中華民國嘉義市第三十二屆國民中小學科學展覽會作品說明書 科 組 別 : 數學科 別 : 國小組 作品名稱 : 進擊的魔術數學骰子 關鍵詞 : 機率 組合 規律 編號 :
進擊的魔術數學骰子摘要 設五個三位數 (ABC) 四位數(ABDC) 五位數(ABDEC) N 位數 (AB C) 的魔術數學骰子, 只要遵守魔術骰子的製作的規律原理 : 同一個骰子中間數 (B ) 是相同, 五個不同中間數和 Bt=10 N-2 T,T 是正整數,A+C 相等, 但六個面 (A C) 的配對是不相同的, 且 S=At( 五個不同骰子 A 的和 )+Ct( 五個不同骰子 C 的和 )+T=50, 擲出五個骰子的五個數和一定是 10 N-1 (50-Ct)+Ct, 即五個數和的最左邊兩位數是 50-Ct, 中間要有 N-3 個 0, 最右邊兩位數十位與個位數就是 Ct 創新魔術數學骰子的新玩法是調整成四位數, 讓十位數字是 0, 設四位數是 AB0C, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個可以克服 S 是 50 的要求 在五個骰子中取四個時, 其 A+C=12, 中間數 B:4 5 6 7 8 時, T=2 是可以成立的, 五個骰子中擲出四個四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (10-B) +Ct; 在七個骰子中取六個時, 其 A+C=8, 中間數字 B 是 1 2 3 4 5 6 7 時,T =2 是可以成立的, 七個骰子中擲出六個四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (8-B) +Ct, 但要記住和中百位數的對應關係,B 則為未被抽中的骰子數 AB0C 中 B0 的 B 壹 研究動機 在學校時同學神秘兮兮的拿著有數字的骰子在玩, 我好奇的問 : 那是做什麼的? 怎麼玩?, 他拿出五個骰子要我檢查是不是每一面上的三位數的數字都不一樣, 果然都不一樣 接著說 : 我們來比賽, 看誰可以先算出丟出去五個骰子上的三位數和, 而且可以讓你用計算機, 並且再讓你 3 秒! 如何? 在不服氣的心情下, 我接受了挑戰, 但結果我輸了 事後我想這數字骰子一定有什麼古怪, 於是就找了同學 請教了老師, 進行了這個魔術數學骰子的研究 貳 研究目的 一 探討魔術數學骰子能快速得知答案的數字秘密規則 二 研究利用這些規律是否可以發展出 4 5 N 位數的魔術數學骰子 三 研究魔術數學骰子的個數與位數是否影響速解的情形 四 研究是否可以加入創新的想法讓玩家覺得更有趣 更不可思議 參 研究設備及器材 魔術數學骰子 電腦 筆 紙 1
肆 研究過程 一 魔術數學骰子簡介 : ( 一 ) 根據同學拿來的魔術數學骰子共有五個, 每一個有六個面, 每一面的三位數的 數字都不一樣, 詳述如表一 表一 五個魔術數學骰子的三位數數字分析表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 第一面 630 651 960 973 994 第二面 531 156 861 379 499 第三面 135 552 168 874 895 第四面 432 255 762 478 598 第五面 234 453 267 775 796 第六面 333 354 663 676 697 同一個三位數百位數字 6 7 9 12 13 與個位數字和 擲出五個百 位數字與個 6+7+9+12+13=47 位數字和 同一個骰子十位數字 3 5 6 7 9 擲出五個三 位數的十位 10 (3+5+6+7+9)=10 30=300 數和 ( 二 ) 同一個骰子六個面的百位數字與個位數字和是相同的, 且十位數字也相同, 並 發現五個骰子擲出後任一組五個三位數中的十位數和都是 300; 任一組五個三 位數中百位數字與個位數字和是 47,47 再加上十位數和 300 中進位到百位數的 數字是 3 等於 47+3=50, 即任一組五個三位數中百位數字和加上個位數字和, 再加上十位數和進位到百位數的數字是剛好 50 ( 三 ) 五個骰子擲出後任一組的三位數和, 其千位與百位的兩位數字是 (50- 個位數字 和 ); 十位與個位的兩位數字是五個三位數的個位數字和, 若個位數字和不到十 位數, 則在個位數字和的個位數前要記得加 0 即五個三位數和的速算公式為 100(50- 個位數字和 )+ 個位數字和 隨意擲出五個骰子如表一中紅色底的三 位數, 其五個三位數和 135+156+762+775+598=2426, 亦等於 100[50-(5 +6+2+5+8)]+(5+6+2+5+8)=100 (50-26)+26=2426, 所以速 算方式是成立的 ( 四 ) 在玩的過程中發現, 可以訓練我們五個個位數字的心算加法及 50 減去個位數字 和的心算減法 2
