在 企 业 生 产 过 程 中 (E 水 泥 ), 往 往 需 要 测 量 计 算 许 多 数 据, 而 在 测 量 计 算 过 程 中, 我 们 要 遵 循 那 些 法 则 和 计 算 方 法, 这 就 是 学 习 本 章 的 目 的 重 点 学 习 实 验 数 据 误 差 估 算 及 分 析,

工 程 实 验 数 据 处 理 方 法

在 企 业 生 产 过 程 中 (E 水 泥 ), 往 往 需 要 测 量 计 算 许 多 数 据, 而 在 测 量 计 算 过 程 中, 我 们 要 遵 循 那 些 法 则 和 计 算 方 法, 这 就 是 学 习 本 章 的 目 的 重 点 学 习 实 验 数 据 误 差 估 算 及 分 析, 回 归 分 析 方 法 ( 线 性, 非 线 性 )

误 差 与 数 据 处 理 基 础 知 识. 测 量 的 基 本 概 念.. 测 量 以 确 定 量 值 为 目 的 的 一 组 操 作, 该 操 作 可 以 通 过 手 动 的 或 自 动 的 方 式 来 进 行.. 测 量 结 果 由 测 量 所 得 的 赋 予 被 测 量 的 值

..3 测 量 方 法 () 直 接 测 量 和 间 接 测 量 直 接 测 量 -- 被 测 量 与 该 标 准 量 直 接 进 行 比 较 的 测 量 间 接 测 量 -- 直 接 测 量 值 与 被 测 量 值 有 函 数 关 系 的 量, 通 过 函 数 关 系 或 者 通 过 图 形 的 计 算 方 能 求 得 被 测 量 值 的 测 量 方 法 () 静 态 测 量 和 动 态 测 量 静 态 测 量 -- 在 测 量 过 程 中 被 测 量 可 以 认 为 是 固 定 不 变 的, 不 需 要 考 虑 时 间 因 素 对 测 量 的 影 响 动 态 测 量 -- 被 测 量 在 测 量 期 间 随 时 间 ( 或 其 他 影 响 量 ) 发 生 变 化

(3) 等 权 测 量 和 不 等 权 测 量 等 权 测 量 -- 在 测 量 过 程 中, 测 量 仪 器 测 量 方 法 测 量 条 件 和 操 作 人 员 都 保 持 不 变 不 等 权 测 量 -- 测 量 过 程 中 测 量 仪 器 测 量 方 法 测 量 条 件 或 操 作 人 员 中 某 一 因 素 或 某 几 个 因 素 发 生 变 化, 使 得 测 量 结 果 的 信 赖 程 度 不 同 (4) 工 程 测 量 和 精 密 测 量 工 程 测 量 -- 对 测 量 误 差 要 求 不 高 的 测 量 精 密 测 量 -- 对 测 量 误 差 要 求 比 较 高 的 测 量

. 测 量 误 差 的 基 本 概 念.. 误 差 的 定 义 测 量 误 差 测 得 值 - 真 值 真 值 是 指 一 个 特 定 的 物 理 量 在 一 定 条 件 下 所 具 有 的 客 观 量 值, 又 称 为 理 论 值 或 定 义 值.. 误 差 的 类 型. 随 机 误 差 -- 测 得 值 与 在 重 复 性 条 件 下 对 同 一 被 测 量 进 行 无 限 多 次 测 量 所 得 结 果 的 平 均 值 之 差. 系 统 误 差 -- 在 重 复 性 条 件 下, 对 同 一 被 测 量 进 行 无 限 多 次 测 量 所 得 结 果 的 平 均 值 与 被 测 量 的 真 值 之 差 3. 粗 大 误 差 -- 明 显 超 出 统 计 规 律 预 期 值 的 误 差

..3 误 差 的 表 示 方 法. 绝 对 误 差 绝 对 误 差 就 是 某 量 值 的 测 得 值 与 真 值 ( 或 约 定 真 值 ) 之 差 - 0 绝 对 误 差 ; 测 得 值 ; 0 被 测 量 的 真 值, 常 用 约 定 真 值 代 替 特 点 : 绝 对 误 差 是 一 个 具 有 确 定 的 大 小 符 号 及 单 位 的 量 值 绝 对 误 差 不 能 完 全 说 明 测 量 的 准 确 度

