第章 函数 极限 连续. 函数概念. 常用经济函数.3 极限概念.4 极限的运算.5 无穷小量与无穷大量.6 函数连续
. 函数概念.. 函数的概念.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母, y, t等表示变量. 变量的取值范围称为变域 若为区间 则变量 是连续变量 否则为离散变量. 如 物理中自由落体的 距离s与时间 t的关系为 s = gt 其中变量 t的取值为(0, T0 ),T0为某个实数, t为连续变量, g 9.8m / s 是重力加速度, 是常量.
.区间与邻域 区间 a, b R, 且a < b. { a < < b} 称为开区间, 记作 (a, b) o a b { a b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a b 3
{ a < b} 称为半开区间, 记作 [a, b) { a < b} 称为半开区间, 记作 (a, b] 有限区间 [a,+ ) = { a } (, b) = { < b} 无限区间 o a o b 有限区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为有限区间的长度. 4
邻域: 设a与δ是两个实数, 且δ > 0. 数集{ a < δ }称为点a的δ邻域, 点a称为该邻域的中心, δ 称为该邻域的半径. Oδ (a ) = { a δ < < a + δ } = (a δ, a + δ ). δ δ a a δ δ a δ a+δ δ a a+δ 5
点a的δ去心邻域, 记作 Oδ (a ) \ {a }. O δ(a ) \ {a} = { 0 < a < δ } = (a δ,a )! (a,a + δ ) a的左邻域 a的右邻域 有的书用如下记号: U (a, δ ) = (a δ, a + δ ); U (a, δ ) = (a δ, a )! (a, a + δ ); 6
3.函数概念: 定义. 设有两个变量 与y D是一给定的非空实数集 合. 如果存在一个确定的法 则( 对应法则 ) f, 使得对每一个 D 都有唯一的一个实数 y与之对应 则称这个对 应 法则f为定义在实数集合 D上的一个一元函数 简 称 为函数. D称为f的定义域, 记为D( f ). y = f ( ) 因变量 自变量 当 0 D时, 称y 0 = f ( 0 )为函数在点 0 处的函数值, 也可记为 y =. 0 函数值全体组成的数集 R( f ) = { y y = f ( ), D( f )} 称为函数的值域. 7
函数的两要素: 定义域与对应法则. ( 0 ) D 对应法则f ( y R f ( 0 ) 自变量 ) 因变量 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一 切实数值 在实际背景的函数中的按实际意义确定. 例如 y = D : (,) 两个函数相同 定义域和对应法则均相同 + y= 与 y = 不同 4.函数表示法 解析法 表格法和图形法 8
例 求函数 y = 6 + lg sin 的定义域. 解 6 0 4 4 由, 可得 kπ!! ( k + )π sin " 0 k = 0, ±, ±,!.! π! 4 π!0! π 4 定义域为 [ 4, π )! (0, π ). 9
.. 函数的几特性 函数的有界性: 若X D, M > 0, X, 有 f ( ) M 成立, 则称函数f ( )在X上有界.否则称无界, 若 M! 0, 0 X, 有 f ( 0 )! M. y y M M y=f() o 有界 -M X o -M 0 X 无界 0
定义 设函数 f ( )在集合D内有定义 若存在数 A( B ), 使得对每一个 D 都有f ( ) A (或f ( ) B )成立 则称函数 f ( )在D内有上界 (或有下界 ) 也称f ( )是D内有上界 (或有下界 ) 的函数. 例 f ( ) = 在(0, )内没有上界 (" M > 0, 0 = / M, f ( 0 ) = M! M ), 但有下界, 如. 函数在D上有界 函数在D上有上 下界
函数的单调性: 设函数 f ( )的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 及, 当 < 时, 恒有 () f ( ) f ( )( f ( ) < f ( )), 则称函数 f ( )在区间 I上是单调增加(严格增加)的 ; y y = f () f ( ) f ( ) o I
设函数 f ( )的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 及, 当 < 时, 恒有 () f ( ) f ( )( f ( ) > f ( )), 则称函数 f ( )在区间 I上是单调减少(严格减少)的; 单调增加和单调减少函数统称为单调函数. y y = f () f ( ) f ( ) o I 3
注 讨论函数单调性时 必须在某个区间上讨 论 若题目未给出区间 指 在定义域内的单调性. 讨论 y = + 的单调性. 例 解 "!, f ( ) f ( ) = ( ), (,0], f ( ) " f ( ), f ( )在(,0]上严减, [0,+ ), f ( )! f ( ), f ( )在[0,+ )上严增. f ( )在(,+ )上不是单调的. 4
3 函数的奇偶性: 设D关于原点对称, 对于 D, 有 f ( ) = f ( ) 称 f ( )为偶函数 ; y y = f ( ) f ( ) f ( ) - o 偶函数 5
设D关于原点对称, 对于 D, 有 f ( ) = f ( ) 称 f ( )为奇函数 ; y y = f ( ) f ( ) - o f ( ) 奇函数 6
注 判断函数奇偶性的 方法 定义 若定义中的D不关于原点对称 则无 奇偶性可言. 例4 讨论函数 g ( ) = sin 的奇偶性. 解 sin( ) sin sin! g( ) = = = = g( ) g( )是偶函数. 7
4 函数的周期性: 设函数 f ( )在集合 D内有定义 如果存在非 零常数 T 使得对任意的 D 恒有 + T D 且f ( + T ) = f ( ) 成立 则称 f ( )为周期函数 满足上式 的最小正数 T0 称为f ( )的基本周期 简称周期. 3l l l 3l f ( ) = C, 无基本周期的周期函数 f ( ) = sin, (,+ ) 周期为π. 8
..3 初等函数 反函数 定义 设函数 y = f ( )的定义域是 D值域是 R 如果 对每一个 y R 都有唯一确定的 D与之对应且 满足y = f ( ) 则是定义在 R上的以 y为自变量的 函数 记为 = f ( y ) y R, 并称其为函数 f ( )的 反函数, 因习惯原因 一般 用yy= f ( )表示 y 函数 y = f (). y = f ( )的反函数 反函数 = f ( y ) y0 y0 D R o 0 D o 0 R 9
例 5: 求 y = 3 的反函数. 解 : 由已知可得 = 故所求反函数为 : y y +, 3 + = 3. 0
. 复合函数 设 y = u, u =, y = 定义: 设 函 数 y = f (u) 的 定 义 域 D( f ), 而函数 u = g( ) 的值域为 R( g ), 若 D( f ) R( g ), 则称函 数 y = f [ g( )], { g( ) D( f )} 为 的复合函数. 自变量, u 中间变量, y 因变量,
注意:.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 例如 y = u, u = ; y.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 例如 y = tan, y = u, u = tan v, v=.
