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图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 赢 在 思 维. 高 中 数 学 拉 分 题 解 题 思 想 与 方 法. 讲 解 篇 / 杨 德 胜 主 编 ; 张 千 明 编 著. 上 海 : 华 东 理 工 大 学 出 版 社,2015.10 ISBN978 7 5628 4380 1 Ⅰ.1 赢 Ⅱ.1 杨 2 张 Ⅲ.1 中 学 数 学 课 高 中 题 解 Ⅳ. 1G634 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2015) 第 216146 号 赢 在 思 维 高 中 数 学 拉 分 题 解 题 思 想 与 方 法 (150 例 +500 题 )( 讲 解 篇 ) 主 编 / 杨 德 胜 编 著 / 张 千 明 策 划 编 辑 / 郭 艳 责 任 编 辑 / 陈 月 姣 责 任 校 对 / 金 慧 娟 封 面 设 计 / 视 界 创 意 出 版 发 行 / 华 东 理 工 大 学 出 版 社 有 限 公 司 地 址 : 上 海 市 梅 陇 路 130 号,200237 电 话 :(021)64250306( 营 销 部 ) (021)64252735( 编 辑 室 ) 印 传 真 :(021)64252707 网 址 :press.ecust.edu.cn 刷 / 江 苏 省 句 容 市 排 印 厂 开 本 /787mm 1092mm 1/16 印 张 /15.75 字 数 /382 千 字 版 次 /2015 年 10 月 第 1 版 印 次 /2015 年 10 月 第 1 次 书 号 /ISBN978 7 5628 4380 1 定 价 /45.00 元 联 系 我 们 : 电 子 邮 箱 press@ecust.edu.cn 官 方 微 博 e.weibo.com/ecustpress 天 猫 旗 舰 店 htp://hdlgxebs.tmal.com

在 高 中 数 学 中, 有 许 多 最 基 本 的 知 识 单 元, 它 是 我 们 进 一 步 学 习 和 研 究 的 基 础, 姑 且 我 们 称 之 为 元 知 识. 由 这 些 元 知 识 构 建 了 高 中 数 学 的 知 识 框 架, 从 这 些 元 知 识 的 形 成 过 程 中, 体 现 了 数 学 的 思 想 方 法 和 数 学 的 能 力 要 求, 如 绝 对 值 问 题, 在 初 中 我 们 学 习 : a = a, a 0, 这 体 现 -a, a<0, 了 数 学 中 的 分 类 讨 论 的 思 想, 这 是 绝 对 值 元 知 识 的 代 数 思 维. 同 时, 从 一 维 角 度 看,a 又 表 示 数 轴 上 到 原 点 的 距 离 ; 从 二 维 角 度 看, 它 表 示 由 第 一 第 二 象 限 的 角 平 分 线 构 成 的 图 形, 这 又 体 现 了 数 学 中 数 形 结 合 的 思 想, 这 两 种 思 想 贯 穿 在 整 个 高 中 数 学 学 习 之 中, 是 学 习 高 中 数 学 必 须 具 备 的 能 力. 又 如 高 中 数 学 去 掉 章 节 知 识 神 秘 的 外 衣 后, 都 转 化 为 等 式 和 不 等 式 两 类 问 题, 而 这 两 类 问 题 主 要 研 究 的 : 一 是 解 方 程 ( 或 不 等 式 ) 问 题 ; 二 是 方 程 ( 或 不 等 式 ) 有 解 问 题 ; 三 是 方 程 ( 或 不 等 式 ) 恒 成 立 问 题. 题 海 固 然 对 应 试 有 一 定 的 帮 助, 但 要 真 正 学 好 高 中 数 学, 在 高 考 中 取 得 高 分, 随 着 高 考 命 题 的 改 革, 而 题 海 是 不 可 能 实 现 的. 如 何 以 不 变 应 万 变? 双 基 的 学 习 是 最 根 本 的 途 径. 高 中 数 学 的 学 习, 除 了 良 好 的 学 习 习 惯, 如 掌 握 文 字 语 言 图 像 语 言 与 数 学 语 言 的 相 互 转 化, 学 会 自 学 整 理 和 概 括 质 疑, 主 动 参 与 合 作, 自 主 反 思 及 时 订 正 等, 还 要 具 有 学 习 数 学 的 基 本 素 养, 如 化 简 解 方 程 字 母 代 值 消 元 思 想 函 数 与 方 程 思 想 等, 前 面 两 点 是 学 好 高 中 数 学 的 基 础, 也 是 进 一 步 学 好 数 学 的 必 要 保 证. 高 考 数 学 命 题 特 别 强 调 对 数 学 知 识 的 通 性 通 法 的 考 查, 不 恶 意 地 命 制 一 些 偏 题 怪 题, 甚 至 命 制 一 些 技 巧 性 很 强 的 试 题 或 者 将 高 等 数 学 知 识 直 接 进 行 拿 来 主 义. 高 考 试 题 的 命 制 原 则 是 : 知 识 和 方 法 来 源 于 教 材, 又 高 于 教 材, 注 重 数 学 知 识 的 通 性 通 法 的 考 查. 但 我 们 学 生 对 高 中 数 学 知 识 的 通 性 通 法 到 底 是 什 么? 了 解 甚 少, 只 能 跟 着 感 觉 走. 本 书 就 是 想 通 过 探 讨 如 何 从 数 学 的 基 本 元 知 识 的 学 习, 来 探 究 数 学 知 识 的 通 性 通 法, 构 建 数 学 学 习 所 具 备 的 必 要 知 识 思 维 方 法 易 错 点 分 析 等 策 略, 跳 出 题 海 所 带 来 的 思 维 禁 锢, 使 高 中 数 学 学 习 成 为 培 养 学 生 的 基 本 数 学 素 养, 为 今 后 有 兴 趣 继 续 学 习 数 学, 提 供 必 要 的 学 习 手 段 方 法.

