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第章电路分析的网络方程法 3 畅 1 引言用等效变换法和电路定理对电路进行分析是将电路简化为最简形式, 一般是单回路形式, 再求出待求的支路电压或电流这种方法对分析简单电路, 特别是只对某处的响应分析时, 是行之有效的对于复杂电路, 特别是电路每一处的电流电压均需求解时, 仅依靠等效变换法简化是相当复杂的, 甚至是繁琐的本章介绍电路分析的网络方程法, 是系统求解电路中各处电流电压的方法, 可以解决等效变换法的不足之处网络方程法是选择各种电流电压为网络变量, 然后依据电路的拓扑结构 ( 支路节点连接方式 ) 所确定的 KCL KVL 方程和各支路的元件特性确定的 VCR 方程建立系统的可以求解网络变量的线性方程组从而求解电路的方法根据选取的网络变量不同, 网络方程法又分为 2b 方程法支路电流法节点分析法网孔分析法和回路分析法等 3 畅 2 知识结构和教学要求 1 畅知识结构独立变量基本概念独立的 KCL KVL 电路分析的网络方程法 2b 法与支路法节点法基本分析方法网孔法回路法 2 畅教学要求 1 理解网络变量与支路数 b 的关系 2 理解支路数与独立的 VCR 数的关系 3 理解支路数 b 节点数 n 与独立的 KCL KVL 的关系 4 掌握独立节点独立回路的概念 5 了解 2b 方程法 6 理解支路电流法 7 掌握节点分析法理解自电导互电导的含义了解节点法遇到理想电压源的处理方法 52

以及节点法遇到受控源的处理方法 8 掌握网孔分析法理解自电阻互电阻的含义了解网孔法中理想电流源和受控源的处理方法 9 了解回路分析法 3 畅 3 教学内容 3 畅 3 畅 1 2b 方程法对于一个 b 条支路 n 个节点的电路, 要解出 b 条支路的支路电压和支路电流, 就共有 2b 个未知量对于每一条支路而言, 可根据该支路的元件性质得到一个支路电压与支路电流之间的 VCR 方程, 这样由 VCR 得到的方程数等于支路数为 b 个 2b 个未知量需要 2b 个线性无关的方程来联立求解, 因此, 其余 b 个方程应由 KCL 和 KVL 得到 KCL 和 KVL 方程与支路的元件性质无关, 因而可利用网络图得到以图 3-1( a) 所示的电路为例,n =4, 共有 4 个节点, 对每一个节点, 可列写出 KCL 方程, 分别为 I 1 -I 3 -I 4 =0 -I 1 -I 2 +I 5 =0 I 2 +I 3 -I 6 =0 (3-1) I 4 -I 5 +I 6 =0 图 3-1 电路的图将以上 4 个方程相加, 得到一个 0 =0 的恒等式, 说明以上 4 个方程是线性相关的 ( 彼此不独立的 ), 可以从其中任意三个导出第 4 个因此,4 个方程中只有三个是线性无关 ( 彼此独立 ) 的这是因为每一条支路都连接在两个节点之间, 对所有节点列出 KCL 方程后, 每一条支路电流必然在所有的方程中出现两次, 且一次为正, 另一次为负这个结论对 n 个节点的电路同样适用, 对 n 个节点的电路所列出的 n 个 KCL 方程中, 只有 (n -1) 个方程彼此独立图 3-1(a) 所示电路的 KVL 方程, 可以直观地列出 53

U 1 +U 4 +U 5 =0 -U 2 -U 5 -U 6 =0 U 3 -U 4 +U 6 =0 U 1 -U 2 +U 3 =0 (3-2) U 1 +U 5 +U 3 +U 6 =0 -U 2 +U 3 -U 4 -U 5 =0 U 1 -U 2 +U 4 -U 6 =0 可注意到, 上述方程并非彼此独立, 如第 1 第 2 第 3 三式相加可得到第 4 个方程那么, 究竟有多少个彼此独立的 KVL 方程呢? 电路理论的尤拉公式指出 : 一个 b 条支路 n 个节点的电路, 独立的 KVL 方程数等于独立回路数, 而独立回路数 l =b -(n -1), 直观地说独立回路数等于网孔数, 所谓网孔, 是指内部不含支路的回路对图 3-1(a) 所示电路, 怎样列出彼此独立且用于求解未知量的 KCL 方程和 KVL 方程呢? 一种常用的方法是 : 指定一个节点 ( 如第 4 节点 ) 为参考节点, 其余节点均为独立节点, 对每一个独立节点列 KCL 方程这样可得到 n -1 个彼此独立的 KCL 方程选择网孔为独立回路且规定顺时针方向为网孔的正方向, 来列网孔的 KVL 方程, 可得到 b -( n -1) 个彼此独立的 KVL 方程因而, 按此方法得到独立的 KCL KVL 方程数正好是 b 个, 图 3-1( a) 所示电路用于联立求解的 KCL KVL 方程为 KCL I 1 -I 3 -I 4 =0 -I 1 -I 2 +I 5 =0 (3-3) KVL I 2 +I 3 -I 6 =0 U 1 +U 5 +U 4 =0 -U 2 -U 5 -U 6 =0 (3-4) U 3 -U 4 +U 6 =0 以此方法不仅可以保证方程之间彼此独立, 还可以保证把独立方程全部列出用 2b 方程法求解图 3-1 ( a) 所示的电路, 除上述 6 个方程外, 还需列出 6 条支路的 VCR 方程 54