. 相 对 误 差 相 对 误 差 是 绝 对 误 差 与 被 测 量 真 值 0 的 比 值, 即 r / 0 在 实 际 中, 由 于 难 以 得 到 真 值, 故 常 用 约 定 真 值 代 替 为 估 计 相 对 误 差 方 便 起 见, 当 约 定 真 值 也 难 以 得 到 时, 也 可 以 近 似 用 测 量 值 来 代 替 0 特 点 : 相 对 误 差 具 有 大 小 和 符 号, 其 量 纲 为, 一 般 用 百 分 数 来 表 示 相 对 误 差 常 用 来 衡 量 测 量 的 相 对 准 确 程 度

..4 测 量 误 差 的 来 源 () 标 准 器 具 的 误 差 () 测 量 装 置 的 误 差 (3) 方 法 误 差 (4) 测 量 者 的 误 差 (5) 客 观 环 境 引 起 的 误 差

.3 有 效 数 的 修 约 与 运 算.3. 近 似 值 一 个 数 据, 从 第 一 个 非 0 的 数 字 开 始, 到 ( 包 括 ) 最 后 一 位 唯 一 不 准 确 的 数 字 为 止, 都 是 有 效 数 字, 有 效 数 字 的 位 数, 叫 做 有 效 位 数 一 个 近 似 数 有 个 有 效 数 字, 也 叫 这 个 近 似 数 有 个 数 位 在 判 断 有 效 数 字 时, 要 特 别 注 意 0 这 个 数 字, 它 可 以 是 有 效 数 字, 也 可 以 不 是 有 效 数 字 对 待 近 似 数 时, 不 可 像 对 待 准 确 数 那 样, 随 便 去 掉 小 数 点 部 分 右 边 的 0, 或 在 小 数 点 部 分 右 边 加 上 0

有 效 数 字 的 科 学 表 示 法 工 程 上 对 近 似 数 右 边 带 有 若 干 个 0 的 数 字, 常 写 成 a 0 形 式 ( <0), 这 时 有 效 位 数 由 a 确 定 如 4.60 0 3 和 4.6 0 3 分 别 表 示 为 有 3 位 和 位 有 效 数 字, 两 者 的 精 度 是 不 同 的

.3. 修 约 规 则 有 效 数 字 位 数 确 定 之 后, 其 余 数 字 一 律 舍 去 四 舍 六 入 五 留 双 规 则 () 拟 舍 弃 的 数 字 最 右 一 位 小 于 5 时, 舍 去 () 拟 舍 弃 的 数 字 最 右 一 位 大 于 5 或 等 于 5 且 其 后 还 有 非 0 的 数 字 时, 则 进, 即 保 留 末 位 数 再 加 (3) 拟 舍 弃 的 数 字 最 右 一 位 恰 好 等 于 5 且 其 后 没 有 数 字 或 皆 为 0, 则 看 5 前 面 的 数 字 : 为 奇 数 时 去 5 进, 为 偶 数 时 去 5 不 进

.3.3 近 似 数 的 运 算 () 当 几 个 数 作 加 减 运 算 时, 在 各 数 中 以 小 数 位 数 最 少 的 一 个 数 为 准, 其 余 各 数 舍 入 至 比 该 数 多 一 位, 然 后 进 行 运 算, 运 算 结 果 修 约 至 小 数 位 最 少 的 一 个 数 为 准 例 : 56.+85.7+3.453+6.853 56.+85.7+3.45+6.8 7.09 7. () 当 几 个 数 作 乘 除 法 运 算 时, 在 各 数 中 以 有 效 数 字 个 数 最 少 的 一 个 数 为 准, 其 余 各 数 舍 入 至 比 该 数 多 一 个 有 效 数 字, 而 与 小 数 点 位 置 无 关, 然 后 进 行 运 算, 运 算 结 果 修 约 至 有 效 位 数 最 少 的 一 个 数 为 准 例 : 603. 0.3 4.0 应 取 为 603 0.3 4.0 48. 48

(3) 当 几 个 数 作 乘 方 或 开 方 运 算 时, 计 算 结 果 的 有 效 位 数 应 与 原 来 近 似 数 ( 被 乘 方 或 开 方 数 ) 的 有 效 位 数 相 同 乘 方 与 开 方 实 质 上 是 乘 除 运 算, 故 采 用 乘 除 运 算 规 则 (4) 作 对 数 运 算 时, 位 有 效 数 字 的 数 据 应 该 用 位 或 (+) 位 对 数 表 (5) 在 三 角 函 数 的 运 算 中, 函 数 值 的 位 数 应 随 角 度 误 差 的 减 小 而 增 多, 当 角 度 误 差 为 0 0. 及 0.0 时, 对 应 的 函 数 值 位 数 应 为 5 6 7 及 8 位

