用节点法和网孔法进行电路分析

运 用 节 点 法 和 网 孔 法 进 行 电 路 分 析 众 所 周 知, 运 用 基 尔 霍 夫 定 律 和 欧 姆 定 律, 我 们 可 以 对 任 何 一 个 电 路 进 行 分 析, 以 确 定 其 运 行 条 件 ( 电 流 和 电 压 值 ) 一 般 电 路 分 析 的 难 点 在 于 用 最 少 的 联 立 方 程 描 述 电 路 的 运 行 特 性 在 这 一 讲 里, 我 们 将 介 绍 两 种 非 常 有 效 的 可 用 于 对 任 意 电 路 进 行 分 析 的 方 法 : 节 点 法 和 网 孔 法 这 些 方 法 是 建 立 在 对 基 尔 霍 夫 定 律 的 系 统 应 用 基 础 上 的, 我 们 将 通 过 图 1 的 例 子 电 路 来 说 明 求 解 的 步 骤 图 1 一 个 典 型 的 电 阻 电 路 节 点 法 电 压 被 定 义 为 两 点 之 间 的 电 势 差 当 我 们 讨 论 一 个 电 路 中 某 个 确 定 节 点 的 电 压 时, 这 就 意 味 着 我 们 已 经 设 定 了 一 个 参 考 点 通 常 这 个 参 考 点 被 定 义 为 地 节 点 法 或 节 点 电 压 法, 是 一 种 建 立 在 KCL KVL 和 欧 姆 定 律 基 础 之 上 的 一 种 非 常 有 效 的 电 路 分 析 法 运 用 节 点 电 压 法 分 析 一 个 电 路 的 步 骤 如 下 : 1. 清 楚 地 标 注 所 有 电 路 参 数, 并 确 定 未 知 参 数 和 已 知 参 数 2. 确 定 电 路 中 的 所 有 节 点 3. 选 择 一 个 节 点 作 为 参 考 节 点, 也 可 以 叫 做 地, 并 把 这 个 点 的 电 势 赋 值 为 0 电 路 中 其 他 所 有 节 点 的 电 压 都 以 参 考 节 点 作 为 参 考 4. 标 出 其 他 所 有 节 点 的 电 压 值 5. 赋 值 并 标 出 极 性 6. 在 每 个 节 点 运 用 KCL 定 律, 并 用 节 点 电 压 表 示 支 路 电 流 7. 列 出 节 点 电 压 方 程, 并 算 出 结 果

8. 得 到 各 节 点 电 压 值 后, 可 由 欧 姆 定 律 确 定 各 支 路 电 流 值 我 们 利 用 图 1 的 电 路 来 示 范 节 点 法 的 求 解 过 程 图 2 所 显 示 的 是 第 一 步 和 第 二 步 的 执 行 图 中 已 经 标 注 了 电 路 中 的 所 有 的 元 件 并 确 定 了 电 路 中 所 有 的 相 关 节 点 图 二 标 记 了 节 点 的 电 路 第 三 步 要 在 这 些 确 定 了 的 节 点 当 中 选 择 一 个 作 为 参 考 节 点 我 们 可 以 有 四 种 不 同 选 择 原 则 上, 这 些 节 点 中 的 任 意 一 个 都 可 以 被 选 为 参 考 节 点 然 而, 有 些 节 点 比 其 他 一 些 节 点 更 有 用 所 谓 有 用 的 节 点 就 是 那 些 能 够 使 问 题 更 容 易 地 被 理 解 和 解 决 的 节 点 我 们 需 要 记 住 一 些 通 用 的 指 导 方 针, 以 用 于 参 考 节 点 的 选 择 1. 一 个 有 用 的 参 考 节 点 应 与 最 多 数 量 的 元 件 相 连 2. 一 个 有 用 的 参 考 节 点 应 与 最 多 数 量 的 电 压 源 相 连 如 我 们 的 电 路 中, 以 节 点 n4 作 为 参 考 节 点 的 选 择 是 最 佳 选 择 ( 同 样 地, 我 们 也 可 以 选 择 节 点 n1 作 为 参 考 节 点 ) 下 一 步 要 标 记 所 选 节 点 的 电 压 如 图 3 所 示 的 标 记 了 节 点 电 压 的 电 路 参 考 节 点 的 电 压 赋 值 为 0, 用 接 地 符 号 显 示 剩 余 节 点 电 压 标 记 为 v1, v2, v3