U 1 =R 1 I 1 -U S1 U 2 =R 2 I 2 -U S2 U 3 =R 3 I 3 +U S3 (3-5) U 4 =R 4 I 4 U 5 =R 5 I 5 U 6 =R 6 I 6 本例 b =6, 共有 6 条支路,12 个未知量, 由 KCL KVL VCR 得到的用于联立求解的方程数恰好是 12 个这就是 2b 方程法倡 3 畅 3 畅 2 电路的拓扑结构电路的拓扑结构又称电路的图, 讨论的是电路的几何结构及其性质, 也即支路与节点的连接关系以此为基础, 便于讨论电路方程的独立性问题, 便于对各种网络方程法作深入理解 1 畅电路的图由 KCL KVL 所表示的电流之间和电压之间的约束关系只取决于电路中节点与节点支路与支路节点与支路之间的相互关系, 而与支路的具体内容或元件特性无关因此, 在讨论电路的拓扑约束关系时, 可以把电路的物理内容抽去, 用圆点来表示节点, 用线段来表示支路, 这样就得到了电路的拓扑图, 简称为电路的图例如, 图 3-1 ( a) 所示的电路模型对应的拓扑图为图 3-1(b) 由此可见, 图的定义可以陈述如下 : 一个图 G 是一组支路与一组节点的集合, 每条支路的两端都连到相应的节点电路的支路方向通常由其电流参考方向而定, 若规定电压的参考方向与电流参考方向一致, 则称电流的参考方向为支路方向若在电路所对应的图中亦赋予每一条支路一个指定的方向, 此方向与对应的电路中支路电流方向一致, 则得到的是标出支路方向的图, 称为有向图 [ 如图 3-1(b) 所示 ] 如果在图 G 的任意两节点间至少存在一条由支路构成的路径, 则图 G 称为连通图, 本节主要讨论连通图向图 G 电路的规模与图的规模一般常用总支路数与总节点数来表示, 称作 n 个节点 b 条支路的有 2 畅树割集一个 n 个节点 b 条支路的连通图 G 具有若干闭合回路, 这些闭合回路保证了电路中电流的存在若能在连通图 G 中, 找到一个满足下述三点要求的子图, 即 : 1 该子图包含图 G 的所有节点 2 不构成任何回路 3 该子图是连通的 55

则这样的子图称为图 G 的树 T 树中包含的支路称为该树的树支, 而其他支路则称为对应于该树的连支图 3-2( a) ( b) ( c) 均是图 3-1( b) 的树图 3-2 树一个连通图 G 有许多个树, 如图 3-1( b) 中所示共有 16 个树, 本节所关心的并不是所有的树, 而是对图 G 而言, 树支支路有多少条, 连支支路有多少条对于一个连通图 G 而言, 若图中的节点数为 n, 则树支数必为 n -1 论证如下 : 设有一个 n 个节点的图, 为了构成一个树, 先用一条支路把两个节点连起来, 之后, 每连接一个新的节点只能用一条支路 ( 因为凡已连有支路的节点间不能再用支路连接, 否则就构成了闭合回路, 这是违反树的定义的 ), 这样把 n 个节点全部连通所需的支路数恰好是 n -1 由于树支数和连支数的总和为支路数 b, 因此, 连支数为 b -(n -1) 割集是指连通图 G 的一个支路集合该集合具有下述特性 : 若将集合中的全部支路移去, 则图 G 被分割为两个互不连通的子图 ; 同时, 只要此集合中的支路有一条不移去, 则图 G 仍然保持连通以图 3-3(a) 所示的图为例, 由 b 1 b 2 和 b 3 组成的支路集合为一割集因为若将这三条支路全部从图中移去, 则图被分为两个分离子图, 如图 3-3( b) 所示, 而三条支路中只要少移去任一条, 如图 3-3(c) 所示, 则图仍然是连通的图 3-3 割集 3 畅基本割集与基本回路 (1) 基本割集图 G 的基本割集是在选定图 G 的树 T 之后, 满足单树支条件的割集以图 3-1( b) 为例, 若选定了图 3-2(b) 为其树 T, 则支路 1 5 和 6 为树支, 支路 2 3 和 4 为连支设三条树支支路 56