目 录 1 高 中 数 学 学 习 应 具 备 的 几 个 基 本 素 养 1 2 集 合 知 识 与 学 习 方 法 5 3 充 分 必 要 条 件 的 一 般 方 法 10 4 基 本 不 等 式 的 用 法 15 5 求 不 等 式 恒 成 立 ( 或 都 有 均 有 ) 的 基 本 方 法 20 6 等 式 或 不 等 式 问 题 的 一 般 处 理 方 法 25 7 绝 对 值 问 题 的 一 般 思 维 31 8 求 范 围 ( 值 域 最 值 ) 的 基 本 方 法 38 9 求 函 数 解 析 式 的 一 般 方 法 44 10 奇 函 数 偶 函 数 问 题 一 般 思 维 49 11 研 究 函 数 周 期 性 对 称 性 的 方 法 54 12 反 函 数 知 识 的 一 般 思 维 方 法 58 13 不 求 ( 或 去 掉 ) 对 应 法 则 f 的 方 法 63 14 画 函 数 图 像 的 基 本 方 法 67 15 考 查 图 像 问 题 的 一 般 解 法 72 16 等 式 恒 成 立 方 法 77 17 求 三 角 函 数 最 小 正 周 期 的 基 本 方 法 81 18 求 三 角 函 数 最 值 ( 值 域 范 围 ) 的 基 本 方 法 85 19 解 三 角 形 的 一 般 解 法 90 20 向 量 问 题 的 一 般 思 考 方 法 93 21 复 数 的 一 般 思 维 方 法 98 22 等 差 数 列 的 一 般 思 维 103 23 等 比 数 列 的 一 般 思 维 108 24 通 项 a n 与 前 n 项 和 S n 的 关 系 112 25 求 数 列 最 大 ( 小 ) 项 的 一 般 方 法 及 数 列 项 的 大 小 比 较 116 26 数 列 通 项 的 一 般 求 法 121 27 数 列 求 和 的 一 般 方 法 126 28 等 差 数 列 等 比 数 列 类 比 的 一 般 方 法 130 29 数 列 应 用 题 的 一 般 解 法 133 30 与 极 限 有 关 的 知 识 和 方 法 139 31 求 f(2020) 或 a 2020 的 方 法 144 32 求 两 点 之 间 距 离 和 点 到 直 线 距 离 最 值 的 方 法 147 ⅰ

33 求 三 角 形 面 积 的 方 法 151 34 过 定 点 的 方 法 156 35 求 动 点 轨 迹 的 一 般 方 法 160 36 解 析 几 何 解 题 一 般 途 径 和 方 法 164 37 解 析 几 何 一 般 考 查 知 识 170 38 求 角 的 一 般 方 法 176 39 空 间 立 体 思 维 180 40 求 线 段 长 度 的 方 法 183 41 求 异 面 直 线 所 成 角 的 方 法 187 42 求 点 到 线 平 面 的 距 离 的 方 法 191 43 求 二 面 角 的 方 法 195 44 位 置 关 系 的 判 断 方 法 199 45 平 面 与 空 间 的 类 比 203 46 圆 柱 与 圆 锥 207 47 球 与 球 面 距 离 210 48 解 排 列 组 合 概 率 的 一 般 方 法 214 49 二 项 式 定 理 解 题 一 般 方 法 217 参 考 答 案 221 ⅱ

