第 5 章 機率論 1
日常生活的機率問題 1. 王建民下一場的出賽會贏嗎? 2. 美國股票漲, 台灣股票會上漲的機率有多高? 3. 買大樂透中頭獎的機率有多高? 面對不確定事件時, 事前的機率估計, 有助於進行決策. 統計觀點 機率是統計推論 Ch10 以後 的橋樑 2
學習目的 1. 定義機率 2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗, 實驗結果, 事件, 樣本空間等 3. 描述古典的機率理論 客觀的機率理論及主觀的機率理論 4. 熟習聯合機率 邊際機率及條件機率的定義及其應用 5. 學習獨立 不獨立與互斥事件間的相互關係 6. 認識貝氏定理及應用貝氏定理 3
本章結構 機率論 隨機實驗機率理論事件機率 隨機實驗 的意義 隨機實驗的基本觀 念 機率理論 的種類 三個機率理論的比 較 機率的公 理體系 事件機率 的定義 聯合機率 邊際機率 條件機率 事件的性質與事件機率的運算 事件的性 質與關係 事件機率 的運算法則 貝氏定理 Excel 的使用 4
5.1 隨機實驗 random experiment 隨機實驗的意義隨機實驗是一種過程 process, 是一種不能確定預知會發生何種結果的實驗方式 在實驗前已知所有可能出現的結果, 而實驗後的結果為所有可能的結果之一, 但實驗前並未能正確的 肯定的預知它是何種結果 隨機實驗可重複進行, 而經過長期重複實驗, 出現的結果會遵循某一些統計規則 5
表 5.1 隨機實驗 出象與樣本空間 隨機實驗 random experiment 出象 outcome 樣本空間 sample space 產品品質檢驗良品, 不良品 S { 良品, 不良品 } 一場足球賽贏, 輸, 和 S { 贏, 輸, 和 } 丟一個骰子 1 次 1, 2, 3, 4, 5, 6 S { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 新生小孩的性別男性, 女性 S { 男性, 女性 } 6
5.1.2 隨機實驗的基本觀念 隨機 random 隨機是指一個現象事先無法預知是否發生, 但在長期多次重複實驗之後, 該現象的發生會出現有規則的型態 基本出象 basic outcome 隨機實驗的每個可能的結果稱為基本出象, 又稱為樣本點 樣本空間 sample space 一個隨機實驗中, 所有可能出象的集合稱為樣本空間 通常以英文大寫字母 S 表示之 7
圖 5.1 擲一個銅板兩次的樣本空間 H HH HH TH HT TT H T T H HT TH T Venn 圖 樹枝圖 TT 8
例 5.3 淡水河邊打香腸 淡水河邊香腸伯的香腸攤, 可以直接買, 也可以玩碗公的 十八啦 擲三個骰子比大小 Solution: Outcome: 1,1,1, 1,1,2,,,,,6,6,6 6*6*6=216 個可能結果, 任何一個都是樣本點 Sample space S= {3,4, 5,,18} 9
隨機實驗的基本觀念 事件 event 樣本空間的部份集合稱為事件 簡單事件 simple event 事件只包含一個基本出象者稱為簡單事件 複合事件 composite event 事件包含二個或二個以上基本出象者稱為複合事件 10
: 出現偶數點數 : 骰子點數為 3 C: 二個骰子點數和為 13 圖 5.2 簡單事件與複合事件 S 1 3 5 2 4 6 11
n C r 計算樣本點的法則 1. 乘數定理 設一隨機實驗包含 k 個實驗, E 1,E 2, E k, 若每一實驗 Ei 有 n i 種結果, i=1,2, k, 則該實驗有 n 1 n 2 n k 種結果 2. 排列 permutation 自一個包含 n 個元素的集合中, 一次抽出 r 個元素, 則有 個不同排列的樣本組 3. 組合 combination n r n n! r! n n n r 1 n r 1 自一個包含 n 個元素的集合中, 一次抽出 r 個元素, 若不考慮 r 個被抽 n 中元素的順序, 則共有個不同組合 C n r C r n! n n 1 n r! n r! r! r 1 12
Ex 5.4 手機密碼的設定 4 個數字的開機密碼, 有幾種設定方式? 若要求 4 個數字皆不相同, 則有幾種不同的設定方式? Solution 1. 10*10*10*10= 10,000 2. n r 10! 10 9 8 7 5040 10 4! 13
