, 的 偏 导 数 定 义 一 元 函 数 的 导 数 定 义 一 元 函 数 f () y 的 导 数 定 义 : 相 似
z lim lim f (, y ) f (, y ) 分 段 函 数 在 分 界 点 处 求 偏 导 数 要 用 偏 导 数 的 定 义 二 元 函 数 的 全 微 分 : 简 化 定 义 为 : 对 于 函 数 z f (,, 若 其 在 点 相 P, y ) 处 的 增 量 z ( 似 可 表 示 为 z A By o(), 其 中 o () 为 y lim lim f ( ) f ( 段 函 数 在 分 界 点 处 求 导 数 需 要 用 导 数 定 义 一 元 函 数 的 全 微 分 : 简 化 定 义 为 : 若 函 数 y f () 在 点 ) 分 处 的 增 量 y 可 表 示 为 y A d, 其 中 d 是 的 高 的 高 阶 无 穷 小, 则 函 数 f (, P, y ) 处 可 微, 全 微 分 为 A By ( 一 般 有 dz z d z y dy 二 元 函 数 可 微 可 导 连 续 三 角 关 系 图 连 续 可 导 可 微 多 元 函 数 的 全 导 数 设 f (, v, w) 在, z, g(t), v h(t), w (t) 且 都 可 导, 则 z 对 t 的 全 导 数 dz dt f d dt f v dv dt f w dw dt 多 元 复 合 函 数 微 分 法 复 合 函 数 求 导 公 式 : 设 f (, v, w) z j(, v h(, w (, y ), 则 有 z z z v z w v w z z z z z w y y v y w y 对 于 多 元 不 同 不 同 相 似 阶 无 穷 小, 则 函 数 在 该 点 可 微, 即 dy A, 一 般 有 dy f ( ) d 二 元 函 数 可 微 可 导 连 续 三 角 关 系 图 连 续 可 导 可 微 一 元 函 数 没 有 全 导 数 这 个 概 念, 但 是 左 边 多 元 函 数 的 全 导 数 其 实 可 以 从 一 元 复 合 函 数 的 角 度 理 解 一 元 复 合 函 数 是 指 y f () g() 时 有 dy d dy d d d 与 左 边 的 多 元 函 数 全 导 数 公 式 比 较 就 可 以 将 二 式 统 一 起 来 一 元 复 合 函 数 求 导 公 式 如 上 格 所 示, 与 多 元 复 合 函 数 求 导 公 式 相 似, 只 需 分 清 式 子 中 dz z 与 的 不 同 即 可 d
复 合 函 数 求 导, 在 考 研 真 题 中 有 一 个 百 出 不 厌 的 点 就 是 函 数 z 对 中 间 变 量, v, w z z 的 偏 导 数 v z 仍 是 以, v, w 为 中 间 变 量 的 复 合 函 数, 此 时 在 w 求 偏 导 数 时 还 要 重 复 使 用 复 合 函 数 求 导 法 这 是 需 要 通 过 足 量 做 题 来 熟 练 掌 握 的 知 识 点, 在 后 面 的 评 题 中 会 就 题 论 题 作 更 充 分 的 论 述 多 元 隐 函 数 微 分 法 求 由 方 程 F (, y, z) 确 定 的 隐 含 数 Z Z(, 的 偏 导 数, 可 用 公 式 : z F (, y, z) F (, y, z) 方 程 组 z, F(, y, z) G(, y, z) y y() z z() dy F Fy d dy G G y d F z G z z F y(, y, z) y F(, y, z) dz d dz d z 对 于 由 确 定 的 隐 含 数 可 套 用 方 程 组 一 元 复 合 函 数 参 数 方 程 微 分 法 对 一 元 隐 函 数 求 导 常 采 用 两 种 方 法 :. 公 式 dy d F (, F(, y. 将 y 视 为 的 函 数, 在 方 程 两 边 同 时 对 求 导 一 元 参 数 方 程 微 分 法 : 若 有 dy d y( t) ( t) ( t) y y( t) 则 关 于 这 一 部 分, 多 元 与 一 元 的 联 系 不 仅 是 形 似, 而 且 在 相 当 大 程 度 上 是 相 通 的, 在 考 研 真 题 中 此 处 与 上 面 的 多 元 复 合 函 数 求 导 是 本 章 的 两 个 出 题 热 点, 屡 屡 出 现 相 关 题 目, 在 后 面 的 评 题 中 有 更 多 讨 论 多 元 函 数 的 极 值 一 元 函 数 的 极 值 极 值 定 义 : 函 数 f (, z 在 点 P, y ) ( 极 值 定 义 : 函 数 f () y 在 点 的 邻 的 