3. 基本初等函数 y 常数函数 y = C, C为常数 定义域为(,+ ) y= y = 幂函数 y = µ (µ是常数 ) o y= (,) y= 3
3 指数函数 y=a (a > 0, a ) y = e y=( ) a e =.788! y = a ( a > ) ( 0,) 4
4) 对数函数 y = log a (a > 0, a ) y = log e = ln : 自 然 对 数 y = log 0 (,0) = lg : 常 用 对 数 y = log a ( a > ) y = log a 5
5) 三角函数 正弦函数! y = sin! 360 = π 弧度 = π 80 弧度 y = sin 6
余弦函数 y = cos y = cos 正切函数 y = tan y = tan 7
余切函数 y = cot y = cot 8
6 反三角函数 反正弦函数 y = arcsin 定义域 [,] 主值分支[ π π, ] y = arcsin 9
反余弦函数 y = arccos 定义域 : [,] 主值分支 [0, π] y = arccos 30
反正切函数 y = arctan 定义域 : (, + ) 主值分支 :( π π, ) y = arctan 3
反余切函数 y = arccot 定义域 (,+ ) 主值分支 : (0, π ) y = arccot 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 3
4. 初等函数 定义 由基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的 函数,称为初等函数. 例如 y = ln +, y = = 等. 形如 [ f ( )]g ( ), 其中f ( ), g( )是初等函数 且f ( )! 0的函数称为幂指函数, 如, ( + ).![ f ( )]g ( ) = e g ( ) ln f ( ) 幂指函数是初等函数 33
5. 分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 例如,, f ( ) =, y = >0 0 y = 34
. 常用经济函数 常见经济函数.需求函数.供给函数 令P为商品价格 Qd = a bp (a, b > 0) Qd = ap b (a, b > 0) 令P为商品价格 Qs = a + bp (a, b > 0) (a, b > 0) QS = ap b 3. 总成本函数 总收入函数和总利润函数 35
) 总成本函数 : TC = C( Q) = FC + VC( Q), 平均成本 ( 单位产品成本 ): AC = FC Q + VC( Q) Q 其中 Q为产量, FC( fied cost) 固定成本, VC(variable cost) 为可变成本 ) 收益函数 : TR( Q) = P Q 3) 利润函数 : L( Q) = TR( Q) TC( Q) 称 Q 0 为盈亏临界点, 若 L( Q 0 ) = TR( Q 0 ) TC( Q 0 ) = 0 36
.3 极限的概念.3. 数列的极限 定义:按自然数,,3,!编号依次排列的一列数 a, a,!, a n,! () 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的 项, a n 称为通项(一般项).数列()记为 { a n }. 注 数列是整标函数 a n = f (n) 例如 4 n + ( ),,,!, 3 n n,,,!, n,!; 4 8,!; n + ( ) n { } n { n} 37
注 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点 在数轴上依次取 a3 a a an ( )n 观察数列 { + } 当 n 时的变化趋势. n 问题: 当 n 无限增大时, n是否无限接近于某 一确定的数值?如果是,如何确定? 通过描点画图可观察到: ( )n 当 n 无限增大时, n = + 无限接近于. n 问题: 无限接近 意味着什么? 如何用数学语言刻划它. 38
! n = ( ) n = n n 给定,由 <, 只要 n > 00时, 有 n <, 00 n 00 00 给定, 000 只要 n > 000时, 有 n <, 000 给定, 只要 n > 0000时, 有 n <, 0000 0000 给定 ε > 0, 只要 n > N ( = [])时, 有 n < ε成立. ε 39
定义.4 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多 么小),总存在正数 N,使得对于 n > N 时的一切 a n,不等式 a n a < ε 都成立,那么就称常数 a 是数 列 {a n }的极限,或者称数列 {a n }收敛于 a,记为 lim a n = a, n 或 a n a ( n ). 如果数列极限不存在,就说数列是发散的. 注.不等式 a n a < ε刻划了a n与a的无限接近;. N与任意给定的正数ε有关. 40
ε N定义 : lim a n = a n ε > 0, N > 0, 使n > N时, 恒有 a n a < ε. 其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在. 几何解释:! a a ε! a! a N + ε a a+ε!! a N + a3 当n > N时, 所有的点 a n 都落在 (a ε, a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外. 4
注 数列极限的定义可验证数列的极限 但 未给出求极限的方法. ( ) n 例 证明 lim = 0. n ( n + ) 证 n 0 ( ) n = 0 = < < n + n ( n + ) ( n + ) ε > 0, 要使 n 0 < ε, 只要 < ε, 或n >, n ε 故 取N = [ ], 则当n > N时, ε n ( ) 有 0 < ε, ( n + ) ( ) n 即 lim = 0. n ( n + ) 4
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 ε > 0,寻找N,但不必要求最小的N. n 例 证明 lim q = 0, 其中 q <. 证 任给ε (不妨设0! ε! ), 若q = 0, 则 lim q n = lim 0 = 0; n n n 若0 < q <, ln ε n >, ln q n n 0 = q n < ε, n ln q < ln ε, ln ε 取N = [ ], 则当n > N时, ln q 就有 q 0 < ε, lim q n = 0. n 43
