图 书 在 版 编 目 CIP 数 据 中 考 倒 计 时 100 天 : 数 学 / 吴 成 飞, 魏 祥 勤 主 编. 2 版. 上 海 : 华 东 理 工 大 学 出 版 社,2015.11 ISBN978 7 5628 4403 7 Ⅰ.1 中 Ⅱ.1 吴 2 魏 Ⅲ.1 中 学 数 学 课 初 中 升 学 参 考 资 料 Ⅳ.1G634 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 2015 242312 号 中 考 倒 计 时 100 天 : 数 学 2 版 主 编 / 吴 成 飞 魏 祥 勤 策 划 编 辑 / 陈 月 姣 责 任 编 辑 / 陈 月 姣 责 任 校 对 / 成 俊 封 面 设 计 / 裘 幼 华 出 版 发 行 / 华 东 理 工 大 学 出 版 社 有 限 公 司 地 址 : 上 海 市 梅 陇 路 130 号,200237 电 话 :02161250306 营 销 部 02161252735 编 辑 室 传 真 :02164252707 网 址 :press.ecust.edu.cn 印 刷 / 常 熟 市 新 骅 印 刷 有 限 公 司 开 本 /890mm 1240mm 1/16 印 张 /9.75 字 数 /297 千 字 版 次 /2015 年 11 月 2 版 印 次 /2015 年 11 月 1 次 书 号 /ISBN978 7 5628 4403 7 定 价 /28.80 元 联 系 我 们 : 电 子 邮 箱 press@ecust.edu.cn 官 方 微 博 e.weibo.com/ecustpress 天 猫 旗 舰 店 htp://hdlgdxcbs.tmal.com
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基 础 知 识 篇 1 一 章 数 与 式 3 二 章 方 程 组 和 不 等 式 组 9 三 章 函 数 及 其 图 像 16 四 章 基 本 图 形 与 三 角 形 28 五 章 四 边 形 38 六 章 圆 48 七 章 图 形 与 变 换 57 八 章 统 计 与 概 率 66 专 题 方 法 巩 固 篇 75 专 题 方 法 一 函 数 图 像 与 性 质 77 专 题 方 法 二 阴 影 部 分 的 相 关 计 算 82 专 题 方 法 三 几 何 图 形 的 折 叠 与 动 点 问 题 86 专 题 方 法 四 几 何 探 究 型 问 题 89 专 题 方 法 五 函 数 动 态 变 化 综 合 题 92 综 合 冲 刺 篇 101 综 合 冲 刺 卷 一 103 综 合 冲 刺 卷 二 109 综 合 冲 刺 卷 三 114 综 合 冲 刺 卷 四 120 参 考 答 案 与 解 析 125 基 础 知 识 篇 127 专 题 方 法 巩 固 篇 135 综 合 冲 刺 篇 141
基 础 知 识 篇 1
一 章 数 与 式 一 章 数 与 式 考 纲 要 求 1. 了 解 平 方 根 算 术 平 方 根 立 方 根 的 概 念, 开 方 与 乘 方 互 为 逆 运 算, 无 理 数 和 实 数 的 概 念, 实 数 与 数 轴 上 的 点 一 一 对 应, 近 似 数 的 概 念, 二 次 根 式 的 概 念, 求 代 数 式 的 值, 整 式 的 概 念, 分 式 的 概 念. 2. 理 解 有 理 数 的 意 义, 乘 方 的 意 义, 用 字 母 表 示 数. 3. 掌 握 数 轴, 比 较 有 理 数 大 小, 相 反 数 和 绝 对 值 的 意 义, 求 有 理 数 的 相 反 数 和 绝 对 值, 有 理 数 的 加 减 乘 除 乘 方 及 简 单 的 混 合 运 算, 有 理 数 的 运 算 律, 对 含 有 较 大 数 字 的 信 息 作 出 合 理 的 解 释 和 推 断, 用 根 号 表 示 数 的 平 方 根 立 方 根, 用 平 方 运 算 求 某 些 非 负 数 的 平 方 根 或 用 计 算 器 求 平 方 根, 用 立 方 运 算 求 某 些 数 的 立 方 根 或 用 计 算 器 求 立 方 根, 用 有 理 数 估 计 一 个 无 理 数 范 围, 用 计 算 器 进 行 近 似 计 算, 二 次 根 式 的 加 减 乘 除 运 算 法 则, 实 数 的 简 单 四 则 运 算, 列 代 数 式, 解 释 代 数 式 的 实 际 背 景 或 几 何 意 义, 求 代 数 式 的 值, 用 科 学 计 数 法 表 示 数, 简 单 的 整 式 加 减 乘 运 算, 用 提 公 因 式 公 式 法 进 行 因 式 分 解, 利 用 分 式 基 本 性 质 进 行 约 分 和 通 分, 简 单 的 分 式 加 减 乘 除 运 算. 4. 灵 活 运 用 有 理 数 的 运 算 解 决 简 单 问 题. 5. 掌 握 因 式 分 解 的 方 法 : 提 公 因 式 法 和 公 因 式 法, 在 中 考 中 常 在 有 关 整 式 的 计 算 中 涉 及 因 式 分 解 的 知 识. 