邻 域 内 有 定 义, 且 对 于 其 中 异 于 P 点 的 任 一 点 Q (,, 恒 有 f, f (, y ) 或 ( f, f (, y ), 则 称 f, y ) ( f (, 的 极 小 / 大 值, 方 程 组 解 称 为 函 数 的 驻 点 取 极 值 的 充 分 条 件 ( f (, f (, y 为 的 相 似 域 内 有 定 义 且 对 于 其 中 异 于 该 点 的 任 一 点 恒 有 f ( ) f ( ) 或 f ) f ( ), 则 称 f ) ( y f () ( ) ( 为 的 极 小 / 大 值, 方 程 f 的 解 称 为 函 数 的 驻 点 取 极 值 的 充 分 条 件
z 在 点 P, y ) 函 数 f (, ( 的 邻 域 内 有 连 续 二 阶 偏 导, 且 满 足 f (, y ) f y, y ) ( f (, )] (, ) y y f y f y (, y ) [ 相 似 函 数 f () y 在 点 且 满 足 ( ) 的 邻 域 内 可 导, f ( ) f (, 则 ) 若 ) f (, 则 f ) 若 ) f, 则 : f ( 为 极 小 值 ; ( 为 极 小 值 f 或, y ), 若 (, y ) f y ( 则 (, y ) P 为 极 小 值 点 ; f 或, y ) 若 (, y ) f y ( 则 (, y ) P 为 极 大 值 点 大 纲 对 于 多 元 函 数 条 件 极 值 的 要 求 为 会 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 条 件 极 值, 是 一 种 比 较 简 单 而 且 程 式 化 的 方 法 一 元 函 数 则 无 对 应 的 内 容. 高 数 第 十 章 重 积 分 大 纲 对 于 本 章 的 要 求 只 有 两 句 :. 理 解 二 重 积 分 三 重 积 分 的 概 念, 了 解 重 积 分 的 性 质, 了 解 二 重 积 分 的 中 值 定 理. 掌 握 二 重 积 分 的 计 算 方 法 ( 直 角 坐 标 极 坐 标 ), 会 计 算 三 重 积 分 ( 直 角 坐 标 柱 面 坐 标 球 面 坐 标 ) 这 一 部 分 在 历 年 真 题 中 直 接 考 到 的 情 况 很 少, 但 却 经 常 涉 及, 尤 其 是 在 关 于 曲 线 曲 面 积 分 的 题 中, 一 般 都 需 要 将 曲 线 曲 面 积 分 转 化 为 重 积 分 来 计 算 结 果 关 于 二 重 积 分 的 性 质, 可 以 结 合 二 重 积 分 的 几 何 意 义 和 定 积 分 的 对 应 性 质 来 理 解, 因 为 理 解 几 何 意 义 有 利 于 解 应 用 性 问 题, 而 且 定 积 分 和 二 重 积 分 的 性 质 定 理 几 乎 是 一 一 对 应 的, 对 比 起 来 很 直 观
在 做 二 重 积 分 的 题 时 常 用 的 是 更 换 积 分 次 序 的 方 法 与 几 个 变 换 技 巧, 这 一 点 在 后 面 评 题 时 会 有 针 对 性 的 讨 论
线 性 代 数 部 分. 线 代 这 门 课 的 特 点 线 性 代 数 与 高 数 和 概 率 相 比, 特 点 之 一 是 知 识 点 比 较 细 碎 如 矩 阵 部 分 涉 及 到 了 各 种 类 型 的 性 质 和 关 系, 记 忆 量 大 而 且 容 易 混 淆 的 地 方 较 多 ; 但 线 代 更 重 要 的 特 点 在 于 知 识 点 间 的 联 系 性 很 强 这 种 联 系 不 仅 仅 是 指 在 后 面 几 章 中 用 到 前 两 章 行 列 式 和 矩 阵 的 相 关 知 识, 更 重 要 的 是 在 于 不 同 章 节 中 各 种 性 质 定 理 判 定 法 则 之 间 有 着 相 互 推 导 和 前 后 印 证 的 关 系 历 年 考 研 真 题 中 线 代 部 分 的 题 目 都 很 灵 活, 在 一 道 大 题 甚 至 小 题 中 就 可 以 考 察 到 多 个 知 识 点, 而 且 过 渡 自 然 结 构 巧 妙 ; 有 相 当 一 部 分 题 目 可 以 找 出 多 种 解 法 出 现 这 种 情 况 当 然 与 出 题 专 家 水 平 高 有 关, 但 内 在 原 因 还 是 在 于 线 性 代 数 这 门 课 知 识 点 间 联 系 性 强 的 特 点 所 以 我 们 在 复 习 线 代 的 策 略 中, 有 必 要 考 虑 一 下 怎 样 才 能 做 到 融 会 贯 通 融 会 可 以 理 解 为 设 法 找 到 不 同 知 识 点 之 间 的 内 在 相 通 