函 数 极 限 : 数 列 的 极 限 ( 特 殊 ) 函 数 的 极 限 ( 一 般 ) 极 限 的 本 质 是 通 过 已 知 某 一 个 量 ( 自 变 量 ) 的 变 化 趋 势, 去 研 究 和 探 索 另 外 一 个 量 ( 因 变 量 ) 的 变 化 趋 势 由 极 限 可 以 推 得 的 一 些 性 质 : 局 部 有 界 性 局 部 保 号 性 应 当 注 意 到, 由 极 限 所 得 到 的 性 质 通 常 都 是 只 在 局 部 范 围 内 成 立 在 提 出 极 限 概 念 的 时 候 并 未 涉 及 到 函 数 在 该 点 的 具 体 情 况, 所 以 函 数 在 某 点 的 极 限 与 函 数 在 该 点 的 取 值 并 无 必 然 联 系 连 续 : 函 数 在 某 点 的 极 限 等 于 函 数 在 该 点 的 取 值 连 续 的 本 质 : 自 变 量 无 限 接 近, 因 变 量 无 限 接 近 导 数 的 概 念 本 质 是 函 数 增 量 与 自 变 量 增 量 的 比 值 在 自 变 量 增 量 趋 近 于 零 时 的 极 限, 更 简 单 的 说 法 是 变 化 率 微 分 的 概 念 : 函 数 增 量 的 线 性 主 要 部 分, 这 个 说 法 有 两 层 意 思, 一 微 分 是 一 个 线 性 近 似, 二 这 个 线 性 近 似 带 来 的 误 差 是 足 够 小 的, 实 际 上 任 何 函 数 的 增 量 我 们 都 可 以 线 性 关 系 去 近 似 它, 但 是 当 误 差 不 够 小 时, 近 似 的 程 度 就 不 够 好, 这 时 就 不 能 说 该 函 数 可 微 分 了 不 定 积 分 : 导 数 的 逆 运 算 什 么 样 的 函 数 有 不 定 积 分 定 积 分 : 由 具 体 例 子 引 出, 本 质 是 先 分 割 再 综 合, 其 中 分 割 的 作 用 是 把 不 规 则 的 整 体 划 作 规 则 的 许 多 个 小 的 部 分, 然 后 再 综 合, 最 后 求 极 限, 当 极 限 存 在 时, 近 似 成 为 精 确 什 么 样 的 函 数 有 定 积 分 求 不 定 积 分 ( 定 积 分 ) 的 若 干 典 型 方 法 : 换 元 分 部, 分 部 积 分 中 考 虑 放 到 积 分 号 后 面 的 部 分, 不 同 类 型 的 函 数 有 不 同 的 优 先 级 别, 按 反 对 幂 三 指 的 顺 序 来 记 忆 定 积 分 的 几 何 应 用 和 物 理 应 用 高 等 数 学 里 最 重 要 的 数 学 思 想 方 法 : 微 元 法 微 分 和 导 数 的 应 用 : 判 断 函 数 的 单 调 性 和 凹 凸 性 微 分 中 值 定 理, 可 从 几 何 意 义 去 加 深 理 解 泰 勒 定 理 : 本 质 是 用 多 项 式 来 逼 近 连 续 函 数 要 学 好 这 部 分 内 容, 需 要 考 虑 两 个 问 题 : 一 这 些 多 项 式 的 系 数 如 何 求? 二 即 使 求 出 了 这 些 多 项 式 的 系 数, 如 何 去 评 估 这 个 多 项 式 逼 近 连 续 函 数 的 精 确 程 度, 即 还 需 要 求 出 误 差 ( 余 项 ), 当 余 项 随 着 项 数 的 增 多 趋 向 于 零 时, 这 种 近 似 的 精 确 度 就 是 足 够 好 的