考 典 在 线 知 识 点 1: 实 数 的 有 关 概 念 知 识 点 实 数 的 分 类 数 轴 绝 对 值 正 整 数 ìï ìï ï 整 数 0 ï { ï有 理 数 í 负 整 数 实 数 í ï ï 正 分 数 ï分 数 ï î { 负 分 数 ï î无 理 数 无 限 不 循 环 小 数 当 然 还 可 以 分 为 : 正 实 数 零 负 实 数 有 理 数 还 可 以 分 为 : 正 有 理 数 零 负 有 理 数 规 定 了 原 点, 正 方 向 和 单 位 长 度 的 直 线 叫 数 轴 aa>0 绝 对 值 的 代 数 意 义 : a = 0a=0 { -aa<0 定 义 性 质 绝 对 值 的 几 何 意 义 : 一 个 数 的 绝 对 值 是 这 个 数 在 数 轴 上 的 对 应 点 到 原 点 的 距 离 3
中 考 倒 计 时 天 : 数 学 2 版 知 识 点 相 反 数 倒 数 三 种 非 负 数 实 数 的 运 算 若 a b 两 个 数 互 为 相 反 数, 则 a+b=0; 若 m n 两 个 数 互 为 倒 数, 则 m n=1 a,a 2,aa 0 都 表 示 非 负 数 实 数 的 六 种 运 算 及 整 数 指 数 幂 的 运 算 定 义 性 质 续 表 知 识 点 2: 和 代 数 式 有 关 的 概 念 及 代 数 式 的 运 算 知 识 点 代 数 式 的 分 类 单 项 式 ì 整 式 ï有 理 式 { 多 项 式 代 数 式 í { 分 式 ï î无 理 式 定 义 性 质 各 类 代 数 式 的 概 念 代 数 式 有 意 义 的 条 件 代 数 式 的 运 算 因 式 分 解 单 项 式 多 项 式 整 式 分 式 有 理 式 无 理 式 根 式 二 次 根 式 最 简 二 次 根 式 同 类 二 次 根 式 分 式 有 意 义 的 条 件 是 分 母 不 为 零 整 式 分 式 二 次 根 式 的 加 减 乘 除 运 算 及 添 括 号 去 括 号 法 则 提 取 公 因 式, 公 式 法, 分 组 分 解 因 式 等 方 法 的 应 用 知 识 点 3: 代 数 式 的 恒 等 变 形 添 括 号 去 括 号 拆 项 是 代 数 式 恒 等 变 形 的 常 用 方 法, 乘 法 公 式 因 式 分 解 是 代 数 式 恒 等 变 形 的 工 具. 待 定 系 数 法 配 方 法 也 都 可 进 行 代 数 式 的 恒 等 变 形. 知 识 点 4: 代 数 式 的 化 简 求 值 含 有 绝 对 值 的 代 数 式 的 化 简, 通 常 可 利 用 数 轴 的 直 观 性 ; 整 式 的 化 简 求 值 常 常 要 灵 活 运 用 配 方 法 换 元 法 整 体 代 换 思 想 和 构 造 思 想 ; 分 式 的 化 简 求 值 一 般 可 对 分 子 分 母 的 多 项 式 因 式 分 解 约 分, 再 运 用 分 式 的 性 质 化 简 计 算 ; 二 次 根 式 的 化 简 求 值 一 般 应 先 考 虑 能 否 利 用 二 次 根 式 的 性 质, 配 方 法 乘 法 公 式 等 化 简 计 算. 知 识 点 5: 因 式 分 解 在 有 关 整 式 的 计 算 中, 经 常 会 遇 到 有 关 因 式 分 解 的 知 识, 分 解 因 式 有 两 种 方 法 : 提 公 因 式 法, 公 式 法, 能 提 公 因 式 的 要 先 提 取 公 因 式, 然 后 再 利 用 公 式 因 式 分 解. 真 题 溯 源 例 1 恩 施 下 列 计 算 正 确 的 是. A.4x 3 2x 2 =8x 6 B.a 4 +a 3 =a 7 C.-x 2 5 =-x 10 D.a-b 2 =a 2 -b 2 分 析 : 此 题 考 查 了 单 项 式 相 乘, 合 并 同 类 项, 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方, 以 及 完 全 平 方 公 式, 应 结 合 相 应 的 运 算 公 式 进 行 判 断. 解 : A 项 中, 原 式 利 用 单 项 式 乘 单 项 式 法 则 计 算 得 到 结 果 是 8x 5, 因 此 A 错 误 ;B 项 中, 原 式 两 项 是 4
a 4 与 a 3, 不 能 合 并,B 错 误 ;C 项 中, 原 式 利 用 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 运 算 法 则 计 算 得 到 结 果 是 -x 10,C 正 确 ;D 项 中, 原 式 利 用 完 全 平 方 公 式 化 简 得 到 结 果 是 a 2-2ab+b 2,D 错 误. 说 明 : 幂 的 乘 方 与 同 底 数 幂 相 乘, 易 于 混 淆, 注 意 同 底 数 幂 相 乘 时, 底 数 不 变, 指 数 相 加, 而 幂 的 乘 一 章 数 与 式 方, 底 数 不 变, 指 数 相 乘, 另 外 注 意 形 如 -x 2 5 的 幂 的 乘 方 运 算, 不 可 忽 视 底 数 的 符 号, 一 般 地, 当 指 数 n 是 奇 数 时,-x 2 n 运 算 结 果 含 负 号, 当 n 是 偶 数 时, 运 算 结 果 不 含 负 号. 