投稿類別 : 物理科類 篇名 : 作者 : 林昱成 彰化高中 高二 14 班 指導老師 : 姜志忠老師
壹 前言 一 研究動機 : 上課時老師教我們光的反射原理說到光槓桿, 並進行了光槓桿的實驗 看著講台上老師進行的實驗, 我突然想到 : 既然光槓桿是光角度的變化, 那如果改變了反射面的移動方向, 會有什麼樣的結果? 下課後經過討論 並進一步請教老師, 了解到在很多的地方都有利用到光的反射特性 ( 如 T 行路口上設有凸面鏡, 而超商百貨收銀處設有凹面鏡等 ) 又實驗課有用到彈簧秤, 但其在量測輕的物品常因為刻度太小導致都很難判別讀數, 於是便提出是否可以利用光的特性經由三角函數來放大量測刻度 為了瞭解更多相關的資訊, 上網查詢資料時, 看到了第 51 屆的全國科展 光知我的輕 發現確實可以將光槓桿應用在測量重量上, 這並沒有讓我就此打住, 反而更激起了我的好奇心, 想要在原有的光槓桿原理上創新結合更多不同的方法製作出更精確的微量量測秤 二 研究目的 : ( 一 ) 探討彈簧懸掛重物, 物體重量對彈簧伸長量的影響 ( 二 ) 探討雷射光線經平鏡面後反射到屏幕上, 反射鏡面的平移對屏幕上光點移動距離的影響 ( 三 ) 探討雷射光線經過鏡面後反射到屏幕上反射面平移且偏角對屏幕上光點移動距離的影響 ( 四 ) 利用反射面平移且偏角對屏幕上光點移動製作微量量測秤, 並探討待測重物對屏幕上光點移動距離的影響 三 研究流程與架構 : 貳 正文 光的反射投影放大在彈簧測量微小物體重量文獻探討 : 搜尋有關光槓桿相關文獻 實驗原理推導 1: 探討反射面移動對屏幕上光點的作用實驗原理驗證 2: 光槓桿的原理實驗原理驗證 3: 將上述結果統整討論 設計實驗裝置 : 利用上述驗證原理設計微量量測秤實驗 1: 平面鏡平移實驗 2: 平面鏡平移且偏角 一 實驗理論推導與電腦演算繪圖 製作微量量測秤改良微量量測秤 : 提高微量量測秤的精確度 應用上述的基本原理搭配想法來進行理論上的運算, 以期能獲得擁有較高倍 1
率的放大裝置, 最後再結合原本的彈簧秤, 製作出符合預期能量測輕微重量的微量量測秤 ( 一 ) 探討反射面平移對屏幕上光點移動距離的影響 1 當 θ 2θ 0 時反射面偏轉角度與光點在屏幕上移動的距離之關係 圖 2-1 反射面偏角示意圖 A: 鏡面偏轉前屏幕上的光點 OC : 屏幕至旋轉中心的垂直距離 B: 鏡面偏轉後屏幕上的光點 AB : 屏幕上光點移動的距離 C: 屏幕上旋轉前旋轉中心延長至屏幕的點 D: 屏幕上旋轉後旋轉中心延長至屏幕的點 放大倍率為 = = ( ) ( ) = ---------- ( 在這邊為了避免空間上的影響, 所以依照上式定義放大倍率 ) 使用電腦數學演算繪圖程式 Geogebra 對上 (1) 式作圖, 所得結果如下 : 圖 2-2 不同雷射入射線與反射鏡面的夾角 θ' 對放大倍率圖 圖 2-2 為 θ 分別為 5 度 ( 綠色線 ) 10 度 ( 紅色線 ) 20 度 ( 藍色線 ) 代表懸掛不同的物重時, 不同雷射入射線與反射鏡面的夾角 θ'(x 軸 ) 所形成的放大倍率 (Y 軸 ) 由圖 2-2 中可以得知, 隨物重的增加 ( 即 θ 增加 ), 整個曲線會有向偏移的趨勢, 且當 θ' 較小時放大倍率約趨近於 2, 而夾角 θ 越大 ( 雷射入射越傾斜 ), 所產生的放大倍率可以越大, 不過此時雖然會有較大的放大倍率, 但是對不同物重的放大倍率也會隨夾角的增加而差異越大, 量測不同的重物會有不同的放大倍率, 另外較大的夾角也會需要更大的投影空間來容納光路的行進 2
圖 2-3 不同的懸掛物重所產生的偏轉角度 θ 對放大倍率圖 圖 2-3 為 θ' 代表不同雷射入射線與反射鏡面的夾角分別為 8 度 ( 綠色線 ) 20 度 ( 紅色線 ) 40 度 ( 藍色線 ) 時, 不同的懸掛物重所產生的偏轉角度 θ(x 軸 ) 所形成的放大倍率 (Y 軸 ) 2 當 2θ = θ' 時反射面偏轉角度與光點在屏幕上移動的距離之關係 由上述的公式, 發現有一個特殊的情況, 就是當 2θ = θ' 的時候, 這個情況下鏡面偏轉後屏幕上的光點與旋轉前屏幕上旋轉中心至屏幕垂直距離的點重疊, 即偏轉後反射光呈水平的狀態 圖 2-4 2θ = θ' 偏角示意圖 當 2θ = θ' 時, 偏角後反射線 OB 會與偏角前平面鏡重疊, 使偏角後的反射線 OB 垂直於屏幕, 如圖 2-4 而此時的放大倍率由 θ 所控制, 所以更容易掌握 光點在屏幕上移動距離的放大倍率, 如下 : = ( ) = = ---------- 3