所确定的基本割集分别为 Q 1 Q 2 和 Q 3, 则 : Q 1 : 由支路 1 3 4 组成,1 为树支 Q 2 : 由支路 5 2 3 4 组成,5 为树支 Q 3 : 由支路 6 2 3 组成,6 为树支割集在线图上常用虚线圆弧表示图 3-4 为图 3-1( b) 的有向图 G 选定图 3-2( b) 为其树之后, 得到用虚线表示的基本割集图上圆弧的箭头方向为基本割集的方向值得指出的是, 基本割集的方向应与定义该割集的树支支路方向一致结论 : 连通图 G 的基本割集数等于树支数, 当然也等于总节点数减 1, 即基本割集数等于 n -1 (2) 基本回路图 G 的基本回路同样是在选定图 G 的树 T 之后所确定的单连支回路选用以上讨论基本割集相同的图 G 和树 T, 如图 3-2( b) 所示, 可以得到图 3-5 所示的基本回路 ( 带箭头的实弧线 ) 图 3-4 基本割集图 3-5 基本回路设三条连支支路 2 3 4 所确定的基本回路分别为 l 1 l 2 和 l 3, 则三个基本回路的组成支路分别为 : l 1 : 含支路 2 5 6 l 2 : 含支路 3 1 5 6 l 3 : 含支路 4 1 5 上述各基本回路的绕行方向规定与确定该回路的连支支路的方向一致结论 : 连通图 G 的基本回路数等于连支数, 即 b -(n -1) 3 畅 3 畅 3 支路 ( 电流 ) 法对于 b 条支路 n 个节点构成的电路, 共有 2b 个未知量, 支路 ( 电流 ) 法是以 b 条支路的支路电流为首先求解的网络变量, 在求得 b 条支路的支路电流后, 再由各条支路的 VCR 关系式去求 b 个支路电压, 这样使第一步联立求解的方程数降为 b 个如图 3-6 所示, 电路中共有 3 条支路, 选 3 条支路的支路电流为未知量, 并选定各支路电流电压参考方向有两个节点, 独立节点数为 1, 因此独立的 KCL 方程为 1 个 ; 有两个网孔, 独立的 KVL 方程有 2 个列写以 I 1 I 2 和 I 3 为未知量的 KCL 方程和 KVL 方程, 可得到图 3-6 支路电流法 57

KCL KVL -I 1 -I 2 +I 3 =0 R 1 I 1 -R 2 I 2 =U S1 -U S2 (3-6) R 2 I 2 +R 3 I 3 =U S2 以上 KVL 方程是按网孔列写的此处的 KVL 方程以支路电流为未知量, 它实质上是由支路电流表示的网孔的 KVL 方程和网孔所涉及支路的 VCR 关系式得到的综上所述, 可将支路 ( 电流 ) 法的解题步骤归纳如下 : 1 设定各支路电流的参考方向 2 指定参考节点, 对其余 (n -1) 个独立节点列写 (n -1) 个 KCL 方程 3 通常选网孔为独立回路, 设定独立回路绕行方向, 进而列出 b -( n -1) 个由支路电流表示的 KVL 方程 4 联立求解 (2) (3) 两步得到 b 个方程, 求得 b 条支路的支路电流 5 由支路电流和各支路的 VCR 关系式求出 b 条支路的支路电压例 3-1 试求图 3-7 所示电路的各支路电流解 : 各支路电流已标出参考方向, 以节点 b 为参考节点节点 a 的 KCL 方程为 I 1 +I 2 +I 3 =0 以 l 1 l 2 两网孔为选定的独立回路, 其 KVL 方程为 -2I 1 +8I 3 =-14 3I 2-8I 3 =2 图 3-7 例 3-1 图以上三式联立求解, 解得 I 1 =3 A,I 2 =-2 A,I 3 =-1 A 支路 ( 电流 ) 法列的方程较直观, 是一种常用的求解电路的方法但由于需列出等于支路数 b 的 KCL 和 KVL 方程, 对复杂电路而言存在方程数目多的缺点, 因此, 设法减少方程数目就成为其他网络方程法的出发点 3 畅 3 畅 4 节点分析法对于一个 b 条支路 n 个节点的电路, 用支路法求解需要列写 ( n -1 ) 个 KCL 方程和 b -(n -1) 个 KVL 方程联立求解, 由于方程数目多, 给求解带来不便节点分析法又称为节点电压法就是解决这一问题的有效方法之一此方法已广泛应用于电路的计算机辅助分析和电力系统的计算, 是实际应用最普遍的一种方法 1 畅节点方程及其一般形式节点分析法 ( 又称节点法 ) 是以独立节点对参考节点的电压 ( 称为节点电压 ) 为网络变量 ( 未知量 ) 求解电路的方法下面以图 3-8 所示的电路说明节点方程本例 b =6,n =4, 首先将 4 58

个节点中的任一个 ( 如节点 4) 选为参考节点, 将节点 1 2 3 对参考节点的电压分别记为 U 10 U 20 U 30, 三个节点电压的参考方向都规定为参考节点处为负, 且规定参考节点的电位为 0, 所以 U 10 U 20 U 30 也是节点 1 2 3 的电位一旦选定节点电压, 各支路电压均可用节点电压表示, 连在独立节点与参考节点之间的支路电压等于相应节点的节点电压则 U 5 =U 10, U 4 =U 20, U 3 =U 30 ; 连在两独立节点之间的支路电压等于两节点电图 3-8 压之差则 U 1 =U 10 -U 20,U 2 =U 20 -U 30,U 6 =U 10 -U 30 以三个独立节点的节点电压为未知量的联立方程可以由以下方法得到首先以支路电流表示三个独立节点的 KCL 方程, 得到如下三式举例 I 1 +I 5 +I 6 =0 -I 1 +I 2 +I 4 =0 -I 2 +I 3 -I 6 =0 (3-7) 再以节点电压表示式 (3-7) 中的各支路电流 I 1 =G 1 (U 10 -U 20 ) -I S1 I 2 =G 2 (U 20 -U 30 ) I 3 =G 3 U 30 -I S3 (3-8) I 4 =G 4 U 20 I 5 =G 5 U 10 I 6 =G 6 (U 10 -U 30 ) 将式 (3-8) 代入式 (3-7) 中并整理, 将电流源均移到等式右边, 可得到 G 1 ( U 10 -U 20 ) +G 5 U 10 +G 6 (U 10 -U 30 ) =I S1 G 1 ( U 20 -U 10 ) +G 2 (U 20 -U 30 ) +G 4 U 20 =-I S1 (3-9) G 2 ( U 30 -U 20 ) +G 6 (U 30 -U 10 ) +G 3 U 30 =I S3 仔细观察可以发现, 式 (3-9) 中每一个等式的左边均为经电导流出相应节点的电流之和, 而等式右端是经电流源流入相应节点的电流, 由 KCL 可知, 两边当然相等对式 (3-9) 以未知量合并同类项后, 可得到 59