例 2 黄 石 分 解 因 式 :3x 2-27=. 继 续 分 解. 分 析 : 观 察 原 式 3x 2-27, 找 到 公 因 式 3, 提 出 公 因 式 后 发 现 x 2-9 符 合 平 方 差 公 式, 利 用 平 方 差 公 式 解 : 3x 2-27, =3x 2-9, =3x+3x-3. 故 答 案 为 :3x+3x-3. 说 明 : 本 题 主 要 考 查 提 公 因 式 法 分 解 因 式 和 利 用 平 方 差 公 式 分 解 因 式, 熟 记 公 式 是 解 题 的 关 键, 对 于 每 一 项 都 有 公 因 数 公 因 式 的 多 项 式, 因 式 分 解 时, 应 当 先 提 出 这 个 公 因 式 来. 例 3 阅 读 材 料 : 求 1+2+2 2 +2 3 +2 4 + +2 2015 的 值. 解 : 设 S=1+2+2 2 +2 3 +2 4 + +2 2015 1, 将 等 式 两 边 同 时 乘 以 2 得 : 2S=2+2 2 +2 3 +2 4 + +2 2015 +2 2016 2; 由 2-1 得 2S-S=2 2016-1, 即 S=2 2016-1, 即 1+2+2 2 +2 3 +2 4 + +2 2015 =2 2016-1. 请 你 仿 照 此 法 计 算 : 11+2+2 2 +2 3 +2 4 + +2 100 ; 21+3+3 2 +3 3 +3 4 + +3 n 其 中 n 为 正 整 数. 分 析 : 本 题 是 阅 读 理 解 题, 先 阅 读 给 定 的 材 料, 然 后 参 考 材 料 中 的 方 法, 设 算 式 为 一 个 字 母, 再 通 过 变 形 和 求 差 来 解 决 给 出 的 问 题. 解 : 1 设 S=1+2+2 2 +2 3 +2 4 + +2 100 1, 将 等 式 两 边 同 时 乘 以 2 得 : 2S=2+2 2 +2 3 +2 4 +2 5 + +2 100 +2 101 2, 由 2-1 得 :2S-S=2 101-1, 即 S=2 101-1, 则 1+2+2 2 +2 3 +2 4 + +2 100 =2 101-1; 2 设 S=1+3+3 2 +3 3 +3 4 + +3 n 1, 将 等 式 两 边 同 时 乘 以 3 得 :3S=3+3 2 +3 3 +3 4 +3 5 + +3 n +3 n+1 2, 由 2-1 得 :3S-S=3 n+1-1, 即 S= 3n+1-1 2 ; 则 1+3+3 2 +3 3 +3 4 + +3 n = 3n+1-1 2. 说 明 : 对 于 阅 读 材 料 的 代 数 式 求 值 化 简 问 题, 应 当 认 真 审 题, 结 合 题 目 中 指 定 的 方 法, 通 过 代 数 式 的 适 当 变 换, 求 差 求 和 及 求 乘 积 与 商 等, 确 定 所 求 代 数 式 的 值 或 化 简 结 果. 此 题 考 查 了 同 底 数 幂 的 乘 法, 弄 清 题 中 的 技 巧 是 解 本 题 的 关 键. 例 4 咸 宁 古 希 腊 数 学 家 把 数 1,3,6,10,15,21, 叫 作 三 角 数, 它 有 一 定 的 规 律 性. 若 把 一 个 三 角 数 记 为 a1, 二 个 三 角 数 记 为 a2,, n 个 三 角 数 记 为 an, 计 算 a1+a2,a2+a3,a3+a4, 由 此 推 算 a399+a400=. 5
中 考 倒 计 时 天 : 数 学 2 版 分 析 : 首 先 计 算 a1+a2,a2+a3,a3+a4 的 值 `, 然 后 总 结 规 律, 根 据 规 律 可 以 得 出 结 论. 解 : 因 为 a1+a2=4=2 2,a2+a3=3+6=9=3 2 ;a3+a4=6+10=16=4 2 ; 所 以 an+an+1=n+1 2 ; 所 以 a399+a400=400 2 =160000=1.6 10 5. 故 答 案 为 :1.6 10 5 或 160000. 说 明 : 本 题 考 查 的 是 规 律 发 现, 根 据 计 算 a1+a2,a2+a3,a3+a4 的 值 可 以 发 现 规 律 为 an+an+1=n+1 2, 发 现 规 律 是 解 决 本 题 的 关 键. 例 5 黄 石 先 化 简, 再 求 值 : x2-4x+4 x æ 2 ç è x -1 ö, 其 中 x=2-2. ø 分 析 : 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算, 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形, 约 分 得 到 最 简 结 果, 把 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值. 