第十九單元反三角函數 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 () g(y), 設,y 分別是 () g(y) 定義域內任意元素, 如果 g(())= 且 (g(y))=y 則稱 () 與 g(y) 互為反函數,() 的反函數記為 1 (), 即 g()= 1 () 此時 () g() 的定義域與值域互換, 即 () 的定義域為 1 () 的值域,() 的值域為 1 () 的定義域 例一 : 設 ()=, 定義域 =R, 值域 ={y y 0}, 我們來討論 () 的反函數 g(y), 因為 4,0.5 0.5,, 所以 4 g, 0.5 g 0. 5, g, g 由對數的定義可知 g(y)=log y, 定義域 ={y y 0}, 值域 =R 例二 : 設 ()=, 定義域 =R, 值域 ={ y y 0}, 觀察它的對應情形 1 1, 1 1, 4, 4,± 函數時, 會遭遇到一個問題, 到底 要對應回去 或是 呢? 9,±, 當我們求它的反 g 因為 ()= 是一個 對 1 的函數, 因此反函數定義時會遭遇到 1 對 無法形成函數, 這個情形與 (1) 的情形不同,()= 是一個 1 對 1 的函數, 故直接對應回來就能定義反函數 ; 而 ()= 是一個 對 1 的函數, 我們要定義反函數時, 就要採取彈性的方法, 所謂彈性的方法就是限制原函數的定義域, 使得原函數在限制下的定義域是一個 1 對 1 的函數 當定義域限制成 { 0} 時, 可定義反函數 1 (y)= y, 當定義域限制成 { 0} 時, 可定義反函數 1 (y)= y 例三 : 處理三角函數的情形, 與處理 ()= 的情形類似, 考慮 ()=sin, 因為 +k 它是一個多對 1 的函數, 所以要處理正弦函數的反函數問題時, 要將定義域做適當的限制, 其它的 5 個三角函數也是用同樣的方法來處理 () 函數 () 與 1 () 圖形的關係 : 設 Γ 1 與 Γ 分別代表函數 () 與 1 () 的圖形設點 (a,b) 在 Γ 1 上 b=(a) a= 1 (b) 點 (b,a) 在 Γ 上 ~19 1~
因為點 (a,b) 與 (b,a) 對稱直線 y=0, 所以 Γ 1 與 Γ 對稱直線 y=0 故函數 () 與 1 () 的圖形對稱於直線 y=0 ( 乙 ) 反正弦函數 (1) 反正弦 sin 1 a 的定義 : 對於每一個實數 a [ 1,1], 在區間 [, ] 內, 都恰有一個實數, 使得 sin=a 這個唯一的實數, 就記為 sin 1 a( 有時也記為 arcsina), 讀做 arcsinea 例如 : 因為在 [, ] 內只有 6 使得 sin 6 = 1, 所以 sin 1 1 = 6 因為在 [, ] 內只有 4 使得 sin 4 =, 所以 sin 1 ( )= 4 問題與討論 : (a)sin 5 6 = 1, 為什麼 sin 1 1 5 6 呢? (b)sin 1 4 有意義嗎? 為什麼? 結論 : sin 1 a=θ a [ 1,1],θ [, ] 且 sinθ = ( 練習 1) 完成下表 : a 0 1 1 1 1 sin 1 a [ 例題 1] 求下列各式的值 : (1) sin 1 (sin 5 ) () sin 1 sin 4 () sin 1 sin Ans:(1) 5 () () ~19 ~