Ex 5.5 張小姐擁有 8 張不同銀行發行的信用卡 1. 若隨機從中抽取兩張來用, 則共有多少樣本點? 2. 若 8 張中有 5 張是 VIS 卡, 3 張是 Master 卡, 則抽中 1 張 VIS 卡和 1 張 Master 卡的樣本點有幾個? Solution: 1. 樣本空間的樣本點個數 C 8! 87 2!6! 2! 8 2 2. 抽中 1 張 VIS 卡和 1 張 Master 卡的樣本點個數 C 5! 3! 1!4! 1!2! 28 5 3 1 C1 15 14
5.2 機率理論 5.2.1 機率理論的種類 1. 古典的機率理論 classical probability 又稱先驗的機率理論 priori probability, 指若在某一隨機實驗中, 有 N 種互相排斥且同等可能出現的出象, 則任一出象 E 的機率, 以 E 表示為 1 E N Ex 5.6 擲一粒骰子, 出現偶數點的機率? 設 為骰子出現偶數點的事件 2, 4, 6 點 1 1 1 3 6 6 6 6 15
2. 客觀的機率理論 objective probability 又稱為相對次數的機率理論 relative frequency probability 指在長期重複的隨機實驗中, 事件 E 發生的機率為出現該事件之次數與隨機實驗的總次數之比 E lim n ne 表示事件 E 出現的次數, n 表隨機實驗的總次數 Ex: 擲一枚銅板 1000 次 n n 大數法則 law of large number 若偶事件有既定的機率, 而我們不斷的進行相同的實驗, 則該事件發生的次數比例會越來越接近這個既定的機率 E 16
面的比 現正面0. 6 機率 =0.5 圖 5.3 投擲銅板出現正面的機率 0. 9 0. 8 1. 0 0. 7 0.5 例0. 4 0.3 0.2 0. 1 2 3 4 0 1 5 10 50 10 0 500 10 00 擲銅板的次數 17
3. 主觀的機率理論 指事件發生的機率, 決定於人們對發生此事件的相信程度 E=[ 對事件 E 發生的信心 ] EX5.8 憂國憂民的使命感 2008 年的總統大選即將開打, 除了藍綠兩組候選人之外, 電視報導傳聞王文洋即將參選, 他的競選總幹事相信王先生當選的機率為 40% 18
5.2.3 機率的公理 19 公理一 0 E i 1, 表示任一事件 E i 若可能發生, 則其機率大於 0 小於 1 若事件不發生, 則其機率等於 0 若事件一定發生, 則機率等於 1 公理二 E1 E2 2 n, E2, E n E, En E1 E E, E 1, E2,, E, 1 互斥, 表示若有 n 個互斥事件 n 則 E 1發生或 E 2 發生或 E n 發生的機率為其個別機率的和 公理三 S 1, 表示樣本空間中所有事件均發生的機率總合等於 1
Ex: 5.10 無偏銅板的機率 擲銅板的隨機實驗, 其樣本空間為 { 正面, 反面 }, 因此, 依照機率的三個公理, 對應樣本空間的任一事件 正面或反面 均有一實數值與之對應, 如 E1= 正面 =1/2, E2= 反面 =1/2, 且滿足下列三條件 1. 0 E 1 i, 因 0< ½ <1 2. 1 1 E E 2 E1 E2 2 2 3. S=1, 因 S=1/2 +1/2 =1 1 由此可知, 他們符合機率的公理體系 1 20
5.3 事件機率 5.3.1 事件機率的定義 設事件 定義於隨機實驗的樣本空間, 其發生之機率 為事件 之基本出象的機率總和, 即 E, i E i 5.3.2 聯合機率 joint probability 二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率 E, i E i 21
表 5.2 事件的聯合 聯合次數分配 \ 1 2 c 1 1 1 1 2 1 c r r 1 r 2 r c 22
表 5.3 聯合機率分配表 \ 1 2 c 1 1 1 1 2 1 c r r r r 1 2 c 23
Ex 5.12 問模具狀況佳 或不佳 與產品為良品 或瑕疵品 的機率為何? 表 5.4 汽車墊片的品質與模具狀況分析表 產品 良品 1 瑕疵品 2 合計 模具 狀況佳 1 320 80 400 狀況差 2 14 36 50 合計 334 116 450 24
表 5.5 汽車墊片的品質與模具狀況的機率表 產品 良品 1 瑕疵品 2 i 模 狀況佳 1 1 1 0. 71 1 2 0. 18 1 0. 89 具狀況差 2 2 1 0. 03 2 0. 08 2 0. 11 2 i 1 0. 74 2 0. 26 1.00 25