圖 2-5 偏轉角度 θ 對放大倍率圖 圖 2-5 為 (2) 式對放大倍率的作圖, 由圖可知利用此一方法時, 偏轉角度在 -0.3<θ<0.3( 逕度 ) 的時候, 放大倍率都穩定在 2 左右, 同時也成功的減少了一個變因, 使實驗不會有太多的控制變因而影響誤差, 雖然放大倍率不是太大, 但是符合對穩定的預期 ( 二 ) 反射面平移對屏幕光點的關係 實驗的過程中發現不只有旋轉會有 2 倍放大的效應, 透過評儀也會有相同的效果 在圖 2-6 中, 同時觀察到了兩條反射線位置的差值與兩條反射面的差值有著比例上的關係, 於是增加了屏幕以方便觀察 可看出加上屏幕後反射光移動距離與反射面移動距離的放大關係 圖 2-6 反射面平移示意圖 1 反射面平移對屏幕光點的推導由圖 2-6, 推導如下 : (1) 作 HI ED,JE GC, 根據反射定律 :JE HI AD,GC ED, 且 GA EB ( 反射線 GA 與反射面 GC 之夾角 = 反射線 EB 與反射面 ED 之夾角 ) 根據以上結論和反射定律, 圖上所有的 θ 角相等 (2) BFC 中 BC = BD CD, 又 BD =tanθed ( BED) BC =tanθed ------------- CD 4
(3) JE FI 且 JF EI EI = JF ( 平行四邊形性質 ) GJ = JF EI = JF = GJ 又 FC ID 且 FI CD 又 GEF 是等腰三角形 FC = ID (4) AB = AC BC = ( tanθed + FI ) ( tanθed ) CD =2 CD AB =2 CD ( 三 ) 反射面同時偏轉 (2θ = θ' 時 ) 且平移與光點在屏幕上移動距離間之關係 由於在實驗裝置上加入反射面平移的設計, 所以上述公式需要在更進一步修正, 當 2θ = θ 時, 偏角後的反射線將平行於原反射面 ( 呈水平 ), 同時改變入射光照射的位置, 使其不是照射在反射面的旋轉軸上, 因而擁有位移的效果產生 1 反射面平移且偏角的推導 由圖 2-7, 推導如下 : 圖 2-7 反射面同時偏轉 (2θ = θ' 時 ) 且平移示意圖 (1) IAL 中 tan 2θ = tan θ = = ( KHEF 為長方形,IL = KH )= 帶入 (2) y= tan θ (2a b) = 也可使用相似形觀念推導, 提供參考 (2a b) = x AIL 和 ADE 中, IL DE, AIL~ ADE(AA 相似 ) AL :KH = :DE AE (a-b):kh = (AL + LH + ):DE HE (a-b):x= (a b + a b + b): y y=x 放大倍率 = = = 2 放大倍率性質 5 (1) 當 a=2b,y=3x, 當 2a=3b,y=4x, 當 3a=4b,y=5x
(2) 在 推論出 a b 每增加 a-b,y 值增加 1 倍, 也就是平幕距離每增長 a-b, 放大倍率就增加 1 倍, 而根據推論第 (2) 點 a-b 的值是由 tan θ 所決定的, 故調整平幕距離可以決定任意放大倍率 的固定下,y 和 x 成正比, 也就是具有線性關係 圖 2-8 函數 tanθ 示意圖 (3) 根據推論第 2 點 y = tan θ (2a b), 由圖 2-8 得知大的入射夾角 (θ 45 ) 會有較大的放大倍率, 但是放大倍率有劇烈的成長, 在量測時干擾線性關係, 具有較大誤差, 取範圍 θ 45, 此時 tan θ 1, 曲線上升平緩, 在 tan θ 微量變化下, y (2a b), 因此取範圍 θ 45 為穩定狀態 二 研究設備及器材 ( 一 ) 量測器材 : 方格紙 30 公分精密鋼尺 捲尺 