1 高 中 数 学 学 习 应 具 备 的 几 个 基 本 素 养 2 编 者 引 言 高 中 数 学 知 识 主 要 研 究 : 数 与 运 算 方 程 与 代 数 函 数 与 分 析 图 形 与 几 何 数 据 整 理 与 概 率 统 计 等 基 础 知 识. 学 习 中 注 重 培 养 五 种 能 力 ( 逻 辑 思 维 能 力 运 算 能 力 空 间 想 象 能 力 分 析 问 题 和 解 决 问 题 能 力 实 践 和 创 新 能 力 ) 的 养 成, 并 且 以 逻 辑 思 维 能 力 为 核 心. 在 高 考 试 卷 中 也 非 常 注 重 数 学 的 通 性 通 法 的 考 查, 淡 化 特 殊 技 巧, 较 好 地 体 现 了 以 知 识 为 载 体, 以 方 法 为 依 托, 以 能 力 为 考 查 目 的 的 命 题 指 向. 全 卷 没 有 直 接 考 查 纯 记 忆 的 陈 述 性 知 识, 而 是 注 重 考 查 在 陈 述 性 知 识 的 基 础 上 的 程 序 性 知 识, 比 如 数 学 知 识 间 的 相 互 联 系 数 学 思 维 方 法 等. 高 考 试 卷 既 涉 及 观 察 法 消 元 法 比 较 法 排 除 法 反 证 法 归 纳 法 割 补 法 等 具 体 方 法, 也 涉 及 主 要 数 学 思 想, 如 函 数 和 方 程 思 想 分 类 与 整 合 思 想 数 形 结 合 思 想 转 化 和 化 归 思 想 有 限 与 无 限 思 想 或 然 与 必 然 思 想 特 殊 与 一 般 思 想 等. 根 据 高 中 数 学 学 习 与 考 查 的 知 识 要 求 和 能 力 要 求, 对 于 高 中 数 学 学 习 的 学 生 必 须 具 备 高 中 数 学 学 习 的 几 个 基 本 的 素 养 : 题 1 (1) 解 方 程 ( 不 等 式 ) 的 方 法 移 项, 右 边 为 0, 左 边 因 式 分 解. (2) 化 简 的 一 般 方 法 1 整 式 尽 可 能 减 少 变 量, 再 化 简 ; 2 分 式 分 子 分 母 因 式 分 解, 约 分 ; 3 根 式 被 开 方 式 化 为 完 全 平 方 式 ; 4 等 式 ( 不 等 式 ) (ⅰ) 移 项, 右 边 为 0;(ⅱ) 左 边 因 式 分 解 或 配 方 或 降 次 排 列. (3) 消 元 的 一 般 方 法 1 加 减 消 元 法 ;2 代 入 消 元 法 ;3 平 方 消 元 法 ;4 乘 ( 商 ) 消 元 法 ;5 不 等 式 消 元 法. (4) 字 母 代 值 ( 控 制 变 量 ) (5) 文 字 语 言 与 数 学 语 言 的 转 化 (6) 函 数 与 方 程 思 想 研 究 方 程 不 等 式 时, 不 要 忘 掉 利 用 函 数 思 想. 经 典 拉 分 题 已 知 无 穷 数 列 a n } 具 有 如 下 性 质 :1a 1 为 正 整 数 ;2 对 于 任 意 的 正 整 数 n, 当 a n 为 偶 数 时,a n+1= an 2 ; 当 a n 为 奇 数 时,a n+1= an+1 2. 在 数 列 a n } 中, 若 当 n k 时,a n= 1, 当 1 n<k 时,a n>1(k 2,k N + ), 则 首 项 a 1 可 取 数 值 的 个 数 为 ( 用 k 表 示 ). 3 4 5 6 7 8 9 : 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2: 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4: 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5: 1

分 析 这 个 数 列 题 咋 一 读, 有 点 丈 二 和 尚 摸 不 着 脑 袋. 数 列 问 题, 我 们 可 以 通 过 字 母 n 代 值, 来 研 究 其 数 量 关 系. 由 题 意 知, 当 a n 为 偶 数 时,a n=2a n+1 ; 当 a n 为 奇 数 时,a n=2a n+1-1. 若 k=2, 则 当 n k 时,a n=1, a 1=2a 2=2 或 a 1=2a 2-1=1( 舍 ), 首 项 a 1 取 1 个 值 ; 若 k=3, 则 当 n k 时,a n=1, a 2=2a 3=2 或 a 2=2a 3-1=1( 舍 ), a 1=2a 2=4 或 a 1=2a 2-1=3, 首 项 a 1 取 2 个 值 ; 若 k=4, 则 当 n k 时,a n=1, a 3=2a 4=2 或 a 3=2a 4-1=1( 舍 ), a 2=2a 3=4 或 a 2=2a 3-1=3, a 1=2a 2=8 或 6;a 1=2a 2-1=7 或 5, 首 项 a 1 取 2 个 值 ; 以 此 类 推, 首 项 a 1 可 取 数 值 的 个 数 为 2 k-2. 满 分 解 答 2 k-2. 思 维 点 评 教 材 的 编 排 体 系 是 : 第 一 节, 是 通 过 数 列 的 前 几 项, 写 出 数 列 的 一 个 通 项 公 式, 这 一 节 要 求 学 生 具 备 对 数 的 敏 感 力 和 归 纳 猜 想 能 力, 而 数 列 最 后 一 节, 是 归 纳 猜 想 论 证. 本 节 的 中 间 章 节 是 等 差 数 列 与 等 比 数 列, 它 们 是 两 种 特 殊 的 数 列, 是 学 习 数 列 的 一 个 载 体. 纵 观 整 个 数 列 章 节, 我 们 不 难 看 出, 字 母 代 值, 发 现 规 律, 是 学 习 数 学 的 一 个 基 本 素 养. 题 2 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数, 若 f(0)= 1 8, 且 对 任 意 x R, 满 足 f(x+2)-f(x) 3 x,f ( x+4 ) -f ( x) 10 3 x, 求 f( 2020 ) 的 值. 分 析 求 f(2020) 的 函 数 值 时, 一 种 方 法 是 : 由 周 期 性 解 题 ; 一 种 方 法 是 : 求 出 函 数 的 解 析 式. 而 此 题 通 过 代 值, 不 可 能 由 周 期 性 解 题, 故 只 能 选 择 求 函 数 的 解 析 式. 满 分 解 答 f ( x+2 ) -f ( x) 3 x, f ( x+4 ) -f ( x+2 ) 3 x+2.1 又 f( x+4 ) -f ( x) 10 3 x, f ( x) -f ( x+4 ) -10 3 x.2 式 1+ 式 2, 得 f(x)-f(x+2) -3 x, 即 f(x+2)-f(x) 3 x, f(x+2)-f(x)=3 x. f ( 2020 ) =[f(2020)-f(2018)]+[f(2018)-f(2016)]+ +[f(2)-f(0)]+f(0) =3 2018 +3 2016 + +3 0 + 1 8 =32020 8 2