(6) 计 算 平 均 值 时, 若 参 加 平 均 的 数 字 有 4 个 以 上, 则 平 均 值 的 有 效 数 值 可 多 取 一 位 (7) 如 运 算 所 得 的 数 据 还 要 进 行 再 运 算, 则 该 数 据 的 有 效 位 数 可 比 应 截 取 的 位 数 暂 时 多 保 留 一 位 数 字 (8) 在 整 理 最 后 结 果 时, 须 按 测 量 结 果 的 误 差 进 行 化 整, 表 示 误 差 的 有 效 数 字 最 多 用 两 位 例 如 (.84±0.)cm 等 当 误 差 第 一 位 数 为 8 或 9 时, 只 需 保 留 一 位 测 量 值 的 末 位 数 应 与 误 差 的 末 位 数 对 应

实 验 数 据 的 真 值 和 平 均 值 真 值 : 是 指 物 理 量 客 观 存 在 的 确 定 值 无 法 直 接 测 出 的 理 想 值 一 般 所 获 得 的 实 验 数 据 只 是 接 近 于 真 值 为 使 获 得 的 实 验 数 据 更 接 近 于 真 值, 通 常 采 用 算 术 平 均 值 ( ) 均 方 根 平 均 值 ( 均 ) 几 何 平 均 值 ( ) 对 数 平 均 值 ( ) 对 实 验 数 据 进 行 处 理, 使 实 验 数 据 与 真 值 之 间 的 误 差 更 小, 更 接 近 对

算 术 平 均 值 均 方 根 平 均 值 3 几 何 平 均 值 4 对 数 平 均 值 + + + + 3 + + + + 3 均 3 l 对

.4 工 程 实 验 数 据 的 整 理 方 法 一 般 有 三 种 途 径, 即 列 表 法 图 示 法 和 公 式 表 示 法.4. 列 表 法 将 实 验 结 果 进 行 归 纳 分 析, 最 后 以 表 格 的 形 式 表 示 出 来 原 始 记 录 数 据 表 - 开 始 实 验 或 测 试 前 设 计 好 列 表 法 实 验 结 果 数 据 表 - 除 上 述 要 求 外, 列 出 实 验 计 算 的 有 关 公 式, 使 用 的 测 试 仪 器

表 格 设 计 的 注 意 事 项 () 表 头 列 出 物 理 量 的 名 称, 符 号 和 计 量 单 位 之 间 用 / 隔 开, 或 者 物 理 量 ( 单 位 ) 例 如 p7 附 表 4.3 数 字 之 间 不 能 有 计 量 单 位 () 有 效 数 字 位 数 的 确 定, 应 当 与 测 量 仪 表 的 准 确 度 相 匹 配 (3) 物 理 量 的 数 值 应 当 用 科 学 记 数 法 来 表 示 用 公 式 表 示 为 : 物 理 量 的 实 际 值 0 ± 表 中 数 据 (4) 同 一 个 表 格 尽 量 不 跨 页, 跨 页 应 注 明 续 表 (5) 数 据 书 写 清 楚 整 齐, 修 改 时 用 单 线 划 掉 表 注 写 在 表 格 的 下 方

.4. 图 示 法 在 坐 标 纸 上 将 实 验 数 据 的 自 变 量 作 为 横 坐 标, 因 变 量 作 为 纵 坐 标 描 绘 出 对 应 关 系 曲 线, 再 由 曲 线 求 出 相 应 物 理 量 的 关 系, 进 一 步 得 出 实 验 结 论 的 数 据 处 理 方 法 叫 做 作 图 法, 又 称 为 图 示 法 坐 标 纸 分 为 方 格 纸 半 对 数 纸 双 对 数 纸 和 概 率 纸 等 多 种 作 图 法 的 优 点 是 直 观 形 象