(G 1 +G 5 +G 6 )U 10 -G 1 U 20 -G 6 U 30 =I S1 -G 1 U 10 +(G 1 +G 2 +G 4 )U 20 -G 2 U 30 =-I S1 (3-10) 式 (3-10) 可进一步归纳为 -G 6 U 10 -G 2 U 20 +(G 2 +G 3 +G 6 )U 30 =I S3 G 11 U 10 +G 12 U 20 +G 13 U 30 =I S11 G 21 U 10 +G 22 U 20 +G 23 U 30 =I S22 (3-11) G 31 U 10 +G 32 U 20 +G 33 U 30 =I S33 式 (3-11) 称为三个独立节点电路节点电压方程的一般形式对比式 (3-10) 和式 (3-11), 不难发现 :G 11 =G 1 +G 5 +G 6 是连到节点 1 的所有电导之和, 称为节点 1 的自电导, 同理, G 22 =G 1 +G 2 +G 4 和 G 33 =G 2 +G 3 +G 6 分别为节点 2 和节点 3 的自电导自电导 G 11 G 22 G 33 恒为正, 这是由于本节点电压对连到自身节点的电导支路的电流的作用总是使电流流出本节点的缘故 G 12 =G 21 为节点 1 和节点 2 之间的互电导, 且 G 12 =G 21 =-G 1 为连到节点 1 和节点 2 之间的各支路电导之和的负值, 互电导恒为负, 其原因是另一节点的节点电压通过互电导产生的电流总是流入本节点的同理, 可解释 G 13 =G 31 =-G 6 和 G 23 =G 32 =-G 2 ; 式 (3-11) 中等式右边的 I S11 I S22 I S33 分别为流入三个独立节点的电流源的代数和 ( 流入为正, 流出为负 ) 综上, 可以把其结果推广到 n 个节点的电路, 将第 n 个节点指定为参考节点, 相应的节点电压方程为 G 11 U 10 +G 12 U 20 + +G 1 ( n -1 ) U ( n -1 ) 0 =I S11 G 21 U 10 +G 22 U 20 + +G 2 ( n -1 ) U ( n -1 ) 0 =I S22 (3-12) G ( n -1 ) 1 U 10 +G ( n -1 ) 2 U 20 + +G ( n -1 ) ( n -1 ) U ( n -1 ) 0 =I S( n -1 ) ( n -1 ) 式 (3-12) 称为节点方程的一般形式, 等式左边的 ( n -1) ( n -1) 阶系数行列式中的主对角线元素为自电导, 非主对角线元素为互电导一般情况下, 该系数行列式为对称行列式, 即在不含受控源的电路中, 满足 G ij =G ji (i j) 若两节点之间没有电导支路, 即相应的互电导为零节点法只需对 ( n -1) 个独立节点列 KCL 方程即可求出各节点电压, 而不需列 KVL 方程其原因是方法本身满足 KVL, 如在图 3-8 所示的电路中, 用节点电压表示的左网孔的 KVL 方程为 (U 10 -U 20 ) +U 20 -U 10 =0 是一个 0 =0 的恒等式 2 畅节点法解题步骤节点法解题步骤如下 : 1 选定参考节点, 标出各独立节点序号, 将独立节点电压作为未知量, 其参考方向由独立节点指向参考节点 60

2 若电路中存在与电阻串联的电压源, 则将其等效变换为电导与电流源的并联 3 用观察法对各个独立节点列写以节点电压为未知量的 KCL 方程对第 i 个节点而言, 其 KCL 方程为 n -1 钞 G iju j =I Sii (3-13) j = 1 等式左端当 j =i 时的系数 G ii 是 i 节点的自电导, 可观察连到 i 节点的所有电导相加得到当 j i 时的系数 G ij 可由 i 节点与 j 节点之间电导之和的负值确定等式右端为流入 i 节点的等效电流源的代数和, 流入为正, 流出为负 4 联立求解第 (3) 步得到的 (n -1) 个方程, 解得各节点电压 5 指定各支路方向, 并由节点电压求得各支路电压 6 应用支路的 VCR 关系, 由支路电压求得各支路电流例 3-2 如图 3-9(a) 所示电路,R 1 =R 2 =R 3 =2 Ω,R 4 =R 5 =4 Ω,U S1 =4 V,U S5 =12 V, I S3 =3 A, 试用节点法求电流 I 1 和 I 4 图 3-9 例 3-2 图解 : 选图中代节点为参考节点, 标出 1 和 2 两个独立节点, 选 U 10 U 20 为两个未知量将两个实际电压源作电源变换, 得到图 3-9(b) 所示的电路, 则 I S1 = U S1 =2 A,I S5 = U S5 R 1 R 5 =3 A 用观察法列节点方程 ( G 1 +G 2 +G 4 +G 5 ) U 10 -( G 4 +G 5 )U 20 =I S1 -I S5 -(G 4 +G 5 )U 10 +(G 3 +G 4 +G 5 ) U 20 =I S3 +I S5 将 G 1 =G 2 =G 3 = 1 2 S,G 4 =G 5 = 1 4 S 和电流源参数代入方程得 3 2 U10-1 2 U20 =-1 61