如何求数列的极限 将{a n }变形并利用数列极限的 四则运算法则 数列极限的四则运算法则 设 lim a n = a, lim bn = b 则 n n lim can = c lim a n = ca n n lim(a n ± bn ) = lim a n ± lim bn = a ± b n n n lim a n bn = lim a n lim bn = ab n n n an a a n lim lim bn 0, lim = n = n n b lim bn b n n 44
例3 求下列数列极限 4 n 3 n+. () lim[ln(n + ) ln n]; ( ) lim n+ n n ( 3) lim n 解 n ( ) n+ n. n +3 n + ()原式 = lim ln = lim ln( + ) = ln n n n n 3 n 3( ) 4 ( )原式 = lim = n 3 n +( ) 4 3 n 3 3 ( 3)原式 = lim = lim = n n + + n n + + 45 n n
常用的数列极限 () lim α = 0(α! 0) n n ( ) lim n a = ( a! 0) 0, q ", q! n ( 3) lim n n = (5) lim q = n n, q = n 不存在 q =. ( 4) lim ( + ) = e n n n 46
定理. 收敛的数列必定有界. 证明 设 lim a n = a, 由定义, n 取ε =, 则 N, 使得当n > N时恒有 a n a <, 即有 a < a n < a +. 记 M = ma{ a,!, a N, a, a + }, 则对一切自然数n,皆有 a n M, 故{a n }有界. 注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 47
.3.函数的极限. 自变量趋向无穷大时函数的极限 sin 观察函数 当 时的变化趋势. 48
问题:函数 y = f ( ) 在 的过程中, 对应 函数值 f ( ) 无限趋近于确定值 A. 通过上面图形可观察到: sin 当 无限增大时, f ( ) = 无限接近于 0. 问题: 如何用数学语言刻划函数 无限接近. f ( ) A < ε 表示 f ( ) A 任意小; > M 表示 的过程. 49
定义.5 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么 小),总存在着正数 M,使得满足 > M 的 所对应的 函数值 f ( ) 都满足 f ( ) A < ε,则常数 A 就叫函数 f ( ) 当 时的极限,记作 lim f ( ) = A 或 "ε M "定 义 f ( ) A(当 ) lim f ( ) = A ε > 0, M > 0, 使当 > M时, 恒有 f ( ) A < ε. 50
另两种情形: f ( ) = A. + 情形 : lim + 0 ε > 0, M > 0, 使当 > M时, 恒有 f ( ) A < ε. f ( ) = A 0. 情形 : lim ε > 0, M > 0, 使当 < M时, 恒有 f ( ) A < ε. f ( ) = A且 lim f ( ) = A. 定理 : lim f ( ) = A lim + 5
3 几何解释: y= sin ε A X0 ε X0 当 < M或 > M时, 函数 y = f ( )图形完全落在以 直线y = A为中心线, 宽为 ε的带形区域内. 5
y= sin = 0. 例4 证明 lim sin sin sin 证! < ε,则!. 0 = ε ε > 0, 取 M = sin 0 < ε, ε, 则当 > M时恒有 sin 故 lim = 0. 53
自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数 y = f ( ) 在 0 的过程中,对应 函数值 f ( ) 无限趋近于确定值 A. f ( ) A < ε 表示 f ( ) A 任意小; 0 < 0 < δ 表示 0的过程. δ 0 δ 点 0的去心 δ邻域, δ 0 0 + δ δ体现 接近 0 程度. 54
定义.6 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多 么小),总存在正数 δ,使得对满足 0 < 0 < δ 的一切,对应的函数值 f ( ) 都 满足 f ( ) A < ε,那么常数 A 就叫函数 f ( ) 当 0 时的极限,记作 lim f ( ) = A 或 0 f ( ) A(当 0 ) " ε δ" 定义 ε > 0, δ > 0, 使当0 < 0 < δ时, 恒有 f ( ) A < ε. 55
注.函数极限与 f ( )在点 0是否有定义无关 ;.δ与任意给定的正数ε有关. 3.几何解释: 当在 0的去心 δ邻 域时,函数y = f ( ) 图形完全落在以直 y y = f ( ) A+ε A A ε 线y = A为中心线, 宽为ε的带形区域内. o 0 δ δ 0 δ 0 + δ 显然, 找到一个δ后, δ越小越好. 56
例5 证 证明 lim =. 函数在点=处没有定义.! f ( ) A = = 任给ε > 0, 要使 f ( ) A < ε, 只要取 δ = ε, 当0 < 0 < δ时, 就有 < ε, lim =. 57
单侧极限: 例如,, 设 f ( ) = +, 证明 lim f ( ) =. <0 0 y y = y = + o 0 分 > 0和 < 0两种情况分别讨论 从左侧无限趋近 0, 记作 0 ; + 从右侧无限趋近 0, 记作 0 ; 58
左极限(Left-hand Limit) ε > 0, δ > 0, 使当 0 δ < < 0时, 恒有 f ( ) A < ε. 记作 lim f ( ) = A 或 f ( 0- ) = A 或 f ( 0 0) = A. 0 右极限 ε > 0, δ > 0, 使当 0 < < 0 + δ时, 恒有 f ( ) A < ε. 记作 lim+ f ( ) = A 或f ( 0+ ) = A 或 f ( 0 + 0) = A. 0 注 : { 0 < 0 < δ } = { 0 < 0 < δ }! { δ < 0 < 0} 59