. 作 图 法 的 用 途 () 求 间 接 测 量 值 () 求 经 验 公 式 (3) 寻 找 统 计 分 布 规 律. 作 图 规 则 () 先 将 所 测 数 据 列 表 整 理, 再 根 据 需 要 选 取 坐 标 纸, 纸 的 大 小 要 与 数 据 的 有 效 数 字 位 数 相 一 致 () 确 定 坐 标 轴 (3) 根 据 数 据 表 一 一 找 出 各 对 应 的 实 验 点 并 给 予 明 显 的 标 记 (4) 用 曲 线 处 理 数 据 时, 比 如 求 斜 率 或 截 距, 不 要 取 个 别 实 验 点, 应 取 平 均 效 果, 并 注 明 获 取 数 据 的 实 验 点 位 置 及 处 理 结 果

3. 曲 线 改 直 的 作 用 某 些 场 合 需 要 验 证 已 知 定 律 或 预 测 新 的 规 律, 于 是, 两 个 相 关 物 理 量 给 成 函 数 曲 线, 但 很 多 函 数 的 曲 线, 比 如 双 曲 线 抛 物 线 等 不 是 单 用 视 觉 就 能 区 分 和 判 断 的, 必 须 采 取 适 当 的 变 换 将 曲 线 形 式 改 成 直 线 形 式, 再 由 作 图 来 判 断 是 否 符 合 直 线 关 系, 还 可 用 改 直 后 的 直 线 求 值

.5 实 验 数 据 的 回 归 分 析 方 法 函 数 所 涉 及 的 变 量 之 间 的 关 系 确 定 性 关 系 S πr 非 确 定 性 关 系 - 相 关 关 系 对 于 具 有 相 关 关 系 的 问 题, 通 常 可 借 助 于 回 归 分 析 法 来 确 定 它 们 的 经 验 表 达 式

回 归 分 析 法 可 以 帮 我 们 解 决 下 述 问 题 : 确 定 函 数 的 最 佳 曲 线, 并 确 定 它 的 误 差 及 精 度 ; 确 定 变 量 之 间 是 否 存 在 相 关 关 系, 对 于 存 在 相 关 关 系 的 变 量, 确 定 它 们 的 回 归 方 程 ; 3 根 据 几 个 变 量 的 观 测 值, 预 测 或 控 制 另 一 个 变 量 的 取 值 范 围, 并 加 以 确 定 预 测 或 控 制 的 精 度 ; 4 确 定 这 些 变 量 对 所 要 研 究 问 题 的 重 要 程 度 以 决 定 取 舍, 简 化 研 究 方 案

()) 一 元 线 性 回 归 例 如, 一 种 物 质 吸 附 另 一 种 物 质 的 能 力 与 温 度 有 关, 测 试 在 不 同 温 度 下 吸 附 的 质 量, 测 试 结 果 如 下 表 所 示 : ( ).5.8.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 (mg) 4.8 5.7 7.0 8.3 0.9.4 3. 3.6 5.3

回 归 直 线 表 示 形 式 列 散 点 图, 确 定 直 线 关 系 得 直 线 方 程 a + b 随 机 普 通 对 变 量 的 回 归 直 线, 亦 称 对 的 回 归 方 程, 斜 率 b 称 为 回 归 系 数

回 归 方 程 的 确 定 方 法 一 般 来 说, 若 用 表 示 几 组 观 测 数 据, 即 几 个 观 测 点, 而 任 意 一 条 直 线 的 方 程 可 写 成 如 下 形 式 : 实 际 值 对 于 每 个 已 知 的 观 测 点, ), 可 以 用 (, a + b ) 来 表 示, 其 误 差 为 : ( * a + σ, ) b ( 几 个 观 测 点 所 引 起 的 误 差 就 构 成 了 总 误 差 * σ a b

ⅰ 用 的 代 数 和 表 示 : ⅱ 若 用 误 差 的 绝 对 值 之 和 来 表 示, 则 : σ + + + σ σ σ σ σ σ σ σ + + +

ⅲ 采 用 多 个 误 差 的 平 方 和, 作 为 总 的 误 差, 这 样 应 用 起 来 更 准 确 方 便 Q σ ( a b j ) 回 归 直 线 就 是 在 所 用 直 线 中 误 差 平 方 和 Q 为 最 小 的 一 条 直 线, 即 回 归 直 线 的 系 数 b 及 常 数 项 a 使 Q 达 到 极 小 值

根 据 数 学 中 的 极 值 定 理, 对 上 式 分 别 对 a,b 求 偏 微 商, 并 令 其 等 于 零 则 可 以 确 定 Q a Q b ( ab ) 0 ( ab ) 0 () () 其 中 f (u) u ϕ() d f (u)du