二 魔術數學骰子的分析 ( 一 ) 設每個骰子每一面三位數為 ABC,A 為百位數字,B 為十位數字,C 為個位數字, 即 ABC=100A+10B+C, 則擲出五顆骰子朝上的五個三位數為第一顆骰子是 A1B1C1, 第二顆骰子是 A2B2C2, 第三顆骰子是 A3B3C3, 第四顆骰子是 A4B4C4, 第五顆骰子是 A5B5C5 ( 二 ) 為了計算的方便同一個骰子的十位數字 (B) 是相同的, 但不同骰子的十位數字是不相同的, 即 B1 B2 B3 B4 B5, 而且五個骰子的十位數字和 [Bt=B1+B2+ B3+B4+B5=10T(T 為正整數 )] 為 10 的倍數, 也就說十位數和 (10Bt) 的十位數是 0, 才不至於與個位數字和 (Ct=C1+C2+C3+C4+C5) 中的十位數字還要進行加法進位的運算, 導致運算的複雜困難 其中 : 因 B1 B2 B3 B4 B5, 所以 Bt=10T =B1+B2+B3+B4+B5 的最小可能是 0+1+2+3+4=10; 最大可能是 5 +6+7+8+9=35, 但要符合十的倍數, 所以最大是 30, 所以中間十位數字 (B) 相加的和只有 10 20 及 30 三種, 即 T 只可以是 1 或 2 或 3 三種情形 ( 三 ) 擲出五個骰子的任一組五個三位數, 其百位數字和 (At=A1+A2+A3+A4+A5)+ 個位數字和 (Ct=C1+C2+C3+C4+C5)+ 十位數字和進到百位的數字 (T)=At +Ct+T=S=10Y(Y 為正整數 ), 即 10 的倍數, 才能有利於心算的方便計算 ( 四 )A 與 C 的探討 : 設 ABC 是三位數, 所以 A 是百位數字不得為 0, 則 0<A 9, 而 C 為個位數字, 則 0 C 9, 則 0+1 A+C 9+9, 即 1 A+C 18, 且每個骰子六個面三位數中的十位數字 B 是相同的, 但六個面數字要不相同, 所以只有 A+C =6 7 8 13 是符合以上條件的, 詳情如下表二 : 表二 在十位數字 B 是相同時, 百位數字 A 與個位數字 C,(A C) 配對是否滿足同骰子六個面數字不相同的分析表 A+C (A C) 可是否滿足六個 (A C) 配對的可能情形 =? 行配對數面數字不相同 1 (1,0) 1 否 2 (2,0) (1,1) 2 否 3 (3,0) (2,1) (1,2) 3 否 (4,0) (3,1) (1,3) 4 4 否 (2,2) (5,0) (4,1) (1,4) 5 5 否 (3,2) (2,3) (6,0) (5,1) (1,5) 6 6 是 (4,2) (2,4) (3,3) (7,0) (6,1) (1,6) 7 7 是 (5,2) (2,5) (4,3) (3,4) (8,0) (7,1) (1,7) 8 8 是 (6,2) (2,6) (5,3) (3,5) (4,4) 3
9 (9,0) (8,1) (1,8) (7,2) (2,7) (6,3) 9 是 (3,6) (5,4) (4,5) 10 (9,1) (1,9) (8,2) (2,8) (7,3) (3,7) 9 是 (6,4) (4,6) (5,5) 11 (9,2) (2,9) (8,3) (3,8) (7,4) (4,7) 8 是 (6,5) (5,6) 12 (9,3) (3,9) (8,4) (4,8) (7,5) (5,7) 7 是 (6,6) 13 (9,4) (4,9) (8,5) (5,8) (7,6) (6,7) 6 是 14 (9,5) (5,9) (8,6) (6,8) (7,7) 5 否 15 (9,6) (6,9) (8,7) (7,8) 4 否 16 (9,7) (7,9) (8,8) 3 否 17 (9,8) (8,9) 2 否 18 (9,9) 1 否 ( 五 ) 由上表二可知,At+Ct=(A1+C1)+(A2+C2)+(A3+C3)+(A4+C4)+(A5 +C5) 最小是 