之 处 ; 贯 通 可 以 理 解 为 掌 握 前 后 知 识 点 之 间 的 顺 承 关 系 这 样 做 的 目 的 就 在 于 当 看 到 题 目 的 条 件 和 结 论 推 测 出 其 中 涉 及 到 的 知 识 点 时 立 刻 就 能 想 到 与 之 有 关 联 的 其 他 知 识 点 队 列, 从 而 大 大 提 高 解 题 效 率 增 加 得 分 胜 算 这 样 的 复 习 策 略 虽 然 也 能 够 用 于 高 数 和 概 率, 但 在 线 代 复 习 中 的 作 用 体 现 的 最 为 明 显 以 第 三 章 向 量 第 四 章 线 性 方 程 组 为 例, 线 性 相 关 线 性 表 示 的 概 念 与 线 性 方 程 组 的 某 些 性 质 定 理 之 间 存 在 着 相 互 推 导 和 相 互 印 证 的 关 系 ; 出 题 专 家 在 编 制 题 目 时 常 常 利 用 这 些 联 系 将 两 部 分 的 内 容 结 合 起 来 出 题, 比 如 在 历 年 真 题 中 出 现 频 率 很 高 的 性 质 齐 次 方 程 组 是 否 有 零 解 对 应 于 A 的 列 向 量 组 是 否 线 性 相 关 ; 非 齐 次 方 程 组 A=b 是 否 有 解 对 应 于 向 量 b 是 否 可 由 A 的 列 向 量 线 性 表 示 再 如 一 个 貌 似 考 察 向 量 组 线 性 无 关 的 题 目, 做 起 来 以 后 才 发 现 实 际 考 的 是 矩 阵 秩 或 行 列 式 的 内 容, 题 眼 就 在 于 性 质 方 阵 A 可 逆 A =A 的 列 向 量 组 线 性 无 关 r(a)=, 依 靠 这 一 性 质 建 立 起 了 线 性 无 关 和 矩 阵 秩 两 个 知 识 点 间 的 联 系 以 上 简 单 分 析 了 一 下 线 代 这 门 课 本 身 的 特 点, 在 下 面 的 小 结 中 列 出 了 对 每 章 中 一 些 具 体 知 识 点 内 在 联 系 的 分 析 和 实 战 过 程 中 发 现 的 一 些 常 用 的 和 好 用 的 性 质, 作 为 对 具 体 知 识 点 的 讨 论 正 是 因 为 具 有 这 样 的 特 点, 线 代 与 高 数 概 率 相 比, 从 难 易 程 度 上 讲 正 是 一 门 学 得 不 好 就 显 得 特 别 的 难, 一 旦 学 好 以 后 就 会 变 得 特 别 容 易 的 科 目, 所 以 实 际 上 把 时 间 花 在 线 代 复 习 上 很 划 算 ; 即 使 你 现 在 认 为 自 己 的 线 代 水 平 还 不 好, 那 么 也 不 应 该 有 放 弃 线 代 的 打 算, 因 为, 在 一 门 已 经 学 得 差 不 多 的 课 上 继 续 投 入 时 间 的 效 果 肯 定 要 比 投 入 等 量 时 间 在 一 门 学 得 不 好 但 有 更 大 提 分 空 间 的 课 上 的 效 果 好, 也 就 是 说, 试 图 把 一 门 满 分 是 分 现 在 水 平 是 8 分 的 课 提 高 到 85 分, 一 般 要 比 把 一 门 满 分 现 在 只 能 拿 4 分 的 课 提 高 分 分 还 要 难 得 多. 线 代 第 一 章 行 列 式 第 二 章 矩 阵 第 一 章 行 列 式 第 二 章 矩 阵 是 线 性 代 数 中 的 基 础 章 节, 有 必 要 熟 练 掌 握 第 一 章 行 列 式 的 核 心 内 容 是 求 行 列 式, 包 括 具 体 行 列 式 的 计 算 和 抽 象 行 列 式 的 计 算, 其 中 具 体 行 列 式 的 计 算 又 有 低 阶 和 阶 两 种 类 型 ; 主 要 方 法 是 应 用 行 列 式 按 行 \ 列 展 开 定 理 和 化 为 上 下 三 角 行 列 式 求 解, 还 可 能 用 到 的 方 法 包 括 : 行 列 式 的 定 义 ( 阶 行 列 式 的 值 为 取 自 不 同 行
不 同 列 的 个 元 素 的 乘 积 的 代 数 和 ) 性 质 A ( 其 中 i 为 矩 阵 A 的 特 征 值 ) 行 列 式 的 性 质 ( 如 数 乘 行 列 式 等 于 用 此 数 乘 一 行 列 式 中 的 某 一 行 或 某 一 列 ) 对 于 抽 象 行 列 式 的 求 值, 考 点 不 在 求 行 列 式, 而 在 于 下 面 对 第 二 章 的 讨 论 中 会 有 小 结 A A A 等 的 相 关 性 质, 在 第 二 章 矩 阵 中 的 知 识 点 很 细 碎, 但 好 在 每 个 小 知 识 点 包 括 的 内 容 都 不 多, 没 有 什 么 深 度 由 历 年 考 研 真 题 