定理. lim f ( ) = A lim+ f ( ) = lim f ( ) = A 0 0 0 lim f ( ) = A lim f ( ) = lim f ( ) = A +!0, 设f ( ) = + 3, 例6, 0 3 + 求 lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ). 解 0 + + 3! lim+ f ( ) = lim+ = ; 3 0 0 + lim f ( ) = lim ( ) = ; 0 0 lim f ( ) = ; 0 60
+ 3 3 lim f ( ) = lim = ; 3 + 3 + 3 + 3 = 0; lim f ( ) = lim = lim + + + 3 + + 3 lim f ( ) = lim ( ) = lim f ( )不存在. 6
e, lim e, lim e. 例7 求 lim + 解 lim e = +, lim e = 0, + lim e 不存在且不为无穷大. 例8 求 lim arctan, lim arctan, lim arctan ; + lim arc cot, lim arc cot, lim arc cot. + 解 lim arctan = π, lim arctan = lim arctan 不存在. + π, lim arc cot = 0, lim arc cot = π, + lim arc cot 不存在. 6
例9 求 + + + + lim, lim, lim, lim. + + + + + 解 + + lim = lim =, + + + + + lim = lim + + + =, lim 不存在, + + + ( ) + + lim = =. + ( ) + 63
.4 极限的运算.4. 极限的运算法则 性质 设 lim f ( ) = A, lim g ( ) = B, 则 X X () lim Cf ( ) = C lim f ( ) = CA (C为常数) X X ( ) lim [ f ( ) ± g ( )] = lim f ( ) ± lim g ( ) = A ± B; X X X ( 3) lim [ f ( ) g ( )] = lim f ( ) lim g ( ) = A B; X X X f ( ) A f ( ) lim (4) lim = X =, 其中B 0. X g( ) lim g ( ) B X 64
推论 如果 lim f ( )存在, 而 n是正整数, 则 X n n lim [ f ( )] = [ lim f ( )]. X X f ( ) = a, a, 且 lim g ( ) = 0, 推论 如果 lim X g( ) X ( ) 则 lim f ( ) = 0. X f ( ) lim f ( ) = lim [ g( )] X X g( ) f ( ) = lim lim g( ) = a 0 = 0. X g( ) X 65
+ a + b 例 设 lim = 5, 求a, b. 解! lim( + a + b) = + a + b = 0 a = b + a + b ( )( b ) lim = lim =5 lim (b ) = 5 b = 5 b = 6, a = 7. 66
3 例 求 lim. 3 + 5 = lim 3 + lim 5 解! lim( 3 + 5) lim = (lim ) 3 lim + lim 5 = 3 + 5 = 3 0, 3 lim 3 lim 3 7 = lim =. = 3 + 5 3 lim( 3 + 5) 3 67
小结:. 设 f ( ) = a0 n + a n +! + an, 则有 lim f ( ) = a 0 ( lim ) n + a ( lim ) n +! + a n 0 0 n = a 0 0 + a 0 0 n +! + a n = f ( 0 ). P( ). 设 f ( ) =, 且Q( 0 ) 0, 则有 Q( ) lim P ( ) P ( 0 ) = f ( 0 ). lim f ( ) = = 0 lim Q( ) Q( 0 ) 0 0 若 Q ( 0 ) = 0, 则商的法则不能应用. 68
例3 求 n 0 + +!+ n lim. ( 型) 0 解 n ( ) + ( ) +! + ( ) 原式 = lim = lim[ + ( + ) + ( + + ) +! + ( n + n +! + + )] = + + 3 +!+ n n( n + ) (消去零因子法) = 69
例4 求 lim. 3 + 解 ( )( 3 + + ) 原式 = lim 3 ( + )( )( 3 + + ) = lim ( ) = 70
3 + 3 + 5 例5 求 lim. 3 7 + 4 解 时, 分子, 分母的极限都是无穷大. ( 型 ) 3 5 + + 3 3 + 3 + 5 =. lim 3 = lim 7 + 4 4 7 7+ 3 小结: 当a 0, b 0, m 和n为非负整数时有 0 0 a0, 当 n = m, b 0 m m a 0 + a +! + am lim = 0,当n > m, ( ) n n b + b +! + bn 0, 当n < m, 7
sin lim =. 0.4. 两个重要极限 cos. 例6 求 lim 0 sin sin ( ) 解 原式 = lim = lim ( ) =. 0 0 tan sin. 例7 求 lim 3 0 sin ( cos ) sin cos 解 原式 = lim = lim 3 0 0 cos cos = =. 7
(sin sin ). 例9 求 lim + 3 (sin t sin t )(令t = ) 解 原式= tlim 3 + 0 t sin t cos t = lim+ lim+ =. t 0 t t 0 t arctan. 例0 求 lim 0 解 令y = arctan, 则 = tan y. y cos y = lim =. y 0 tan y y 0 sin y / y 原式 = lim 73
lim + ) = e 或 lim + ) = e. 0 This image cannot currently be displayed. 求 lim ( ). 例 + + 解 例 解 - + + 原式 = lim ( = e/. + + 求 lim( ) /. 0 原式 = lim( )(- ) ( / ) = e. 0 74