- 1 U10 +1U20 =6 2 联立求解得 U 10 = 8 5 V,U 20 = 34 5 V U S1 -U10 I 1 = R 1 = 4-8 5 2 A = 12 5 1 2 A = 6 5 A U10 -U20 I 4 = R 4 = 8 5-34 5 4 A =- 26 5 1 4 A =-13 10 A 3 畅含理想电压源电路的节点分析法理想电压源没有与其串联的电阻, 因而不能变换为等效的电流源, 怎样列节点方程呢? 下面以例 3-3 来说明例 3-3 如图 3-10 所示电路, 试用节点法求 I x 解 : 本例 n =4, 共有三个独立节点, 三个电源中有两个理想电压源, 遇到含理想电压源电路时, 常选某一理想电压源的一端为参考节点, 现选 14 V 理想电压源的负极端为参考节点, 并标出独立节点序号, 在节点 2 与 3 之间为 8 V 理想电压源, 可增设此支路电流 I 为未知数, 现以 U 1 U 2 U 3 和 I 为未知数列方程 ( 为简便起见, 将节点电压的第二下标略写 ) U 1 =14( 节点电压为理想电压源电压 ) -1U 1 +(1 +0 畅 5) U 2 +I =3-0 畅 5U 1 +(1 +0 畅 5)U 3 -I =0 补充 2 3 节点之间电压关系 U 2 -U 3 =8 解得 U 1 =14 V,U 2 =12 V,U 3 =4 V,I =-1 A 图 3-10 例 3-3 图 U1 -U3 I x = 2 = 10 2 =5 A 以上解题过程中, 对两理想电压源的处理分别应用了选参考节点和增设理想电压源支路电流为未知量的方法还有一种方法称广义节点法, 以本题为例, 将节点 2 3 及 8 V 理想电压源用虚线框起来, 构成一个假想的封闭面, 亦称作广义节点, 对此广义节点列 KCL 方程得 62 -(1 +0 畅 5)U 1 +(1 +0 畅 5)U 2 +(1 +0 畅 5) U 3 =3

此方程与 U 1 =14,U 2 -U 3 =8 三式联立, 得 U 2 =12 V,U 3 =4 V I x = U 1 -U 3 2 =5 A 除以上介绍的选参考节点增设电流未知量和列广义节点 KCL 方程这三种节点法处理理想电压源的方法外还有推源法, 这里不再详述 4 畅节点法遇到受控源的处理含受控源的电路要列写节点方程, 可以先将受控源当独立源看待, 将其作用列到方程右边, 而后再找到受控源的控制量与节点电压的关系, 将此关系代入节点方程, 再将方程右边反映受控源作用的项移到方程左边, 得到含受控源电路的节点方程例 3-4 用节点法求图 3-11 所示电路的 U 和 I 解 : 此电路共有两个节点, 设节点代为参考节点, 将电流控制电流源看做独立电流源, 列写节点 1 的节点方程 1 + 1 3 = 6 U10 1 +4-2 3 I 由于上式有两个未知量, 因此无法直接求出 U 10, 需要再列出一个方程, 用节点电压表示控制量 I, 有 I =1 ( U 10-6) =U 10-6 以上两式联立求解, 可得 U 10 =7 V I =1 A 则 U =U 10 =7 V 图 3-11 例 3-4 图例 3-5 用节点法求图 3-12 所示电路的各节点电压图 3-12 例 3-5 图解 : 设节点 4 为参考节点将受控电压源 3I 1 和受控电流源 6I x 分别看做实际电压源和理想电流源, 对节点 1 2 3 分别列节点方程 4U 1-3U 2-1 U 3 =-8-9I 1 63

