(Image Restoration) 图像增强 : 用适当方式改善图像质量, 增强图像的视觉效果, 以适应人眼的视觉和心理, 不用考虑增强处理后的图像是否符合原有图像, 是否失真 图像复原 : 试图利用退化过程的先验知识, 去恢复已被退化图像的本来面目 成像系统受各种因素的影响, 导致了图像质量的降低, 或者说是退化 由于获得图像的方法不同 ( 光学 光电子或电子等 ), 有多种退化形式, 都使成像的分辨率和对比度退化, 例如 : 传感器噪声摄像机聚焦不佳物体与摄像机之间的相对移动随机大气湍流光学系统的象差成像光源和射线的散射 图像退化的主要表现形式 : 图像模糊图像受到干扰由于成像系统造成图像退化的典型现象是模糊, 所以图像复原的一个基本任务就是去模糊 1
由于图像复原是建立在比较严格的数学推导之上的, 存在较复杂的 数学运算是本章特点 建模 拟合图像 连续数学 离散数学 图像复原的基本思路 : 先建立退化的数学模型, 然后根据该模型对退化图像进行拟合 图像复原模型可以用连续数学和离散数学处理, 处理项的实现可在空间域卷积, 或在频域相乘 2
[1-4] 6.1 图像退化模型 式中 设一成像系统的物像映射关系 ( 或说退化图像 ) 为 { } gxy (, ) = f( xy, ) gxy (, ) : 输出的退化函数或称退化图像 ; f( x, y ) : 输入的图像函数 ; {} i : 成像系统作用的运算符, 可以认为是线性算子 按照线性系统的性质 : 复杂激励 f ( x, y) = 无数个 δ 函数激励之和 利用 δ 函数的选择性, 可以把图像 f ( x, y ) 用二维 δ ( xy, ) 维卷积表示出来 退化图像 : 因为 (, ) 号 i f ( x, y) = f( α, βδ ) ( x α, y β) dαdβ gxy (, ) = f( α, βδ ) ( x α, y β) dαdβ + { (, )} = f( α, β) δ x α y β dαdβ = - f( αβ, ) h( x, y, αβ, ) dαdβ 函数的二 f α β 是加在 δ ( x α, y β) 上的权重因子, 按线性性质, 符 {} 可移到积分号内而直接作用于 δ 函数, 得 系统脉冲响应 ( 点扩散函数,PSF: Point Spread Function): 3
{ } hxy (,, α, β) = δ( x α, y β) δ 结论 : 首先求出系统对基元函数的响应 ( 输出 ) 表达式 ( 即系统脉 冲响应 ), 再乘以相应权重因子后求和, 就可以得到退化图像 脉冲响应只依赖 ( x ξ ) 和 (y η) 据此, 我们得到, 是具有移不变性质 : hx (, α, y, β) = hx ( α, y β) g( x, y) = f( α, β) hx ( α, y β) dαdβ ( 卷积形式 )= f( x, y) h( x, y) 正是点扩散函数 h 使图像退化 这就是近代光学中用成像概念来描述 的退化图像 (degraded image) 的数学表达式 hx (, α, y, β) = h( x, α) h( y, β ), i.e. { } If 1 2 i 是一个 系统, 计算时的二维问题就变成行和列的两次一维计算 h 可分离 6.1.1 空间域图像退化模型 (Image Degraded Model) 实际问题中, 我们还要考虑图像噪声,if image noise is nxy (, ), 且 为加性的, 得图像退化模型 g( x, y) = f( α, β) hx ( α, y β) dαdβ + n( x, y) 如上所述 : 这个系统模型的特点是线性 移不变的 ( 或图像领域常称空间不变 ) 4
f ( xy, ) h gxy (, ) nxy (, ) 也就是说, 输入图像函数 f ( x, y ), 通过系统 ( 这里为系统的脉 冲响应 ), 加上了信号噪声, 输出退化图像 h nxy (, ) 若已知和, 经过反演运算, 可以得到一个近似于原图像的复原图像 (Restored image) f ˆ( xy, ) f ( x, y ) 的最佳估计, 故求 f ( x, y ) 的最佳估计 f ˆ( x, y ) 的过程就是 Image Restoration f ˆ( xy, ) = gxy (, ) nxy (, ) 1 { } 例运动模糊的 degraded Model 运动模糊 : 成像系统与物体间相对运动造成的像模糊 设只有像函数 f ( x, y ) 相对系统的移动 设 Δ x() t : x 方向的移动分量 ; Δ yt () : y 方向的移动分量 胶片上的总曝光量为在快门开闭时间 的积分, 即运动模糊成像表示为 : 0 [ ] gxy (, ) = f x Δxt ( ), y Δyt ( ) dt 再简化一次, 令物体仅在 x 方向上作匀速直线运动, 且在曝光时间 内的 总位移量为 a, 物体沿 x 方向的变换分量为 a Δ xt () = t, h 5