可 见, 矩 阵 部 分 出 题 很 灵 活, 频 繁 出 现 的 知 识 点 包 括 矩 阵 运 算 的 运 算 规 律 A, A, A 的 性 质 矩 阵 可 逆 的 判 定 条 件 矩 阵 秩 的 性 质 某 些 结 构 特 殊 的 矩 阵 和 矩 阵 初 等 变 换 技 巧 等 所 以 复 习 本 章 的 难 度 主 要 在 于 如 何 保 证 复 习 的 全 面 细 致, 一 些 做 题 时 用 到 的 性 质 和 方 法 结 合 具 体 的 题 目 就 题 论 题 才 有 最 佳 的 效 果, 故 在 后 面 的 评 题 中 会 有 更 充 分 的 讨 论 ; 下 面 的 表 格 分 类 列 出 了 逆 矩 阵 行 列 式 性 质 A 伴 随 矩 阵 特 征 值 性 质 ( 为 矩 A 矩 阵 转 置 运 算 性 质 A 的 性 质 以 供 区 别 记 忆 : 秩 的 性 质 阵 A 的 特 征 值 ) 转 置 矩 阵 A A A ( A ) ( A ) A A r( A ) r( A) r( A ) r( A A) ( AB) B A r( A A) r( A) ( A B) B A 逆 矩 阵 A A A A 伴 随 矩 阵 A A 有 特 征 值 有 特 征 值 A A A A 三 者 之 间 有 一 个 即 好 记 又 好 用 的 性 质 ( A ) ( A ) r( A ). r( A). r( A). r( A) ( A ) ( A ) ( A ) ( A )
数 乘 矩 阵 A A A 有 特 r( A B) r( A) r( B) A 矩 阵 之 积 AB 及 矩 阵 之 和 AB A B 征 值, A be r( AB) mi{ r( A), r( B)} AB 则 有 : A B 有 特 征 值 b r( A) r( B) 若 A 是 可 逆 矩 阵 则 有 r( AB) r( B) ; 同 样, 若 B 可 逆 则 有 r( AB) r( A).3 线 代 第 三 章 向 量 第 四 章 线 性 方 程 组 线 代 第 三 章 向 量 第 四 章 线 性 方 程 组 是 整 个 线 性 代 数 部 分 的 核 心 内 容, 相 比 之 下, 前 两 章 行 列 式 和 矩 阵 可 视 作 是 为 了 讨 论 向 量 和 线 性 方 程 组 部 分 的 问 题 而 做 铺 垫 的 基 础 性 章 节, 后 两 章 特 征 值 特 征 向 量 二 次 型 的 内 容 则 相 对 独 立, 可 以 看 作 是 对 第 三 四 章 核 心 内 容 的 扩 展 向 量 与 线 性 方 程 组 两 章 的 内 容 联 系 很 密 切, 很 多 知 识 点 相 互 之 间 都 有 或 明 或 暗 的 相 关 性 复 习 这 两 章 最 有 效 的 方 法 就 是 彻 底 理 顺 诸 多 知 识 点 之 间 的 内 在 联 系, 因 为 这 样 做 首 先 能 够 保 证 做 到 真 正 意 义 上 的 理 解, 同 时 也 是 熟 练 掌 握 和 灵 活 运 用 的 前 提 解 线 性 方 程 组 可 以 看 作 是 这 两 章 内 容 的 出 发 点 和 目 标 线 性 方 程 组
m m m b b b 的 系 数 矩 阵 是 m 行 列 的, 其 有 两 种 形 式, 一 种 是 矩 阵 形 式 A b ; 其 中 A 是 系 数 矩 阵 m m m,, b b b b ; 另 一 种 是 向 量 形 式 b, 其 中 i i i i i, 向 量 就 这 样 被 引 入 了, 可 能 早 期 的 数 学 家 研 究 向 量 就 是 为 了 更 好 的 研 究 解 方 程 组 的 问 题 先 讨 论 其 次 线 性 方 程 组 与 线 性 相 关 无 关 的 联 系 齐 次 线 性 方 程 组 量 可 由 任 何 向 量 线 性 表 示, 即 当 定 存 在 一 组 数 可 以 直 接 看 出 是 一 定 有 解 的, 因 为 当 式 等 式 一 定 成 立, 印 证 了 第 三 章 向 量 部 分 的 一 条 性 质 向 中 的, 使 等 式 成 立, 至 少 在 i 全 为 时 可 以 满 足 时 一 齐 次 线 性 方 程 组 一 定 有 解 又 可 以 分 为 两 种 情 况 :. 有 唯 一 零 解 ;. 有 非 零 解 当 齐 次 线 性 方 程 组 有 唯 一 零 解 时, 是 指 等 式 中 的 i 只 能 全 为 才 能 使 等 式 成 立, 而 第 三 章 向 量 部 分 中 判 断 向 量 组 也 正 是 由 这 个 等 式 定 义 出 的 线 性 相 关 的 定 义 为 : 设 在 一 组 不 为 零 的 数 则 称 向 量 组 成 立, 则 称 向 量 组, 是 否 线 性 相 关 \ 无 关, 为 一 组 向 量, 如 果 存, 使 得 等 式 成 立,, 线 性 相 关 ; 如 果 等 式 当 且 仅 当 时, 线 性 无 关 故 向 量 与 线 性 方 程 组 在 此 又 产 生 了 联 系 : 齐