解 : 原 式 = x-2 2 x 2-x x =- x-2 2 x x x-2 =-x+2, 当 x=2-2 时, 原 式 =-2-2+2=-2+ 2+2= 2. 说 明 : 此 题 考 查 了 分 式 的 化 简 求 值, 熟 练 掌 握 运 算 法 则 是 解 本 题 的 关 键, 对 于 含 有 除 法 运 算 的 分 式 化 简 问 题, 一 般 先 把 除 法 转 化 为 乘 法, 注 意 把 除 式 位 置 上 的 分 式 颠 倒 分 子 与 分 母 的 位 置, 再 与 被 除 式 位 置 上 的 代 数 式 相 乘. 另 外 对 于 括 号 前 面 含 有 负 号 的 实 数 加 减 运 算 问 题, 应 当 正 确 运 用 去 括 号 法 则, 即 去 负 号 并 将 括 号 里 面 的 各 项 均 改 变 符 号. 举 一 反 三 1. 永 州 2015 的 相 反 数 是. A.2015 B.-2015 C. 1 2015 2. 高 邮 下 列 实 数 中, 最 大 的 是. D.- 1 2015 A.-1 B.-2 C.- 2 D.- 4 3 3. 潍 坊 我 国 一 艘 航 空 母 舰 辽 宁 航 空 舰 的 电 力 系 统 可 提 供 14000000 瓦 的 电 力.14000000 这 个 数 用 科 学 计 数 法 表 示 为. A.14 10 6 B.1.4 10 7 C.1.4 10 8 D.0.14 10 8 4. 朝 阳 区 如 图 1 1 1, 下 列 关 于 数 m n 的 说 法 正 确 的 是. m n 3 2 1 0 1 2 3 A.m>n B.m=n C.m>-n D.m=-n 图 1 1 1 5. 蜀 山 区 3 的 相 反 数 是. A. 3 B. 3 3 C.- 3 D.- 3 3 6. 滕 州 估 算 5 的 值 在. A.1 与 2 之 间 B.2 与 3 之 间 C.3 与 4 之 间 D.4 与 5 之 间 7. 恩 施 随 着 服 装 市 场 竞 争 日 益 激 烈, 某 品 牌 服 装 专 卖 店 一 款 服 装 按 原 售 价 降 价 a 元 后, 再 次 降 价 20%, 现 售 价 为 b 元, 则 原 售 价 为. 6
æ A. a+ 5 ç è 4 b ö 元 æ B. a+ 4 ç ø è 5 b ö 元 æ C. b+ 5 ç ø è 4 a ö 元 æ D. b+ 4 ç ø è 5 a ö ø 8. 江 阴 已 知 a-1 + 7+b=0, 则 a+b=. A.-8 B.-6 C.6 D.8 9. 江 阴 下 列 计 算 正 确 的 是. A. 25=±5 B. 3-8=2 C.3 2-2=3 D. 14 7=7 2 10. 枣 庄 已 知 x-y=7,xy=2, 则 x 2 +y 2 的 值 为. A.53 B.45 C.47 D.51 11. 咸 宁 端 午 节 期 间, 惠 民 超 市 销 售 的 粽 子 打 8 折 后 卖 a 元, 则 粽 子 的 原 价 卖 元. 12. 随 州 为 创 建 全 国 环 保 模 范 城, 我 市 对 白 云 湖 73 个 排 污 口 进 行 了 封 堵, 每 年 可 减 少 污 水 排 放 185000 吨, 将 185000 用 科 学 计 数 法 表 示 为 13. 朝 阳 区 分 解 因 式 :3m 2-6mn+3n 2 =. 14. 潮 州 如 图 1 1 2, 是 用 火 柴 棒 拼 成 的 图 形, 1 个 图 形 需 3 根 火 柴 棒, 2 个 图 形 需 5 根 火 柴 棒, 3 个 图 形 需 7 根 火 柴 棒, 4 个 图 形 需 根 火 柴 棒,, 则 n 个 图 形 需 根 火 柴 棒. 元 一 章 数 与 式 图 1 1 2 15. 济 南 计 算 -1 2015 + -3 +2-2 0. 16. 蚌 埠 计 算 :-2 æ 2 - -1 +2015-π 0-1 ö ç è 2 ø -1. 17. 枣 庄 计 算 æ :1-3 0 + - 2-2cos45 + 1 ö ç è 4 ø -1. 18. 丰 台 如 果 m 2 -m=1, 求 代 数 式 m-1 2 +m+1m-1+2015 的 值. 7
中 考 倒 计 时 天 : 数 学 2 版 19. 怀 柔 已 知 a 3 =b 2, 求 代 数 式 4a+3b a 2-9b 2 a+3b 的 值. 20. 石 景 山 已 知 x 2-6x-1=0, 求 代 数 式 x+2 2-2xx-1 的 值. [ ] x 21. 化 简 求 值 : x+2 x x-1-1 x-1 x-1, 其 中 x= 2+1. 22. 内 江 1 填 空 :a-ba+b= ; a-ba 2 +ab+b 2 = ; a-ba 3 +a 2 b+ab 2 +b 3 =. 2 猜 想 :a-ba n-1 +a n-2 b+ +ab n-2 +b n-1 = 其 中 n 为 正 整 数, 且 n 2. 3 利 用 2 猜 想 的 结 论 计 算 : 2 9-2 8 +2 7 - +2 3-2 2 +2. 8