下 一 步 标 出 电 流 流 向 和 极 性, 见 图 4 图 3 标 出 节 点 电 压 的 电 路 图 4. 标 出 节 点 电 压 和 极 性 的 电 路 继 续 进 行 之 前, 让 我 们 进 一 步 看 一 下 图 4 所 示 电 路 问 题 在 图 中 已 经 明 确 了 一 旦 我 们 确 定 了 节 点 电 压 v1, v2, v3 的 电 压 值, 我 们 就 可 以 完 整 地 描 述 这 个 电 路 然 后, 让 我 们 继 续 对 指 定 节 点 应 用 KCL 定 律 计 算 节 点 电 压 以 节 点 n1 为 例, 一 旦 电 压 源 的 电 压 已 知, 我 们 可 以 把 电 压 v1 直 接 标 为 : v1 = Vs (4.1) 这 样 我 们 就 把 未 知 量 的 数 目 从 3 个 减 少 到 了 2 个 结 合 电 压 v2, 在 节 点 n2 应 用 KCL, 可 得 : i1= i2+ i3 (4.2) 电 流 值 i1 i2 i3 可 用 电 压 值 v1 v2 v3 表 示 如 下 Vs v2 i1 = R1 (4.3) v2 i2 = R2 (4.4) v2 v3 i3 = R3 (4.5)

联 立 公 式 4.2 4.5 得 到 Vs v2 v2 v2 v3 = = = 0 (4.6) R1 R2 R3 将 上 面 的 表 达 式 改 写 为 关 于 未 知 电 压 v2 和 v3 的 线 性 函 数, 可 得 : 1 1 1 1 1 v2 + + v3 = Vs R1 R2 R3 R3 R1 (4.7) 联 合 电 压 v3, 在 节 点 n3应 用 KCL, 可 得 : Vs IsR2 I1 = R1+ R2 v2 v3 v3 = 0 (4.8) R3 R4 或 者 1 1 1 v2 + v3 + = 0 (4.9) R3 R3 R4 下 一 步 要 解 联 立 方 程 4.7 和 4.9, 计 算 出 节 点 电 压 v2 和 v3 虽 然 直 接 解 等 式 (4.8) 和 (4.9) 很 容 易, 但 是 把 他 们 改 写 成 如 下 的 矩 阵 形 式 会 更 好 一 些 1 1 1 1 1 v2 + + v3 = Vs R1 R2 R3 R3 R1 1 1 1 v2 + v3 + = 0 R3 R3 R4 (4.10) 或 (4.11) 或 其 等 价 形 式

(4.12) 在 列 解 联 立 方 程 式 时, 最 后 的 形 式 应 该 即 简 单 又 统 一 需 要 遵 守 的 基 本 规 则 和 标 准 如 下 : 把 所 有 的 电 源 ( 电 流 源 和 电 压 源 ) 置 于 等 式 右 侧 R1 R 在 矩 阵 A 的 对 角 线 上 的 每 个 元 素 必 须 具 有 相 同 的 符 号 例 如, 不 存 在 1 这 种 形 式 如 R2 R3 果 对 角 线 上 的 某 个 元 素 由 正 负 两 部 分 组 成, 那 么 一 定 有 一 个 符 号 是 错 误 的 所 有 的 对 角 线 上 的 元 素 都 是 正 的, 其 它 元 素 都 是 负 的, 而 且 矩 阵 是 对 称 的 Aij = Aji 如 果 矩 阵 不 具 有 这 个 特 性, 那 一 定 存 在 错 误 用 上 面 的 形 式 列 写 电 路 方 程 式, 一 定 存 在 一 组 由 真 实 电 流 值 构 成 的 解 一 旦 我 们 把 方 程 式 变 为 矩 阵 形 式, 对 结 果 进 行 逐 条 的 检 验 如 果 det A = 0, 那 么 就 能 得 出 一 组 解 未 知 电 压 V K 为 : det Ak v = (4.13) k det A A 为 矩 阵 A 的 k 次 纵 列, 用 向 量 k vk 在 我 们 的 例 子 中, 电 压 v2 和 v3 为 : 代 替 ( + ) R2 R3 R4 Vs v2 = R1R2+ R1R3+ R2R3+ R1R4+ R2R4 R2R4Vs v3 = R1R2+ R1R3+ R2R3+ R1R4+ R2R4 我 们 可 以 通 过 引 入 一 个 参 量 来 简 化 上 述 表 达 式 R2( R3+ R4) R eff = R2+ R3+ R4 (4.14) (4.15) (4.16)