思 维 点 评 不 等 式 只 能 求 一 个 范 围, 而 由 等 式 才 可 以 求 出 一 个 具 体 值, 利 用 不 等 式 x a,x a, 可 以 得 到 x =a. 故 要 再 构 造 一 个 不 等 式 f(x+2)-f(x) 3 x 是 解 题 的 关 键, 这 就 要 求 我 们 在 学 习 数 学 时, 要 把 不 等 式 方 程 函 数 有 效 地 结 合 在 一 起 思 考, 这 就 是 数 学 中 的 函 数 与 方 程 思 想, 它 渗 透 在 数 学 的 每 一 个 角 落. 2 题 3 已 知 抛 物 线 C:y 2 =4x, 过 M(2,0) 的 直 线 交 抛 物 线 C 于 A B 两 点. 若 点 P 是 抛 物 线 上 A B 之 间 一 点, 当 点 P 到 直 线 AB 的 距 离 最 大 时, 求 ABP 面 积 的 最 小 值. 分 析 若 设 P(x 1,y1), 则 变 量 太 多, 为 了 减 少 变 量 可 设 æ P y2 1 ç è 满 分 解 答 思 维 点 评 4, ö y1 ø. 由 求 三 角 形 面 积 的 方 法, 若 选 择 行 列 式, 则 变 量 太 多 ; 若 选 择 S = 1 2 absinc, 则 无 已 知 角 ; 若 选 择 割 补 法, 则 三 角 形 的 底 或 高 应 尽 量 为 常 数, 这 不 可 能. 故 选 择 S = 1 2 底 高 最 好. 由 弦 长 公 式 可 求 得 AB 长, 且 只 含 有 一 个 变 量 m, 若 用 点 P 到 直 线 AB 的 距 离 公 式 求 三 角 形 的 高, 则 含 有 两 个 变 量 m 和 y1, 这 时 所 得 到 的 ABP 面 积 也 一 定 含 有 两 个 变 量, 给 求 三 角 形 面 积 的 最 值 带 来 一 定 的 困 难. 若 把 点 到 直 线 距 离 的 最 值 转 化 为 两 平 行 线 间 的 距 离 的 最 值, 这 时 变 量 只 有 一 个 m, 这 样 给 求 最 值 问 题 带 来 便 利. y 2 =4x, 设 直 线 AB:x=my+2, 由 得,y 2-4my-8=0, x=my+2 Δ=16m 2 +32=16(m 2 +2). 设 A(x 1,y1) B(x 2,y2), 则 y1+y2=4m,y1y2=-8. AB = 1+m 2 y1-y2 = 1+m 2 16(m 2 +2)=4 (1+m 2 )(m 2 +2). y 2 =4x, 设 直 线 l:x=my+t, 由 得,y 2-4my-4t=0. x=my+t 由 Δ=16m 2 +16t=0 得,t=-m 2, d= 2-t 1+m 2 = 2+m2 1+m 2. ABP 面 积 S = 1 2 AB d=1 2 4 (1+m 2 )(m 2 +2) 2+m2 =2(m 2 +2) m 2 +2 4 2. 当 且 仅 当 m=0 时, 等 号 成 立, 故 ABP 面 积 的 最 小 值 为 4 2. 1+m 2 数 学 学 习 中 的 问 题 解 决, 经 常 会 出 现 多 个 变 量, 而 高 中 数 学 中 的 函 数 思 想 只 能 出 现 一 个 自 变 量, 所 以 控 制 变 量, 是 高 中 数 学 学 习 的 又 一 个 基 本 学 习 素 养. 除 此 之 外, 只 能 用 重 要 不 等 式 或 数 形 结 合 来 解 决 多 变 量 问 题. 3 4 5 6 7 8 9 : 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2: 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4: 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5: 3

