打開的世界 摘 要 在創意運動會的題目中, 我們遇到了下面的題目 : 請在以下方格紙中, 畫出所有可以摺黏成邊長為 1 個單位長的 無蓋正立方體紙盒 的展開圖 ( 即由 5 個相同大小的正方形組成, 翻轉或旋轉後重合算同一種, 共有 8 種不同的展開圖, 不同紙片請以不同顏色或樣式表現 ) 學長在科工館舉辦的科學園遊會活動中, 以不同大小的長方體盒, 進行了 長方體盒遊戲 設計, 學長的研究是如何找出 長方體盒遊戲 的行進方向, 能直接排出出所有的 長方體盒遊戲 的可能行進方向嗎? 跟上面題目是類似的, 因此, 我們幾個同學決定利用我們的獨立研究課程時好好的研究一番 我們先研究可能的 展開圖 模式
壹 研究動機在創意運動會的題目中, 我遇到了下面的題目 : 請在以下方格紙中, 畫出所有可以摺黏成邊長為 1 個單位長的 無蓋正立方體紙盒 的展開圖 ( 即由 5 個相同大小的正方形組成, 翻轉或旋轉後重合算同一種, 共有 8 種不同的展開圖, 不同紙片請以不同顏色或樣式表現 ) 如果我知道了 ( 無蓋 ) 正方體盒的展開圖, 就能夠輕易地解決這類問題, 同時也能解決延伸的問題 - 在有限及特定的方格內找出正方體盒的展開圖的題目 於是我們在學校裡面試做很多類型, 做了很久我們發現其中的許多原理 貳 研究目的一 找出 1 1 1( 無蓋 ) 正方體盒展開圖的類型, 及其鏈狀展開的循環性 二 找出 1 1 2( 無蓋 ) 長方體盒展開圖的類型, 及其鏈狀展開的循環性 三 找出 1 1 n( 無蓋 ) 長方體盒展開圖的類型, 及其鏈狀展開的循環性 四 找出展開圖的相同處 參 研究方法一 研究工具及名詞定義 ( 一 ) 研究工具鉛筆 彩色筆 白紙 尺 方格紙 ( 二 ) 名詞定義 1. 1 1 1 的 ( 無蓋 ) 正方體盒將每邊邊長為 1 的正立方體, 去掉一面 1 1 的正方形面, 此形體稱為 1 1 1 的 ( 無蓋 ) 正方體盒, 如下圖 2. 1 1 n 的 ( 無蓋 ) 長方體盒 將每邊邊長分別為 1 1 n 的長方體, 去掉一面 1 n 的長方形面, 此形體稱 為 1 1 n 的 ( 無蓋 ) 長方體盒
例如 : 將每邊邊長分別為 1 1 2 的長方體, 去掉一面 1 2 的長方形面, 此 形體稱為 1 1 2 的 ( 無蓋 ) 長方體盒, 如下圖 3. 長方體盒遊戲學長姐設計之 長方體盒遊戲 是利用 1 1 n 的 ( 無蓋 ) 長方體盒來進行的, 一開始在原點停泊好, 去掉一面 1 n 的長方形面後留下來的缺口朝上, 形成像船舶停靠在港口的樣子, 接著再依據鄰近的方格格數進行翻滾長方體盒船身前進, 並且需與方格紙上的格數對應翻滾前進, 不能走到陷阱, 也不可以讓長方體盒翻船, 即不可讓 去掉一面 1 n 長方形面 的面朝下, 翻滾走向終點 例如 : 下圖中,1 1 2( 無蓋 ) 長方體盒一開始在原點 ( 港口碼頭 ) 停泊好, 去掉一面 1 2 的長方形面 ( 圖中白色的面代表 去掉的面 ) 後留下來的缺口朝上, 形成像船舶停靠在港口的樣子, 接著再依據鄰近的方格格數進行翻滾長方體盒船身前進, 圖中鄰近的方格格數為 2, 故側身有 2 格方格格數可翻滾對應前進, 便向右翻滾前進 不能走到陷阱, 也不可以讓長方體盒翻船, 即不可讓 去掉一面 1 2 長方形面 的面朝下, 走向終點 終點 ( 港口碼頭 ) 原點 ( 港口碼頭 )
終點 ( 港口碼頭 ) 原點 ( 港口碼頭 ) 4. 鏈狀展開 在立方體的各種展開圖中, 若能一個正方格接著一個正方格, 如鏈子一般一 個接著一個, 我們稱為 鏈狀展開, 如下圖 二 研究過程 ( 一 ) 邊長為 1 1 1 的 ( 無蓋 ) 正方體盒邊長為 1 的正立方體取走 1 面剩 5 面, 此時 ( 無蓋 ) 正方體盒的展開圖為以下幾種 : 1. 開口朝上下左右的 ( 無蓋 ) 正方體盒其展開圖為第一類型 第一類型 1 2 3 4 其中第一與第四展開圖為 鏈狀展開 2. 第二類型 (1) 將開口向左或向右的 ( 無蓋 ) 正方體盒展開會出現第二類型 ( 三橫格 ) 的展開圖
第二類型 ( 三橫格 ) 1 2 3 中 4 5 6 7 8 9 其中第三與第七展開圖為 鏈狀展開 (2) 將開口向上向下的 ( 無蓋 ) 正方體盒展開會出現第二類型 ( 三直格 ) 的展開圖 第二類型 ( 三直格 ) 1 2 3 4 5 6