-3U 1 +4U 2 =9I 1-6I x -1 U 1 +6U 3 =25 +6I x 在以上各式中, 由于出现了 I 1 和 I x 两个未知量, 因此需要再列写两个方程, 到控制支路找出 I 1 I x 与节点电压的关系, 有 I 1 =1 U 2 I x =1 ( U 3 -U 1 ) 以上五式联立求解, 可得 U 1 =5 V, U 2 =-3 畅 968 V, U 3 =4 畅 192 V 3 畅 3 畅 5 网孔分析法上一节所述的节点法对一个 b 条支路 n 个节点的电路, 只需列 (n -1) 个独立节点的 KCL 方程, 解决了支路 ( 电流 ) 法方程数目过多的问题, 本节所介绍的网孔分析法只需列 b -( n -1) 个彼此独立的 KVL 方程, 即可对电路进行求解 1 畅网孔方程及其一般形式下面以图 3-13 所示电路为例来说明网孔方程本电路共有 6 条支路 4 个节点, 网孔分析法是选网孔为独立回路, 以假想的网孔电流为未知量列方程的方法所选网孔序号, 网孔及网孔电流绕向如图 3-13 所示, 图中 I m1 I m2 I m3 为所选的网孔电流, 网孔电流一经选定, 各支路电流都可以用网孔电流来表示, 本例中 I 1 =I m1,i 2 =-I m1 +I m2,i 3 = I m2,i 4 =I m3,i 5 =I m1 -I m3,i 6 =I m2 -I m3 假想的网孔电流是沿闭合回路流动的, 所以它一定从网孔中某一节点流入, 同时又从这个节点流出, 因此网孔电流在各节点自动满足 KCL, 如对节点 2, 流入和流出的网孔电流均为 I m1 图 3-13 网孔分析 I m2 和 I m3 这样就不必对节点列 KCL 方程了, 只需列出 b -( n -1) 个以网孔电流表示的 KVL 方程, 即可求解电路图 3-13 所示电路的网孔分析方程为 R 1 I m1 +R 5 ( I m1 -I m3 ) +R 2 (I m1 -I m2 ) =U S1 -U S2 R 2 ( -I m1 +I m2 ) +R 6 (I m2 -I m3 ) +R 3 I m2 =U S2 (3-14) R 4 I m3 +R 6 ( -I m2 +I m3 ) +R 5 ( -I m1 +I m3 ) =0 整理后得 (R 1 +R 2 +R 5 ) I m1 -R 2 I m2 -R 5 I m3 =U S1 -U S2 -R 2 I m1 +(R 2 +R 3 +R 6 )I m2 -R 6 I m3 =U S2 (3-15) 64 -R 5 I m1 -R 6 I m2 +( R 4 +R 5 +R 6 ) I m3 =0

式 (3-15) 可归纳为 R 11 I m1 +R 12 I m2 +R 13 I m3 =U S11 R 21 I m1 +R 22 I m2 +R 23 I m3 =U S22 (3-16) R 31 I m1 +R 32 I m2 +R 33 I m3 =U S33 比较式 (3-15) 和式 (3-16), 不难发现 :R 11 =R 1 +R 2 +R 5 是网孔 1 的所有电阻之和, 称为网孔 1 的自电阻, 同理 R 22 =R 2 +R 3 +R 6,R 33 =R 4 +R 5 +R 6 分别为网孔 2 和网孔 3 的自电阻, 且自电阻恒为正这是因为本网孔电流方向与网孔绕行方向一致, 由本网孔电流在各电阻上产生的电压方向必然与网孔绕行方向一致 ;R 12 =R 21 为网孔 1 与网孔 2 之间的互电阻, 且 R 12 =R 21 = -R 2 为两网孔共有电阻的负值在网孔法中, 互电阻恒为负这是由于规定各网孔电流均以顺时针为参考方向, 因而另一网孔电流在共有电阻上产生的电压总是与本网孔绕行方向相反, 同理可解释 R 13 =R 31 =-R 5 和 R 23 =R 32 =-R 6 ; 式 (3-16) 中等式右端的 U S11 U S22 U S33 分别为三个网孔的等效电压源的代数和, 与网孔绕行方向相反的电压源为正, 一致的为负, 如 U S11 =U S1 - U S2,U S1 的方向与网孔 1 的绕行方向相反, 而 U S2 的方向与网孔 1 的绕行方向一致推广到 m 个网孔的电路, 相应的网孔分析方程为 R 11 I m1 +R 12 I m2 + +R 1 m I m m =U S11 R 21 I m1 +R 22 I m2 + +R 2 m I m m =U S22 (3-17) R m1 I m1 +R m2 I m2 + +R m m I m m =U Smm 式 (3-17) 称为网孔方程的一般形式, 等式左端的 m m 阶系数行列式中的主对角线元素为自电阻, 非主对角线元素为互电阻一般情况下, 该行列式为对称行列式, 即在无受控源的情况下, 满足 R ij =R ji 2 畅网孔法解题步骤若电路中存在实际电流源, 则先将其等效变换为实际电压源后, 执行如下步骤 : 1 选网孔为独立回路, 标出顺时针的网孔电流方向和网孔序号 2 用观察自电阻互电阻的方法列写各网孔的 KVL 方程 ( 以网孔电流为未知量 ) 3 求解网孔电流 4 由网孔电流求各支路电流 5 由支路电流及支路的 VCR 关系式求各支路电压例 3-6 试用网孔法求解图 3-14 所示电路中的各支路电流解 : 网孔序号及网孔绕向如图 3-14 所示, 网孔方程为 (2 +1 +2)I m1-2i m2-1i m3 =3-9 -2I m1 +(2 +6 +3)I m2-6i m3 =9-6 65