优 质 精 练 1 若 x+2y=1, 则 xy 的 最 大 值 是. 2 三 个 实 数 成 等 差 数 列, 首 项 是 9. 若 将 第 二 项 加 2 第 三 项 加 20 可 使 得 这 三 个 数 依 次 构 成 等 比 数 列 a n }, 则 a 3 的 所 有 取 值 中 的 最 小 值 是. [ ] 3 化 简 : 1-sinθ+ æç 1+sinθ x è π 2, π ö 得. ø 4 若 关 于 x 的 方 程 x 2 -ax-a-1=0 在 x [1,2] 上 有 解, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是. x=-2+cosθ, 5 若 点 P(x,y) 在 曲 线 (θ 为 参 数 ) 上, 则 y 的 取 值 范 围 是. y=sinθ x 6 设 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 均 为 非 零 实 数, 不 等 式 a 1x 2 +b 1x+c 1>0 和 a 2x 2 +b 2x+c 2>0 的 解 集 a 分 别 为 集 合 M 和 N, 那 么 1 = b1 = c1 是 M=N 的 ( ) a 2 b 2 c 2 A. 充 分 非 必 要 条 件 B. 必 要 非 充 分 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件 7 设 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 D, 若 对 于 任 意 的 x 1 D, 存 在 唯 一 的 x 2 D, 使 f(x 1 )+f(x 2 ) =C 2 (C 为 常 数 ) 成 立, 则 称 函 数 f(x) 在 D 上 的 均 值 为 C. 现 给 出 下 列 四 个 函 数 :1y=x 2 ;2y=x;3y=2 x ;4y=lgx, 则 满 足 其 在 定 义 域 上 均 值 为 2 的 所 有 函 数 的 序 号 是. 8 等 式 sin(α+β ) =sinα+sinβ 成 立 时, 角 α β 满 足 的 充 要 条 件 是. 9 已 知 实 数 a>0, 函 数 f(x)= 1-x2 1+x 2 +a 1+x2 1-x 2. (1) 当 a=1 时, 求 f(x) 的 最 小 值 ; (2) 当 a=1 时, 判 断 f(x) 的 单 调 性, 并 说 明 理 由 ; (3) 求 实 数 a 的 范 围, 使 得 对 于 区 间 - 2 5 5,2 5 5 f(r) f(s) f(t) 为 边 长 的 三 角 形. [ ] 上 的 任 意 三 个 实 数 r s t, 都 存 在 以 4

2 集 合 知 识 与 学 习 方 法 编 者 引 言 具 有 一 定 的 性 质 的 对 象 组 成 的 一 个 整 体, 就 叫 做 集 合. 其 中 具 有 一 定 的 性 质 的 一 个 对 象, 叫 做 这 个 集 合 的 一 个 元 素. 根 据 集 合 的 定 义, 要 理 解 和 掌 握 一 个 集 合, 就 必 须 读 懂 和 理 解 集 合 的 元 素 和 这 个 集 合 本 身, 并 理 解 其 相 互 关 系. 集 合 中 的 元 素 出 现 最 多 的 是 数 集 和 点 集, 如 果 集 合 是 用 描 述 法 时, 就 必 须 看 一 竖 杠 前 是 一 个 字 母, 还 是 两 个 字 母. 若 1 前 是 一 个 字 母 表 示 这 个 集 合 是 数 集, 那 就 要 研 究 这 个 字 母 的 取 值 范 围 ; 若 1 前 是 两 个 字 母 表 示 这 个 集 合 是 点 集, 那 就 要 研 究 点 集 表 示 的 图 形. 集 合 主 要 考 查 以 下 几 个 方 面 : (1) 集 合 的 表 示 列 举 法 描 述 法 区 间 法 图 式 法 特 殊 字 母 法 ; (2) 集 合 的 运 算 交 并 补 ( UA 意 为 不 包 括 A ; 且 意 为 ; 或 意 为 ); (3) 集 合 的 元 素 点 集 数 集 方 程 集 向 量 集 等 ; (4) 数 集 的 元 素 定 义 域 值 域 ; (5) 特 殊 集 合 空 集 全 集 或 本 身 集. 经 典 拉 分 题 题 1 ( 集 合 的 表 示 )(1) 用 描 述 法 表 示 下 列 集 合 :1 被 3 除 余 2 的 全 体 整 数 ; 分 析 2 直 角 坐 标 系 内 第 四 象 限 的 点 的 集 合 角 的 集 合. ;3 角 的 终 边 落 在 直 线 y+x=0 上 的 (2) 说 出 下 列 三 个 集 合 的 区 别 :A=x y=x 2 +1,x R,y R},B=y y=x 2 +1, x R,y R},C=(x,y) y=x 2 +1,x R,y R}. 用 描 述 法 表 示 集 合 时, 前 表 示 集 合 的 元 素, 后 表 示 集 合 元 素 满 足 的 条 件. 读 集 合 时, 要 看 清 前 的 元 素. 通 常 情 况 下, 前 是 一 个 字 母 时, 则 集 合 表 示 数 集, 此 时 要 求 这 个 字 母 的 范 围 ; 前 是 (x,y) 时, 则 集 合 表 示 点 集, 此 时 研 究 此 点 构 成 的 图 形. 满 分 解 答 (1)1 x Z x-2 3 Z } ; 2(x,y) x>0,y<0};3 αα=kπ- π 4, k Z } (2) 集 合 A 是 数 集, 元 素 是 x,x 的 取 值 范 围 是 全 体 实 数, 所 以 A=R; 集 合 B 是 数 集, 元 素 是 y, 满 足 等 式 y=x 2 +1,x R 的 y 的 取 值 范 围 是 [1,+ ), 所 以 B= [1,+ ); 集 合 C 是 点 集, 是 方 程 y=x 2 +1,x R 上 的 点 构 成 的 集 合, 它 与 集 合 (x,y) x R,y 1} 是 两 个 不 同 的 集 合. 2 3 4 5 6 7 8 9 : 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2: 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4: 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5: 5