電子秤 量角器 水平儀 ( 二 ) 實驗器材 : 綠光雷射筆 強光源 鋼彈簧 細線 彈力線 珍珠板 木板 平面鏡 鐵支架座 秤盤 屏幕 砝碼 銅線 頭髮 遮風布 ( 三 ) 其他器材 : 玻璃切割器 圓盤切斷刀具 磨床 鋸子 剪刀 筆 鐵絲 螺絲 膠帶 紙 照相機 水平儀 熱熔膠 三 實驗裝置支架一端為彈簧, 另一端細線懸掛於長條木板, 長條木板上黏貼一塊長條平面鏡, 前方以雷射光入射線射入平面鏡, 入射光反射屏幕 ( 牆壁 ) 上方格紙, 將砝碼放置於秤盤, 在方格紙上記錄雷射光點移動的位置, 以測量其距離 實驗裝置如圖 2-9 ( 一 ) 利用反射面的平移和偏角製作更精準的第二代微量量測秤 1 改良微量量測秤 由實驗得知, 經由雷射光到鏡面反射至屏幕的距離愈長, 光點落在屏幕上移動的距離會愈大, 依此增長其距離, 則屏幕光點移動會有放大效果 分別於前後方設置兩個反射鏡來回反射, 並於四周加設遮風布, 避免空氣流動干擾 實驗裝置如下圖 2-9 6
圖 2-9 改良微量量測秤裝置示 四 實驗結果與討論 實驗一 : 加長反射路徑的微量量測秤測量 依序量測不同個數的砝碼 ( 每一個砝碼重 0.03 公克 ), 量測紀錄屏幕上的光點位移量 圖 2-10, 趨勢線為通過原點的斜直線, 表示符合虎克定律, 由公式可知 K=1.77*10^-3 g/cm, 放大倍率約為 117 倍 誤差在量測五顆砝碼時 a=1037.3cm b=1033.0cm, 其理論上的放大倍率約為 242.2 倍, 誤差百分比約為 -52%, 由於誤差仍然不算小, 推測由於是懸吊的系統會震盪所以量測本身並不容易進行, 其次放大倍率的公式中分子一項為 a-b, 所以當量測上有誤差時結果上額外明顯 修正 :1. 使用遮風布以減少系統誤差, 並取光點來回震盪的中間值 2. 測量多次 a-b, 求平均值降誤差, 因 a-b 是決定放大倍率的關鍵 表 2-1 光點移動距離與砝碼重量測量表 砝碼重量光點移動距離 0.03g 0.06g 0.09g 0.12g 0.15g 第一次 (cm) 17.68 33.32 50.54 67.77 86.86 第二次 (cm) 17.25 34.42 52.62 71.85 85.31 第三次 (cm) 18.03 35.81 52.18 68.34 83.84 第四次 (cm) 17.23 32.51 47.77 66.94 81.73 第五次 (cm) 17.10 31.25 47.90 68.79 81.97 平均 (cm) 17.46 33.46 50.20 68.74 83.94 標準差 ±0.32 ±1.43 ±1.87 ±1.53 ±1.79 圖 2-10 光點移動距離與砝碼重量關係圖 實驗二 : 測量頭髮的微量量測秤 求每增加一根 20 公分 0.0017 公克的砝碼, 計算出總平均變化量 0.12 公分 根據圖 2-11, 趨勢線為通過原點的斜直線, 符合虎克定律,K=7.05*10^-3 g/cm, 放大倍率約為 241 倍 誤差推導的結果, 當 a=1032.3cm b=1027.2cm, 其理論上的放大倍率約為 203.4 倍, 誤差百分比約為 -18%, 由於誤差仍然不算小, 裁剪頭髮長度 粗細時會有誤差, 放置重物的位置也會影響測量結果, 系統入射角太小, 依據理論太小的角度造成不足的放大倍率, 但依然必須符合穩定範圍要求的 θ' 45 修正 :1. 利用精密電子天平, 使頭髮重量一致 2. 在放置重物的地方作記號即可避免此誤差 3. 添加重物加大系統入射角, 使其盡量接近 θ^'=45 7