二 章 方 程 组 和 不 等 式 组 二 章 方 程 组 和 不 等 式 组 考 纲 要 求 本 章 内 容 主 要 研 究 对 象 是 : 一 元 一 次 方 程 一 元 二 次 方 程 二 元 一 次 方 程 组 分 式 方 程 不 等 式 与 不 等 式 组. 1. 一 元 一 次 方 程 主 要 考 查 的 内 容 是 :1 一 元 一 次 方 程 及 一 元 一 次 方 程 的 解 的 概 念 ;2 根 据 题 意 列 一 元 一 次 方 程. 主 要 题 型 : 追 及 相 遇 时 间 速 度 路 程 的 关 系 打 折 销 售 利 润 公 式. 主 要 以 选 择 题 填 空 题 的 形 式 出 现. 2. 一 元 二 次 方 程 主 要 考 查 的 内 容 是 :1 方 程 及 方 程 的 解 的 概 念 ;2 根 据 题 意 列 一 元 二 次 方 程 ;3 解 一 元 二 次 方 程. 主 要 以 选 择 题 填 空 题 的 形 式 出 现. 3. 二 元 一 次 方 程 组 主 要 考 查 的 内 容 是 :1 二 元 一 次 方 程 组 的 解 法 ;2 二 元 一 次 方 程 组 的 两 个 根 与 系 数 的 关 系 及 根 的 判 别 式 的 值 与 方 程 的 根 的 关 系 ;3 根 据 题 意 列 二 元 一 次 方 程 组 解 决 实 际 问 题. 最 常 考 查 的 问 题 是 经 济 类 方 案 及 决 策 类 问 题. 主 要 以 选 择 题 解 答 题 的 形 式 出 现. 4. 分 式 方 程 主 要 考 查 的 内 容 是 1 分 式 方 程 的 解 法 ;2 根 据 题 意 列 分 式 方 程 解 决 实 际 问 题. 主 要 以 填 空 题 简 答 题 计 算 题 的 形 式 出 现. 5. 不 等 式 与 不 等 式 组 主 要 考 查 的 内 容 是 不 等 式 组 解 法 和 应 用 不 等 式 组 解 决 实 际 问 题. 主 要 以 解 答 题 选 择 题 的 形 式 出 现. 考 典 在 线 知 识 点 1. 方 程 组 名 称 一 元 一 次 方 程 一 元 二 次 方 程 二 元 一 次 方 程 组 分 式 方 程 有 两 个 未 知 数, 并 且 所 含 未 只 含 有 一 个 未 知 数, 并 且 未 只 有 一 个 未 知 数 且 未 知 数 最 知 数 的 项 的 最 高 次 数 都 是 1 概 念 知 数 的 最 高 次 数 是 1 的 整 式 方 程, 其 一 般 形 式 为 ax+ 高 次 数 为 2 的 整 式 方 程, 其 一 般 形 式 为 ax 2 +bx+c=0 的 方 程 叫 作 二 元 一 次 方 程. 把 两 个 二 元 一 次 方 程 联 合 在 分 母 里 含 有 未 知 数 的 方 程 叫 作 分 式 方 程 b=0a 0,a b 为 常 数 a 0,a b c 为 常 数 一 起, 那 么 这 两 个 方 程 就 组 成 了 一 个 二 元 一 次 方 程 组 知 识 点 2. 列 方 程 解 应 用 题 的 一 般 步 骤 可 以 归 结 为 : 审 设 列 解 验 答.1 审 是 指 读 懂 题 目, 弄 清 题 意, 明 确 题 目 中 的 已 知 量, 未 知 量, 以 及 它 们 之 间 的 关 系, 审 题 时 也 可 以 利 用 图 示 法 列 表 法 来 帮 助 理 解 题 意 ;2 设 是 指 设 元, 也 就 是 未 知 数, 包 括 设 直 接 未 知 数 和 设 间 接 未 知 数 以 及 设 辅 助 未 知 数 较 难 的 题 目 ; 3 列 就 是 列 方 程, 这 是 非 常 重 要 的 关 键 步 骤, 一 般 先 找 出 能 够 表 达 应 用 题 全 部 含 义 的 一 个 相 等 关 系, 然 9
中 考 倒 计 时 天 : 数 学 2 版 后 列 代 数 式 表 示 相 等 关 系 中 的 各 个 量, 就 得 到 含 有 未 知 数 的 等 式, 即 方 程 ;4 解 就 是 解 方 程, 求 出 未 知 数 的 值 ;5 验 就 是 验 解, 即 检 验 方 程 的 解 能 否 保 证 实 际 问 题 有 意 义 ;6 答 就 是 写 出 答 案 包 括 单 位 名 称. 知 识 点 3. 解 不 等 式 组 要 注 意 以 下 几 点 : 1 解 一 元 一 次 不 等 式 和 解 一 元 一 次 方 程 类 似, 不 同 在 于 不 等 式 两 边 同 乘 除 以 一 个 负 数 时 不 等 号 方 向 要 改 变. 2 解 不 等 式 组 可 借 助 数 轴 来 确 定 不 等 式 组 的 解 集 或 用 口 诀. 3 不 等 式 组 的 整 数 解 是 先 解 不 等 式 组 然 后 再 找 整 数 解. 真 题 溯 源 例 1 泰 州 某 校 七 年 级 社 会 实 践 小 组 去 商 场 调 查 商 品 销 售 情 况, 了 解 到 该 商 场 以 每 件 80 元 的 价 格 购 进 了 某 品 牌 衬 衫 500 件, 并 以 每 件 120 元 的 价 格 销 售 400 件, 商 场 准 备 采 取 促 销 措 施, 将 剩 下 的 衬 衫 降 价 销 售. 