66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变 量, 它的取值为 y,, y, y, ( x (,, 其中 y g 68 例 5 设离散型随机变量 的分布律为 -3-0 6 9 P 解 : 5 5 35 70 6 5 5 5 5 5 5 随机变量 3, 试求 的分布律. 随机变量 3 的取值为 69 这些取值两两互不相同, 由此得随机变量 的分布律为 3-9 -5-3 9 5 P 5 5 35 70 6 5 5 5 5 5 5-3 - 0 6 9 P 5 5 5 5 5 35 5 70 5 6 5 9, 5, 3,, 9, 5,
( 二. 连续型随机变量函数的分布 70 7 设 是一连续型随机变量, 其密度函数为 f 再设 g ( 随机变量. 我们要求的是 g 是 的函数, 我们假定 也是连续型 ( 的密度函数 f. 解题思路 ⑴. 先求 g( 的分布函数 F P{ y} P g( y ⑵. 利用 关系求 g g( ( 的密度函数 f F 的分布函数与密度函数之间的 { }, g y f ( xdx 例 y8 y 8 x F f dx g, g f ( t dt, g f 7 设随机变量 具有概率密度 : 试求 +8 的概率密度. x, 0< x < 4, f 8 解 :( 先求 +8 的分布函数 F (y: F P{ y} y8 y 8 P{ + 8 y} P { } f ( xdx 73 ( 利用 F f 可以求得 : y8 y8 f F g ( ( y 8 x f (, 0< x < 4, f ( x 8 y8 y8 (, 0< < 4, 8 复合函数求导公式 [ g( hx ( ] g ( hx ( h y 8 0< < 4 8< y < 6
74 整理得 +8 的概率密度为 : f y 8, 3 0, 本例用到变限的定积分的求导公式 8 < y < 6, 其它. 75 如果 则 ϕ F( x f ( t dt, ψ F f [ ϕ( x] ϕ f [ ψ ] ψ ( x. P{ x < x } F( x F( x 例如, 设 ~N(0,, 其概率密度为 : 76 ( F y F ( ( f ( y y y y g( hx ( g ( hx ( h F x f x [ ] ( ( ( ( / y y / y y F ( y F ( y( y f ( y y ( y y 77 x ϕ e π, < x <. ( ( ( ( y > 0, f y f y + f y y ( ϕ ( y ϕ ( y + y e + e y π π y y e π ( y 3
( ( ( ( 78 则 ( ~N(0, 的概率密度为 : y y e, y > 0, f π 0, y 0. y y > 0, f y f y + f y y e y π 此时称 服从自由度为 的 χ 分布 79 定理设随机变量 具有概率密度 f, < x <, 又设函数 g 处处可导, 且有 g > 0 ( 或恒有 g ( x < 0. 则 g( 是一个连续型随机变量, 其概率密度为 f f [ h( y] h, α < y < β, 其中 h(y 是 g(x 的反函数, α mi{ g(, g( }, 即 x g h( y β max{ g(, g( }. 定理 ( 续 若 f 在有限区间 [ a, b] 以外等于零, 则只须假设在 [ a, b] 上恒有 g > 0( 或恒有 g < 0, 此时仍有 : 80 f [ h ( y ] h ( y, α < y < β, f ( y 这里 α mi{ g ( a, g( b}, β max{ g( a, g( b}. 证明 : 设随机变量 g ( 的分布函数为 F ( y, 则有 F ( y P{ y} P{ g( y} 由题设, 不妨假设 g > 0, 则 g (x 是严格增 加的函数. F P{ g( y} P{ g 因此 ( g( g } 8 h( y P{ h } f dx 单调递增函数的反函数仍是单调递增函数, 比如 gx ( 3x+ g ( x 3 y { g { g( y} { 3 + y} { 3 y} ( y } 3 { g { g ( g ( 这相当于 g ( y } ( y } P{ g( y} 是 f在不等式 g( y所限定的范围内的积分 f ( xdx g( y 4
8 由题设, 当随机变量 随机变量 在区间 其中, 在区间 (, + ( α, β 上变化. { g (, g( + }, β max{ g(, ( + } 当 y ( α, β 时, α mi g 因此, F h f dx h( y ( d 所以, f y F ( ( y f x dx dy 上变化时, 83 ϕ ( x F f( t dt, F f[ ϕ] ϕ ( h h ( ( ( ( 0 f f h h y g x > 情形 若 g 0 a 因此, F P{ y} P g( y ( x <, 则 g( x 是严格减少的函数. 当 y ( α, β 时, { } { P g ( g( g } + P{ g } P{ h } f dx ( d ( + 所以,f y F ( y f x dx dy h( y h( y 84 F y f h y h y b ψ ψ ψ ( ( ( ( f ( h h ( g < 0 情形 F ( x f ( t dt, F ( x f [ ( x ] ( x 综上所述, g ( 的密度函数为 85 f ( h h f α < y < β 0 其它 例 7 设随机变量 ( ~ N μ, σ, e, 试求随机变量 的密度函数 f ( y. 解 : 由题设, 知 的密度函数为 f ( xμ σ e πσ ( < x < + x 因为函数 y e 是严格增加的, 它的反函数为 x l y g h l y 5
86 (, + 上变化时, y ( 0, + 时, 并且当随机变量 在区间 e 在区间 ( 0, + 上变化. 所以, 当 f f ( l y μ l l exp πσ σ y 由此得随机变量 e 的密度函数为 ( l y μ exp > ( y 0 f y π yσ σ 0 y 0 F f ( h h ( xμ σ f e h y y πσ ( l 87 的密度函数为 ( xμ σ f e ( < x < + πσ 由 f ( ( ( f h y h y α < y < β 0 其它 得到 a + b的概率密度为 f e πσ ( xμ σ 88 f e a πσ a σ e π ( ybaμ ( aσ yb ( μ a σ e a σ π ( y ( b+ aμ ( aσ 89, 0 θ π 的密度函数 : f ( θ π 0, 其它 V 的分布函数 : < 0时, FV ( P{ si } P ( 0 时, FV ( P{ si } 时, { } P{ si } 0 < F ( P V V P si 6
90 P π π si π + si 可略过此页直接 π + π si π + π + si 阅读 P9. 9 ( 0, 0,si si, si 在区间 π 中, 只有在. π π 时才有 FV ( P 0 si π si π F(si F(0 + F( π F( π si F + F π (si ( si (0 < 0 x < 0 x 0 F 0 x π π 0 π < x 9 V 的分布函数 : (si x 0, x < 0 FV ( F(si + F( π si, 0 <, F ( θ f( θ dfv ( < 0或 时 V的密度函数为 : ψ ( 0 d dfv ( 0 < 时 V 的密度函数为 : ψ ( F (si (si d F ( π si ( π si f (si f ( π si 93 f (si f ( π si π π π ψ ( π 0,,0 < 其它 π π 0 0 si, si < < < < < π <, 0 θ π f ( θ π 0, 其它 π 7
94 引进了随机变量的概念, 要求会用随机变量表示随机事件 给出了分布函数的定义及性质, 要会利用分布函数表示事件的概率 3 给出了离散型随机变量及其分布律的定义 性质, 要会求离散型随机变量的分布律及分布函数, 掌握常用的离散型随机变量分布 : 两点分布 二项分布 泊松分布 4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义 性质, 要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算, 掌握常用的连续型随机变量分布 : 均匀分布 指数分布和正态分布 5 会求随机变量的简单函数的分布 8