多 元 函 数 的 微 积 分 : 将 上 册 的 一 元 函 数 微 积 分 的 概 念 拓 展 到 多 元 函 数 最 典 型 的 是 二 元 函 数 极 限 : 二 元 函 数 与 一 元 函 数 要 注 意 的 区 别, 二 元 函 数 中 两 点 无 限 接 近 的 方 式 有 无 限 多 种 ( 一 元 函 数 只 能 沿 直 线 接 近 ), 所 以 二 元 函 数 存 在 的 要 求 更 高, 即 自 变 量 无 论 以 任 何 方 式 接 近 于 一 定 点, 函 数 值 都 要 有 确 定 的 变 化 趋 势 连 续 : 二 元 函 数 和 一 元 函 数 一 样, 同 样 是 考 虑 在 某 点 的 极 限 和 在 某 点 的 函 数 值 是 否 相 等 导 数 : 上 册 中 已 经 说 过, 导 数 反 映 的 是 函 数 在 某 点 处 的 变 化 率 ( 变 化 情 况 ), 在 二 元 函 数 中, 一 点 处 函 数 的 变 化 情 况 与 从 该 点 出 发 所 选 择 的 方 向 有 关, 有 可 能 沿 不 同 方 向 会 有 不 同 的 变 化 率, 这 样 引 出 方 向 导 数 的 概 念 沿 坐 标 轴 方 向 的 导 数 若 存 在, 称 之 为 偏 导 数 通 过 研 究 发 现, 方 向 导 数 与 偏 导 数 存 在 一 定 关 系, 可 用 偏 导 数 和 所 选 定 的 方 向 来 表 示, 即 二 元 函 数 的 两 个 偏 导 数 已 经 足 够 表 示 清 楚 该 函 数 在 一 点 沿 任 意 方 向 的 变 化 情 况 高 阶 偏 导 数 若 连 续, 则 求 导 次 序 可 交 换 微 分 : 微 分 是 函 数 增 量 的 线 性 主 要 部 分, 这 一 本 质 对 一 元 函 数 或 多 元 函 数 来 说 都 一 样 只 不 过 若 是 二 元 函 数, 所 选 取 的 线 性 近 似 部 分 应 该 是 两 个 方 向 自 变 量 增 量 的 线 性 组 合, 然 后 再 考 虑 误 差 是 否 是 自 变 量 增 量 的 高 阶 无 穷 小, 若 是, 则 微 分 存 在 仅 仅 有 偏 导 数 存 在, 不 能 推 出 用 线 性 关 系 近 似 表 示 函 数 增 量 后 带 来 的 误 差 足 够 小, 即 偏 导 数 存 在 不 一 定 有 微 分 存 在 若 偏 导 数 存 在, 且 连 续, 则 微 分 一 定 存 在 极 限 连 续 偏 导 数 和 可 微 的 关 系 在 多 元 函 数 情 形 里 比 一 元 函 数 更 为 复 杂 极 值 : 若 函 数 在 一 点 取 极 值, 且 在 该 点 导 数 ( 偏 导 数 ) 存 在, 则 此 导 数 ( 偏 导 数 ) 必 为 零 所 以, 函 数 在 某 点 的 极 值 情 况, 即 函 数 在 该 点 附 近 的 函 数 增 量 的 符 号, 由 二 阶 微 分 的 符 号 判 断 对 一 元 函 数 来 说, 二 阶 微 分 的 符 号 就 是 二 阶 导 数 的 符 号, 对 二 元 函 数 来 说, 二 阶 微 分 的 符 号 可 由 相 应 的 二 次 型 的 正 定 或 负 定 性 判 断 级 数 敛 散 性 的 判 别 思 路 : 首 先 看 通 项 是 否 趋 于 零, 若 不 趋 于 零 则 发 散 若 通 项 趋 于 零, 看 是 否 正 项 级 数 若 是 正 项 级 数, 首 先 看 能 否 利 用 比 较 判 别 法, 注 意 等 比 级 数 和 调 和 级 数 是 常 用
来 作 比 较 的 级 数, 若 通 项 是 连 乘 形 式, 考 虑 用 比 值 判 别 法, 若 通 项 是 乘 方 形 式, 考 虑 用 根 值 判 别 法 若 不 是 正 项 级 数, 取 绝 对 值, 考 虑 其 是 否 绝 对 收 敛, 绝 对 收 敛 则 必 收 敛 若 绝 对 值 不 收 敛, 考 察 一 般 项, 看 是 否 交 错 级 数, 用 莱 布 尼 兹 准 则 判 断 若 不 是 交 错 级 数, 只 能 通 过 最 根 本 的 方 法 判 断, 即 看 其 前 n 项 和 是 否 有 极 限, 具 体 问 题 具 体 分 析 比 较 判 别 法 是 充 分 必 要 条 件, 比 值 和 根 值 法 只 是 充 分 条 件, 不 是 必 要 条 