请 你 帮 商 场 计 算 一 下, 每 件 衬 衫 降 价 多 少 元 时, 销 售 完 这 批 衬 衫 正 好 达 到 盈 利 45% 的 预 期 目 标? 分 析 : 这 里 的 盈 利 由 两 部 分 组 成 : 一 是 销 售 的 400 件, 共 盈 利 400 120-80 元, 二 是 余 下 的 100 件, 设 每 件 降 价 x 元, 则 每 件 盈 利 是 120-80-x 元, 所 以 这 100 件 盈 利 数 值 是 100 120-80-x 元, 达 到 盈 利 45% 的 预 期 目 标, 这 部 分 盈 利 是 500 80 45% 元. 解 : 解 法 一 设 每 件 衬 衫 降 价 x 元, 根 据 题 意 列 方 程, 则 : 400 120-80+100 120-80-x=500 80 45%, 解 得 x=20. 答 : 每 件 衬 衫 降 价 20 元 时, 销 售 完 这 批 衬 衫 正 好 达 到 盈 利 45% 的 预 期 目 标. 解 法 二 根 据 销 售 额 的 相 等 关 系 列 方 程 : 前 400 件 的 销 售 额 是 120 400 元, 设 每 件 衬 衫 降 价 x 元, 则 余 下 的 100 件 的 销 售 额 是 :500-400 120-x 元, 销 售 完 这 批 衬 衫 正 好 达 到 盈 利 45% 的 预 期 目 标, 销 售 额 应 为 500 80 1+45% 元 ; 根 据 题 意 得 : 120 400+500-400 120-x=500 80 1+45% 解 之, 得 x=20. 答 : 每 件 衬 衫 降 价 20 元 时, 销 售 完 这 批 衬 衫 正 好 达 到 盈 利 45% 的 预 期 目 标. 说 明 : 解 答 本 题 的 关 键 是 正 确 理 解 题 意, 找 出 题 目 中 的 等 量 关 系, 列 出 方 程. 要 注 意 本 题 中 销 售 金 额 与 销 售 盈 利 的 区 别 和 联 系, 销 售 金 额 含 成 本 与 盈 利 两 部 分. 例 2-2x<6 1, 遂 宁 解 不 等 式 组 并 将 解 集 在 图 { 1 2 1 的 数 轴 上 表 示 出 来, 再 说 明 其 3x+1 2x+5 2, 整 数 解. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 图 1 2 1 分 析 : 分 别 求 出 两 个 不 等 式 的 解 集, 取 两 个 不 等 式 解 集 的 公 共 部 分, 即 可 得 出 不 等 式 组 的 解 集, 注 意 在 数 轴 上 表 示 解 集 时, 空 心 点 与 实 心 点 的 区 别. 解 : 由 1, 得 x>-3, 10
由 2, 得 x 2, 解 集 在 图 1 2 2 的 数 轴 上 表 示 为 : 4 3 2 1 0 1 图 1 2 2 2 3 4 二 章 方 程 组 和 不 等 式 组 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 :-3<x 2, 其 整 数 解 为 -2,-1,0,1,2. 说 明 : 解 决 此 类 题 目 的 关 键 就 是 要 熟 悉 解 不 等 式 的 步 骤 : 去 括 号, 然 后 移 项 合 并 同 类 项, 系 数 化 成 1, 然 后 注 意 每 步 要 注 意 的 事 项, 与 解 一 元 一 次 方 程 不 同 之 处 是 不 等 式 两 边 同 时 乘 以 或 除 以 一 个 负 数 时, 不 等 号 的 方 向 改 变, 更 需 注 意. x-2y=1 1, 例 3 重 庆 解 二 元 一 次 方 程 组 { x+3y=6 2. 分 析 : 由 于 未 知 数 x 的 系 数 相 等, 因 此 可 以 运 用 加 减 消 元 法, 即 是 2-1, 消 去 x 即 可 得 出 关 于 y 的 一 元 一 次 方 程. 解 : 由 2-1, 得 y=1, 将 y=1 带 入 1, 得 x=3, 所 以 原 方 程 组 的 解 为 : x=3, { y=1. 说 明 : 根 据 解 方 程 的 一 般 步 骤 结 合 本 题 的 特 点, 运 用 加 减 消 元 法 消 去 未 知 数 x, 转 换 为 一 元 一 次 方 程 是 解 题 关 键, 对 于 未 知 数 系 数 比 较 复 杂 的 方 程 组, 一 般 先 把 每 一 个 方 程 化 简 成 最 简 单 的 形 式, 再 运 用 代 入 消 元 法 或 加 减 消 元 法 求 解 x,y 的 值, 注 意 在 去 括 号 及 移 项 过 程 中 符 号 的 变 化. 