3. 连续复利公式 现有本金 A, 年利息率为 r, 若以复利计算, t年末 A A t lim m 0 0 0 t年末的本利和为 : A 0 将增值到 A 二年末的本利和为 : A A( + r / m) A( + r / m) mt mt t. 若以年为期计算利息, 一年末的本利和为 : A t lim m A( + r 0 0 0 A( + r ); t ); 若把一年均分成 m期计算利息, 则每期利息为 r / = 连续复利下 : = = = A( + r / m) mrt / r = A e 0 rt. = A( + 0 m, 则 r) ; 75
.5 无穷小量与无穷大量.5. 无穷小量 定义.7 若 lim f ( ) = 0, 则称f ( )是 X X 下的无穷小量 记为f ( ) = o() ( X ). 例如,! lim sin = 0, 0 函数 sin 是当 0时的无穷小量. 76
! lim = 0, 函数 是当 时的无穷小量. ( ) n! lim = 0, n n ( ) n 数列{ }是当n 时的无穷小量. n 注: 无穷小量是变量,不能与很小的数混淆; 零是可以作为无穷小量的唯一的数. 77
无穷小量的两个性质 () lim f ( ) = A f ( ) = A + o() ( X ) X 意义 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量) ()若f ( ) = o()( X ), g( )是 X下 的有界量 则 f ( ) g( ) = o() ( X ). 例如,当 0时, sin, arctan 都是无穷小 78
推论 在同一过程中,有极限的变量与无穷小量的 乘积是无穷小量. 推论 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 推论3 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量. 3 在同一过程中,有限个无穷小量的代数和仍是 无穷小量. 注 无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量. 例如, n 时, 是无穷小 n 但n个 之和为不是无穷小. n 79
定义.8 若 lim f ( ) =, 则称f ( )是 X下的无穷大量. X 特殊情形 正无穷大 负无穷大 lim f ( ) = + (或 lim f ( ) = ) X X 如 lim =, 是 0下的无穷大量. 0 注 ()未指出自变量的变化过程 判断一个函 数是无穷小量或无穷大量是没有意义的. 80
0, 无穷大量. 如 f ( ) =, 无穷小量 ()无穷大量是变量,不能与很大的数混淆. ( 3)切勿将 lim f ( ) = 认为极限存在 X 它只表示 f ( )在 X时趋于(或发散到). (4) lim f ( ) = lim+ f ( ) = 且 lim f ( ) = 0 0 0 lim f ( ) = lim f ( ) = 且 lim f ( ) = + (5)若 lim f ( ) =, 则 = o() ( X ) X f ( ) 若 = o() ( X ), 且f ( ) 0, 则 lim f ( ) =. X f ( ) 8
二 无穷小量和无穷大量阶的比 较 例如, 当 0时,,, sin, sin 都是无穷小. lim = 0, 比3 要快得多 ; 观 0 3 察 各 lim sin =, sin 与大致相同 ; 极 0 限 sin 0 lim = lim sin 不存在. 不可比. 0 型 0 0 极限不同, 反映了趋向于零的 快慢 程度不 同. 8
定义.9 设f ( ) = o(), g( ) = o()且g( ) 0( X ) f ( ) () 若 lim = 0, 则f ( )是g( )在 X下的高阶 X g( ) 无穷小量, 简记为 f ( ) = o( g( )) ( X ).即 X时, f ( )趋于0的速度比 g( )的更快. f ( ) ( )若 lim = A( A 0), 则f ( )与g ( ) X g ( ) 是 X下的同阶无穷小量, 简记为 f ( ) = O( g( )) ( X ). 83
特别当A =, 则f ( )与g ( )是 X下的等价无穷小量, 简记为 f ( ) ~ g ( ) ( X ). X时, f ( )趋于0的速度与g( )的几乎相等. f ( ) (3)若 lim k = A( A 0, k! 0), 则f ( )是g ( ) X g ( ) 在 X下的k阶无穷小量. 84
例 0,,, cos 均为无穷小量 试比较它们的阶. = 0, 解! lim 0 = o( ) ( 0) cos! lim =, 0 cos = O( ) ( 0)或 cos 是在 0下的阶无穷小量. 85
常见的等价无穷小量 : 当 0时, () ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ( ) cos ~ (3) ~ ln( + ) ~ e (4) a ~ ln a(a! 0, a ) α (5) ( + ) ~ α(α 0是常数 ) + n 特别, α = n( n Z ), + ~. n (6) ln ~ ( ) 86
sin cos (e ) 例 : 求 lim. 0 tan 解! 0, tan ~, e ~ sin 原式 = lim cos = =. 0 tan sin 例3 : 求 lim. 3 0 解! 0, sin ~, tan ~. 原式 = lim 3 = 0.( )正确答案 =. 0 87
3 sin + cos 例4 : 求 lim. 0 ( + cos ) ln( + ) 解 3 sin + cos 原式 = lim 0 ln( + ) ( + cos ) 3+ 0 3 = =. 88
3 例5 : 已知当 0时, ( + a ) 与 cos 是等价无穷小量, 求a. 解 a 3! 0, ( + a ) ~, cos ~. 3 a 3 ( + a ) 3 lim = lim = a = 0 0 cos 3 3 a =. 89
.6 函数连续.6. 函数连续的概念.函数在 0 的连续 定义.0 设函数 f ( ) 在 Oδ ( 0 ) 内有定义, lim f ( ) = f ( 0 ) 0,那么就称函数 f ( )在点 0 连续, 0 称为 f ( )的连续点. 定义. 设函数 f ( ) 在 Oδ ( 0 ) 内有定义, Δy = 0 Δy = f ( 0 + Δ ) f ( 0 ),,若 Δlim 那么 0 就称函数 f ( )在点 0 连续. 90
sin, 0, 例 试证函数 f ( ) = 在 = 0 0, = 0, 处连续. sin = 0, 证! lim 0 又 f ( 0 ) = 0, lim f ( ) = f ( 0 ), 0 由定义.0知 函数 f ( )在 = 0处连续. 9