圖 5.4 汽車墊片的品質與模具狀況的樹枝圖 模具狀況 1 良品 1 1 0.71 1 狀況佳 2 瑕疵品 2 0.18 1 1 良品 1 2 0.03 2 狀況差 2 瑕疵品 2 2 0.08 26
5.3.3 邊際機率 marginal probability 在有二個或二個以上類別的樣本空間中, 若僅考慮某一類別個別發生的機率者稱為邊際機率 下頁表 5.6 垂直加總 i i j i 1 i 2... i 平行加總 c j1 i=1,2,,r j=1,2,,c r i1 j i j 1 j 2 j c... r j 27
表 5.6 一般化的聯合機率分配表 \ 1 c i c 1 1 1 1 c, r r 1 r c j r i1 r i, 1 1 i, c c 1 i1 j1 c j1 1 j 1 r, j r 28
Ex 5.13 在例 5.12 中, 良品與瑕疵品的機率為何? Solution: 良品的比例為 良品 = 1 1 1 2 1 = 狀況佳, 良品 + 狀況差, 良品 =0.71+0.03 =0.74 瑕疵品的比例為 瑕疵品 = 2 1 2 2 2 = = 狀況佳, 瑕疵品 + 狀況差, 瑕疵品 =0.18+0.08 =0.26 29
5.3.4 條件機率 conditional probability 令 為定義於樣本空間的事件, 已知發生事件 之後再發生事件 的機率, 稱為事件 的條件機率 若已知發生事件 之後再發生事件 的機率 0, 30 若已知發生事件 之後再發生事件 的機率 0,
圖 5.5 事件 的條件機率 圖 5.6 事件 的條件機率 31
個案研究紐約股市與台北股市的關連 表 5.7 台北與紐約股市關聯表 台北股市漲跌 小 計 紐約 漲 24 10 34 股市 跌 12 16 28 小 計 36 26 62 時間 :2003 年 6 月 1 日 ~8 月 31 日 資料來源 : 大師 資訊 32
表 5.8 台北與紐約股市漲跌機率表 聯合機率 台北股市漲跌 小 計 紐約 漲 0.387 0.161 0.548 股市 跌 0.194 0.258 0.452 小 計 0.581 0.419 1.000 TU NYU 0.387 TU NYU 0.706 NYU 0.548 TU NYD 0.194 TU NYD 0.429 NYD 0.452 33
EX: 5.14 問已知模具狀況佳的情況下, 良品與瑕疵品的機率各為何? Solution: 1 1 0.71 良品 狀況佳 = 1 1 = 0. 80 0.89 2 1 0.03 良品 狀況差 = 1 2 = 0. 27 0.11 1 2 34
5.4 事件的性質與關係 5.4.1 事件的性質與關係 一個事件依其與其他事件的關係可區分為獨立事件 independent event, 相依事件 dependent event, 和互斥事件 mutually exclusive event 獨立事件 independent event 獨立事件係指一事件的發生不影響其他事件發生的機率 若 兩事件合乎於下列任一條件, 則 互為獨立 1. = 2. = 3. 35
Ex 5.15 體重控制方法之間是否有關係 調查 315 位体重過重的國中生, 結果發現沒有任何體重控制行為的佔 23.9%, 有控制行為的佔 76.1%. 有控制行為者採用飲食控制的佔 98.5%, 採運動控制的佔 74.9%, 両種控制方法都採用的佔 73.8%. 請問這兩種控制方法之間是否有關? Solution: 設 : 採飲食控制, : 採運動控制, 已知 0.738 且知 *=0.985*0.761=0.738 因此可得 0.738 故兩種體重控制方法獨立無關 36
三事件獨立若,,C 三事件合乎下列四條件, 則,, C 互為獨立 1. 2. C C 3. C C 4. C C Ex: 自撲克牌以抽出放回的方式抽取 3 張牌, 設 事件為第 1 張為 K, 事件為第 2 張為 K, C 事件為第 3 張為 K, 試問,,C 三事件是否為獨立? YES 請自行運算 37
相依事件 dependent event 相依事件係指一事件的發生影響其他事件發生的機率 Ex: 自 52 張撲克牌中抽取 2 張牌. 設事件 為抽取第 1 張為老 K, 事件 為抽取第 2 張為老 K. 問, 倆事件的相互關係為何? 又若自撲克牌中以抽出放回的方式抽取 2 張, 則, 事件的關係又為何? Solution: 概念 : 先求事件 與事件 的機率, 然後再求事件 發生後再發生事件 的機率. 若條件機率等於邊際機率時, 則兩事件為獨立. 若不相等, 則不獨立. 38