次 线 性 方 程 组 A 是 否 有 非 零 解 对 应 于 系 数 矩 阵 A 的 列 向 量 组 是 否 线 性 相 关 ( 这 些 联 系 肯 定 不 是 简 单 的 巧 合, 很 有 可 能 正 是 数 学 史 上 前 后 相 承 的 发 展, 说 不 定 线 性 相 关 \ 无 关 的 概 念 正 是 数 学 家 在 研 究 线 性 方 程 组 问 题 的 过 程 中 发 现 的 其 实 如 果 按 照 数 学 发 展 史 的 进 程 来 编 制 数 学 教 科 书 的 话, 虽 然 逻 辑 性 和 系 统 性 会 不 如 现 在 的 分 章 节 教 材, 但 肯 定 会 大 大 方 便 学 习 者 的 理 解 和 领 悟, 因 为 这 更 接 近 于 人 思 维 自 然 进 展 的 节 奏, 非 常 有 利 于 学 习 者 认 识 各 种 概 念 定 理 的 来 龙 去 脉, 而 不 明 白 自 己 学 的 到 底 是 什 么 正 是 很 多 同 学 对 数 学 感 到 困 惑 的 根 源 即 使 不 能 做 到 编 制 教 材, 也 可 以 在 教 材 中 做 一 些 介 绍 ) 假 如 线 性 相 关 \ 无 关 的 概 念 就 是 为 了 更 好 地 讨 论 线 性 方 程 组 问 题 而 提 出 的, 那 同 样 可 以 认 为 秩 是 为 了 更 好 地 讨 论 线 性 相 关 和 线 性 无 关 而 引 入 的 秩 的 定 义 是 极 大 线 性 无 关 组 中 的 向 量 个 数, 向 量 组 r( A) 说 明 向 量 组 的 极 大 线, 组 成 的 矩 阵 A 有 性 无 关 组 中 有 个 向 量, 即, 线 性 无 关, 也 即 等 式 只 有 解 所 以, 经 过 秩 线 性 相 关 \ 无 关 线 性 方 程 组 解 的 判 定 的 逻 辑 链 条, 由 r( A) 就 可 以 判 定 齐 次 方 程 组 只 有 解 当 r( A) 时, 按 照 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 判 定 法 则, 此 时 有 非 零 解, 且 有 -r 个 线 性 无 关 的 解 向 量 这 又 与 另 一 条 性 质 相 和 : 如 果 齐 次 线 性 方 程 组 方 程 个 数 小 于 未 知 量 个 数 则 必 有 非 零 解 若 方 程 组 A 的 系 数 矩 阵 是 m 行 列 的, 则 方 程 个 数 小 于 未 知 量 个 数 时 有 m<; 因 为 矩 阵 的 秩 等 于 行 秩 也 等 于 列 秩, 所 以 必 有 r( A) m, 根 据 齐 次 方 程 组 解 的 判 定 定 理 有 非 零 解 对 于 非 齐 次 方 程 组 来 说, 其 解 的 判 定 定 理 与 线 性 表 示 的 概 念 前 后 联 系 : 非 齐 次 方 程 组 A b 是 否 有 解 对 应 于 向 量 b 是 否 可 由 A 的 列 向 量 线 性 表 示 线 性 表 示 的 定 义 为 : 对 于 向 量 组, 若 存 在 一 组 数, 使 等 式 b 成 立, 则 称 向 量 b 可 由 向 量 组, 线 性 表 示 而 使 上 述 等 式 成 立 的 i 就 是 非 齐 次 方 程 组 A b 的 解, 故 齐 次 方 程 组 有 性 质 齐 次 线 性 方 程 组 A 是 否 由 非 零 解 对 应 于 系 数 矩 阵 A 的 列 向 量 组 是 否 线 性 向 关, 非 齐 次 方 程 组 也 由 对 应 性 质 非 齐 次 线 性 方 程 组 A b 是 否 有 解 对 应 于 向 量 b 是 否 可 由 A 的 列 向 量 线 性 表 示 当 非 齐 次 线 性 方 程 组 足 A b 与 对 应 齐 次 线 性 方 程 组 A r( A) r( A) 时, 根 据 线 性 方 程 组 解 的 判 定 法 则, 齐 次 方 程 组 有 零 解, 非 齐 次 满