[ 例題 ] 求下列各式的值 : (1)sin sin 1 5 ()sin sin 1 ( 5 ) ()sin sin 1 Ans:(1) 5 () 5 () 無意義 ( 練習 ) 求下列各小題的值 : (1)sin 1 1=? ()sin 1 5 [ 利用三角函數值表 ] ()sin 1 =? (4)sin 1 (cos 5 6 )=?(5)sin(sin 1 )=? (6) sin 1 (sin10) (7) sin 1 sin 5 8 Ans:(1) () 約 0.41 弧度 () 無意義 (4) (5) (6) 10 (7) 8 ( 練習 ) 在 ABC 中, 若 BC=, CA=6, B=15, 求 A Ans: A=sin 1 1 () 反正弦函數 : 1 y y=sin O 1 由 y=sin 的圖形可知定義域限制在 [, ] 內時,y=sin 為一個 1 1 函數 (a) 定義反正弦函數 : 根據 sin 1 的定義, 可知我們限制 y=sin 的定義域到 [, ], 此時 y=sin 為 1 對 1 的函數, 因此可以定義反正弦函數 y=()=sin 1, 可知定義域 ={ 1 1}, 值域 ={y y } (b) 反正弦函數的圖形 : 對於 a [, ], 點 (a,b) 在 y=sin, 的圖形上 ~19 ~ y= y y=sin 1 O y=sin
點 (b,a) 在 y=sin 1 的圖形上 所以 y=sin, [, ] 與 y=sin 1 的圖形對稱於直線 y= () 反正弦函數的性質 : 性質 1:y=sin 1 圖形對稱原點, 為奇函數 sin 1 ( )= sin 1 (), 1 1 性質 : 若 1 1, 則 sin(sin 1 )= 性質 : 若, 則 sin 1 (sin)= 性質 4: 若 R, 則 sin 1 (sin), 例 sin 1 (sin 5 6 )=sin 1 ( 1 )= 6 5 6 ( 丙 ) 反餘弦函數 (1) 反餘弦 cos 1 a 的定義 : 對於每一個 a, 1 a 1, 在區間 [0,] 上都恰有一個實數 使得 cos=a 這個唯一的實數, 就記為 cos 1 a( 有時也記做 arccosa), 讀做 arc cosinea ( 練習 4) 完成下表 a 0 1 1 1 1 cos 1 a sin 1 a sin 1 a+cos 1 a 例如 : 因為 0,cos =1, 所以 cos 1 1 = 因為 0 5 6,cos5 6 =, 所以 cos 1 ( )= 5 6 問題與討論 : (1)cos 5 =1, 為何 cos 1 1 5 呢? ~19 4~
()cos 1 是否有意義? 結論 : cos 1 a=θ a [ 1,1],θ [0,] 且 cosθ = [ 例題 ] 求下列各式的值 : (1)cos 1 cos 5 7 ()cos 1 (cos ) ()cos 1 cos4 Ans:(1) 5 7 () () 4 [ 例題 4] (1)cos(cos 1 ( 1)) () cos(cos 1 ( )) ()cos[cos 1 ( )] Ans:(1) 1 () 無意義 () ( 練習 5) 求下列各小題的值 : (1)cos 1 ()cos 1 ()cos 1 (cos1000) Ans:(1) 6 () 無意義 ()0 ( 練習 6) 求下列各小題的值 : (1)cos 1 (cos) ()cos 1 ( ) ()cos 1 (cos 4 ) (4) cos 1 (cos) (5) cos 1 (cos5) Ans:(1)0 () 無意義 () (4) (5) 5 ~19 5~
() 反餘弦函數 : y 1 O 1 y=cos 由 y=cos 的圖形可知定義域限制在 [0,] 內時,y=cos 為一個 1 1 函數 (a) 定義反餘弦函數 : 根據 cos 1 的定義, 可知我們限制 y=cos 的定義域到 [0,], 此時 y=cos 為 1 對 1 的函數, 因此可以定義反餘弦函數 y=()=cos 1, 可知定義域 ={ 1 1}, 值域 ={y 0 y } y y=0 y=cos 1 (b) 反餘弦函數的圖形 : 對於 a [0,], 點 (a,b) 在 y=cos 的圖形上 點 (b,a) 在 y=cos 1 的圖形上 O y=cos 所以 y=cos, [0,] 與 y=cos 1 的圖形對稱於直線 y= () 反餘弦函數的性質 : 性質 1: 若 1 1, 則 cos (cos 1 )= 性質 : 若 0, 則 cos 1 (cos)= 性質 : 若 R, 則 cos 1 (cos) 例 :cos 1 (cos 4 )=cos 1 ( 1 )= 4 性質 4:sin 1 +cos 1 = 性質 5: 若 1 a 1, 則 cos 1 ( a)= cos 1 a 例 :cos( 1 )= = = cos 1 1 ~19 6~
