1. 如图, 在四边形 ABCD 中,AB=5,AD=AC=12, BAD= BCD=90,M N 分别是对角 线 BD AC 的中点, 则 MN=. 解答 : 解 : 连接 AM 和 CM BAD=90,AB=5,AD=12, BD=, BAD= BCD=90, 点 M 是 BD 的中点, AM=CM= BD=, 点 N 是 AC 的中点, MN AC,AN=CN= AC=6, 在 Rt AMN 中,MN=, 故应填 2.5. 2.( 2014 黑龙江 ) 已知 ABC 中,M 为 BC 的中点, 直线 m 绕点 A 旋转, 过 B M C 分别作 BD m 于 D,ME m 于 E,CF m 于 F. (1) 当直线 m 经过 B 点时, 如图 1, 求证 EM= CF. (2) 当直线 m 不经过 B 点, 旋转到如图 2 图 3 的位置时, 线段 BD ME CF 之间有怎样的数量关系? 请直接写出你的猜想, 并选择一种情况加以证明.
解答 : 解 : ( 1) 如图 1, ME m 于 E,CF m 于 F, ME CF, M 为 BC 的中点, E 为 BF 中点, ME 是 BFC 的中位线, EM= CF. (2) 图 2 的结论为 :ME= (BD+CF), 图 3 的结论为 :ME= (CF - BD). 图 2 的结论证明如下 : 连接 DM 并延长交 FC 的延长线于 K 又 BD m,cf m BD CF DBM= KCM 在 DBM 和 KCM 中, DBM KCM(ASA), DB=CK,DM=MK 由题意知 :EM= FK, ME= (CF+CK)= (CF+DB) 图 3 的结论证明如下 : 连接 DM 并延长交 FC 于 K 又 BD m,cf m BD CF MBD= KCM 在 DBM 和 KCM 中
, DBM KCM(ASA) DB=CK,DM=MK, 由题意知 :EM= FK, ME= (CF - CK)= (CF - DB). 3.( 2015 深圳模拟 ) 如图, 矩形 ABCD 中,AB=4,AD=8, 点 E F 分别在线段 BC CD 上, 将 CEF 沿 EF 翻折, 点 C 的落点为 M (1) 如图 1, 当 CE=5,M 点落在线段 AD 上时, 求 MD 的长 ; (2) 如图 2, 若点 F 是 CD 的中点, 点 E 在线段 BC 上运动, 将 CEF 沿 EF 折叠, 1 连接 BM, BME 是否可以是直角三角形? 如果可以, 求此时 CE 的长, 如果不可以, 说明理由 2 连接 MD, 如图 3, 求四边形 ABMD 的周长的最小值和此时 CE 的长 解答 : 解 : ( 1) 如图 1, 作 EN AD 于点 N, ANE= ENM=90. 四边形 ABCD 是矩形, A= B= C= D=90,AB=CD=4,AD=BC=8, A= B= ANE=90, AB=NE=4,AN=BE. EC=5, BE=3, AN=3. EFC 与 EFM 关于直线 EF 对称, EFC EFM, EC=EM=5. 在 Rt EMN 中, 由勾股定理, 得 MN=3, MD=8-3-3=2. 答 :MD 的长为 2; (2)1 如图 2, 当 BME=90 时, EMF=90, BMF=180,
B M F 在同一直线上. F 是 BC 的中点, CF=DF= CD=2. EFC 与 EFM 关于直线 EF 对称, EFC EFM, MF=CF=2,EC=EM. 在 Rt BCF 中, 由勾股定理, 得 BF=2. BM=2-2. 设 EC=EM=x, 则 BE=8-x, 在 Rt BME 中, 由勾股定理, 得 (8-x) 2 -x 2 =(2-2) 2, 解得 :x=. CE= ; 如图 3, 当 BEM=90 时, MEC=90 EFC 与 EFM 关于直线 EF 对称, EFC EFM, EMF= C=90,CF=FM=2, 四边形 ECFM 是正方形, MF=CE=2. CE=2 或 ; 2 如图 4, 四边形 ABMD 的周长最小, BM+MD 最小, B M D 在同一直线上, 点 M 在 BD 上. 连结 MC, EFC 与 EFM 关于直线 EF 对称, EFC EFM, EC=EM,FC=FM. EF 垂直平分 MC, MG=CG, GF 是 CDM 的中位线, FG BD, BE=CE. BC=8, CE=4. 在 Rt ABD 中, 由勾股定理, 得 BD=4. 四边形 ABMD 的周长的最小值为 :4 +4+8=4 +12. 答 : 四边形 ABMD 的周长的最小值为 (4 +12), 此时 CE 的长为 4.