思 维 点 评 集 合 中 的 元 素 是 集 合 的 本 质 特 征, 研 究 集 合 就 是 要 研 究 集 合 中 的 元 素. 根 据 集 合 中 的 元 素 描 述 的 对 象 属 性 不 同, 可 以 把 集 合 分 为 : 数 集 点 集 图 形 集 向 量 集 方 程 集 等. 数 集 反 映 集 合 中 元 素 表 示 数 的 属 性, 其 表 现 形 式 就 是 元 素 数 的 取 值 范 围 ; 点 集 的 表 现 形 式 就 是 元 素 点 构 成 的 图 形, 如 x+3y-1=0} 就 是 一 个 方 程 集 合, 且 只 有 一 个 元 素, 是 用 列 举 法 表 示 的 集 合 ; 又 如 直 线 AB} 线 段 AB}=, 而 不 是 线 段 AB}, 因 为 这 两 个 集 合 是 图 形 集, 直 线 AB 与 线 段 AB 是 两 个 不 同 的 图 形. 若 改 为 :x x 直 线 AB} x x 线 段 AB}, 则 结 果 就 为 x x 线 段 AB}, 这 是 因 为 它 们 都 是 点 集. 题 2 ( 集 合 相 等 运 算 )(1) 若 x x 2 +ax+b 0}= [-1,2], 则 a=, b= ; (2) 若 x 2x 2 +x+m=0} y 2y 2 +ny+2=0}= -1}, 则 m=, n= ; (3) 若 全 集 U=3,-3,a 2 +2a-3},A=a+1,3}, UA=5}, 则 a=. 分 析 数 集 的 元 素 满 足 的 条 件 是 不 等 式 时, 集 合 即 为 此 不 等 式 的 解 集 ; 数 集 的 元 素 满 足 的 条 件 是 等 式 时, 集 合 即 为 此 等 式 的 解 集. (1)x 2 +ax+b 0 的 解 集 为 [-1,2], 所 以 -1,2 是 方 程 x 2 +ax+b=0 的 根, 由 韦 达 定 理 得,a=-1,b=-2; (2) 由 题 意 知,-1 x 2x 2 +x+m=0},-1 y 2y 2 +ny+2=0}, 解 得,m= -1,n=4; +2a-3=5, (3) 由 题 意 知, a2 解 得 a=-4. a+1=-3, 满 分 解 答 (1)-1,-2;(2)-1,4;(3)4. 思 维 点 评 不 等 式 解 集 的 端 点 是 此 对 应 方 程 的 根 是 研 究 不 等 式 与 对 应 方 程 的 一 个 重 要 纽 带 ;m A B m A 且 m B 与 A B=m} 不 等 价, 若 用 m A 且 m B, 还 需 要 再 计 算 集 合 A B, 有 时 可 能 会 扩 大 范 围. 题 3 ( 集 合 的 运 算 ) 已 知 A=-1, 1-a },B=a-1,2}. (1) 若 A B=, 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ; (2) 若 A B, 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ; (3) 若 A B=-1,2,a 2-3a+2}, 求 实 数 a 的 值. 6

分 析 A B= 即 集 合 A B 不 存 在 共 同 元 素 ;A B A B ;A B=-1,2, a 2-3a+2} 意 味 着 a-1 =a-1=a 2-3a+2, 且 满 足 集 合 中 的 元 素 具 有 : 无 序 性 互 异 性 确 定 性. 满 分 解 答 (1) 由 题 意 知, 1-a a-1, 思 维 点 评 1-a 2, 且 解 得 -1 2 a<1 且 a 0 且 a -1; a-1-1, (2)A B A B, 即 为 (1) 所 求 实 数 a 的 取 值 集 合 的 补 集, 所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是 a 1 且 a 3 或 a=0 或 a=-1; ìa 2-3a+2=a-1= a-1, ï (3) 由 题 意 知, ía 2-3a+2-1, 解 得 a=1. ï îa 2-3a+2 2, 集 合 的 运 算 只 有 交 并 补 三 种. 集 合 A 与 B 的 关 系 可 以 转 化 为 集 合 A 与 B 的 交 并 补 的 运 算. 如 A B A B=A A B=B 等 ; 交 集 符 号 表 示 的 意 思 是 且, 而 文 字 且 符 号 化 后, 不 能 为 一, 也 不 能 为 二, 也 不 能 为 三, 只 能 简 化 为. 要 学 好 数 学, 文 字 语 言 与 数 学 符 号 语 言 的 转 化, 是 不 可 或 缺 的 基 本 数 学 素 养. 又 如 用 集 合 A B C 表 示 图 2 1 中 的 阴 影 部 分. 可 用 汉 字 叙 述 为 : 不 是 集 合 A 中 的 元 素, 是 集 合 U A B 图 2 1 B 中 的 元 素, 不 是 集 合 C 的 元 素, 三 句 话 是 且 的 关 系, 则 用 集 合 符 号 语 言 表 示 即 为 :( UA) B ( UC). 题 4 ( 集 合 的 综 合 ) 记 函 数 f(x)= 2- x+3 的 定 义 域 为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)] x+1 的 定 义 域 为 B.(1) 求 A;(2) 若 B A, 求 实 数 a 的 取 值 范 围. 分 析 解 不 等 式 2- x+3 x+1 0 时, 分 子 可 以 等 于 0, 而 分 母 不 能 为 0; 带 有 字 母 的 不 等 式 求 解 时, 要 对 字 母 进 行 讨 论, 同 时 还 要 注 意 题 目 本 身 所 隐 含 的 特 定 条 件. 满 分 解 答 (1) 由 2- x+3 x+1 0 得,A=(-,-1) [1,+ ). (2) 由 题 意 得,(x-a-1)(2a-x)>0, 即 (x-a-1)(x-2a)<0. 若 a<1, 则 B=(2a,a+1); 若 a=1, 则 B=, 不 符 合 题 意 ; 若 a>1, 则 B=(a+1,2a). 又 B A, 1 a<1, a<1, 或 解 得 a+1-1 a (-,-2] 1 2a>1, 2, ö [ 1 ø 2 a>1, a>1, 或 解 得 a+1 1. a>1. 2a -1, ; C 2 3 4 5 6 7 8 9 : 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2: 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4: 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5: 7