从 式 ( 从 式 () 中 可 以 得 出 ) 中 可 以 得 出 b a 令 (3) 算 术 平 均 值 b a

从 式 ( 从 式 () 中 可 以 得 出 ) 中 可 以 得 出 可 得 方 程 组 : 0 b a (4) + + b a b a ) ( ) ( ) (

将 ( 将 (3) 代 入 ( ) 代 入 (4) 则 方 程 组 可 以 简 化 为 : ) 则 方 程 组 可 以 简 化 为 : 由 于 测 量 数 据 不 全 相 同, 故 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不 为 零, 即 : + + b a b a ) ( (5) 0 ) (

方 程 组 有 唯 一 的 解 方 程 组 有 唯 一 的 解 若 令 b b a (6) ) ( S S S ) (

则 式 (6)( ) 可 改 为 : b a S S b 所 有 的 量 都 可 以 从 观 测 数 据 中 得 出, 因 此 所 确 定 的 回 归 方 程 为 : ˆ a + b 现 在 计 算 机 发 展 迅 速, 许 多 软 件 都 可 以 进 行 解 析 计 算, 例 如 Org,Matlab 等

()) 回 归 的 简 化 计 算 解 法 一 变 换 法 当 测 量 数 据 的 数 字 比 较 大 时, 为 简 化 计 算 可 以 将 数 据 进 行 适 当 的 变 换, 通 常 是 把 测 试 数 据 或 加 ( 减 ) 一 个 常 数 或 乘 ( 除 ) 一 个 常 数, 然 后 对 变 换 后 的 数 据 进 行 回 归 计 算, 最 后 在 计 算 表 中 对,, S, S, S 进 行 与 前 面 的 变 换 作 相 应 的 修 正 这 样 既 不 影 响 回 归 方 程 的 精 确 程 度, 又 可 以 大 大 简 化 计 算

设 原 始 数 据,,, 将 它 们 作 如 下 变 换 d ( c ) d ( c ) 式 中 d,d,c,c 均 为 常 数, 则 c + d S S d c + d S S d S S d d

解 法 二 分 组 平 均 值 求 解 对 于 某 些 计 算 精 度 要 求 不 太 高 或 实 验 数 据 线 性 程 度 较 好 的 情 况 下, 可 利 用 分 组 平 均 值 法 来 确 定 回 归 直 线 方 程 用 分 组 平 均 值 法 确 定 回 归 直 线 方 程 ˆ a + b, 步 骤 如 下 : 将 自 变 量 数 据,,, 按 由 小 到 大 的 顺 序 安 排, 通 常 分 成 个 数 近 似 相 当 的 两 个 组 ( 分 组 数 应 等 于 欲 求 未 知 数 的 个 数 ) 令 第 一 组 为 : 令 第 二 组 为 :,,, k,,, k + k+ k +

建 立 相 应 的 两 组 观 测 方 程 组 3 将 两 组 观 测 方 程 两 端 分 别 相 加, 获 关 于 a 及 b 的 方 程 组 b a + k b k a + + + + k k b a b a + + + + + k k k b a k b ka ) (

4 求 解 该 方 程 组, 确 定 a 和 b + + b b a b k k k k

另 外, 精 度 更 差 一 些 求 斜 率 b, 而 a 此 时 为 截 距 b a b + +

(3)) 相 关 系 数 与 显 著 性 检 验 只 有 当 与 之 间 存 在 着 线 性 关 系 时, 确 定 的 回 归 直 线 或 回 归 方 程 才 有 意 义 为 此, 引 进 了 一 个 数 量 性 的 指 标 -- 相 关 系 数 r 来 检 验 r S S S ( ) ( )( ) ( ) 该 公 式 定 量 地 描 述 了 两 个 变 量 和 之 间 的 线 性 相 关 程 度 0 r

利 用 散 点 图 说 明 r 取 不 同 值 时, 散 点 的 分 布 情 形 r 0 时, S 0, b 0 无 线 性 关 系

0 < r < 时, 有 一 定 的 线 性 关 系

r 时, 完 全 线 性 相 关

结 论 相 关 系 数 r 可 以 用 来 表 示 两 个 变 量 和 之 间 线 性 相 关 的 密 切 程 度 ; r 需 要 大 到 一 定 程 度 才 能 认 为 两 个 变 量 和 之 间 有 线 性 相 关 关 系 ; 由 于 抽 样 误 差 的 影 响, 使 相 关 系 数 r 的 值 与 抽 样 个 数 N 有 关 ; 显 著 性 水 平 α 愈 小, 显 著 程 度 愈 高