6+6+6+6+6=30, 最大是 13+13+13+13+13=65; 若再規 定 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 則最小是 6+7+8+9+10=40, 最 大是 9+10+11+12+13=55 則擲出五個骰子的任一組五個三位數, 其 At+Ct+T=S=10Y(Y 為正整數 ), 從上述分析已知 T 只可以是 1 或 2 或 3 三種 情形, 所以 S 的最小值為 30+1=31, 最大值為 65+3=68, 所以 S 可以是 40 或 50 或 60,; 若再規定 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 則 S 的最小值 為 40+1=41, 最大值為 55+3=58,S 只可以是 50 三 利用上述規則自製一組三位數的魔術數學骰子, 是否也可以符合速算方式 : ( 一 ) 設十位數字和進到和的百位數字是 T,T 可以是 1 或 2 或 3, 先設 T=1, 即 Bt =B1+B2+B3+B4+B5=10, 且因為 B1 B2 B3 B4 B5, 所以 Bt=0+1+2+3+4 =10, 因此設 B1=0 B2=1 B3=2 B4=3 B5=4, 又 At+Ct+T=S=50, 則 At+Ct+1 =S=50, 移項 At+Ct=S-1=50-1=49, 亦即 (A1+C1)+(A2+C2)+(A3 +C3)+(A4+C4)+(A5+C5)=49, 因為 6 A+C 13, 則 49 可分為 : 6+7+11+12+13 或 6+8+10+12+13 或 7+8+9+12+13 或 6+9+10+11 +13 或 7+8+10+11+13 或 7+9+10+11+12 共六組, 隨意挑一組為 6+7+ 11+12+13, 設 (A1+C1)=6 (A2+C2)=7 (A3+C3)=11 (A4+C4)=12 (A5+C5)=13, 所以自製五個骰子的各面組合可以如下表三 : 4
表三 自製五個魔術數學骰子的三位數組合情形分析表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 中間的數 B 0 1 2 3 4 A+C 6 7 11 12 13 可 第一種 600 710 922 933 944 能 第二種 501 611 229 339 449 的 第三種 105 116 823 834 845 數 第四種 402 512 328 438 548 字 第五種 204 215 724 735 746 組 第六種 303 413 427 537 647 合 第七種 314 625 636 第八種 526 共幾種 6 7 8 7 1 可組成的骰子 C 6 6=1 C 7 6=7 C 8 6=28 C 7 6=7 C 6 6=1 數 可組成的五顆 骰子組 C 6 6 C 7 6 C 8 6 C 7 6 C 6 6=1 7 28 7 1=1372 ( 二 ) 隨意挑一組五個骰子六個面的數, 如上紅色底的數, 作成如下表四的五個骰子 : 表四 從表三中隨意挑一組如紅色底, 自製五個骰子六個面的三位數數字表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 第一面 600 611 823 933 944 第二面 501 116 328 339 449 第三面 105 512 724 834 845 第四面 402 215 427 438 548 第五面 204 413 625 735 746 第六面 303 314 526 537 647 由上面的五個骰子可以擲出 6 6 6 6 6=7776 組五個不同三位數的組合, 隨 意挑選一組, 假設該組擲出的數如上黃色底的數 :501+512+427+834+746 =3020, 亦等於速算公式為 100[50-(1+2+7+4+6)]+(1+2+7+4 +6)=3020, 所以是符合的 四 利用上述規則的相似原理製作一組四位數的魔術數學骰子, 是否也可以符合速算的 計算方式 : ( 一 ) 設四位數為 ABDC, 令 S=50, 因為 B1D1 B2D2 B3D3 B4D4 B5D5, 則 Bt=B1D1+B2D2 +B3D3+B4D4+B5D5 最小是 0+1+2+3+4=4, 最大是 95+96+97+98+99= 485, 因為希望不影響個位數字和進位到十位數的部分, 及和的百位數容易記憶 套用, 所以 Bt 可以是 100 200 300 或 400, 設 Bt=300=100T,T=3,S-T =50-3=47, 因 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 亦即 (A1+C1)+(A2 +C2)+(A3+C3)+(A4+C4)+(A5+C5)=47, 且 6 A+C 13, 則 47 可分 為 : 5