-1I m3-6i m2 +(3 +6 +1) I m3 =12 畅 5-3 整理为 5I m1-2i m2 -I m3 =-6-2I m1 +11I m2-6i m3 =3 -I m1-6i m2 +10I m3 =9 畅 5 联立求解得 I m1 =-0 畅 5 A 图 3-14 例 3-6 图 I m2 =1 A I m3 =1 畅 5 A 各支路电流为 I 1 =I m1 =-0 畅 5 A I 2 =I m2 =1 A I 3 =I m3 =1 畅 5 A I 4 =-I m1 +I m3 =2 A I 5 =I m1 -I m2 =-1 畅 5 A I 6 =-I m2 +I m3 =0 畅 5 A 3 畅含理想电流源电路的网孔分析理想电流源不能变换为电压源, 而网孔方程的每一项均为电压, 如何来列方程呢? 下面以例 3-7 来说明例 3-7 用网孔法求图 3-15 所示电路的各支路电流解 : 网孔序号及网孔电流参考方向如图 3-15 中所选, 题中有两个理想电流源, 其中 6 A 的理想电流源只流过一个网孔电流, 则可知 I m1 =6 A 这样就不必再列网孔 1 的 KVL 方程, 为了列网孔 2 和网孔 3 的 KVL 方程, 设 2 A 电流源的电压为 U x, 所得方程为 I m1 =6 A -1I m1 +3I m2 =U x -2I m1 +5I m3 =-U x 多了未知量 U x, 必须再增列一个方程, 由 2 A 理想电流源支路得到补充方程 66 图 3-15 例 3-7 图

I m2 -I m3 =2 以上 4 式联立解得 I m2 =3 畅 5 A, I m3 =1 畅 5 A 各支路电流均可用网孔电流求得 I 1 =6 A, I 2 =3 畅 5 A, I 3 =1 畅 5 A I 4 =I m1 -I m2 =2 畅 5 A, I 5 =I m1 -I m3 =4 畅 5 A, I 6 =I m2 -I m3 =2 A 由本例可看出, 当理想电流源所在支路只流过一个网孔电流时, 该网孔电流被理想电流源限定当理想电流源所在支路流过两个网孔电流时, 可用增设理想电流源电压为未知数的方法解决 4 畅含受控源电路的网孔分析在列写含受控源电路的网孔方程时, 可先将受控源作为独立电源处理, 然后将受控源的控制量用网孔电流表示, 再将受控源作用反映在方程右端的项移到方程左边, 得到含受控源电路的网孔方程例 3-8 用网孔法求图 3-16 所示电路的网孔电流, 已知 μ=1,α=1 解 : 标出网孔电流及序号 1 2 网孔的 KVL 方程为 6I m1-2i m2-2i m3 =16 对网孔 3, 满足 -2I m1 +6I m2-2i m3 =-μu 1 I m3 =αi 3 图 3-16 例 3-8 图补充两个受控源的控制量与网孔电流关系方程 U 1 =2I m1 I 3 =I m1 -I m2 将 α=1,μ=1 代入, 联立求解得 I m1 =4 A, I m2 =1 A, I m3 =3 A 倡 3 畅 3 畅 6 回路分析法网孔分析法是选网孔为闭合回路对电路列出 b -( n -1) 个独立的 KVL 方程回路法同样 67

是选 b -( n -1) 个独立回路来列 KVL 方程, 只不过是所选回路不一定是按网孔来选, 各回路电流的绕行方向也不一定统一规定为顺时针方向, 因此网孔法是回路法的一个特例现以图 3-17 所示电路来介绍回路方程首先是选定独立回路, 同时以所选回路的回路电流为未知量 ( 图中曲线所示 ) 选回路时应注意两点 : 1 保证所选回路之间彼此独立, 因此任一要选的回路比前面已经选过的回路至少应包含一条新支路 2 把独立回路数选够, 也就是说, 在保证第一点的前提下选够 b -(n -1) 个回路图 3-17 所示电路,b =6,n =4, 故独立回路数为 3 按图中所选回路电流绕行方向, 由 KVL 列得该电路的回路方程为图 3-17 回路分析法 ( R 1 +R 5 +R 2 ) I l1 -R 2 I l2 -(R 1 +R 2 )I l3 =-U S2 -R 2 I l1 +(R 2 +R 6 +R 3 )I l2 +( R 2 +R 6 )I l3 =U S2 -( R 1 +R 2 )I l1 +(R 2 +R 6 )I l2 +(R 4 +R 1 +R 2 +R 6 )I l3 =0 可以看出, 在回路法中, 自电阻同网孔法一样恒为正, 但互电阻可能为正, 也可能为负, 要看两回路电流是以相同的方向还是以相反的方向绕过共有电阻回路法可以自选回路, 因此可方便地解决含理想电流源电路的分析例 3-9 用回路法解例 3-7 解 : 本题有两个理想电流源, 用选回路的办法选得两理想电流源支路分别只流过一个回路电流, 所选回路及绕行方向如图 3-18 所示, 得到的方程为 I l1 I l2 =6 A =2 A -(1 +2) I l1 +(1 +2) I l2 +(1 +2 +2 +3)I l3 =0 联立求解得 -3I l1 +3I l2 +8I l3 =0 图 3-18 例 3-9 图 -18 +6 =-8I l3-12 =-8I l3 I l3 =1 畅 5 A 从而 68 I 1 =I l1 =6 A, I 2 =I l2 +I l3 =3 畅 5 A,