有 a g( xy, )= f( x tdt ) = gx ( ) 0 a let t1 = t, then a g( x, y) = g( x) = f( x t1) dt1 = f( x) h( x) a 0 where: hx ( ) =, 0 x a 为沿 x 方向造成运动模糊的点扩散 a 函数 即, 运动物体沿 x 方向移动时的图像退化模型为 : 0 x a hx ( ) = a 0 elsewhere h(x) 0 a x 或因成像系统的离焦造成点像弥散成一个圆盘 : 6
h Δ x( t) +Δ y( t) r hxy (, ) = 0 elsewhere 0 0 2 2 0 0 h为点光强 ; r为圆盘半径 6.1.2 频域退化模型 首先, 将空间域退化模型写成卷积形式 After Fourier ransform, 其中 Huv (, ) 导致输出产生退化 g( x, y) = f ( x, y) h( x, y) + n( x, y) Guv (, ) = Fuv (, ) i Huv (, ) + Nuv (, ) 又称系统的传递函数 从频域看, 由于系统传递函数的退化 1) 运动模糊的传递函数 if PSF 为一矩形函数, 且是沿方向移动的运动模糊的点扩散函数, 则系统点扩散函数的 F 代表了系统因运动模糊的传递函数 H ( u) = sinπ uae π ua x jπ ua 7
H(u) 1/a 2/a u [5] 2) 模糊的传递函数 where 当光学成像系统离焦时, 点光源的像成圆盘, 其传递函数 x π r 0 ρ 1( 0 ) (, ) 2 J π Huv r ρ = π r ρ 2 ρ = u + v 2, 1 =, 则 0 J 为一阶贝塞尔函数 ( 振荡衰减函数 ), 令 2k + 1 3 5 k 1 1 x x x x J1( x) = ( ) = + k = 0 k! ( n+ k)! 2 2 16 384 0.5 J 1 (x) 0 4 7 10-0.5 x 该传递函数在以原点为中心, r 0 的倍数为半径处存在零点, 形成一 些同心暗环, 由离焦图像的频谱上估计出这些同心圆的半径, 即可确立离焦模糊的传递函数 8
[5] 3) 大气湍流模糊的传递函数 在长时间曝光时, 大气湍流将使图像产生模糊, 这种传递函数可近似 为高斯函数 ( ) 5 Huv (, ) = exp cu + v 式中 c 为与湍流性质相关的常数 6.1.3 能量域的退化模型 [6] 相关定理 卷积定理的一个特例 2 2 6 这个定理构成了函数在空域与频域的一种联系 两个函数相关 互相关函数, 这里 f ( x) g( x) = f( α) g( x+ α) dα 这里类似卷积计算, 但不是 g( x α ), 不需要折叠操作, 只需要直接 使 g( x ) 移动 与 f ( x ) 相乘并积分即可 对应 Fourier 变换, j2 [ ] π ux f ( x) g( x) e dx = G( u) F ( u) j2π us Gu ( ) gse ( ) ds j2πuα F ( u) f ( α) e d 可证 α 证明 : 9
j ux j πux f x g x e dx f g x d e dx 2π 2 [ ( ) ( )] = ( α) ( + α) α 这里因为 中令 j2πux = f( α) g( x+ α) e dx dα = f α e G u dα = G u j2πux gx ( + α) e dx s= x+ α, 可得 j2πuα ( ) ( ) ( ) j2πus j2πuα j2πuα gse () e ds= e Gu () 把相关定理写成傅立叶变换对形式 : f ( x) g( x) G( u) F ( u) F ( u) 反之 f ( xgx ) ( ) Fu ( ) Gu ( ) 若 f ( x) = g( x), 是同一函数, f ( x) g( x) 表示自相关函数 [ ] 2 f ( x) f( x) F( u) F ( u) = F( u) 对二维的情况, 如果 f ( xy, ) andgxy (, ) 是连续变量 x, y 的 函数, 相关定义为 10