.单侧连续 若函数 f ( )在( a, 0 ]内有定义, 且 lim f ( ) = f ( 0 ), 0 则称f ( )在点0 处左连续; 若函数 f ( )在[ 0, b)内有定义, 且 lim+ f ( ) = f ( 0 ), 0 则称f ( )在点0 处右连续. 性质 函数 f ( )在 0 处连续 函数 f ( )在 0 处既左连续又右连续. 9
例 当a取何值时, cos, < 0, 函数 f ( ) = 在 = 0处连续. a +, 0, 解! f ( 0) = a, lim f ( ) = lim cos =, 0 0 lim f ( ) = lim(a + ) = a, 0 + 0 + 要使 lim f ( ) = lim+ f ( ) = f (0), a =, 0 0 故当且仅当 a = 时, 函数 f ( )在 = 0处连续. 93
3.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在开区间 (a, b)内连续, 并且在左端点 = a处右连续, 在右端点 = b处左连续, 则称函 数 f ( )在闭区间 [a, b]上连续 记为 f ( ) C[a, b] C[a, b]表示在闭区间 [a, b]上的连续函数 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, y = sin 在(,+ )内是连续的. 94
三角函数及反三角函数在它们的定义域内连续. 指数函数 y = a (a > 0, a ) 在(,+ )内单调且连续 ; 对数函数 y = log a (a > 0, a ) 在(0,+ )内单调且连续 ; y = = a µ log µ a y = a u, u = µ log a. 在(0, + )内连续,讨论µ不同值, (均在其定义域内连续 ) 定理 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 95
. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 注 例如, y = ( ) 3, D : = 0, 及, 在0点的邻域内没有定义. 函数在区间[,+ )上连续. 注. 初等函数求极限的方法代入法. lim f ( ) = f ( 0 ) 0 例3 解 ( 0 定义区间 ) 求 lim sin e. 原式 = sin e = sin e. 96
.6. 函数的间断点 函数 f ( )在点 0处连续必须满足的三个条件 : () f ( )在点0处有定义; ( ) lim f ( )存在; 0 ( 3) lim f ( ) = f ( 0 ). 0 如果上述三个条件中只 要有一个不满足, 则称 函数 f ( )在点 0处不连续 (或间断 ), 并称点 0为 f ( )的不连续点 (或间断点 ). 97
.跳跃间断点 如果 f ( )在点 0 处左, 右极限都存在, 但 lim f ( ) lim+ f ( ), 0 0 则称点 0为函数 f ( )的跳跃间断点, 且 lim+ f ( ) lim f ( ) 0 0 称为f ( )在0点的跳跃度., 例4 讨论函数 f ( ) = +, 解 lim f ( ) = 0, 0 lim+ f ( ) =, 0! lim f ( ) lim+ f ( ), 0 0 0, 在 = 0处的连续性. > 0, y o = 0为函数的跳跃间断点, 且跳跃度为. 98
.可去间断点 如果 f ( )在点 0处的极限存在, 但 lim f ( ) = A f ( ), 或 f ( ) 在点 处无定 0 0 0 义则称点 0为函数 f ( )的可去间断点. 例5 讨论函数, 0 <, f ( ) =, = +, >, 在 = 处的连续性. y o y = + y= 99
解! f () =, lim f ( ) =, lim+ f ( ) =, lim f ( ) = f (), = 为函数的可去间断点. 注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数 的定义, 则可使其变为连续点. 00
y 如例5中, 令 f () =,, 0 <, 则 f ( ) =, +, 在 = 处连续. o sin 的可去间断点 若补充 定义 如 = 0 是y = sin f (0) =, y = 在(,+ )上连续. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 0处的左 右极限都存在. 0
3.第二类间断点 如果 f ( )在点 0处的左 右极限至少有一个不存 在, 则称点 0为函数 f ( )的第二类间断点. 例6 讨论函数 f ( ) =, > 0,在 = 0处的连续性., 0, y 解 f (0 0) = 0, f (0 + 0) = +, = 0为函数的第二类间断点. o 这种情况称为无穷间 断点. 0
例7 讨论函数 f ( ) = sin 在 = 0处的连续性. 解! 在 = 0处没有定义, 且 lim sin 不存在. 0 y = sin = 0为第二类间断点. 这种情况称为的振荡间 断点. 03
例8 设,<0 f ( ) =,0 <, > 求f ( )的间断点 并判断它们的类型. 解 将f ()变形为, < 0,0 < f ( ) =, <, > 04
" D f = (,0)! [0,)! (,]! (,+ ), f ( )在 (,0), (0,), (,), (,+ )都连续 f ( )的间断点只可能在 = 0, =, = 处.! lim =, 0是f ( )的第二类间断点. 0!! lim =, 而不在定义域内 是f ( )的第一类间断点中的可 去间断点.! lim = 3, lim+ ( ) = 3, f ( ) = 3 是f ( )的连续点. 05
.6.3 连续函数的性质 定理.6 若函数 f ( ), g( )在点 0处连续, 则 Cf ( )(C为常数), f ( ) ± g( ), f ( ) g( ), f ( ) ( g( 0 ) 0)在点 0处也连续. g( ) 例如, sin, cos 在 (,+ )内连续, 故 tan, cot, sec, csc 在其定义域内连续. 06
定理.7 反函数连续性定理 严格单调的连 续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y = sin 在[ π π, ]上严格增加且连续, 故 y = arcsin 在[,]上也是严格增加且连续. 同理 y = arccos 在[,]上严格减少且连续; y = arctan, y = arc cot 在(,+ )上 严格单调且连续. 07