如 图 5 所 示, 这 个 电 阻 可 以 通 过 电 路 简 化 而 得 出 结 果 用 R 可 表 示 为 : eff 图 5. 电 路 简 化 v Reff 2 = Vs R + R 1 eff (4.17) v R4 3= v 2 R 3 + R 4 (4.18) 观 察 图 5(a) 中 被 椭 圆 所 包 括 的 部 分, v3 的 结 果 就 很 好 理 解 了 如 果 这 些 节 点 的 电 压 值 已 知, 那 么 我 们 就 可 以 使 用 欧 姆 定 律 计 算 电 流 值 V s i = 1 R1 + Reff (4.19) V i = b 2 R (4.20) 2 和 V i = b 3 R3 + R4 (4.21)

所 以, 节 点 电 压 法 是 一 种 用 来 计 算 电 路 中 各 节 点 电 压 的 算 法 如 果 各 节 点 间 连 接 的 元 件 确 定, 就 能 够 写 出 一 组 关 于 节 点 电 压 的 联 立 方 程 一 旦 这 些 电 压 值 被 解 出, 那 么 电 流 值 就 可 由 欧 姆 定 律 算 出 含 浮 动 电 压 源 的 节 点 分 析 : 超 级 节 点 如 果 一 个 电 压 源 不 和 参 考 节 点 相 连 接, 它 就 被 称 为 浮 动 电 压 源 在 进 行 电 路 分 析 的 时 候 必 须 特 别 注 意 如 图 6 所 示 电 路 中, 电 压 源 不 与 参 考 节 点 相 连 接, 因 此 它 是 一 个 浮 动 电 压 源 V 2 图 6 含 超 节 点 的 电 路 椭 圆 形 围 上 的 那 部 分 电 路, 被 叫 做 一 个 超 级 节 点 基 尔 霍 夫 电 流 定 律 应 用 于 超 节 点 如 同 应 用 于 其 它 正 常 节 点 上 一 样 无 需 质 疑 的 是 KCL 在 描 述 超 节 点 情 况 下 的 电 荷 守 恒 和 正 常 节 点 的 情 况 是 一 致 的 在 我 们 的 例 子 中, 在 超 节 点 上 应 用 KCL 定 律, 可 得 i1= i2+ i3 (4.22) 根 据 节 点 电 压, 等 式 (4.22) 变 为 : V1 v2 v2 v3 = + (4.23) R1 R2 R3 节 点 电 压 v1 和 v2 之 间 的 关 系 是 解 题 所 必 需 的 约 束 条 件 这 个 约 束 条 件 由 电 压 源 V 2 给 出 V2= v3 v2 (4.24)

结 合 等 式 (4.23) 和 (4.24), 得 到 : v2 = V1 V2 R1 R3 1 1 1 + + R1 R2 R3 (4.25) v3= V1 V2 R1 R3 1 1 1 + + R1 R2 R3 V2 (4.26) 确 定 了 节 点 电 压, 支 路 电 流 的 计 算 可 从 欧 姆 定 律 的 简 单 应 用 得 出 例 子 4.1 含 超 节 点 的 节 点 分 析 图 7 所 示 电 路 包 含 两 个 电 压 源, 而 且 经 我 们 指 定 参 考 节 点, 电 压 源 V 2 是 一 个 浮 动 电 压 源 如 图 中 所 示, 超 节 点 包 括 电 压 源 和 与 它 并 联 的 电 阻 元 件 R 4 图 7 另 一 个 超 节 点 例 子 首 先, 我 们 注 意 到 通 过 电 阻 R 4 的 电 流 I 4 由 公 式 (4.27) 给 出 : V 2 i4 = (4.27) R4 负 号 表 示 电 流 的 方 向 与 指 定 的 方 向 相 反

在 超 节 点 应 用 KCL 定 律, 我 们 得 到 V1 v2 v2 v3 i1= i2+ i3 = + (4.28) R1 R2 R3 浮 动 电 压 源 在 v2 和 v3 之 间 有 : V2= v2 v3这 样 一 个 约 束 条 件, 因 此 等 式 (4.28) 变 为 节 点 电 压 v3 如 下 v3= v2 = V1 V2 R1 R3 1 1 1 + + R1 R2 R3 V1 V2 R1 R3 1 1 1 + + R1 R2 R3 (4.29) + V2 (4.30) 例 子 4.1 含 电 流 源 的 节 点 分 析 确 定 图 8 电 路 中 的 节 点 电 压 v1, v2 和 v3 图 8 含 电 压 源 和 电 流 源 的 电 路 我 们 已 经 运 用 了 节 点 法 的 前 五 步, 现 在 我 们 已 经 准 备 好 对 指 定 节 点 应 用 KCL 定 律 在 本 例 中, 电 流 源 Is 限 制 电 流 I3, 即 I3 = Is, 在 节 点 n2 应 用 KCL, 得 出 : i1= i2+ Is (4.31)