7 8 9 其中第三與第七展開圖為 鏈狀展開 小結 : 第二類型 ( 三橫格 ) 的展開圖可由向左向右的展開圖獲得, 而第二類型 ( 三直 格 ) 的展開圖可由向上向下展開圖獲得 3. 第三類型 (1) 將開口向下 向左或朝正的 ( 無蓋 ) 正方體盒展開會出現第三類型的展開圖 右下正 (2) 將開口向下 向左或朝正的 ( 無蓋 ) 正方體盒展開會出現第三類型的展開圖 左上正 (3) 將開口向下 向左或朝正的 ( 無蓋 ) 正方體盒展開會出現第三類型的展開圖 右上正
(4) 將開口向下 向左或朝正的 ( 無蓋 ) 正方體盒展開會出現第三類型的展開圖 左 下正 由此得知第三類型展開圖皆為 鏈狀展開 ( 二 ) 邊長為 1 1 2 的 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖我們試圖找出 1 1 2 的 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖, 首先找出先展開其中兩面 1 1 方格的兩塊, 如下圖的前後兩塊 接著再展開 1 2 的長方形, 找出基本型的 ( 無蓋 ) 長方體展開圖如下 1. 基本型的 ( 無蓋 ) 長方體展開圖
由以上基本型展開圖, 為了找出可能 鏈狀展開 的情形, 我們逐步由基本型展開圖, 進行變形的 ( 無蓋 ) 長方體展開圖探討 2. 變形的 ( 無蓋 ) 長方體展開圖其中我們將 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖進行一些編號, 以利接下來找出變形的 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖, 如下列 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖編為 1-2 基本型 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖, 左半邊編為 1 3 5 a1 a3 a5, 右半邊編為 2 4 6 a2 a4 a6, 以此類推, 且 a3 和 a4 為 ( 無蓋 ) 長方體盒的底面 1 a 1 a 2 2 (1)1-2 變形的 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖我們先討論 1 在 a1 旁邊,2 在 a2 旁邊時的展開圖, 同時 1,a1,a2,2 相連不分離 (I) 左右兩邊不影響首先先考慮左右兩邊不影響, 先考慮右半邊 如下右圖, 因為在立體圖形中, 2 與 a6 是相連的, 故可將 a6 移至 2 旁邊 依此類推, 將 a4 和 a6 移動可以得到下列的展開圖
找出 由上可知, 我們先找出右半邊的圖形可變形情形, 接著左半邊也可依此方法 其中最後一種因為中間方格並未相連, 左半邊如果是變形缺格, 右半邊則應 為基本型, 反之亦然 由此可知 1-2 變形的 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖種類應為 5 5-1( 兩邊皆為基本型 )+1( 左半邊基本型, 右半邊變形缺格 )+1( 右半邊基本型, 左半 邊變形缺格 )=26( 種 ), 如附錄一 觀察上述展開圖, 其中如果要找出 1-2 變形的 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖中為 鏈 狀展開 的有以下四種組合
(II) 左 右半邊互相影響接著我們考慮左 右半邊互相影響如下, 首先從附錄一裡找出其他的變化, 先將 a5 移至右側, 再移 a3 其中 (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) 無法再移動, 因當右半側 a2 a4 a6 在同一直行時,a5 及 a3 便無法移至右側 只需考慮 a2 a4 a6 不在同一直行時, 可移動的展開圖 (0,1) (1,1) 依此類推可得 (0,2) 和 (1,2) 的變形 (0,3) 和 (1,3) 的變形