件 函 数 项 级 数 情 况 复 杂, 一 般 只 研 究 幂 级 数 阿 贝 尔 定 理 揭 示 了 幂 级 数 的 重 要 性 质 : 收 敛 区 域 存 在 一 个 收 敛 半 径 所 以 对 幂 级 数, 关 键 在 于 求 出 收 敛 半 径, 而 这 可 利 用 根 值 判 别 法 解 决 逐 项 求 导 和 逐 项 积 分 不 改 变 幂 级 数 除 端 点 外 的 区 域 的 敛 散 性, 端 点 情 况 复 杂, 需 具 体 分 析 一 个 函 数 能 展 开 成 幂 级 数 的 条 件 是 : 存 在 任 意 阶 导 数 展 开 后 的 幂 级 数 能 收 敛 于 原 来 函 数 的 条 件 是 : 余 项 ( 误 差 ) 要 随 着 项 数 的 增 加 趋 于 零 这 与 泰 勒 展 开 中 的 结 论 一 致 微 分 方 程 : 不 同 种 类 的 方 程 有 不 同 的 常 见 解 法, 但 理 解 上 并 无 难 处 定 积 分 二 重 积 分 三 重 积 分 第 一 类 曲 线 积 分 第 一 类 曲 面 积 分 都 可 以 概 率 为 一 种 类 型 的 积 分, 从 物 理 意 义 上 来 理 解 是 某 个 空 间 区 域 ( 直 线 段 平 面 区 域 立 体 区 域 曲 线 段 曲 面 区 域 ) 的 质 量, 其 中 被 积 元 可 看 作 区 域 的 微 小 单 元, 被 积 函 数 则 是 该 微 小 单 元 的 密 度 这 些 积 分 最 终 都 是 转 化 成 定 积 分 来 计 算 第 二 类 曲 线 积 分 的 物 理 意 义 是 变 力 做 功 ( 或 速 度 环 量 ), 第 二 类 曲 面 积 分 的 物 理 意 义 是 流 量 在 研 究 上 述 七 类 积 分 的 过 程 中, 发 现 其 实 被 积 函 数 都 是 空 间 位 置 点 的 函 数, 于 是 把 这 种 以 空 间 位 置 作 为 自 变 量 的 函 数 称 为 场 函 数 场 函 数 有 标 量 场 和 向 量 场, 一 个 向 量 场 相 当 于 三 个 标 量 场 场 函 数 在 一 点 的 变 化 情 况 由 方 向 导 数 给 出, 而 方 向 导 数 最 大 的 方 向, 称 为 梯 度 方 向 梯 度 是 一 个 向 量, 任 何 方 向 的 方 向 导 数, 都 是 梯 度 在 这 个 方 向 上 的 投 影, 所 以 梯 度 的 模 是 方 向 导 数 的 最 大 值 梯 度 方 向 是 函 数 变 化 最 快 的 方 向, 等 位 面 方 向 是 函 数 无 变 化 的 方 向, 这 两 者 垂 直 梯 度 实 际 上 一 个 场 函 数 不 均 匀 性 的 量 度 梯 度 运 算 把 一 个 标 量 场 变 成 向 量 场 一 条 空 间 曲 线 在 某 点 的 切 向 量, 便 是 该 点 处 的 曲 线 微 元 向 量, 有 三 个 分 量, 它 建 立 了 第 一 类 曲 线 积 分 与 第 二 类 曲 线 积 分 的 联 系
一 张 空 间 曲 面 在 某 点 的 法 向 量, 便 是 该 点 处 的 曲 面 微 元 向 量, 有 三 个 分 量, 它 建 立 了 第 一 类 曲 面 积 分 和 第 二 类 曲 面 积 分 的 联 系 物 体 在 一 点 处 的 相 对 体 积 变 化 率 由 该 点 处 的 速 度 场 决 定, 其 值 为 速 度 场 的 散 度 散 度 运 算 把 向 量 场 变 成 标 量 场 散 度 为 零 的 场 称 为 无 源 场 高 斯 定 理 的 物 理 意 义 : 对 散 度 在 空 间 区 域 进 行 体 积 分, 结 果 应 该 是 这 个 空 间 区 域 的 体 积 变 化 率, 同 时 这 种 体 积 变 化 也 可 看 成 是 在 边 界 上 的 流 量 造 成 的, 故 两 者 应 该 相 等 即 