应 用 欧 姆 定 律 Vs v2 v2 v3 = + (4.32) R1 R2 R3 我 们 在 节 点 n1 应 用 Vs = V1 在 节 点 n3, 电 流 源 限 制 电 压 v3 v3 = IsR3 (4.33) 联 立 方 程 式 (4.32) 和 (4.33), 我 们 得 到 未 知 节 点 电 压 v2 Vs IsR3 v2 = R1 1 1 + R1 R2 (4.34)

网 孔 法 网 孔 法 把 网 孔 电 流 作 为 电 路 变 量 求 解 的 过 程 与 节 点 法 相 似, 下 面 给 出 与 其 不 同 的 步 骤 1. 明 确 标 注 全 部 电 路 参 数, 区 分 未 知 参 数 和 已 知 参 数 2. 确 定 电 路 中 的 全 部 网 孔 3. 给 网 孔 电 流 赋 值, 并 标 注 极 性 4. 在 每 个 网 孔 上 应 用 KVL 定 律, 并 用 网 孔 电 流 来 表 示 电 压 5. 解 联 立 方 程, 算 出 网 孔 电 流 6. 网 孔 电 流 已 知, 电 压 可 由 欧 姆 定 律 算 出 一 个 网 孔 被 定 义 为 一 个 不 包 含 其 他 任 意 回 路 的 回 路 ( 原 文 似 乎 不 明 确 ) 图 9 所 示 的 电 路 有 三 个 回 路, 但 只 有 两 个 网 孔 我 们 已 经 在 电 路 中 指 定 了 一 个 地 电 势 地 电 势 的 定 义 是 理 解 电 路 的 基 本 原 则, 这 也 是 一 个 良 好 的 习 惯 做 法, 因 此 我 们 将 会 继 续 指 定 一 个 参 考 ( 地 ) 电 势, 以 便 继 续 设 计 和 分 析 电 路, 不 管 用 于 分 析 的 方 法 是 什 么 网 络 中 的 网 孔 是 网 孔 1 和 网 孔 2 图 9 辨 认 网 孔 下 一 步, 我 们 将 对 网 孔 电 流 赋 值, 定 义 电 流 方 向 和 电 压 极 性 如 图 10 所 示, 网 孔 电 流 I 1和 I 2 的 方 向 被 定 义 为 顺 时 针 方 向 这 个 对 电 流 方 向 的 定 义 是 任 意 的, 但 是 如 果 我 们 定 义 电 流 方 向 时 应 保 持 一 致 性, 这 对 我 们 解 题 还 是 有 所 帮 助 的 需 要 注 意 的 是, 在 网 孔 的 某 些 部 分, 支 路 电 流 可 能 是 网 孔 中 的 电 流 电 路 中 包 含 电 阻 R 2 的 支 路 被 两 个 网 孔 共 用, 因 此 支 路 电 流 ( 流 过 R 2 的 电 流 ) 是 两 个 网 孔 电 流 的 差 ( 需 要 注 意 的 是, 为 了 区 别 网 孔 电 流 和 支 路 电 流, 我 们 用 符 号 I 表 示 网 孔 电 流, 用 符 号 i 表 示 支 路 电 流 )

图 10 标 注 网 孔 电 流 方 向 现 在, 让 我 们 把 注 意 力 转 移 到 标 记 各 个 支 路 上 的 元 件 电 压 电 阻 上 电 压 极 性 与 指 定 的 网 孔 电 流 的 方 向 一 致 万 一 某 一 处 支 路 被 两 个 网 孔 共 用, 就 像 例 子 中 含 有 电 阻 R 2 的 支 路, 电 压 的 极 性 与 各 自 网 孔 中 指 定 的 网 孔 电 流 的 方 向 一 致 在 这 个 电 路 中, 我 们 进 行 网 孔 分 析 的 第 一 步 是 单 独 分 析 每 个 网 孔, 根 据 定 义 的 网 孔 电 流 方 向 在 回 路 上 应 用 KVL 定 律 考 虑 网 孔 1 为 了 分 析 更 方 便, 我 们 把 网 孔 1 从 图 11 所 示 的 电 路 中 分 离 出 来 这 么 做 的 时 候, 必 须 注 意 要 包 括 共 享 支 路 的 所 有 信 息 在 这 里, 我 们 给 出 了 网 孔 电 流 I 2 在 共 享 支 路 上 的 方 向 对 网 孔 1 应 用 KVL 定 律 图 11. 网 孔 1 的 部 分 电 路