方 程 组 有 唯 一 解 这 一 点 也 正 好 印 证 了 一 个 重 要 定 理 : 若,, b 线 性 相 关, 则 向 量 b 可 由 向 量 组, 线 性 无 关, 而, 线 性 表 示, 且 表 示 方 法 唯 一 以 上 讨 论 了 线 性 相 关 线 性 表 示 的 概 念 与 齐 次 非 齐 次 线 性 方 程 组 之 间 的 内 在 联 系, 这 样 做 不 仅 仅 是 为 了 透 彻 理 解 知 识 点, 更 是 为 了 有 效 应 对 考 试 题 线 代 部 分 的 学 习 并 不 容 易 保 持 平 庸, 一 般 不 是 学 的 很 好 做 起 题 来 左 右 逢 源 挥 洒 自 如 ; 就 是 收 效 欠 佳 总 感 觉 摸 不 准 题 目 的 脉 络 ; 其 差 距 就 在 于 对 线 性 代 数 这 门 课 各 章 节 知 识 的 联 系 是 不 是 真 正 把 握 领 悟 了 线 代 部 分 的 题 目 难 就 难 在 考 点 的 跨 度 大, 出 题 老 师 可 以 借 助 各 知 识 点 之 间 天 然 的 内 在 联 系 来 编 制 出 非 常 灵 活 的 题 目, 而 我 们 如 果 仅 仅 掌 握 零 散 知 识 点, 那 怕 对 这 些 孤 立 的 点 掌 握 的 再 透 彻, 在 作 题 时 也 会 被 题 目 给 弄 的 晕 头 转 向 我 记 得 当 时 上 线 代 课 时 也 常 常 是 听 的 一 头 雾 水 莫 名 其 妙, 感 觉 这 门 课 很 难 ; 但 在 考 研 备 考 时 经 过 这 样 抓 本 质 联 系 的 复 习 后 却 感 觉 线 代 部 分 反 而 是 考 研 数 学 三 科 中 最 容 易 的 每 们 科 目 都 有 其 自 身 的 特 点, 出 题 老 师 和 我 们 考 生 都 可 以 加 以 利 用 出 题 专 家 们 利 用 线 性 代 数 知 识 点 间 联 系 复 杂 的 特 点 可 以 编 制 出 灵 活 的 试 题, 我 们 则 可 以 根 据 各 知 识 点 之 间 的 联 系 来 进 行 归 纳 对 比 和 总 结, 从 而 深 化 对 知 识 点 的 掌 握 程 度 以 上 所 讨 论 的 各 种 联 系 可 以 归 纳 为 下 面 几 条 非 常 重 要 的 定 义 与 性 质, 其 涵 盖 了 大 量 的 题 眼, 在 实 际 做 题 时 非 常 好 用 其 含 金 量 之 高 不 仅 在 线 代 中 是 独 一 无 二 的, 在 高 数 和 概 率 两 门 课 的 知 识 点 中 也 很 少 见, 希 望 你 能 重 视 : 三 个 双 重 定 义 :. 秩 的 定 义. 矩 阵 秩 的 定 义 : 矩 阵 中 非 零 子 式 的 最 高 阶 数 b. 向 量 组 秩 定 义 : 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 中 的 向 量 个 数. 线 性 相 关 \ 无 关 的 定 义 :. 对 于 一 组 向 量,, 若 存 在 不 全 为 零 的 数, 使 得 成 立, 则 相 量 组 线 性 相 关, 否 则 向 量 组 线 性 无 关, 即 上 述 等 式 当 且 仅 当 i 全 为 时 才 成 立 b. 向 量 组, 线 性 相 关 向 量 组 中 至 少 存 在 一 个 向 量 可 由 其 余 - 个 向 量 线 性 表 出 ; 线 性 无 关 向 量 组 中 没 有 一 个 向 量 可 由 其 余 的 向 量 线 性 表 出. 线 性 方 程 组 的 两 种 形 式 : 两 条 性 质 :. 矩 阵 形 式 : A b b. 向 量 形 式 : b. 对 于 方 阵 A 有 : 方 阵 A 可 逆 存 在 方 阵 B 使 得
AB BA E A A 的 行 \ 列 向 量 组 均 线 性 无 关 解 r( A) A b 可 由 克 莱 姆 法 则 判 断 有 唯 一 解, 而 A 对 于 一 般 矩 阵 仅 有 零 解, m 仅 有 零 A 则 有 : r( A) A 的 列 向 量 组 线 性 无 关 A A b 有 唯 一 解 3. 齐 次 线 性 方 程 组 A 性 相 关, 而 非 齐 次 线 性 方 程 组 向 量 组 线 性 表 出 是 否 有 非 零 解 对 应 于 系 数 矩 阵 A 的 列 向 量 组 是 否 线 A b 是 否 有 解 对 应 于 b 是 否 可 以 由 A 的 列 以 上 两 条 性 质 可 视 为 是 将 线 性 相 关 行 列 式 秩 线 性 方 程 组 几 部 分 知 识 联 系 在 一 起 的 桥 梁 : 行 列 式 线 性 相 关 线 性 方 程 组 性 质 中 的 A A 性 质 的 列 向 量 组 线 性 无 关 性 质 中 的 r(a)=a 的 列 向 量 组 线 性 无 关 秩 以 上 这 些 是 大 量 扩 展 性 定 理 性 质 的 逻 辑 基 础, 也 是 出 题 人 考 虑 跨 章 节 出 题 和 考 察 大 跨 度 知 识 点 时 的 必 经 之 路 兵 家 必 争 之 地, 怎 么 重 视 都 不 为 过 另 外, 线 性 代 数 部 分 在 考 试 时 会 经 常 直 接 考 一 些 虽 不 要 求 掌 握 但 却 可 以 用 要 求 掌 握 的 一 些 定 理 推 论 推 导 出 来 的 性 质 和 结 论, 所 以 有 必 要 扩 大 一 些 知 识 面, 说 不 定 在 考 试 时 就 会 有 意 外 收 获 :. 