6+7+9+12+13 或 6+7+10+11+13 或 6+8+9+11+13 或 6+8+10+11 +12 或 7+8+9+10+13 或 7+8+9+11+12 共 6 組, 隨意挑一組為 7+8+9 +11+12, 設 (A1+C1)=7 (A2+C2)=8 (A3+C3)=9 (A4+C4)=11 (A5+C5)=12, 又 Bt=B1D1+B2D2+B3D3+B4D4+B5D5=300, 所以 Bt 可以有許多 組合, 取其中一組是 58+59+60+61+62, 設 B1D1=58 B2D2=59 B3D3=60 B4D4=61 B5D5=62, 所以自製五個骰子的各面組合可以如下表五 : 表五 自製五個魔術數學骰子的四位數組合情形分析表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 中間的數 BD 58 59 60 61 62 A+C 7 8 9 11 12 可能 第一種 7580 8590 9600 9612 9623 的數 第二種 6581 7591 8601 2619 3629 字組 第三種 1586 1597 1608 8613 8624 合 第四種 5582 6592 7602 3618 4628 第五種 2585 2596 2607 7614 7625 第六種 4583 5593 6603 4617 5627 第七種 3584 3595 3606 6615 6626 第八種 4594 5604 5616 第九種 4605 共幾種 7 8 9 8 7 可組成的骰子數 C 7 6=7 C 8 6=28 C 9 6=84 C 8 6=28 C 7 6=7 可組成的五顆骰 子組 C 7 6 C 8 6 C 9 6 C 8 6 C 7 6=7 28 84 28 7=3226944 ( 二 ) 從表五中隨意挑一組五個骰子六個面的數, 如上紅色底的數, 作成如下表六的 五個骰子 : 表六 從表五中隨意挑一組如紅色底, 自製五個骰子六個面的四位數數字表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 第一面 7580 7591 7602 2619 9623 第二面 6581 1597 2607 8613 3629 第三面 1586 6592 6603 3618 8624 第四面 5582 2596 3606 7614 4628 第五面 2585 5593 5604 4617 7625 第六面 4583 3595 4605 6615 5627 由上面的五個骰子可以擲出 6 6 6 6 6=7776 組五個不同四位數的組合, 隨意 挑選一組, 假設該組擲出的數如上黃色底的數 :6581+6592+3606+3618+7625 =28022, 亦等於 1000[50-(1+2+6+8+5)]+(1+2+6+8+5)=1000 28+22=28022, 所以是符合的, 但要注意五個四位數和的五位數中間要有一 個 0 6
五 利用上述規則的相似原理製作一組五位數的魔術數學骰子, 是否也可以符合速算的計算方式 : ( 一 ) 設五位數為 ABDEC, 令 S=50, 因為 B1D1E1 B2D2E2 B3D3E3 B4D4E4 B5D5E5, 則 Bt =B1D1E1+B2D2E2+B3D3E3+B4D4E4+B5D5E5 最小是 0+1+2+3+4=10, 最大是 995 +996+997+998+999=4985, 因為希望不影響個位數和進位到十位數的部分, 及和的中間數的容易記憶, 所以 Bt 可以是 1000 2000 3000 或 4000, 設 Bt=4000=1000T,T=4,S-T=50-4=46, 因 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 亦即 (A1+C1)+(A2+C2)+(A3+C3)+(A4+C4)+(A5+C5)= 46, 且 6 A+C 13, 則 46 可分為 : 6+7+8+12+13 或 6+7+9+11+13 或 6+8+9+10+13 或 6+7+10 +11 +12 或 7+8+9+10+12 或 6+8+9+11+12 共 6 組, 隨意挑一組為 6+8+9 +11+12, 設 (A1+C1)=6 (A2+C2)=8 (A3+C3)=9 (A4+C4)=11 (A5+C5)=12, 又 Bt=B1D1E1+B2D2E2+B3D3E3+B4D4E4+B5D5E5=4000, 所以 Bt 可以有許多組合, 取其中一組是 798+799+800+801+802, 設 B1D1E1=798 B2D2E2 =799 B3D3E3=800 B4D4E4=801 B5D5E5=802, 所以自製五個骰子的各面組合可以如下表七 : 表七 自製五個魔術數學骰子的五位數組合情形分析表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆中間的數 BDE 789 799 800 801 802 A+C 6 8 9 11 12 可能的數字組合 第一種 67980 87990 98000 98012 98023 第二種 57981 77991 88001 28019 38029 第三種 17985 17997 18008 88013 88024 第四種 47982 67992 78002 38018 48028 第五種 27984 27996 28007 78014 78025 第六種 37983 57993 68003 48017 58027 第七種 37995 38006 68015 68026 第八種 47994 58004 58016 第九種 48005 共幾種 1 8 9 8 7 可組成的骰子數 C 6 6=1 C 8 6=28 C 9 6=84 C 8 6=28 C 7 6=7 可組成的五顆骰 子組 C 1 6 C 8 6 C 9 6 C 8 6 C 7 6=1 28 84 28 7=460992 ( 二 ) 從表七中隨意挑一組五個骰子六個面的數, 如上紅色底的數, 作成如下表八的 五個骰子 : 7
表八 從表七隨意挑一組如紅色底, 自製五個骰子六個面的五位數數字表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 第一面 67980 77991 18008 98012 38029 第二面 57981 17997 78002 28019 88024 第三面 17985 67992 28007 88013 48028 第四面 47982 27996 68003 38018 78025 第五面 27984 57993 38006 78014 58027 第六面 37983 37995 58004 48017 68026 由上面的五個骰子可以擲出 6 6 6 6 6=7776 組五個不同五位數字的組合, 隨 意挑選一組, 假設該組擲出的數如上黃色底的數 :47982+17997+28007+38018 +38029=170033, 亦等於 10000[50-(2+7+7+8+9)]+(2+7+7+8 +9)=10000 17+33=170033, 所以是符合的, 但要注意五個五位數和的六位 數中間要有兩個 0 六 利用上述規則的規律性 :S=At+Ct+T=50, 且 Bt=10 N-2 T, 製作歸納出 N 位數的 五個魔術數學骰子擲出五個數和的情形 : ( 一 ) 將上述三 四 五位數的五個魔術數學骰子擲出五個數和資料整理推衍如下表 九 : 表九 從三 四 五位數的五個魔術數學骰子歸納出 N 位數時五個數和的情形 幾位數 Bt 擲出五個骰子的五個數和 和中間有幾個 0 3 10T= 10 3-2 T 100[50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 2 [50-(C1+C2+ C3+C4+C5)]+(C1+C2+C3+C4+C5)= 0=3-3 10 3-1 [50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 3-1 (50-Ct)+Ct 4 100T = 10 4-2 T 1000[50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 