台北市立第一女子高級中學 05 學年度第 學期第一次期中考高三數學 ( 理組 ) 題目卷 範圍 : 選修數學 ( 甲 ) 上 -- 第一章機率與統計一 多重選擇題 ( 每個選項 2 分不倒扣, 共 34 分 整題未作答者, 該題不予計分 ). 袋中有 0 元硬幣 5 枚, 元硬幣 0 枚, 下列哪些選項正確? (A) 任取 枚硬幣之金額期望值為 4 元 (B) 任取 4 枚硬幣之金額期望值為 6 元 (C) 取後放回, 每次取 枚硬幣, 取 4 次後之金額期望值為 30 元 (D) 取後不放回, 任取 0 枚硬幣後, 再將另外的 0 元硬幣 0 枚, 元硬幣 20 枚放入袋中, 再任取 0 枚硬幣, 則取出總共 20 枚硬幣之金額期望值為 80 元 (E) 將袋中 5 枚硬幣 ( 皆公正硬幣 ) 全取出並投擲, 正面可得該硬幣面額 2 倍之金額, 反面無論何種硬幣均須賠 8 元, 則此遊戲為公平遊戲 2. 已知某枚硬幣正面出現的機率為 p, 投擲 n 次, 隨機變數 X 表正面出現的次數, 下列哪些選項正確? (A) 若 ( np, ) (00,0.2), 則期望值 EX ( ) 20, 標準差 ( X ) 4 (B) 若 ( np, ) (00,0.2), 則 P( X 9) P( X 2) (C) 若 n 00, 且標準差 ( X ) 2 6, 則 p 0.6 (D) 當試驗的次數 n 足夠大時, 正面出現的比例會等於 p (E) 當試驗的次數 n 足夠大時, 正面出現的比例經標準化後的機率分布, 會近似於標準常態分布 3. 請先閱讀以下新聞, 回答下列問題 節錄 全台 790 萬人瘋寶可夢平均每天玩近兩小時 根據行動市調 App EZchoice 的調查結果顯示, POKEMON GO 遊戲的確對生活造成不少影響 有 28.% 的行動網路族則承認玩這個遊戲有影響到上班或上課的效率 這項調查由行動市調 App EZchoice 執行, 以 5 歲以上行動網路族為調查對象, 成功樣本數為 549 份, 在信心水準 95% 下抽樣誤差約為正負 2.3% 根據國發會所公布的統計,5 歲以上行動網路族約,329 萬人 ( 中時電子報 2060820) (A) 這次調查的樣本中, 約有 435 人承認玩這個遊戲有影響到上班或上課的效率 (B) 在 95% 的信心水準下, 此次調查 影響到上班或上課的效率 人數比例之信賴區間為 [0.258,0.304] (C) 若提高信心水準, 在 99.7% 的信心水準下之信賴區間會比 [0.258,0.304] 範圍更小 (D) 若有另外一家公司重新調查 600 人, 其中承認有影響上班或上課效率的人數為 320 人, 則 95% 的信心水準下, 此次調查的信賴區間為 [0.26,0.30] (E) 如果重複作相同的抽樣 ( 每次 549 份有效樣本, 相同信心水準下 ), 每一次都會算出一個信賴區間, 每個區間大約有 95% 的機率包含全體 影響到上班或上課的效率 人數的真正比例 p (F) 如果重複作相同的抽樣 ( 每次 549 份有效樣本, 相同信心水準下 ), 每一次都會算出一個信賴區間, 大約有 95% 的區間涵蓋全體 影響到上班或上課的效率 人數的真正比例 p (G) 如果遊戲公司廣為宣傳後再次抽樣, 樣本數為原來的 4 倍, 則 95% 的信心水準下, 影響到上班或上課的效率 人數比例之信賴區間寬度會減半 第 頁 / 共 4 頁
. 多重選擇題有 5 個選項, 每個選項 2 分不倒扣 整題未作答者, 該題不予計分 若埼玉已知選項 A 是正確的, 其他 4 個選項只能亂猜, 則該題得分的期望值為 分 2. 投手澤村榮純投球, 平均每 4 球有 3 球是好球, 與御幸一也練習時投了 6 球, 假設每次投球互不影 響, 則好球次數的標準差為 7 35 3. 隨機變數 X 之期望值 EX ( ),變異數 Var( X ),則 2 2 2 E(6X ) 4. 三猩公司最新發售弱特欺 (No Order To Explode 7) 手機, 經過抽樣調查發現, 樣本數 00 支手機, 其中有 35 支發生爆炸, 則在 95% 的信心水準下, 本次抽樣爆炸率的信賴區間為?( 計算至 小數第三位, 2275 48) 5. 