一 个 线 性 无 关 的 向 量 组 不 可 能 由 一 个 所 含 向 量 个 数 比 它 少 的 向 量 组 线 性 表 示 如 果 向 量 组, m 可 由 向 量 组, 线 性 表 示, 则 有 r(, m ) r(, ) 等 价 的 向 量 组 具 有 相 同 的 秩, 但 不 一 定 有 相 同 个 数 的 向 量 ; 任 何 一 个 向 量 组 都 与 它 的 极 大 线 性 无 关 组 等 价. 常 见 的 线 性 无 关 组 : 齐 次 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 ; 位 向 量 组 ; 不 同 特 征 值 对 应 的 特 征 向 量 这 样 的 单 3. 关 于 秩 的 一 些 结 论 : r( Am ) mi{ m, } ; r ( A ) r( A) ; r( A ) r( A) r( A A) ;
; 若 有 Am B s r( AB) mi{ r( A), r( B)} ; r( A B) r( A) r( B) 满 足 AB, 则 r( A) r( B) ; 若 A 是 可 逆 矩 阵 则 有 r( AB) r( B) ; 同 样 若 B 可 逆 则 有 r( AB) r( A) 非 齐 次 线 性 方 程 组 A b 有 唯 一 解 则 对 应 齐 次 方 程 组 A 仅 有 零 解, 若 A b 有 无 穷 多 解 则 A 有 非 零 解 ; 若 A b 两 个 不 同 的 解 则 A 有 非 零 解 ; 若 A 是 m 矩 阵 而 r( A) m 则 A b 一 定 有 解, 而 且 当 A b 没 有 解 或 有 唯 一 解 m 时 是 唯 一 解, 当 m 时 是 无 穷 多 解, 而 若 r A) 有 ( 则.4 线 代 第 五 章 特 征 值 和 特 征 向 量 相 对 于 前 两 章 来 说, 本 章 不 是 线 性 代 数 这 门 课 的 理 论 重 点, 但 却 是 一 个 考 试 重 点, 历 年 考 研 真 题 都 有 相 关 题 目, 而 且 最 有 可 能 是 综 合 性 的 大 题 特 征 值 和 特 征 向 量 之 所 以 会 得 到 如 此 青 睐, 大 概 是 因 为 解 决 相 关 题 目 要 用 到 线 代 中 的 大 量 内 容 即 有 行 列 式 矩 阵 又 有 线 性 方 程 组 和 线 性 相 关, 牵 一 发 而 动 全 身 ; 着 重 考 察 这 样 的 知 识 点, 在 保 证 了 考 察 面 广 的 同 时 又 有 较 大 的 出 题 灵 活 性 从 我 们 的 角 度 来 看, 特 征 值 特 征 向 量 这 一 章 的 内 容 即 少 且 条 理 清 晰, 虽 然 涉 及 其 它 很 多 知 识, 但 需 要 探 究 的 深 层 次 联 系 很 少, 故 学 好 这 个 必 考 点 实 际 上 要 比 学 好 高 数 中 的 那 些 必 考 点 如 曲 线 曲 面 积 分 要 容 易 的 多, 这 一 点 也 是 前 面 说 复 习 线 代 这 门 课 很 划 算 的 原 因 之 一 本 章 知 识 要 点 如 下 :. 特 征 值 和 特 征 向 量 的 定 义 及 计 算 方 法 就 是 记 牢 一 系 列 公 式 如 A ( ) A ( E A) 和 E A 在 历 年 真 题 中 常 用 到 下 列 性 质 : 若 阶 矩 阵 A 有 个 特 征 值, 则 有 A ; 若 矩 阵 A 有 特 征 值, 则 A A 征 值 A be (A) b f () f A A 分 别 有 特 A, 且 对 应 特 征 向 量 等 于 所 对 应 的 特 征 向 量, 而 若 分 别 为 矩 阵 A B 的 特 征 值, 则 不 一 定 为 A B 的 特 征 值. 相 似 矩 阵 及 其 性 质 定 义 式 为 B P AP, 需 要 区 分 矩 阵 的 相 似 等