表 中 给 出 了 两 种 显 著 性 水 平 α( 等 于 0.05 及 0.0), 它 使 相 关 系 数 达 到 显 著 的 最 小 值 例 如, 取 N 个 样 本, 即 N-0 若 r 0.576, 我 们 就 说 r 在 α0.05 水 平 上 显 著 如 果 r 0.708, 则 说 明 在 α0.0 水 平 上 显 著 若 r <0.576, 则 r 不 显 著, 则 和 之 间 的 线 性 关 系 就 不 明 显, 此 时 称 和 线 性 不 相 关, 在 此 种 情 况, 所 配 的 回 归 直 线 或 回 归 方 程 毫 无 实 际 意 义 用 上 节 方 法 所 获 回 归 方 程 后 必 须 用 相 关 系 数 来 加 以 检 验, 才 是 完 整 的 计 算 过 程

(4)) 预 测 与 控 制 当 建 立 了 变 量 与 之 间 的 回 归 方 程 并 经 检 验 确 定 回 归 方 程 有 意 义 之 后, 该 经 验 方 程 可 以 用 来 指 导 生 产 如 何 解 决 对 于 任 意 给 定 的 0 来 预 测 0 值 的 范 围 -- 预 测 问 题 0 (?) 使 在 某 一 范 围 内, 变 量 应 控 制 在 什 么 范 围 内 -- 控 制 问 题 0 (?) 二 者 之 间 既 有 联 系 又 有 区 别

在 一 元 线 性 回 归 中, 随 取 值 的 变 化, 称 为 变 差, 变 差 又 称 离 差 离 差 平 方 和 ( ) S ( ) 它 反 映 了 观 测 值 两 部 分,, 总 的 分 散 程 度, 且 可 分 解 为 回 归 值 ( ) ( ˆ) + ( ˆ ) Q 剩 余 平 方 和 ( 残 差 平 方 和 ) V 回 归 平 方 和

由 于 ( ) S ˆ) )( ˆ ( ˆ) ( ) ˆ ( + + b a + ˆ ˆ) )( ˆ ( 0 ) ( ] ) ( ) )( ( [ )] ( )[ ( S S S S b b b b b b a S S b

具 体 计 算 V ( ˆ ) b ( )( ) bs Q ( ˆ) S V S bs 对 于 每 一 个 平 方 和 都 有 一 个 自 由 度 的 数 与 它 们 相 联 系 总 平 方 和 的 自 由 度 f f + f 总 V Q 在 回 归 问 题 中, f N 总 f 自 变 量 的 个 数, 在 一 元 线 性 回 归 问 题 中, f V V Q的 自 由 度, f Q N

剩 余 均 方 或 剩 余 方 差 S Q f Q Q N 看 作 变 量 固 定 后, 衡 量 随 机 波 动 大 小 的 一 个 估 算 值 剩 余 平 方 差 的 平 方 根 S 剩 余 标 准 差, 与 S 的 意 义 相 同, 用 来 衡 量 预 测 的 精 度 这 种 把 平 方 和 及 自 由 度 进 行 分 解 的 方 法 称 为 方 差 分 析 法 N Q

对 于 较 大 且 0 ~, 随 机 变 量 近 似 地 服 从 正 态 分 布 : 对 给 定 的 显 著 水 平 α, 有 ( ˆ N( 0, S) u S ˆ + u ) α 0 0 0 S 即 任 一 给 定 的 0, 0, 置 信 概 率 为 - α 置 信 区 间 为 [ ˆ u S, ˆ u ] 0 α 0 + α S α0.05, 置 信 概 率 为 0.95 的 置 信 区 间 表 示 为 ˆ.96, ˆ 0 S +.96S] [ 0 由 此 可 解 决 预 测 问 题 a + b 0 a + b0

分 位 数 u α 查 标 准 正 态 表 可 知 u u u 0. 0.05 0.0.645.96.58

对 于 控 制 问 题, 若 要 求 取 值 满 足, 则 可 以 由 下 列 方 程 组 求 解 出, a + b.96s a + b.96s 若 b > 若 b < 就 能 以 0.95 的 概 率 保 证 的 取 值 在 与 之 间 取 b>0, 只 要 这 样 就 解 决 了 控 制 取 值 在 控 制 问 题 << 0, 0, < >