综 上, 实 数 a 的 取 值 范 围 (-,-2] 1 2, ö [ 1 ø (1,+ ). 思 维 点 评 研 究 集 合 时, 除 了 研 究 集 合 的 概 念 运 算 性 质 外, 还 要 注 意 集 合 中 常 见 的 错 误, 如 : 集 合 区 间 的 端 点 的 开 闭, 集 合 的 元 素, 集 合 是 交 集 还 是 并 集 ; 当 A B 时,A 可 以 是,B 可 以 是 全 集 ; 当 a>b 或 a<b 时, 不 要 忘 掉 a=b 等. 8

优 质 精 练 2 1 若 全 集 U=1,2,3,4,5,6},M=2,3},N=1,4}, 则 集 合 5,6} 等 于 ( ). A.M N B.M N C.( UM ) ( UN) D.( UM ) ( UN) 2 若 集 合 M=x x 2},N=x x 2-3x 0}, 则 ( RM) N=. 3 已 知 集 合 A=(x,y) x,y 为 实 数, 且 x 2 +y 2 =1},B=(x,y) x,y 为 实 数, 且 y=x}, 则 A B 的 元 素 个 数 为. 4 已 知 U= y y=log2x,x>1 },P= y y= 1 x, x>2 }, 则 UP=. 5 设 全 集 U=M N=1,2,3,4,5},M UN =2,4}, 则 N=. 6 已 知 集 合 A=x x 2,x R},B=x x 4,x Z}, 则 A B=. 7 若 集 合 A=x x 2-4x 0},B=x x-1 2}, 则 ( RA) B=. 8 图 2 2 中 阴 影 部 分, 用 集 合 表 示 为. 9 已 知 集 合 M=y y=2 x,x R},N=y y=log2x,x R}, 则 M N=. 10 非 空 集 合 x x 2 +2x+a=0} 中 所 有 元 素 的 和 等 于. 11 已 知 集 合 M=(x,y) y=2 x,x R},N=(x,y) y=x 2,x R}, 则 M N 的 真 子 集 有 个. U A C 图 2 2 12 若 集 合 a,b,c,d}=1,2,3,4}, 且 下 列 四 个 关 系 :1a=1;2b 1;3c=2;4d 4. 有 且 仅 有 一 个 是 正 确 的, 试 写 出 符 合 条 件 的 所 有 有 序 数 组 (a,b,c,d). B 3 4 5 6 7 8 9 : 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2: 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4: 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5: 9

3 充 分 必 要 条 件 的 一 般 方 法 编 者 引 言 如 果 p q, 那 么 p 是 q 的 充 分 条 件, 同 时 q 是 p 的 必 要 条 件 ; 如 果 p q, 那 么 p 是 q 的 充 要 条 件, 同 时 q 也 是 p 的 充 要 条 件. 另 外 也 可 以 根 据 子 集 与 推 出 关 系, 判 断 充 分 必 要 条 件, 即 设 A=a a 具 有 性 质 α},b=b b 具 有 性 质 β }, 则 A B 与 α β 等 价 ; A B 与 α 是 β 的 充 分 非 必 要 条 件 等 价 ; A B 与 α 是 β 的 必 要 非 充 分 条 件 等 价 ; A=B 与 α 是 β 的 充 要 条 件 等 价. 简 言 之 :(1) 小 是 大 的 充 分 非 必 要 条 件 ; (2) 大 是 小 的 必 要 非 充 分 条 件 ; (3)A 是 A 的 充 要 条 件 ; (4)A 与 B 大 小 关 系 不 能 确 定, 则 A 是 B 的 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件. 经 典 拉 分 题 题 1 对 于 函 数 y=f(x),x R, y= f(x) 的 图 像 不 关 于 y 轴 对 称 是 y=f(x) 不 是 奇 函 数 的 ( ) A. 充 分 非 必 要 条 件 B. 必 要 非 充 分 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件 分 析 命 题 的 条 件 和 结 论 都 是 否 定 形 式, 可 以 根 据 互 为 逆 否 命 题 的 等 价 性 来 判 断. 若 y=f(x) 是 奇 函 数, 则 f(-x)=-f(x), 所 以 f(-x) = -f(x), 即 y= f(x) 为 偶 函 数, 即 y= f(x) 的 图 像 关 于 y 轴 对 称. 而 y= f(x) 的 图 像 关 于 y 轴 对 称, 即 f(-x) = f(x), f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x). 由 互 为 逆 否 命 题 的 等 价 性, 故 选 A. 满 分 解 答 A. 思 维 点 评 命 题 的 四 种 形 式 中, 原 命 题 与 逆 否 命 题 逆 命 题 与 否 命 题 是 互 为 逆 否 命 题, 它 们 具 有 等 价 性. 研 究 一 个 命 题 的 性 质, 我 们 可 以 通 过 其 逆 否 命 题 的 性 质 来 研 究, 既 可 以 研 究 一 个 命 题 的 真 假, 也 可 以 研 究 一 个 命 题 的 条 件. 10