1. 抽取 2 張抽出不放回 =4/52=1/13 4 3 52 51 3 1 4 52 17 52 4 3 48 4 1 52 51 52 51 13 故 =1/17 是因當抽出不放回時, 第 2 張出現老 K 的機率受到第 1 張老 K 影響. 故事件, 不獨立 2. 抽取 2 張抽出放回 =4/52=1/13, =4/52=1/13 =4/52=1/13 因此, =, 事件, 獨立 39
700 衛高中畢業生參加電機學院以及文學院的甄試入學, 結果如下表. 有家長質疑女生的錄取率偏低, 有性別歧視之嫌. 請問真有性別歧視嗎? 表 5.9 高中應屆畢業生申請參加甄試的結果 性別 甄試結果 錄取 1 不錄取 2 合計 男生 1 175 225 400 女生 2 100 200 300 合計 275 425 700 40
Solution: 男女生的錄取率分別為 1 1 =175/400 = 44% 1 2 =100/300 = 33% 由此可知, 男生錄取率比女生錄取率高 11%. 同時由上表得知條件機率不等於邊際機率. 因此, 男女性別與路不錄取有關. Q: 是否性別歧視? 進一步考慮學院別如下表 5.10, 5.11 41
表 5.10 電機學院甄試結果 表 5.11 文學院甄試結果 男 女 男 女 錄取 150 50 錄取 25 50 不錄取 150 50 不錄取 75 150 合計 300 100 合計 100 200 錄取 男生 電機學院 =150/300=1/2 錄取 女生 電機學院 =50/100=1/2 錄取 男生 文學院 = 25/100=1/4 錄取 女生 文學院 =50/200=1/4 女生參加文學院的真是較多 42
互斥事件 mutually exclusive event 如果事件沒有共同的元素 樣本點, 則稱為互斥事件 Ex 5.18 自 52 張撲克牌中抽取 1 張, 設事件 為出現老 K, 事件 為出現人頭 J,Q,K, 事件 C 為出現. 問,,C 是否為互斥事件? Solution: 因 = 4/52 0, 故, 不互斥 因 C=0, 故, C 互斥 因 C=0, 故, C 互斥 43
互斥事件與獨立事件的關係 互斥事件和獨立事件的相互關係可分為三種 1. 若, 獨立, 則, 不互斥 若, 獨立, 則 =*, 但因 0, 0, 則 0, 所以, 不互斥. 但若, 不互 斥,, 不一定獨立 2. 若, 互斥, 則, 不獨立 若, 互斥, 則 =0, 只要 0, 0, 則 *. 因此不獨立. 反之, 則不成立. 3. 若, 獨立, 則 與, 與, 與 均獨立 44
5.4.2 事件機率的運算法則 餘集合的機率設 為某一事件, 則其餘集合 complement of an event 發生的機率為 加法定理 1 1. 二事件的聯集 union =+- 若事件 與事件 互斥 =+ 2. 三事件聯集 C=++C- - C - C+ C 若事件,, C 互斥 C=++C 45
Ex5.19 經濟系規定, 輔系同學必須先修過經濟學原理與統計學. 現知府系同學中, 有 60% 修過經濟學原理,70% 修過統計學. 問輔系同學可以修個體經濟學的比例為何? Solution: 令 事件 : 輔系同學修讀經濟學原理 事件 : 輔系同學修讀統計學 據加法定理 =+- 可以修個體經濟學的比例為 = +- =0.6+0.7-1.0=0.3 輔系同學生有 30% 可修個體經濟學 46
Ex 5.20 中大公司欲聘經理人員, 應徵人員須具備三要件 ; 大專學歷, 領導能力, 溝通能力 C. 根據應徵人員資料, 具,,C 三種特質的比例各為 0.38, 0.2, 0.3; 有兩項特質的比例為 0.15; 一項特質的比例為 0.7. 試求同時具備三項特質的機率 Solution: 由題意知 =0.38, =0.2, C=0.3 C C=0.15, C=0.7 根據加法定理 C C= + C+ C - C- C - C + C 移項可得 + C+ C = C C-2 C 47
又根據加法定理 C=++C - - C- C+ C C= C---C + + C+ C =0.7-0.38-0.2-0.3+0.15+2 C 故 C=0.03 經理人才不多 48