例 4 方 程 m-2x 2-3-mx+ 1 4 =0 有 两 个 实 数 根, 则 m 的 取 值 范 围 为. A.m> 5 2 B.m 5 2 且 m 2 C.m 3 D.m 3 且 m 2 分 析 : 题 目 中 二 次 项 系 数 是 m-2, 一 次 项 系 数 是 - 3-m, 常 数 项 是 1 4, 方 程 有 两 个 实 数 根, 含 两 个 相 等 的 实 数 根 与 两 个 不 相 等 的 实 数 根, 因 此 根 的 判 别 式 是 非 负 数, 结 合 方 程 为 一 元 二 次 方 程, 二 次 项 系 数 不 等 于 0 这 些 条 件, 二 次 根 式 被 开 方 数 有 意 义, 确 定 m 的 取 值 范 围 即 可. 解 : ìï m-2 0, ï3-m 0, í 解 得 m 5 且 m 2. 故 选 B. ï ï- 3-m 2-4 1 4 2 m-2 0, î 说 明 : 若 方 程 有 两 个 实 数 根, 则 方 程 是 一 元 二 次 方 程 ; 若 方 程 有 实 数 根, 则 方 程 可 能 是 一 元 一 次 方 程, 也 有 可 能 是 一 元 二 次 方 程. 另 外 方 程 有 实 数 根 包 括 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 和 两 个 相 等 的 实 数 根 两 种 情 况, 注 意 挖 掘 题 目 中 隐 含 条 件. 例 5 巴 中 如 图 1 2 3, 某 农 场 有 一 块 长 40m, 宽 32m 的 矩 形 种 植 地, 为 方 便 管 理, 准 备 沿 平 行 于 两 边 的 方 向 纵 横 各 修 建 一 条 等 宽 的 小 路. 要 使 种 植 面 积 为 1140m 2, 求 小 路 的 宽. 分 析 : 两 条 小 路 把 矩 形 场 地 所 分 成 的 四 部 分 的 面 积 之 和 是 一 个 定 值, 因 此 把 图 中 的 小 路 平 移 到 矩 形 边 上 时, 种 植 面 积 是 不 改 变 的. 设 小 路 的 宽 为 未 知 数 图 1 2 3 x, 则 可 以 运 用 x 的 代 数 式 表 示 转 化 为 一 个 整 体 的 种 植 场 地 的 长 和 宽, 运 用 矩 形 面 积 公 式 列 方 程 求 解 即 可. 11
中 考 倒 计 时 天 : 数 学 2 版 解 : 设 小 路 的 宽 为 x m. 所 以 40-x32-x=1140. 解 得 x1=2,x2=70 不 合 题 意, 舍 去. 答 : 小 路 的 宽 为 2m. 说 明 : 上 面 的 解 法 运 用 了 图 形 转 化 的 数 学 思 想 方 法, 化 零 为 整, 方 便 列 方 程 求 解, 另 外 此 题 也 可 以 运 用 两 个 矩 形 面 积 减 去 重 叠 部 分 的 正 方 形 面 积 列 方 程, 方 法 如 下 : 设 小 路 的 宽 为 x, 因 此 小 路 所 占 的 面 积 是 40x+32x-x 2 =40 32-1140, 化 简 即 是 x 2-72x+140=0, 以 下 解 法 同 上. 例 6 湖 州 某 工 厂 计 划 在 规 定 时 间 内 生 产 24000 个 零 件. 若 每 天 比 原 计 划 多 生 产 30 个 零 件, 则 在 规 定 时 间 内 可 以 多 生 产 300 个 零 件. 1 求 原 计 划 每 天 生 产 的 零 件 个 数 和 规 定 的 天 数 ; 2 为 了 提 前 完 成 生 产 任 务, 工 厂 在 安 排 原 有 工 人 按 原 计 划 生 产 的 同 时, 引 进 5 组 机 器 人 生 产 流 水 线 共 同 参 与 零 件 生 产, 已 知 每 组 机 器 人 生 产 流 水 线 每 天 生 产 零 件 的 个 数 比 20 个 工 人 原 计 划 每 天 生 产 的 零 件 总 数 还 多 20%. 按 此 测 算, 恰 好 提 前 两 天 完 成 24000 个 零 件 的 生 产 任 务, 求 原 计 划 安 排 的 工 人 人 数. 分 析 : 此 为 工 作 量 问 题, 注 意 工 作 量 工 作 效 率 与 工 作 时 间 三 者 的 关 系, 设 原 计 划 每 天 生 产 x 个 零 件, 则 原 计 划 工 作 效 率 是 24000 x, 根 据 题 目 信 息 列 方 程, 确 定 原 计 划 每 天 生 产 的 零 件 个 数 和 规 定 的 天 数 ; 在 1 计 算 结 果 前 提 下, 设 原 计 划 安 排 的 工 人 人 数 为 y, 表 示 原 计 划 每 个 工 人 的 工 作 效 率, 结 合 题 意,5 组 机 器 人 生 产 流 水 线 的 工 作 效 率 加 上 原 有 工 人 的 工 作 效 率, 与 求 出 原 计 划 的 天 数 的 乘 积 为 总 工 作 量 列 方 程 求 解, 注 意 分 式 方 程 的 验 根. 解 : 1 设 原 计 划 每 天 生 产 零 件 x 个, 由 题 意 得 24000 x =24000+300 x+30, 解 得 x=2400, 经 检 验,x=2400 是 原 方 程 的 根, 且 符 合 题 意. 所 以 规 定 的 天 数 为 24000 2400=10 天. 