题 2 若 函 数 f(x) g(x) 的 定 义 域 为 R, 则 f(x)>g(x)(x R) 成 立 的 充 要 条 件 是 ( ). A. 有 一 个 x R, 使 得 f(x)>g(x) B. R 中 不 存 在 x, 使 得 f(x) g(x) C. 对 R 中 的 任 意 x, 使 得 f(x)>g(x)+1 D. 有 无 数 多 个 x R, 使 得 f(x)>g(x) 2 3 4 分 析 f(x)>g(x)(x R) 的 意 思 是 : 对 任 意 x R, 不 等 式 f(x)>g(x) 都 成 立 ḟ(x)> g(x) 的 否 定 是 f(x) g(x). 满 分 解 答 B. 思 维 点 评 文 字 语 言 与 数 学 符 号 语 言 的 转 化, 是 高 中 数 学 学 习 必 备 的 基 本 素 养. 充 要 条 件 即 为 等 价 问 题. 一 方 面, 互 为 逆 否 命 题 是 等 价 命 题 ; 另 一 方 面 双 重 否 定 即 为 肯 定. 同 时 还 要 注 意 代 数 与 几 何 两 个 方 面 对 数 学 基 本 概 念 的 理 解. 又 如 函 数 f(x) 的 零 点, 一 种 是 从 代 数 方 面 理 解, 即 函 数 y= f(x) 对 应 的 方 程 f(x)=0 的 根 ; 另 一 种 是 从 几 何 方 面 理 解, 即 函 数 y=f(x) 的 图 像 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标. 在 教 学 中, 教 师 和 学 生 要 始 终 把 握 这 两 个 方 面 进 行 教 学 与 思 考, 才 能 灵 活 应 用 零 点 概 念 解 决 问 题. 题 3 分 析 条 件. 若 实 数 a,b 满 足 a 0,b 0, 且 ab=0, 则 称 a 与 b 互 补, 记 φ( a,b ) = a 2 +b 2 - a-b, 那 么 φ( a,b ) =0 是 a 与 b 互 补 的 ( ) A. 必 要 非 充 分 条 件 B. 充 分 非 必 要 条 件 C. 充 要 条 件 D. 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件 概 念 : a 与 b 互 补 是 解 题 的 关 键. a 与 b 互 补 是 a 0,b 0, 且 ab=0 的 充 要 若 实 数 a,b 满 足 a 0,b 0, 且 ab=0, 则 a 与 b 至 少 有 一 个 为 0, 不 妨 设 b=0, 则 φ( a,b ) = a 2 -a=a-a=0; 反 之, 若 φ( a,b ) = a 2 +b 2 -a-b=0, a 2 +b 2 =a+b 0, 两 边 平 方 得 a 2 +b 2 =a 2 +b 2 +2ab ab=0, 则 a 与 b 互 补, 故 选 C. 满 分 解 答 C. 思 维 点 评 定 义 都 是 具 有 充 要 条 件 的 特 征, 否 则 不 能 叫 做 定 义, 最 多 只 是 定 理 性 质 或 一 般 的 命 题. 另 外, 在 应 用 等 式 ( 或 不 等 式 ) 性 质 时, 要 注 意 其 性 质 的 条 件. 5 6 7 8 9 : 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2: 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4: 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5: 11

题 4 (1) 写 出 不 等 式 x 3 +1> 1 成 立 的 一 个 充 分 非 必 要 条 件 是 ; x 2-4 (2) 写 出 不 等 式 x 3 +1> 1 成 立 的 一 个 必 要 非 充 分 条 件 是. x 2-4 分 析 注 意 A 是 B 的 充 分 非 必 要 条 件 ( 或 必 要 非 充 分 条 件 ) 与 A 的 一 个 充 分 非 必 要 条 件 ( 或 必 要 非 充 分 条 件 ) 是 B 中 的 使 动 与 被 动 的 区 别 和 联 系. 第 (1) 问 就 是 要 求 解 一 个 比 不 等 式 x 3 +1> 1 解 集 小 的 x 取 值 范 围 ; 第 (2) 问 就 是 要 求 解 一 个 比 不 等 式 x 3 +1> x 2-4 1 解 集 大 的 x 取 值 范 围. 显 然 比 其 解 集 大 的 是 实 数 集 R 或 复 数 集 C. x 2-4 (1) 由 题 意 知 : 写 出 的 解 集 比 不 等 式 x 3 +1> 1 的 解 集 小, 故 可 填 x=0. x 2-4 (2) 由 题 意 知 : 写 出 的 解 集 比 不 等 式 x 3 +1> 1 的 解 集 大, 故 可 填 x R. x 2-4 满 分 解 答 (1)x=0;(2)x R. 思 维 点 评 A 是 B 的 充 分 非 必 要 条 件, 既 可 由 A 与 B 的 推 出 关 系 来 判 断, 又 可 由 集 合 x x A} 与 x x B} 的 子 集 ( 大 小 ) 关 系 来 判 断. 选 择 一 种 与 试 题 比 较 匹 配 的 解 题 方 法. 12