乘法定理 1. 二事件的交集 = 如果, 獨立. = 則 = 2. 三事件的交集 C= C 如果,,C 獨立, 則 C= C 49
Ex5.21 請利用乘法定理及直接求算男性, 大專以上, 且為經理人員之機率表 5.12 台灣地區就業者之職業及教育程度 職業別 高中職以下 教育程度 大專以上 合計 男性 : 3,891 1,709 5,600 經理人員 162 189 351 非經理人員 3,729 1,520 5,249 女性 : 2,654 1,358 4,012 經理人員 34 42 76 非經理人員 2,620 1,316 3,936 資料來源 : 台灣地區人力資源統計月報,360 期, 行政院主計處, 92 年 11 月 單位 : 千人 50
Solution: 根據乘法定理計算如下 男性 大專以上 經理人員 = 男性 大專以上 男性 經理人員 男性 大專以上 = 5600/9612 1709/5600 189/1709 = 0.0197 51
分割定理 條件機率的情況 若 1, 2, r 為分割集合, 為一事件, 則, 且由 r i i 1 i i i 52 故 r i i i r i i 1 1
Ex 5.23 用表 5.12data 回答下列問題 1. 抽取任一就業者其為婦女且受過大專以上教育之機率? 2. 抽取任一就業者其為經理或大專畢業的機率? 3. 女性擔任經理人員的機率是否與男性擔任經理人員的機率相同? 4. 教育程度大專理上的女性與男性擔任經理人的機率有多少? 教育程度 職業別 高中職以下 大專以上 合計 男 性 : 3,891 1,709 5,600 經理人員 162 189 351 非經理人員 3,729 1,520 5,249 女 性 : 2,654 1,358 4,012 經理人員 34 42 76 非經理人員 2,620 1,316 3,936 資料來源 : 台灣地區人力資源統計月報,360 期, 行政院主計處, 92 年 11 月 單位 : 千人 53
Solution: 令事件 C: 教於程度為大專以上 事件 F: 女性 事件 M: 職業為經理人員 1. 總就業者共有 9612 千人, 女性且為大專以上者為 F C 集合, 有 1358 千人 故 F C= 1358/9612 = 0.1413 2. 任一就業者其為經理或大專以上畢業者的集合為 M C M C=M+C-M C =0.0444+0.3191+0.0240 = 0.3395 其中, M=351+76/9612 = 0.0444 C= 1709+1358/9612 = 0.3191 M C =189+42/9612 = 0.0240 54
3. 女性擔任經理人的機會應求在女性條件下為經理人的條件機率 : M F 0.0079 M F 0.0189 F 0.4174 其中, F=4012/9612=0.4174 M F=76/9612 =0.0079 男性擔任經理人的機率 : 其中 M F 0.0365 M F 0.0627 F 0.5826 5600 351 F 0.5826, M F 0.0365 9612 9612 55 男性擔任經理人的機率 0.0627 高於女性 0.0189
4. 是否受大專教育可能影響擔任經理人員的機會. 為排除男女性別及教育程度的影響, 進一歩檢驗大專以上擔任經理人員的機率, 該機率表為 MF C 429612 0.0044 M FC 0.0311 FC 0.1413 0.1413 同理可求大專以上男性擔任經理人員的機率 M F C 1899612 0.0197 M FC 0.1108 FC 0.1778 0.1778 男性機率高於女性, 好像有性別歧視, 但不能妄下斷論, 尚有其他因素未考慮 56
若已知 r,, 1 為樣本空間的分割集合, 為某事件, 且已知 i 及 i, 則 條件下發生事件 i 之機率表為 i : i i i 5.5 貝氏定理 57 2 1 r i 2 2 1 1 r r i i 式中 : i : 事前機率, i : 概似機率, i : 事後機率
海山唱片想推出新唱片, 根據過去經驗, 推出新唱片有 60% 是成功的, 40% 是失敗的事件 1 : 上市成功事件 2 : 上市失敗 表 5.13 新唱片上市成功的機率 上市情況 機率 成功 0.6 失敗 0.4 合計 1.00 58