摩卡 小花 黑妞在 0~9 的數字鍵盤胡亂打字, 若每次只按一個鍵, 每個鍵被按到的機率均等, 各 按 50 次鍵盤的結果如下表 : 摩卡 345 92653 58979 32384 62643 38327 95028 8497 6939 9375 小花 05820 97494 45923 0786 40628 62089 98628 03482 5342 7067 黑妞 9824 80865 3282 30664 70938 44609 55058 2237 25359 4082 若以此表模擬正面出現機率為 0.4 的硬幣, 以 00 到 39 代表正面,40 到 99 代表反面, 從第一行起由 左向右每次取一個 2 位數字組, 到最後一行為止, 則何者的模擬結果, 正面所出現的機率跟 0.4 差距的絕對值最小? ( 填中文名字 ) 6. 某個闖關遊戲中, 每一關由菜月昴 愛蜜莉雅獨立過關的機率為 a b, 今兩人闖關不互相影響, 每一關有人過關即稱作成功 若兩人同時闖 25 道關卡, 成功的關卡數期望值為 20 道, 則 ab a b X 7. 隨機變數 X 代表第一次期中考成績, 為標準差, 下列表格為常態分布下 Z 之機率表 全 校平均 70 分, 若該次考試呈常態分布, 考試分數皆為整數 婕兒說 : 52 分到 88 分的人只占全校 的 87%, 不能再高了 小穹此次考試的標準化分數為 2.5, 則小穹的考試分數為 分 0.5.0.5 2.0 2.5 P( Z ) 38% 68% 87% 95% 99% 第 2 頁 / 共 4 頁
8. 蛋藏玩手機遊戲 -- 龍族拼圖 (PUZZLE & DRAGONS), 每次攻擊只可能為 4 連擊 (combos) 5 連擊 (combos) 0 連擊 (combos), 機率分布如下表 : 連擊數 4 5 6 7 8 9 0 機率 0.25 x y 0.4 0.08 0.02 0.0 已知連擊數之期望值為 5.6 連擊 (combos) () 則 ( xy, ),(2) 變異數為 9. 實力相當的兩人空與白進行西洋棋比賽, 比賽有勝 負 和局三種結果, 機率各為 3, 兩人約定先 勝二場者獨得獎金 54000 元 但和局兩場時比賽中止, 此時若兩人勝 負次數相同, 則獎金平分, 若 其中某人勝場數較多, 則獨得全部獎金 今已知空先勝一場後, 因故無法繼續進行比賽, 則空可分得 元才公平 0. 風險骰子由正 20 面體構成, 每面出現機率皆均等, 其中 9 面寫上 大吉, 剩下 面寫上 大凶 某賭局擲一枚公正硬幣, 若搭配風險骰子, 則每次結果下表 : 硬幣 風險骰子 大吉 大凶 正面 +00 元 + 元 反面 - 元 -2 X 元 X 為之前大吉且正面所得的總獎金, 若 X 0, 則此次賠 00 元 例如 : 投擲 0 次公正硬幣, 每次皆搭配風險骰子, 已知硬幣依正反正反正反正反正反出現 若風險骰子前 9 次出現 大吉, 最後 次出現 大凶, 則正面 5 次得 500 元, 反面 4 次賠 4 元, 最後 次反面須賠 000 元, 總和賠 504 元 2 若風險骰子第 4 次出現 大凶, 其餘皆 大吉, 正面前 2 次得 200 元, 大凶 之前有 2 次正面, 所以 大凶 出現時須賠 400 元, 之後正面 3 次得 300 元, 其餘反面 4 次賠 4 元, 總和得 96 元 依此規則, 投擲 20 次公正硬幣, 每次皆搭配風險骰子, 已知硬幣依正反正反 正反順序出現, 且在 風險骰子恰出現 次 大凶 的條件下, 獎金的期望值為 k 元, k B n xi n i (Be)(greater than)(average) 第 3 頁 / 共 4 頁
台北市立第一女子高級中學 05 學年度第 學期第一次期中考高三數學 ( 理組 ) 答案卷 高三 班 座號 號 姓名 範圍 : 選修數學 ( 甲 ) 上 -- 第一章機率與統計 一 多重選擇題 ( 每個選項 2 分不倒扣, 共 34 分 整題未作答者, 該題不予計分 ). 2. 3.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.() 8.(2) 9. 0. 第 4 頁 / 共 4 頁
台北市立第一女子高級中學 05 學年度第 學期第一次期中考高三數學 ( 理組 ) 答案卷 高三 班 座號 號 姓名 範圍 : 選修數學 ( 甲 ) 上 -- 第一章機率與統計 一 多重選擇題 ( 每個選項 2 分不倒扣, 共 34 分 整題未作答者, 該題不予計分 ). 2. 3. ABDE ABE ABF. 2. 3. 4. 6 3 2 4 90 [0.254,0.446] 5. 6. 7. 8.() 摩卡 5 00 (0.3,0.2) 8.(2) 9. 0..94 42000 39 第 5 頁 / 共 4 頁