4.( 2015 上城区二模 ) 将一副三角尺如图拼接 : 含 30 角的三角尺 ( ABC) 的长直角边与含 45 角的三角尺 ( ACD) 的斜边恰好重合. 已知 AB=4, 点 P 在直线 AC 上. (1) 若 BP 平分 ABC, 求 DP 的长 ; (2) 若 PD=BC, 求 PDA 的度数 ; (3) 点 Q 在直线 BC 上, 若以 D,P,B,Q 为顶点的四边形是平行四边形, 问符合要求的点 Q 的位置有几个? 请直接写出 BQ 的长. 解答 : 解 : ( 1) 在 Rt ABC 中,AB=4 BC=2,AC=6. 如图 (1), 作 DF AC, Rt ACD 中,AD=CD DF=AF=CF=3,, BAC=30
BP 平分 ABC PBC=30 CP=2, PF=1 DP= =. (2) 当 P 点位置如图 (2) 所示时, 根据 (1) 中结论,DF=3, ADF=45 又 PD=BC=2, PDF=30 PDA= ADF- PDF=15 当 P 点位置如图 (3) 所示时, 同 (2) 可得 PDF=30. PDA= ADF+ PDF=75. (3) 有 3 个,BQ=3 或 BQ=6+2 如图 (1) ( 2)DP AC 时,DP BQ,DP=BQ, 则 BQ=3, 如图 (3)DQ BP 时,BQ 为对角线, 连接 DP 交 BQ 于点 E, 过 D 作 DF BQ, 垂足为 F, 则 CDF 为等腰直角三角形, AB=4 3, BAC=30, AC=6,BC= 2, DC= 3 2, CF=3, E 是对角线的交点, DE=PE, PCE=90 = DFE, PEC= DEF PCE DFE(AAS), CE=FE= 1 2 CF= 3 2, BQ=2BE=2(BC+CE)=4 +3.
故点 Q 有 3 个,BQ=3 或 BQ=3+4. 5. 已知边长为 1 的正方形 ABCD 中, P 是对角线 AC 上的一个动点 ( 与点 A C 不重合 ), 过点 P 作 PE PB,PE 交射线 DC 于点 E, 过点 E 作 EF AC, 垂足为点 F. ⑴ 点 E 落在线段 CD 上时 ( 如图 ), 1 求证 :PB=PE; 2 在点 P 的运动过程中,PF 的长度是否发生变化? 若不变, 试求出这个不变的值, 若变化, 试说明理由 ; ⑵ 当点 E 落在线段 DC 的延长线上时, 判断上述 ⑴ 中的结论是否仍然成立 ; ⑶ 在点 P 的运动过程中, PEC 能否为等腰三角形? 如果能, 试求出 AP 的长, 如果不能, 试说明理由
解答 : 解 : ( 1)1 证明 : 过点 P 作 PG BC 于 G, 过点 P 作 PH DC 于 H, 如图 1. 四边形 ABCD 是正方形,PG BC,PH DC, GPC= ACB= ACD= HPC=45. PG=PH, GPH= PGB= PHE=90. PE PB 即 BPE=90, BPG=90 - GPE= EPH. 在 PGB 和 PHE 中, PGB = PHE PG = PH. BPG = EPH
PGB PHE(ASA), PB=PE. 2 连接 BD, 如图 2. 四边形 ABCD 是正方形, BOP=90. PE PB 即 BPE=90, PBO=90 - BPO= EPF. EF PC 即 PFE=90, BOP= PFE. 在 BOP 和 PFE 中, PBO = EPF BOP = PFE, PB = PE BOP PFE(AAS), BO=PF. 四边形 ABCD 是正方形, OB=OC, BOC=90, BC= 2 OB. BC=1, OB= 2 2, PF= 2 2. 点 PP 在运动过程中,PF 的长度不变, 值为 2 2. (2) 当点 E 落在线段 DC 的延长线上时, 符合要求的图形如图 3 所示.
同理可得 :PB=PE,PF= 2 2. (3)1 若点 E 在线段 DC 上, 如图 1. BPE= BCE=90, PBC+ PEC=180. PBC<90, PEC>90. 若 PEC 为等腰三角形, 则 EP=EC. EPC= ECP=45, PEC=90, 与 PEC>90 矛盾, 当点 E 在线段 DC 上时, PEC 不可能是等腰三角形. 2 若点 E 在线段 DC 的延长线上, 如图 4. 若 PEC 是等腰三角形, PCE=135, CP=CE, CPE= CEP=22.5. APB=180-90 -22.5 =67.5. PRC=90 + PBR=90 + CER, PBR= CER=22.5, ABP=67.5, ABP= APB. AP=AB=1. AP 的长为 1. 4.( 2014 石景山区一模 ) 在矩形 ABCD 中,AD=12,AB=8, 点 F 是 AD 边上一点, 过点 F 作 AFE= DFC, 交射线 AB 于点 E, 交射线 CB 于点 G.
(1) 若 FG=8, 则 CFG= ; (2) 当以 F,G,C 为顶点的三角形是等边三角形时, 画出图形并求 GB 的长 ; (3) 过点 E 作 EH CF 交射线 CB 于点 H, 请探究 : 当 GB 为何值时, 以 F,H,E,C 为顶点的四边形是平行四边形. 解答 : 解 : ( 1) 四边形 ABCD 是矩形, AD BC, D=90. AFE= FGB, DFC= FCG, AFE= DFC, FGC= FCG; FC=FG=, 在 Rt FCD 中,FC=,CD =AB =8, DFC=45, CFG=180 - AFE- DFC=180-45 -45 =90 ; 故答案为 :90 ; (2) 图形如下 : 四边形 ABCD 是矩形, D=90. FGC 是等边三角形, GFC=60. DFC= AFE, DFC=60. DC=8,
FC= 16 3 3. FGC 是等边三角形, GC=FC=. BC=AD=12, GB=12 - ; (3) 过点 F 作 FK BC 于点 K 四边形 ABCD 是矩形, ABC=90,AD BC. DFC= KCF, AFG= KGF. DFC= AFG, KCF= KGF. FG=FC. GK=CK. 四边形 FHEC 是平行四边形, FG=EG. 在 FGK 和 EGB 中 FGK EGB BG=GK=KC=.