f( x, y) g( x, y) = f( α, β) g( x+ α, y+ β) dαdβ 相关定理可表示成 : ( ) * ( ) ( ) ( ) f ( xy, ) gxy (, ) GuvF, uv, f ( x, ygx ) (, y) G u, v F u, v A B and D 把 f ( xy, ) andgxy (, ) 看成是大小分别为 C 的离散数列, 在 交叠效应的产生, 令周期为 : xy, 方向上延拓这些数列为每个周期 M, N 为了避免 M = A+ C 1 N = B+ D 1 f ( x, y) and g( x, y) 此时, 有如下形式 : f( x, y) 0 x A 1 and 0 y B 1 fe( x, y) = 0 A x M 1 and B y N 1 gxy (, ) 0 x C 1 and 0 y D 1 ge( x, y) = 0 C x M 1 and D y N 1 则二维离散相关可表示为 : M 1N 1 f ( xy, ) g( xy, ) = f( mng, ) ( x+ my, + n) e e e e m= 0 n= 0 Where x= 0,1, 2,..., M 1; y = 0,1,2,..., N 1. [1,6] 6.1.4 能量表示 如果把图像作为二维随机过程的一个样本, 它的功率谱密度定义为 11
其自相关的傅里叶变换, 设 P g : 已退化图像的功率谱 P f : 理想图像 ( 输入图像 ) 的功率谱 : Pf = Fuv (, ) 2 H ( uv, ) : 系统传输函数 按照线性系统的基本原理, 对于具有系统传输函数 统, 其输出功率谱为 Huv (, ) 的线性系 P g = P H( u, v) f 2 考虑噪声影响, 退化模型的能量表达式为 2 Pg = Pf H( u, v) + P n 为噪声的功率谱 如何得到 P f 和 P n? P n A A 功率谱 Pf 2 Pf H( u, v) B P n C 频率 信号和噪声的功率谱分布谱的统计特性由实验测定 : ( BC 段 ); 1 加性噪声的 P n 谱特点 : 位于高频段 且幅值为常数的均匀分布 12
2 如果成像系统是理想的 ( 理想化到衍射现象都没有 ), 点扩散函 数被看成是 δ 函数, 则传递函数 谱为 Huv (, ) =1, 所以实际得到的图像功率 Pg = P f 由谱的统计特性知, 它集中在低频段, 频率从零到某一 频率数值, 幅值由高到低平滑下降 上图的虚线段 A B 显示的是 P f ; 2 3 实际上, Huv (, ) 1, P Huv (, ) 而且下降不平滑, 因而实际图像的功率曲线由 ABC 所示 f 的结果使 P f 的趋势下降, 现在, 由 AB 段来估算 A B 段, 作为 P f 的近似, 是可行的 [7] 6.1.5 MALAB 中的模糊与噪声 若不存在噪声, 图像的模糊结果就完全来源于点扩散函数 PSF 的作 用, 通过精确描述失真的 PSF 对模糊图像进行卷积操作, 就可实现去模 糊 分别创建一个仿真运动模糊 PSF 和一个均值滤波 PSF 并模糊原图像 % 使用函数 fspecial 创建点扩散函数 PSF I=imread('girl.bmp'); %I=I(10+[1:256],100+[1:256],:); % 裁剪图像 subplot(1,2,1);imshow(i); title('original image') LEN=40; HEA=30; % 指定运动位移为 40 个像素 % 运动角度为 30 度 PSF=fspecial('motion',LEN,HEA); Blurred=imfilter(I,PSF,'circular','conv'); 13
subplot(1,2,2);imshow(blurred); title('blurred image') H=fspecial('disk',10); % 均值滤波 PSF blurredfilter=imfilter(i,h); figure,imshow(blurredfilter); title('filter Blurred image') 14
本章参考文献 1 黄贤武等, 数字图像处理与压缩编码技术, 电子科大版,2000,pp188-210 2 阮秋琦, 数字图像处理学, 电子工业版,2001, pp305-361 3 容观澳, 计算机图像处理, 清华版,2000,pp179-208 4 章毓晋, 图像工程 ( 上 ), 清华版,1999,pp101-120 5 刘榴娣, 刘明奇, 党长民, 实用数字图像处理, 北京理工大版,pp112-134 6 张远鹏等, 计算机图像处理技术基础, 北大版,1996,pp104-121 7 徐飞等,MALAB 应用图像处理, 西安电子科大版,2002,pp164-188 15
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