(0,4) 和 (1,4) 的變形 (2,1) (4,1) 依此類推可得 (2,2) 和 (4,2) 變形 (2,3) 和 (4,3) 變形 (2,4) 和 (4,4) 變形
接著再將 a3 移至右側, 找出所有可能情形 (2,2),(4,2) 變形 a 4 (0,2),(1,2) 變形 a 3 a 4 a 3 以上四種情形的變形, 皆有可能變成右邊兩種情形 (2,1),(4,1) 變形 (0,1),(1,1) 變形 a 4 a 3 (2,4),(4,4) 變形 U6 (0,4),(1,4) 變形 a 4 a 3
(2,3),(4,3) 變形 (1,3),(3,3) 變形 a 4 a 3 (2)3-4 變形的長方體展開圖 接著以相同方式討論 3-4 變形的情形, 首先先只移動右半邊, 可得下列結果 a 1 a 2 3 4 a 1 a 2 3 4 a 1 a 2 3 4 a 1 a 2 3 4 接著左半邊也可移動成下列狀況 a 1 a 2 3 4 a 1 a 2 3 4 a 1 a 2 3 4 接著考慮左右半邊一起移動時可移動的方式, 共有 4( 左半邊所有變形種類 ) 4( 右半邊所有變形種類 )=16( 種 ), 詳見附錄三
再來討論先將 a3 移至右邊的情形 此情形雖 1-2 變形亦可延伸成為此展開圖, 但此應為 3-4 變形的情況討論 a 1 a 2 3 4 a 1 a 2 3 4 1-4 變形 a 1 a 2 1 4 4 4 a 4 4 a 3 4 4
4 4 4 4 1 a 4 a 1 a 2 a 3 4 4 a 1 1 4 a 2 1-6 變形 6 6
1 a 1 a 2 6 6 1 a 1 a 3 6 a 2 6 6 6
肆 討論與結論一 1 1 1 正方體盒的 鏈狀展開 的展開圖將每邊邊長為 1 的正立方體, 去掉一面 1 1 的正方形面, 此形體稱為 1 1 1( 無蓋 ) 正方體盒, 可以歸納出三種類型的展開圖, 解決下列問題 問題一 : 如圖是一張長 5 個單位長 寬 3 個單位長的紙張, 請將它完全分割成大小相同但形狀不同的三張紙片後, 且每張紙片皆可摺黏出邊長為 1 個單位長的 無蓋正立方體紙盒 ( 不同紙片請以不同顏色或樣式表現 )( 此問題取自高雄市 107 年度國民中小學創意運動會腦力競賽數學領域初賽問題二 五面玲瓏之任務二 ) 由此可知, 了解 ( 無蓋 ) 正方體盒的展開圖可以協助我們解決以上問題所遭遇困難 然而其中三種正方體圖, 第一類型有 2 個 鏈狀展開 的展開圖, 第二類型有 4 個 鏈狀展開 的展開圖, 第三類型全部皆為 鏈狀展開, 有 4 個 鏈狀展開 的展開圖 此類型有三大類, 而第三類型有種特別的直鏈型展開圖, 想找出較快方法可以行進, 應該可以從此類型著手 二 1 1 n 長方體盒的 鏈狀展開 的展開圖將每邊邊長分別為 1 1 n 的長方體, 去掉一面 1 n 的長方形面, 此形體稱為 1 1 n 的長方體盒 例如 : 將每邊邊長分別為 1 1 2 的長方體, 去掉一面 1 2 的長方形面, 此形體稱為 1 1 2 的長方體盒, 如下圖
目前 1-2 變形的 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖種類應為 5 5-1( 兩邊皆為基本型 )+1( 左半邊基本型, 右半邊變形缺格 )+1( 右半邊基本型, 左半邊變形缺格 )=26( 種 ), 如附錄一 觀察上述展開圖, 其中如果要找出 1-2 變形的 ( 無蓋 ) 長方體盒展開圖中為 鏈狀展開 的有以下四種組合 在考慮到左右半邊互相影響下, 會出現鏈狀展開如下列情形 但此類型的種類較多, 希望能找出特別的直鏈型展開圖, 已歸納其種類, 為了解決更多創意運動會相關數學問題的解法, 因時間有限下, 或許等歸納所有種類後, 便可以找出較快方法解決相關問題 伍 參考資料一 國民中學數學學習領域 : 二下第四冊, 康軒出版社編著 民 106 年 2 月三版 二 國民中學數學學習領域 : 三下第六冊, 康軒出版社編著 民 106 年 2 月三版 三 乘風破浪高雄港 2017 高雄市第 36 屆國民中小學科學園遊會網站
http://sf.wfjh.kh.edu.tw/module/power/work_list.php?dyear=2017