定理.8 若 lim g ( ) = A, 函数 f ( )在点A连续, X 则有 lim f [ g( )] = f ( A) = f [ lim g ( )]. X X 特别 若 g( )在点0连续 f ( )在点 A = g( 0 )连续 则 f [ g ( )]在点0连续. 注 极限符号可以与函数符号互换; 例9 解 ln( + ) 求 lim. 0 原式 = lim ln( + ) 0 = ln[lim ( + ) ] =. = ln e 0 08
幂指函数y = u( ) v ( ) 的极限计算方法 ()若 lim u( ) = a(a! 0), lim v ( ) = b, X X 则 lim u( ) v ( ) = a b X 如 lim( + ) = 3 = 3 ( )若 lim u( ) v ( ) 为,0 0, 0 未定式 可利用等价 X 无穷小等方法来求. lim u( ) X v( ) = lim e v ( ) ln u( ) X 4+ 如 lim ( ) = e + lim ln 4+ + lim v ( ) ln u( ) = e X lim ( = e 4+ ) + = e. 09
性质 若 lim f ( ) = A 则lim f (n) = A. + n n 例0 This 求image limcannot ( currently be displayed. ). n n + 解 法! lim ln( ) = lim ( )=. + + + + lim ( ) e + + 由性质 原式 e. 法 : n n ( n+) ( n+ ) lim ( ) = lim ( ) n n n + n + n ( n+) nlim n+ = [lim ( ) ] = e. n n + 0
.6.4 闭区间上连续函数的性质 定义: 对于在区间I上有定义的函数 f ( ), 如果有 0 I, 使得对于任一 I 都有 f ( ) f ( 0 ) ( f ( ) f ( 0 )) 则称 f ( 0 )是函数 f ( )在区间I上的最大(小)值. 例如, y = + sin, 在[0,π]上, yma =, ymin = 0; y = sgn, 在(,+ )上, yma =, ymin = ; 在(0,+ )上, yma = ymin =.
定理.9(最大值和最小值定理) 在闭区间上 连续的函数一定有最大值和最小值. 若 f ( ) C [a, b], y y = f ( ) 则 ξ, ξ [a, b], 使得 [a, b], 有 f (ξ ) f ( ), f (ξ ) f ( ). o a ξ ξ b 推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数 f ( )在[a, b]上连续, [a, b], 有 m f ( ) M,取 K = ma{ m, M },则有 f ( ) K. 函数f ( )在[a, b]上有界.
注:.若区间是开区间, 定理.5不一定成立;.若区间内有间断点, 定理.5不一定成立. π π 例 y = tan 在(, )上连续 但无界 无最值. +, 0! 例 : y =, = + 3,! y y = f ( ) o = 是f ( )的间断点 y = f ( )有界但无最值. 3
定义: 如果 0使 f ( 0 ) = 0, 则 0称为函数 f ( )的零点. 定理 (零点存在定理) [a, b] 设函数 f ( )在闭区间 上连续 且 f (a ) 与 f (b )异号(即 f (a ) f (b) < 0),那末在开区间 (a, b )内至少有函 数 f ( )的一个零点,即至少有一点 ξ (a < ξ < b) 使 f (ξ ) = 0. 即方程 f ( ) = 0在 (a, b)内至少存在一个实根. 4
几何解释: y 连续曲线弧 y = f ( )的两个 端点位于 轴的不同侧, 则曲 y = f ( ) a o ξ ξ ξ3 b 线弧与 轴至少有一个交点. 定 理.0( 介 值 定 理 ) [a, b] 设 函 数 f ( ) 在 闭 区 间 上连续 且设 m M分别为 f ( )在[a, b]上的 最小值和最大值 则对于 c [ m, M ] 一定存在 0 [a, b] 使得 f ( 0 ) = c. 且 f ( ) 在 [a, b]上的值域 [m, M ]. 连续曲线弧 y = f ( )与水平 为 几何解释: 直线 y = C至少有一个交点. 5
例 证明方程 3 4 + = 0在区间 (0,)内 至少有一根. 3 证 令 f ( ) = 4 +, 则f ( )在[0,]上连续, 又 f ( 0 ) = > 0, f () = < 0, ξ (a, b), 使 f (ξ ) = 0, 由零点定理, 3 即 ξ 4ξ + = 0, 方程 3 4 + = 0在(0,)内至少有一根 ξ. 6
例 已知p, q为满足 p + q = 的两个正数 f ( )在[a, b] 上连续. 证明 必存在 0 [a, b] 使f ( 0 ) = pf (a ) + qf (b). 证! f ( ) C [a, b], f ( )在[a, b]上可取到最小值 m和最大值 M. " p + q =, p, q! 0 m = pm + qm pf (a ) + qf (b) pm + qm = M 由介值定理知 0 [a, b], f ( 0 ) = pf (a ) + qf (b). 7
例3 设f ( )在[0,] 上连续 且满足 0 < f ( ) < [0,]. 证明 必存在 0 (0,) 使f ( 0 ) = 0. 证 令F ( ) = f ( )! f ( ) C [0,], F ( ) C [0,].! 0 < f (0) < 0 < f (0) < F (0) = f (0) > 0 F () = f () < 0 由零点存在定理知 0 (0,) 使得F ( 0 ) = 0 即 f ( 0 ) = 0. 8
例4 4 在(,+ )内 方程 + cos = 0, 则 ( A)无实根 ( B )有且仅有一个实根 (C )有且仅有两个实根 ( D )有无穷多个实根. 解 4 令f ( ) = + cos,!当 " 时 f ( ) " 0. 在[,]上讨论即可.! f ( )是偶函数 只考虑[0,]. # f (0) = " 0, f () = cos! 0. 由零点存在定理知 0 (0,)使f ( 0 ) = 0. 4!, 和 cos 在[0,]上是严增的 f ( )在[0,]上是严增的, f ( )在[0,]上仅有一个实根. 由对称性知 f ( )在(,+ )上有且仅有两个实根 9.