价 与 合 同 : 矩 阵 A 与 矩 阵 B 等 价 ( A B ) 的 定 义 式 是 PAQ B, 其 中 P Q 为 可 逆 矩 阵, 此 时 矩 阵 A 可 通 过 初 等 变 换 化 为 矩 阵 B, 并 有 r( A) r( B) ; 当 PAQ B A ) 的 定 义 式, 即 有 B P AP ( B 中 的 P Q 互 逆 时 就 变 成 了 矩 阵 相 似, 此 时 满 足 r( A) r( B) A B E A E B, 并 且 A B 有 相 同 的 特 征 值 矩 阵 合 同 的 定 义 是 P AP B, 其 中 P 为 可 逆 矩 阵 由 以 上 定 义 可 看 出 等 价 合 同 相 似 三 者 之 间 的 关 系 : 若 A 与 B 合 同 或 相 似 则 A 与 B 必 等 价, 反 之 不 成 立 ; 合 同 与 等 价 之 间 没 有 必 然 联 系 3. 矩 阵 可 相 似 对 角 化 的 条 件 包 括 两 个 充 要 条 件 和 两 个 充 分 条 件, 充 要 条 件 是 阶 矩 阵 A 有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ; 充 要 条 件 是 A 的 任 意 重 特 征 根 对 应 有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ; 充 分 条 件 是 A 有 个 互 不 相 同 的 特 征 值 ; 充 分 条 件 是 A 为 实 对 称 矩 阵 4. 实 对 称 矩 阵 极 其 相 似 对 角 化 阶 实 对 称 矩 阵 A 必 可 正 交 相 似 于 对 角 阵, 即 有 正 交 阵 P 使 得 P AP P AP 而 且 正 交 阵 P 由 A 对 应 的 几 个 正 交 的 特 征 向 量 组 成 其 实 本 章 的 内 容 从 中 也 可 以 找 到 类 似 于 第 三 章 向 量 与 第 四 章 线 性 方 程 组 之 间 的 那 种 前 后 印 证 相 互 推 导 的 关 系 : 以 求 方 阵 的 幂 A 作 为 思 路 的 起 点, 直 接 乘 来 求 A 比 较 困 难, 但 如 果 有 矩 阵 P 使 得 A 满 足 P AP ( 对 角 阵 ) 的 话 就 简 单 多 了, 因 为 此 时 A PP PP PP P P, 而 对 角 阵 b c 的 幂 就 等 于 b c 代 如 上 式 即 得 A 而 矩 阵 相 似 对 角 化 的 定 义 式 正 是
P AP 所 以 可 以 认 为 讨 论 矩 阵 的 相 似 对 角 化 是 为 了 方 便 求 矩 阵 的 幂, 引 入 特 征 值 和 特 征 向 量 的 概 念 是 为 了 方 便 讨 论 矩 阵 的 相 似 对 角 化 因 为, 不 但 判 断 矩 阵 的 相 似 对 角 化 时 要 用 到 特 征 值 和 特 征 向 量, 而 且 P AP 中 的 P 也 分 别 是 由 A 的 特 征 向 量 和 特 征 值 决 定 的 以 上 思 路 在 本 章 的 地 位 并 不 重 要, 因 为 与 第 三 四 章 知 识 点 的 互 联 关 系 不 同, 考 试 时 这 条 思 路 一 般 不 会 被 用 到 而 考 察 线 性 相 关 和 线 性 方 程 组 的 题 目 却 频 繁 用 到 前 面 提 到 的 各 种 内 在 联 系, 甚 至 一 些 题 目 的 题 眼 就 是 小 结 中 的 某 一 句 话 所 以 前 面 的 讨 论 可 以 用 来 辅 助 理 解, 但 对 于 做 题 时 打 开 思 路 用 处 不 大.5 线 代 第 六 章 二 次 型 本 章 内 容 较 少, 大 纲 要 求 包 括 掌 握 二 次 型 及 其 矩 阵 表 示 和 掌 握 用 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 型 的 方 法, 对 于 其 它 知 识 点 仅 要 求 了 解 在 理 年 真 题 中 本 章 知 识 点 出 现 次 数 不 多, 但 也 考 过 大 题 本 章 所 讲 的 内 容 从 根 本 上 讲 是 第 五 章 特 征 值 和 特 征 向 量 的 一 个 延 伸, 因 为 化 二 次 型 为 标 准 型 的 核 心 知 识 为 对 于 实 对 称 矩 阵 A 存 在 正 交 矩 阵 P 使 得 A 可 以 相 似 对 角 化, 其 过 程 就 是 上 一 章 相 似 对 角 化 在 A 为 实 对 称 矩 阵 时 的 应 用 将 本 章 与 上 一 章 中 相 似 对 角 化 部 分 的 内 容 作 比 较 会 有 助 于 理 解 记 忆 化 二 次 型 为 标 准 型 的 步 骤 及 避 免 前 后 混 淆, 但 因 为 大 纲 对 本 章 要 求 不 高, 所 以 不 必 深 究