市調並非百分之百準確, 根據經驗, 若推出成功, 調查結果客戶喜歡的機率為 90%, 不喜歡的機率為 10%; 相反的, 若推出不成功, 客戶不喜歡的機率為 70%, 喜歡的機率為 30%. 事件 : 調查報告為客戶喜歡事件 : 調查報告為客戶不喜歡 表 5.14 新唱片上市成功與調查報告 上市成功 1 上市失敗 2 客戶喜歡 0.90 0.30 客戶不喜歡 0.10 0.70 合計 1.00 1.00 59
調查報告為客戶喜歡而上市成功的機率為 1 0.54 0.66 1 0.82 調查報告為客戶喜歡而上市失敗的機率為 2 0.12 0.66 2 0.18 表 5.15 上市成功與失敗的聯合機率分配表 上市成功 1 上市失敗 2 客戶喜歡 1 0. 54 2 0. 12 0. 66 客戶不喜歡 1 0. 06 2 0. 28 0. 34 1 0.60 2 0. 40 1.00 60
圖 5.7 貝氏定理的樹枝圖 事前機率 1 0.6 新的訊息聯合機率事後機率 1 1 0.9 1 1 1 0. 82 0.6 0.9 0.54 1 1 0.1 1 1 1 0.18 0.6 0.1 0.06 2 0.4 2 0.3 2 2 0.4 0.3 0.12 2 2 0.18 2 0.7 2 2 0.4 0.7 0.28 2 2 0.82 61
例 5.24 某電子公司的網路卡有一特殊設計的 IC, 該 IC 購自三個供應商 1, 2, 3., 購買比例分別為 0.5, 0.3, 0.2. 根據過去的資料, 1, 2, 3. 產品的不良率分別為 0.04, 0.03, 0.05. 該電子公司在買入零件時並未檢驗, 而直接安裝在網路卡上, 因此若網路卡發生問題, 最可能的原因是來自外購的這個 IC. 現問有瑕疵的網路卡是 2, 供應商生產的機率為何? Solution: 三家供應商的供應比例為 1 =0.5, 2 =0.3, 3 =0.2 設 1 : IC 瑕疵品 2 : IC 為良品 已知三家供應商產品的不良率為 1 1 =0.04, 1 2 =0.05, 1 3 =0.03 62
網路卡為瑕疵品而其零件來自 2 供應商的機率表為 2 1 其中 0.37 0.041 0.05 0.3 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 63 故若網路卡為瑕疵品, 則來自 2 的機率為 0.37 0.041 0.006 0.015 0.02 0.03 0.2 0.05 0.3 0.04 0.5 3 1 3 2 1 2 1 1 1
圖 5.8 貝氏定理的應用 事前機率 取得新資訊 應用貝氏定理 事後機率 64
The system is designed to detect intruders with a probability of 0.90 Various weather conditions: clear 75%, cloudy 20%, and raining 5% Q: Using this information to find the probability of detecting an intruder, given rainy weather condition. Solution: Define D to be the event that the intruder is detected by the system D=0.90 D c =0.10 Clear D=0.75 Clear D c =0.60 Cloudy D=0.20 Cloudy D c =0.30 Rainy D=0.05 Rainy D c =0.95 Rainy D=D Rainy D=0.900.05=0.045 Rainy D c =D c Rainy D c =0.100.10=0.01 65
Rainy D Rainy D 0.045 D Rainy 0.818 C Rainy Rainy D Rainy D 0.055 In applying ayes s rule, the observed event ={Rainy} and the k=2 mutually exclusive and exhaustive events are the complementary events D={intruder detected} and D C = {intruder not detected}. Hence D Rainy D D Rainy C D Rainy D D Rainy D 0.900.05 0.900.05 0.100.10 0.818 C 66