从 左 上 角 开 始, 按 顺 时 针 方 所 有 元 件 的 电 压 代 数 和 为 : ( ) IR 1 1+ I1 I2 R2 Vs= 0 (4.35) 同 样 地, 分 析 图 12 所 示 网 孔 2 同 样 我 们 指 出 了 共 享 支 路 上 网 孔 电 流 I 1的 方 向 对 网 孔 2 应 用 KVL 定 律 图 12 网 孔 2 的 支 路 从 右 上 角 开 始, 按 顺 时 针 方 向 所 有 元 件 的 电 压 代 数 和 为 : ( ) ( ) I2 R3+ R4 + I2 I1 R2= 0 (4.36) 紧 记 问 题 中 的 未 知 量 是 网 孔 电 流 I 1和 I 2, 我 们 将 网 孔 方 程 (4.35) 和 (4.36) 改 写 为 : 等 式 (4.37) 和 (4.38) 改 写 为 矩 阵 形 式 : ( ) I1 R1+ R2 I2R2= Vs (4.37) ( ) IR 1 2+ I2 R2+ R3+ R4 = 0 (4.38) 可 由 方 程 式 (4.39) 解 出 网 孔 电 流 I 1和 I 2 从 图 13 可 得, 支 路 电 流 为 : (4.39)

图 13. 支 路 和 网 孔 电 流 i1= I1 i2= I1 I2 i3= I2 (4.40) 例 子 4.3 带 电 流 源 的 网 孔 分 析 考 虑 到 图 14 的 电 路 包 含 一 个 电 流 源 对 此 电 路 应 用 网 孔 分 析 并 不 困 难, 一 旦 我 们 认 识 到 了 包 含 电 流 源 的 网 孔 的 网 孔 电 流 等 于 电 流 源 的 电 流 : 例. I2 = Is 图 14 带 电 流 源 的 网 孔 分 析 我 们 使 用 了 电 流 Is 的 方 向 来 定 义 网 孔 电 流 的 方 向, 我 们 也 注 意 到 支 路 电 流 i3 = Is 在 网 孔 1 上 应 用 KVL 定 律, 可 以 得 到 :

I1R1 + ( I1 + Is) R2= Vs (4.41) 上 面 的 等 式 只 是 说 明 电 路 中 存 在 电 流 源 可 以 减 少 方 程 式 的 数 量 未 知 网 孔 电 流 为 : Vs IsR2 I1 = R1+ R2 (4.42)

练 习 题, 附 答 案 确 定 下 列 电 路 的 各 电 流 值 ( 参 考 方 向 如 图 所 示 ) 答 案 :i1=2.180a,i2=0.270a,i3=2.450a 答 案 :i1=1.877a,i2=-0.187a,i3=1.690a 答 案 : i1=0.455a,i2=-1.820a,i3=-1.36a 答 案 :i1=2.270a,i2=0.909a,i3=3.180a

答 案 :i1=1.180a,i2=-1.240a,i3=-0.058a,i4=-0.529a,i5=0.471a 答 案 : i1=3.690a,i2=-0.429a,v1=5.83v,v2=6.69v 答 案 :i1=3.31a,i2=1.68a,i3=1.63a,i4=0.627a,v2=8.39v,v3=6.51v

答 案 :i1=3.09a,i2=1.45a,i3=-0.50a,i4=2.14a,i5=1.64a

习 题 : 4.1. 电 路 如 图 P1 所 示 : 1. 用 节 点 法 分 析 提 出 的 问 题 指 定 参 考 节 点 会 使 问 题 的 解 决 变 得 简 单 2. 导 出 电 压 v1 和 电 流 i5 的 表 达 式 图 P1 4.2 图 P2 所 示 电 路, 用 节 点 分 析 法 导 出 电 压 v1, v2, v3 的 表 达 式 图 P2

4.3 用 网 孔 分 析 法 重 做 题 4.2 4.4 图 P4 所 示 电 路, 已 指 定 参 考 节 点, 求 各 电 流 值 i 图 P4 4.5 图 P5 所 示 电 路, 已 指 定 参 考 节 点, 求 各 电 流 值 i 图 P5 4.6 电 路 如 图 P6 所 示 : 1. 求 通 过 电 阻 R5 的 电 流 i5 i5 2. 推 导 = Is 0.01成 立 的 条 件 3. 假 设 Is 有 一 个 δ s 的 误 差, 电 路 电 阻 有 一 个 误 差 δ r, 计 算 电 流 i5 的 不 确 定 性 4. 如 果 用 电 阻 R5 表 示 一 个 测 量 装 置 的 内 部 阻 抗, 估 算 其 数 值 使 得 测 量 的 最 大 偏 差 为 理 想 情 况 时 的 1%

图 P6