( 丁 ) 反正切函數 (1) 反正切 tan 1 a 的意義 : 對於每一個實數 a, 在區間 (, ) 內, 都恰有一個實數, 使得 tan=a 這個唯一的實數, 就記為 tan 1 a( 有時也記為 arctana), 讀做 arctangenta 例如 : 因為在 (, ) 內只有 4 使得 tan 4 =1, 所以 tan 1 1= 4 因為在 (, ) 內只有 使得 tan =, 所以 tan 1 ( )= 注意 :tan 5 6 = 1, 為什麼 tan 1 ( 1 ) 5 6 呢? 結論 : tan 1 a=θ () 反正切函數 : a R,θ (, ) 且 tanθ = y O 由 y=tan 的圖形可知限制定義域在 (, ) 時,y=tan 是 1 1 的函數 (a) 定義反正切函數 根據 tan 1 的定義, 可知我們限制 y=tan 的定義域到 (, ), 此時 y=tan 為 1 對 1 的函數, 因此可以定義反正切函數 y=()=tan 1, y=tan 可知定義域 =R, 值域 ={y <y< } (b) 反正切函數的圖形 : 對於 b (, ), 點 (a,b) 在 y=tan, 的圖形上 點 (b,a) 在 y=tan 1 的圖形上 所以 y=tan, (, ) 與 y=tan 1 的圖形對稱於直線 y= ~19 7~ y y= O y=tan 1
() 反正切函數的性質 : 性質 1:y=tan 1 圖形對稱原點, 為奇函數 tan 1 ( )= tan 1 性質 : 若 R, 則 tan tan 1 = 性質 : 若 <<, 則 tan 1 tan= 性質 4: 若 R, 則 tan 1 tan 例如 :tan 1 (tan 4 )=tan 1 ( 1)= 4 4 [ 例題 5] 求下列各小題的值 : (1)tan 1 ( 1) ()tan 1 (tan 7 1 ) ()tan 1 (tan ) (4)tan(tan 1 (100)) Ans:(1) 4 () 5 1 () 無意義 (4)100 ( 練習 7) 求下列各小題的值 : (1)tan 1 ( ) ()tan 1 (tan00) ()tan 1 (tan 4 ) (4)tan(tan 1 1) Ans:(1) ()0 () 4 (4)1 [ 例題 6] 設 0, 且 cos= 1, 請問 =?Ans:=cos 1 1 或 cos 1 1 ~19 8~
[ 例題 7] 求下列各小題的值 : (1)sin[sin 1 1 10 +cos 1 ( 5 )] ()cos[1 tan 1 5 ] Ans:(1) 10 () 5 6 ( 練習 8) 設 0, 且 tan= 1, 請問 =?Ans:=tan 1 1 或 + tan 1 1 ( 練習 9) 試求 cos[tan 1 ( 4 1 )+sin 1 1 ]=? Ans:6 65 ( 練習 10) 試求 sin[ 1 cos 1 ( 0 )]=? Ans: 6 [ 數學與電腦 ]: (1) 利用 Geogebra 畫出 y=sin 與 y=sin 1 (y=arcsin()) 的圖形並比較它們的關係 () 利用 Geogebra 畫出 y=cos 與 y=cos 1 (y=arccos()) 的圖形並比較它們的關係 () 利用 Geogebra 畫出 y=tan 與 y=tan 1 (y=arcsin()) 的圖形並比較它們的關係 ~19 9~