I 3 =I l3 =1 畅 5 A, I 4 =I l1 -I l2 -I l3 =2 畅 5 A, I 5 =I l1 -I l3 =4 畅 5 A, I 6 =I l1 =2 A 回路分析法遇到含受控源电路时, 处理方法同网孔分析法思考与讨论 3 畅 3 畅 1-1 一个有 n 个节点,b 条支路的电路, 共有多少个电路变量? 若用 2b 方程法求解,KCL KVL VCR 方程各为多少个? 3 畅 3 畅 3-1 若用支路法求解图 3-18 所示电路, 需列写多少个 KCL 方程? 多少个 KVL 方程 3 畅 3 畅 4-1 有人说, 节点分析法只需列独立的 KCL 方程不需要列出 KVL 方程的原因是, 方法本身满足 KVL, 此说法对吗? 试举例说明 3 畅 3 畅 4-2 节点法以节点电压为未知量, 试问什么是节点电压? 节点电压的参考方向是如何规定的? 3 畅 3 畅 4-3 在电路中, 如果有一条支路为理想电流源与电阻串联, 该支路的电导 G 是多少? 这种支路对节点方程系数中的自电导互电导有何影响? 3 畅 3 畅 4-4 为什么在不含受控源的电路中, 自电导恒为正, 负电导恒为负, 物理意义如何? 3 畅 3 畅 5-1 网孔电流是真实存在, 还是一种假想? 3 畅 3 畅 5-2 为什么说网孔法方法本身满足 KCL? 试举例说明? 3 畅 3 畅 5-3 网孔法中, 互电阻恒为负的物理含义如何? 3 畅 3 畅 5-4 节点法中有参考节点, 网孔法中有参考网孔吗? 3 畅 3 畅 6-1 为什么在回路法中, 互电阻可能为正? 本章小结 1 畅 b 条支路,n 个节点的电路, 共有 2b 个电路变量, 独立的 KCL 方程数等于 ( n -1) 个, 独立的 KVL 方程数等于 b -(n -1) 个, 还有 b 个 VCR 方程 2 畅对于一个 n 个节点的电路, 选择其中一个节点为参考节点后, 对剩余的 ( n -1) 个节点的每一个列出 KCL 方程, 不仅可以保证方程之间的独立性, 还可以保证将独立的 KCL 方程全部列出 3 畅对于一个 n 个节点 b 条支路的电路, 其网孔数等于 b -( n -1) 个, 对每一个网孔列写 KVL 方程, 不仅可以保证列出的方程之间彼此独立, 还可以将独立的 KVL 方程全部列出 4 畅支路电流法中, 各支路的 VCR 关系已在列写用支路电流表示的 KVL 方程中使用, 故只需列 b 个方程 5 畅节点法是以电路中的独立节点电压为未知量, 对每一个独立节点列写 KCL 方程, 进而求解电路的方法 6 畅网孔法是以电路中的网孔电流为未知量, 对每一个网孔列写 KVL 方程, 进而求解电路的方法 7 畅对于不含受控源的电路, 可以用观察自电导互电导或是自电阻互电阻的方法列写电路的节点方程或是网孔方程 69

8 畅含受控源的电路, 无论是用节点法还是用网孔 ( 回路 ) 法求解, 受控源都要先当独立源处理, 再找到受控源的控制量与节点电压或网孔 ( 回路 ) 电流的关系, 最后再移项整理方程习题 3-1 列出题 3-1 图所示电路的 2b 方程 3-2 用支路电流法求解题 3-1 图中的各支路电流电压 3-3 列出题 3-3 图所示电路的支路电流法求解电路的方程题 3-1 图题 3-3 图 3-4 列出题 3-4 图所示电路的支路电流方程, 并求 I 1 I 2 和 I 3 3-5 若电路中只有一个独立节点, 则用节点法得到的该节点电压的表达式为弥尔曼定理的表达式, 试用节点法求题 3-5 图所示电路的独立节点电压, 并总结弥尔曼定理题 3-4 图题 3-5 图 3-6 用节点法求解题 3-6 图中各支路电压 3-7 用节点法求解题 3-7 图所示电路中的 I x 和受控电流源发出的功率题 3-6 图题 3-7 图 3-8 用节点法求题 3-8 图电路中的 I 3-9 适当选择参考节点, 用节点法求题 3-9 图所示电路中 5 V 电压源和 5 A 电流源发出的功率 70

题 3-8 图题 3-9 图 3-10 试用网孔法求题 3-10 图所示电路的 U =? I =? 3-11 用网孔法再求解题 3-9 3-12 题 3-12 图所示电路, 试分别用节点法和回路法求解电压 U 电流 I 题 3-10 图题 3-12 图 3-13 试分别用节点法网孔法回路法求解题 3-13 图所示电路中的 U x 和 I y 3-14 用节点法求题 3-14 图所示电路的开路电压 U ab, 并求 a b 两端的入端电阻 R o 题 3-13 图题 3-14 图 3-15 开关电路如题 3-15 图所示, 即将题图 3-14 画作电子技术课程中采用的电位图表示法,J 1 与题 3-15 图 71

J 2 是两个继电器, 当通过继电器的电流大于 20 ma 时, 继电器才导通, 问这两个继电器是否导通? 已知 E 1 = 200 V,R 1 =60 kω;e 2 =40 V,R 2 =10 kω;e 3 =100 V,R 3 =30 kω,d 1 D 2 为二极管 20 ma 提示 : 将已知数据代入题 3-14 求出的 U ab 和 R o 中, 再求两继电器支路电流, 进而判断电流是否大于 72