答 : 原 计 划 每 天 生 产 零 件 2400 个, 规 定 的 天 数 是 10 天. 2 设 原 计 划 安 排 的 工 人 人 数 为 y 人, 由 题 意 得 [5 20 1+20% 2400 y +2400 ] 10-2=24000, 解 得 y=480. 经 检 验,y=480 是 原 方 程 的 根, 且 符 合 题 意. 答 : 原 计 划 安 排 的 工 人 人 数 为 480 人. 说 明 : 列 分 式 方 程 解 应 用 题 的 一 般 步 骤 与 列 整 式 方 程 的 思 路 相 似, 区 别 在 于 分 式 方 程 解 法 中 多 一 步 是 对 分 式 方 程 根 的 检 验, 应 用 题 解 法 中 不 可 缺 少 结 合 题 意 对 所 求 未 知 数 的 检 验, 得 出 未 知 数 的 值 应 当 适 合 题 目 中 的 相 关 信 息, 另 外 不 可 忽 视 最 后 的 作 答, 以 及 相 关 数 字 的 单 位. 举 一 反 三 1. 无 锡 方 程 2x-1=3x+2 的 解 为. A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 2. 大 庆 某 品 牌 自 行 车 1 月 份 销 售 量 为 100 辆, 每 辆 车 售 价 相 同.2 月 份 的 销 售 量 比 1 月 份 增 加 10%, 每 辆 12
车 的 售 价 比 1 月 份 降 低 了 80 元,2 月 份 与 1 月 份 的 销 售 总 额 相 同, 则 1 月 份 的 售 价 为. A.880 元 B.800 元 C.720 元 D.1080 元 2x+1>0, 3. 广 元 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 中, 整 数 解 的 个 数 是 个 {. x-5 0 A.4 B.5 C.6 D.7 4. 济 南 若 代 数 式 4x-5 与 2x-1 的 值 相 等, 则 x 的 值 是. 2 二 章 方 程 组 和 不 等 式 组 A.1 B. 3 2 C. 2 3 D.2 5. 崇 左 不 等 式 5x -10 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 为. 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 A. B. C. D. 6. 凉 山 州 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 m-2x 2 +2x+1=0 有 实 数 根, 则 m 的 取 值 范 围 是. A.m 3 B.m<3 C.m<3 且 m 2 D.m 3 且 m 2 7. 巴 中 某 种 品 牌 运 动 服 经 过 两 次 降 价, 每 件 零 售 价 由 560 元 降 为 315 元, 已 知 两 次 降 价 的 百 分 率 相 同, 求 每 次 降 价 的 百 分 率. 设 每 次 降 价 的 百 分 率 为 x, 下 面 所 列 的 方 程 中 正 确 的 是. A.560 1+x 2 =315 B.560 1-x 2 =315 C.560 1-2x 2 =315 D.560 1+x 2 =315 8. 遵 义 若 x=3 是 分 式 方 程 a-2 x - 1 x-2 =0 的 根, 则 a 的 值 是. A.5 B.-5 C.3 D.-3 9. 嘉 兴 公 元 前 1700 年 的 古 埃 及 纸 草 书 中, 记 载 着 一 个 数 学 问 题 : 它 的 全 部, 加 上 它 的 七 分 之 一, 其 和 等 于 19. 此 问 题 中 它 的 值 为. 10. 丽 水 解 一 元 二 次 方 程 x 2 +2x-3=0 时, 可 转 化 为 解 两 个 一 元 一 次 方 程, 请 写 出 其 中 的 一 个 一 元 一 次 方 程. 11. 威 海 分 式 方 程 1-x x-3 = 1 3-x -2 的 解 为. 12. 武 汉 定 义 运 算 *, 规 定 x*y=ax 2 +by, 其 中 a b 为 常 数, 且 1*2=5,2*1=6, 则 2*3=. 13. 达 州 对 于 任 意 实 数 m n, 定 义 一 种 运 算 m n=mn-m-n+3, 等 式 的 右 边 是 通 常 的 加 减 和 乘 法 运 算. 例 如 :3 5=3 5-3-5+3=10. 请 根 据 上 述 定 义 解 决 问 题 : 若 a<2 x<7, 且 解 集 中 有 两 个 整 数 解, 则 a 的 取 值 范 围 是. 14. 台 州 关 于 x 的 方 程 mx 2 +x-m+1=0, 有 以 下 三 个 结 论 :1 当 m=0 时, 方 程 只 有 一 个 实 数 解 ;2 当 m 0 时, 方 程 有 两 个 不 等 的 实 数 解 ;3 无 论 m 取 何 值, 方 程 都 有 一 个 负 数 解, 其 中 正 确 的 是 填 序 号. 2x-y=5, 15. 无 锡 解 方 程 组 :{ 1 x-1= 2 2y-1. 13