綜合練習 (1) 求下列各式的值 : (a)sin(sin 1 4 ) (b)sin 1 (sin) (c)cos(cos 1 ) (d)cos 1 (cos) (e)tan(tan 1 ) ()tan 1 (tan) () 下列有關反函數的敘述那些是正確的? (A)sin 1 sin 4 =4 (B)tan 1 tan4=4 (C)cos[cos 1 ]= (D)sin(cos 1 1 )= (E)cos 1 (cos )= () 有關 ()=sin -1,-1 1 的敘述, 何者正確? (A) () 為一對一函數 (B) () 的反函數為正弦函數 - 1 (E) () 的值域為 { y - y } (C) () 為遞增函數 (D) () 之定義域為 { 1} (4) 有關 ()=cos -1,-1 1 的敘述, 何者正確? (A) () 為一對一函數 (B) () 的反函數為餘弦函數 - 1 (E) () 的值域為 { y - y } (C) () 為遞增函數 (D) () 之定義域為 { 1} (5) 計算下列各小題 : (a)tan[sin 1 4 5 5 +cos 1 1 ] (b)cos[ sin 1 ( 4 5 )] (c)cos[ tan 1 ( 4 )] (d)sin[sin 1 4 5 5 +cos 1 1 ] 4 (e)cos[sin 1 5 ] (6) 解下列方程式 : (a)cos 1 =sin 1 1 (b)cos 1 = sin 1 5 (c)cos 1 7 5 =tan 1 (+) (7) 化簡 tan 1 +tan 1 = (8) 比較 a=sin 1 sin1,b=cos 1 cos,c=tan 1 tan, 的大小 (9) 試比較 a=sin 1 ( 4 ),b=cos 1 5 6,c=tan 1 ( 1 ) 之大小 ~19 10~
(10) 設 a,b 為方程式 +=0 的二根, 試求 tan(tan 1 a+tan 1 b) 之值 (11) 解方程式 cos=,0 進階問題 (1) 解方程式 :cos+sin+1=0, 其中 0 (1) (a) 證明 : 1,sin 1 +cos 1 = (b) 解方程式 4cos 1 +sin 1 = 4 綜合練習解答 (1) (a) 4 (b) (c) 無意義 (d) (e) ()0 () (D)(E) () (A)(C)(D)(E) (4) (A)(D) (5) (a) 56 (b) 7 5 (6) (a) (b) 8 5 0 α = ] (c) 117 15 (d) 56 65 (e) 1 50 (4 7) (c) 1 7 [ 提示 :(a) 令 α=cos 1 = sin 1 1 cosα= 且 sinα= 1, (7) 4 [ 提示 : 令 α= tan -1,β= tan -1,tanα=,tanβ=, 計算 tan(α+β)= tanα+tanβ 之值 ] 1 tanαtanβ (8) c<a<b[ 提示 :a=sin 1 sin1=1,b=cos 1 cos=,c=tan 1 tan= ] (9) b>c>a (10) [ 提示 : 令 tan 1 a=α, tan 1 b=β tanα=a, tanβ=b 所以 tan(α+β)= tanα+tanβ 1 tanαtanβ = a+b 1 ab = ] =cos 1 y (11) cos 1 或 cos 1 [ 提示 : =cos 1 是一個解, 且 < cos 1 <, 但是在 0 的範圍內, 還有其他的解, 如圖這個解為 cos 1 ] = cos 1 O (1) 或 +sin 1 ( 4 ) 或 sin 1 ( 4 )[ 提示 : 原方程式 (1 sin )+sin+1=0 ~19 11~
4sin sin =0 sin=1 +sin 1 ( 4 ) 或 sin 1 ( 4 )] 或 4 因為 0 所以 = 或 (1) 6+ 4 [ 提示 :(a) 令 sin 1 =θ, 欲證明 cos 1 = θ cos( θ)=] ~19 1~