表 2-2 光點移動距離與頭髮重量測量表 砝碼重量光點移動距離 0.0017g 0.0034g 0.0051g 0.0068g 0.0085g 第一次 (cm) 2.74 4.99 7.41 9.74 12.14 第二次 (cm) 2.84 4.36 7.32 9.16 11.78 第三次 (cm) 2.50 5.12 7.34 9.67 11.91 第四次 (cm) 2.32 4.76 7.27 9.64 12.10 第五次 (cm) 2.56 5.18 7.56 9.31 12.12 平均 (cm) 2.592 4.882 7.38 9.504 12.01 標準差 ±0.18 ±0.30 ±0.10 ±0.23 ±0.14 圖 2-11 光點移動距離與砝碼重量關係 實驗三 : 彈力線入射角加大的微量量測秤測量 增加一個 1 公分銅線砝碼 0.03 公克重, 量測光點位移距離, 根據圖 2-12 勢線為通過原點的斜直線, 可知 K=5.8*10^-3 g/cm, 可放大倍率約為 293 倍 誤差所得到的結果, 當 a=274.7cm b=273.6cm, 其理論上的放大倍率約為 250 倍, 誤差百分比約為 -14.6%, 誤差仍然不算小, 推測主要是在控制變因中雖然已經增加了遮風布, 但人移動時還是會對微量測秤造成影響, 而應變變因中因為需要重量小於 0.1 的砝碼所以自行用銅線製作, 剪裁銅線時容易產生誤差, 在系統方面, 要求 2θ=θ', 在測量角度時存在著誤差 修正 : 1. 等待系統靜止時再做記錄 2. 換作一平方公分的方格紙片作為砝碼 3. 依據光的可逆性, 先以雷射光平行射入鏡面, 得到光的路徑, 如此一來, 根據理論, 便可調整成 2θ=θ' 表 2-3 光點移動距離與砝碼重量測量表 砝碼重量光點平移距離 0.03g 0.06g 0.09g 0.12g 0.15g 第一次 (cm) 5.23 10.95 16.76 22.12 27.24 第二次 (cm) 5.61 11.03 16.36 21.65 26.77 第三次 (cm) 5.41 10.36 15.78 20.96 26.21 第四次 (cm) 5.22 10.32 15.07 20.32 25.22 第五次 (cm) 5.10 9.95 14.80 19.53 24.14 平均 (cm) 5.31 10.52 15.75 20.92 25.92 標準差 ±0.18 ±0.41 ±0.74 ±0.92 ±1.11 圖 2-12 光點移動距離與砝碼重量關係圖 實驗四 : 彈力線入射角加大的微量測秤測量 根據表 2-4 入射角 41.5 度, 每增加 1cm 2 的方格紙重, 計算總平均變化量 1.33 cm 表 2-4 移動距離與砝碼重量測量表 砝碼重量光點平移距離 1 平方公分的方格紙重 2 平方公分的方格紙重 8 3 平方公分的方格紙重 4 平方公分的方格紙重 5 平方公分的方格紙重 第一次 (cm) 1.20 2.80 4.10 5.45 6.70 第二次 (cm) 1.40 2.70 4.05 5.38 6.88 第三次 (cm) 1.25 2.45 3.95 5.25 6.50 第四次 (cm) 1.40 2.55 3.75 5.00 6.45 第五次 (cm) 1.40 2.55 3.75 5.20 6.60 平均 (cm) 1.33 2.61 3.92 5.26 6.63 標準差 ±0.09 ±0.12 ±0.15 ±0.16 ±0.15
叁 結論 發現入射光經鏡面反射到屏幕上光點的移動距離與原本的彈簧伸長量做比較, 最多能夠有到近百倍的放大效果 在目前文獻利用光測量微小重量實驗結果中, 所量測的最小重量都為 1mg 左右, 而藉由本實驗結合不同光的特性使微量量測秤, 量測物品的重量可達 0.01mg 甚至更低, 此外相較於其他的實驗微量量測秤減少一半的反射空間並擁有相同的效果 肆 引註資料 休伊特 (2009) 觀念物理 IV(2 版 ) 臺北市 : 天下文化 桑嶋幹 (2011) 透鏡 新北市 : 瑞昇文化 Harris Benson(2015) 普通物理學 (2 版 ) 新北市 : 歐亞 耿繼業 何建娃 (2010) 幾何光學 (2 版 ) 臺北市 : 全華 葉玉堂 饒建珍 肖峻編 (2008) 幾何光學 臺北市 : 五南 李盈瑱等 (2008) 光知我的輕 中華民國第 51 屆中小學科學展覽會作品 取自, http://science.ntsec.edu.tw/science-content.aspx? cat=&a=0&fld=1000000&key=&isd=1&icop =10&p=1&sid=9036 9