3 [50-(C1+C2+ C3+C4+C5)]+(C1+C2+C3+C4+C5)= 1=4-3 10 4-1 [50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 4-1 (50-Ct)+Ct 5 1000T = 10 5-2 T 10000[50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 4 [50-(C1+C2+ C3+C4+C5)]+(C1+C2+C3+C4+C5)= 2=5-3 10 5-1 [50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 5-1 (50-Ct)+Ct 10 N-1 [50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 N 10 N-2 T +C2+C3+C4+C5), 亦即 10 N-1 (50-Ct) +Ct N-3 8
七 利用上述規律可否想出創新魔術數學骰子的新玩法情形 : ( 一 ) 可以像魔術袋一樣放入多個數學魔術骰子, 隨意取出幾個是否也能速算出總和? 1. 從六個魔術數學骰子中隨意取出五個擲出五個三位數數字和的情形 : 在表一中隨意加入第六顆骰子製作成如下表十 : 表十 六個魔術數學骰子的三位數數字隨意抽五個分析表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆第六顆第一面 630 651 960 973 994 823 第二面 531 651 861 379 499 328 第三面 135 552 168 874 895 724 第四面 432 255 762 478 598 427 第五面 234 453 267 775 796 625 第六面 333 354 663 676 697 526 百位數字與個位數 6 7 9 12 13 11 字和同一顆骰子十位數 3 5 6 7 9 2 字如上表, 從六個魔術數學骰子中隨意取出五個是否符合以上規則 10 N-1 (50-Ct) +Ct, 擲出不是原來表一設計的五個骰子, 例如擲出五個骰子如上黃色底的三位數, 則 651+762+379+598+724=3114 100[50-(1+2+9+8+4)] +( 1+2+9+8+4)= 2624, 其中 Bty=5+6+7+9+2=29 不等於 10 的倍數 而隨意的抽五個骰子,Aty+Cty=(A2+C2)+(A3+C3)+(A4+C4)+(A5+ C5)+(A6+C6)=7+9+12+13+11=42, 也不合於 42+3=45 S=50, 又再隨意取五個如紅色底的數,Atr+Ctr=(A1+C1)+(A2+C2)+(A3+C3)+(A5+ C5)+(A6+C6)=6+7+9+13+11=46, 又不等於 42,Btr=3+5+6+9+2 =25, 也不是 10 的倍數 則 S 也不等於 50, 所以是無法利用速算方式來運算的 2. 可以怎樣調整使其符合速算方式? (1) 所以必須克服 At+Ct =Aty+Cty=Atr+Ctr, 及 Bt=Bty=Btr=10T, 且 S=(At+Ct)+T=50 才可以利用此規則計算 而要從表二中找到合用的 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 而不一樣的中間數字和 Bt 要等於 10T 是找不到的, 除非中間數字是相同的, 例如 :2+2 +2+2+2=10 或是 4+4+4+4+4=20 或是 6+6+6+6+6=30 或是 8 +8+8+8+8=40, 但這樣是湊不出 30 組不同的三位數 所以是無法完成的 (2) 如果是四位數, 讓十位數字是 0, 設四位數是 AB0C, 讓個位數字和進到十位的數字不要受干擾, 則五個三位數和的十位數字與個位數字就確定了, 剩下千位數字與百位數字要處理, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最 9