P5 例 题.4 零 件 某 部 分 化 学 铣, 技 术 要 求 为.5±0.mm 生 产 中 积 累 的 不 同 腐 蚀 时 间 下 的 腐 蚀 深 度 的 3 组 数 据 如 下 表 所 示, 试 确 定 腐 蚀 深 度 与 腐 蚀 时 间 的 经 验 公 式

解 : 作 散 点 图,p7 画 图 坐 标 分 度 按 要 求 要 得 D () 必 须 确 定, 的 测 量 误 差 ( 也 就 是 ) 简 化 计 算 令 计 算 结 果 如 下 ) ( ) ( D M D M σ 总 误 差 /00.50 860 d c d c.84, 3 59 0.65 3 0

突 然 0.7878 843.5 00.88 33.5 0.63 00.88 33.5 S S S r S S b 33.5 0 59 3 350 843.5 (0) 3 856 ) ( ) ( 00.88 (59) 3 039 ) ( S S S 36.64 33.5 0.63.5 843 S b S Q

这 样 就 可 以 得 到 860 +.84 86.84.50 + 0.65.5065 00 b 0.63 0.0063 00 a.5065 0.0063 86.84 0.444 r r 0.7878 Q ( ) 00 数 据 的 增 减 不 影 响 相 关 系 数 36.64 0.03664

3 确 定 所 求 回 归 方 程 4 相 关 性 检 验 对 给 定 显 著 性 水 平 α0.05, 查 表.4 相 关 系 数 检 验 表, 有 又 因 ˆ 0.444+ 0. 0063 r (3) 0.05 0.349 r 0.7878> 0.349 r (3) 0.05 故 所 求 回 归 方 程 在 显 著 水 平 0.05 下 是 显 著 的, 即 有 95 % 的 把 握 认 为 腐 蚀 深 度 与 腐 蚀 深 度 之 间 存 在 线 性 相 关 关 系

5 预 测 与 控 制 取 显 著 水 平 α0.05, 因 为 Q0.03664, 所 以 剩 余 标 准 差 Q S 0.0347 N 预 测 : 当 腐 蚀 时 间 0 870s 时, 腐 蚀 深 度 0 的 点 估 计 为 0 0.444+ 0.0063 870.547 腐 蚀 深 度 0 的 置 信 概 率 为 0.95 的 置 信 区 间 为 [.547-.96 0.0347,.547+.96 0.0347] 即 [.4567,.597] 此 时 产 品 基 本 能 合 格, 但 偏 于 技 术 要 求 的 上 限

控 制 : 要 求 腐 蚀 深 度 在 技 术 要 求 范 围 内, 即.4.6 确 定 腐 蚀 时 间 控 制 的 范 围 为 此, 解 方 程 组 -0.444+0.0063 -.96 0.0347.4-0.444+0.0063 +.96 0.0347.4 求 解 得 844.9456 873.60 即 腐 蚀 时 间 控 制 在 845~873s 范 围 内 一 般 产 品 的 合 格 率 可 达 95% 以 上

(5)) 一 元 非 线 性 回 归 化 为 线 性 回 归 ~ 并 非 线 性 相 关 关 系, 而 是 某 种 曲 线 相 关 关 系, 用 回 归 曲 线 f() 来 描 述 适 当 的 变 换, 将 非 线 性 回 归 问 题 转 变 为 回 归 问 题 来 处 理, 具 体 步 骤 如 下 : 按 样 本 数 据, 在 直 角 坐 标 中 描 绘 出 散 点 图 根 据 散 点 图, 选 择 适 当 的 曲 线 类 型, 推 测 出 与 之 间 的 大 概 函 数 关 系 3 通 过 选 择 适 当 的 数 学 变 换, 使 之 变 成 线 性 关 系

相 关 指 数 R ( ) ( ) 判 断 所 配 曲 线 与 所 测 数 据 拟 合 优 劣 的 衡 量 指 标 量 ( ˆ) S N 程 预 报 值 精 度 的 标 准 剩 余 标 准 差, 作 为 根 据 回 归 方

Q δ δ ˆ 残 差 R ( ˆ) ( ) Q S ( ) S 曲 线 选 择 要 比 较 Q R S 三 值,Q S 小 者, R 大 者 为 优 (R 相 关 系 数 )