高 斯 定 理 把 一 个 速 度 场 在 边 界 上 的 积 分 与 速 度 场 的 散 度 在 该 边 界 所 围 的 闭 区 域 上 的 体 积 分 联 系 起 来 无 源 场 的 体 积 变 化 为 零, 这 是 容 易 理 解 的, 相 当 于 既 无 损 失 又 无 补 充 物 体 在 一 点 处 的 旋 转 情 况 由 该 点 处 的 速 度 场 决 定, 其 值 为 速 度 场 的 旋 度 旋 度 运 算 把 向 量 场 变 成 向 量 场 旋 度 为 零 的 场 称 为 无 旋 场 斯 托 克 斯 定 理 的 物 理 意 义 : 对 旋 度 在 空 间 曲 面 进 行 第 二 类 曲 面 积 分, 结 果 应 该 表 示 的 是 这 个 曲 面 的 旋 转 快 慢 程 度, 同 时 这 种 旋 转 也 可 看 成 是 边 界 上 的 速 度 环 量 造 成 的, 故 两 者 应 该 相 等 即 斯 托 克 斯 定 理 把 一 个 速 度 场 在 边 界 上 形 成 的 环 量 与 该 边 界 所 围 的 曲 面 的 第 二 类 曲 面 积 分 联 系 起 来 该 解 释 是 从 速 度 环 量 的 角 度 出 发 得 到 的, 比 高 斯 定 理 要 难, 不 强 求 掌 握 无 旋 场 的 速 度 环 量 为 零, 这 相 当 于 一 个 区 域 没 有 旋 转 效 应, 这 是 容 易 理 解 的 格 林 定 理 是 斯 托 克 斯 定 理 的 平 面 情 形 进 一 步 考 察 无 旋 场 的 性 质 旋 度 为 零, 相 当 于 对 旋 度 作 的 第 二 类 曲 面 积 分 为 零 即 等 号 后 边 的 第 二 类 曲 线 积 分 为 零, 相 当 于 该 力 场 围 绕 一 闭 合 空 间 曲 线 作 做 的 功 为 零 即 从 该 闭 合 曲 线 上 任 选 一 点 出 发, 积 分 与 路 径 无 关 相 当 于 所 得 到 的 曲 线 积 分 结 果 只 于 终 点 的 选 择 有 关, 与 路 径 无 关, 可 看 成 终 点 的 函 数, 这 是 一 个 场 函 数 ( 空 间 位 置 的 函 数 ), 称 为 势 函 数 所 得 的 势 函 数 的 梯 度 正 好 就 是 原 来 的 力 场 因 为 力 场 函 数 是 连 续 的, 所 以 势 函 数 有 全 微 分 简 单 的 概 括 起 来 就 是 : 无 旋 场 积 分 与 路 径 无 关 梯 度 场 有 势 场 全 微 分 要 注 意 以 上 这 些 说 法 之 间 的 等 价 性 三 定 理 (Gauss Stokes Green) 的 向 量 形 式 和 分 量 形 式 都 要 熟 悉
本 人 提 供 超 强 考 研 英 语 万 能 大 作 文 模 板, 极 适 合 英 语 基 础 差 或 对 考 研 英 语 作 文 头 疼 的 同 学, 本 人 今 年 考 上 的 研 究 生, 英 语 基 础 非 常 差, 要 是 自 己 写 可 以 说 一 个 完 整 没 错 的 句 子 都 写 不 出, 但 使 用 此 套 模 板 考 研 作 文 答 的 非 常 好 ( 可 使 您 轻 松 16+( 满 分 20)), 而 且 节 约 了 大 量 时 间 做 其 他 的 题 目 ( 考 试 时 时 间 是 非 常 紧 的!), 此 套 模 板 绝 对 是 经 实 践 检 验 的! 