习题课 主要内容 典型例题 0
数列极限 函 lim n = a lim f ( ) = A n 数 极 限 无穷大 lim f ( ) = A 0 lim f ( ) = 极限存在的 充要条件 左右极限 无穷小的比较 判定极限 存在的准则 两个重要 极限 等价无穷小 及其性质 唯一性 求极限的常用方法 两者的 关系 无穷小 lim f ( ) = 0 无穷小 的性质 极限的性质
连 续 lim Δy = 0 Δ 0 定 义 间断点定义 lim f ( ) = f ( 0 ) 0 左右连续 连续的 充要条件 在区间[a,b] 上连续 连续函数的 运算性质 基本初等函数 的连续性 初等函数 的连续性 第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点 第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点 连续函数 的性质
二 典型例题 例 求函数y = log ( ) (6 )的定义域. 解 6 > 0, > 0,, <4 > < < 及 < < 4, 即(,)! (,4). 3
例 设当 0时, ( cos ) ln( + )是 sin n的高阶无穷小量, 而 sin n 是 e 的高阶无穷小量, 则正整数n = ( ). ( A) ( B ) (C )3 ( D )4 4 解! ( cos ) ln( + ) ~ n n + sin ~ e ~ 4! n +! n = 4
例3 求 lim 解 法 cos π. 令y =, y 0 cos π y+ 原式 = lim = lim y 0 ( y + ) y 0 cos π y+ y ( + ) π π πy sin( ) π y+ ( y + ) = lim = lim = y 0 y 0 y y ( ) 5
6 法 : 原式. ) 8 ( 4 4 ) ( )lim lim( 4 ) )( ( lim 4 ) )sin( ( lim π π π π π π π = = + = + = + =
000 例4 设α是正整数, 若 lim = β 0, 求 α, β. α ( )α 解 α (α ) α α α α " ( ) = α +! + ( )α! α (α ) α α α α ( ) = α +! ( )α! 000 lim α = lim ( )α 000 = lim α α 000 α (α ) α α α +! ( )α! = β 0 α = 000, = β α α = 00, β =. 00 7
p( ) 3 例5 设p( )是多项式, 且 lim =, p( ) lim =, 求p( ). 0 3 解! lim p( ) =, 可设 p( ) = 3 + + a + b(其中 a, b为待定系数 ) p( ) 又! lim =, 0 p( ) = 3 + + a + b ~ ( 0) 3 从而得 b = 0, a =. 故 p( ) = + + 8
+ a 例6 设 lim ( ) = 8, 求 a. a 解 + a! lim ( ) =e a =e +a lim ( ) a =e +a lim ln( ) a 3a lim a 3a =e =8 3a = ln 8 a = ln. 9
例7 n a + a +!+ a 求 lim ( ) 0 n 解 原式 = e =e =e =e a i " 0( i =,,!, n ). a + a +!+ a n lim ln 0 n ( a ) + ( a ) +!+ ( a n ) lim 0 n ( a ) + ( a ) +!+ ( a n ) lim 0 n ln a + ln a +!+ ln a n n = aa!a n n. 30
例8 + tan 3 求 lim( ). 0 + sin 解 原式 = lim e 3 ln + tan + sin 0 =e + tan lim 3 ( ) 0 + sin =e == e lim 0 3 ln + tan + sin tan sin lim 3 0 + sin tan sin sin ( cos )! lim 3 = lim 3 0 0 + sin ( + sin ) cos sin cos = lim = 0 ( + sin ) cos 原式 = e. 3
例9 解 求 lim+ cos. 0 原式 =e =e 例0 求 lim 0 解 lim 0+ ln cos ( ) lim [ ] 0+ =e lim 0+ (cos ) =e. m + α n + β. m ( m + α ) ( n + β ) + α = lim 原式= lim 0 0 α β n + β α β m n lim = lim lim =. 0 0 0 m n 3