大 家 知 道 考 研 单 科 受 限 绝 大 多 数 都 是 出 在 英 语 上, 英 语 难 是 出 了 名 的, 尤 其 对 英 语 基 础 稍 差 的 更 是 头 疼, 害 怕 总 分 考 得 很 高 却 挂 在 英 语 上 实 在 可 惜, 平 时 花 费 大 量 时 间 在 英 语 上 效 果 却 不 理 想 本 套 模 板 的 特 点 是 量 少, 只 有 四 篇, 涵 盖 全 部 四 个 类 型, 同 学 们 也 清 楚 如 果 给 你 几 十 上 百 的 模 板 或 压 题 我 感 觉 就 跟 没 给 一 样, 因 为 你 根 本 就 不 可 能 把 那 么 多 文 章 都 弄 熟 了, 时 间 上 也 不 允 许, 尤 其 对 英 语 基 础 稍 差 的, 记 英 语 的 东 西 本 来 就 很 困 难, 而 本 套 模 板 量 很 少 就 能 方 便 同 学 很 快 掌 握, 熟 练 运 用 而 且 本 套 模 板 功 能 十 分 强 大! 任 何 考 研 题 目 都 能 完 美 套 用, 保 证 了 您 打 高 分, 最 后 一 个 特 点 是 模 板 内 所 需 根 据 题 目 填 写 的 词 极 少, 可 以 说 95% 的 都 已 给 出, 大 家
知 道 市 面 上 我 们 见 到 的 所 谓 模 板 往 往 就 一 个 骨 架, 净 是 些 连 接 性 语 句, 大 多 数 语 句 都 还 要 自 己 写, 这 对 英 语 基 础 稍 差 的 无 疑 是 困 难 的, 而 本 模 板 就 不 同 了, 只 要 你 考 前 将 模 板 背 熟 写 熟, 上 考 场 就 可 快 速 写 出 了! 我 也 是 今 年 考 上 的 研 究 生, 本 套 模 板 是 经 本 人 和 同 学 实 践 检 验 的, 大 作 文 都 可 打 到 16+. 本 套 价 格 100/ 份 考 研 英 语 作 文 模 板, 超 强! 本 人 已 考 上 研 究 生, 现 有 考 研 英 语 超 强 作 文 万 能 模 板, 本 套 模 板 含 四 篇, 含 盖 了 四 大 类 不 同 形 式, 本 套 模 板 句 型 复 杂 多 变, 需 填 文 字 极 少! 而 且 不 论 考 什 么 题 目 都 能 用! 保 证 大 作 文 16 +( 满 分 20) 不 但 能 使 您 做 文 拿 个 高 分, 而 且 节 约 了 大 量 时 间 做 别 的 题 目! 此 万 能 模 板 决 对 不 同 于 辅 导 班 的 作 文, 本 人 也 上 过 辅 导 班, 而 且 当 时 同 学 也 上 了 很 多, 基 本 大 的 辅 导 班 都 上 了, 相 信 你 们 已 经 上 过 英 语 辅 导 班 的 也 都 清 楚 了, 那 些 老 师 就 是 能 吹, 时 不 时 的 说 我 跟 命 题 的 有 什 么 什 么 关 系, 再 就 是 讲 些 笑 话 说 点 轶 闻 什 么 的, 根 本 就 没 什 么 收 获, 花 几 百 块 钱 还 不 说, 还 浪 费 了 我 们 大 量 宝 贵 时 光!!! 那 些 辅 导 班 冲 刺 班 提 供 的 作 文 资 料 不 是 一 大 本 很 厚 的 书 就 是 只 有 一 些 连 接 词 的 所 谓 的 作 文 模 板, 你 们 也 可 问 一 下 学 长 什 么 的 就 知 道 辅 导 班 的 真 实 情 况 了! 有 需 要 的 加 qq727+
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去 后 比 较 牵 强 别 扭 等 等, 这 都 是 网 上 模 板 的 不 足 而 本 模 板 就 很 好 的 解 决 了 这 些 问 题, 所 需 自 己 写 的 极 少, 通 用 性 极 强, 且 经 本 人 考 试 实 践, 相 当 实 用! 另 外 关 键 的 问 题 是 网 上 的 模 板 就 那 几 个, 在 各 大 考 研 论 坛 资 料 网 站 到 处 都 是, 被 全 国 人 民 所 下 载 使 用, 而 且 那 些 模 板 从 几 年 前 就 有, 不 知 被 全 国 人 民 用 了 多 少 年 了, 使 用 那 些 模 板 考 试 效 果 可 想 而 知, 老 师 浏 览 一 下 就 心 中 有 数, 根 本 不 用 详 读, 分 数 就 出 来 了, 难 以 达 到 使 用 模 板 的 高 分 的 目 的