多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的 四位數, 但要克服 S 是 50 的要求, 則五個骰子的 At+Ct 可能是 6 5=30 7 5=35 8 5=40 9 5=45 10 5=50 11 5=55 12 5=60 13 5= 65, 其中 9 5=45,45 再加上 5 可以符合 S=50, 但五個中間數字 B 的數 字和 Bt 中十位一定要是 5, 是不可能的, 因為 5+6+7+8+9=35,Bt 中 十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以就變成不可用 50-Ct, 因為五個 不同 B 的數字和 (Bt) 的十位數字若是 3, 則 4+5+6+7+8=31( 最小 ), 5+6+7+8+9=35( 最大 ) 是可以符合的, 因此若變成 (45+3)-Ct= 48-Ct, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數 則可假設擲出五個四位 數和等於 10 4-1 (48-Ct)+10 4-2 b+ct =10 4-1 (48-Ct)+10 4-2 (9-B) +Ct, 但要記住五個四位數和中百位數字的對應關係, 因為 Bt(4 9)=4+5 +6+7+8+9=39, 所以五個四位數和中百位數字 (b) 對應關係如下表 十一 : 表十一 六個骰子中任取出五個四位數和中百位數字 (b) 對應關係表 缺少的 B 六個骰子中任取出五個的中間數數字和 (Bt) T b 五個四位數和的百位數字 (b) 的對應關係 9 4+5+6+7+8+9-9=39-9 3 0 9-9=0 8 4+5+6+7+8+9-8=39-8 3 1 9-8=1 7 4+5+6+7+8+9-7=39-7 3 2 9-7=2 6 4+5+6+7+8+9-6=39-6 3 3 9-6=3 5 4+5+6+7+8+9-5=39-5 3 4 9-5=4 4 4+5+6+7+8+9-4=39-4 3 5 9-4=5 假設 At+Ct=45=9 5, 即 A+C=9, 則可以湊出如下表十二的六個骰子 : 表十二 A+C=9, 中間數字 B 是 4 5 6 7 8 9 的六個骰子的四位數表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 第六顆 中間數 B0 40 50 60 70 80 90 A+C 9 9 9 9 9 9 第一面 9400 3506 7602 9700 6803 7902 第二面 8401 5504 2607 8701 5804 2907 第三面 1408 4505 6603 1708 4805 6903 第四面 7402 9500 3606 7702 9800 3906 第五面 2407 8501 5604 2707 8801 5904 第六面 6403 1508 4605 3706 1808 4905 百位數字與個位數字和 9 9 9 9 9 9 如上表, 隨機取出五個骰子擲出, 五個數字如上表紅色底的數, 運用速算 公式擲出五個四位數和等於 10 4-1 (48-Ct)+10 4-2 (9-B)+Ct=10 4-1 (48-11)+10 4-2 (9-9)+11=37011=8401+4505+6603+7702+ 10
9800,( 註 :B 為表中, 未被選中的中間數 B0 中 90 的 9, 這樣不用真的 去計算 4+5+6+7+8=30, 只要記 39-9=30, 亦即五個四位數和中百 位數字 (b) 的對應關係等於 9-B=9-9=0) 3. 如果一定要 S=50, 則要如何調整 : (1) 若要維持是擲出骰子的四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 b+ct, 則要 考慮從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個, 因為 Bt 的十位數 字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以 T=50- 骰子個數 (A+C) 要小於 3, 從下表十三分析五個骰子中取四個的情形 : 表十三 五個骰子中取四個, 使 T=50- 個數 (A+C) 要小於 3 的分析表 骰子個數 (A+C) T 值 <3 是否成立 4 13=52-2 否 4 12=48 2 是 4 11=44 6 否 4 10=40 10 否 4 9=36 14 否 4 8=32 18 否 4 7=28 22 否 4 6=24 26 否 在骰子個數 (A+C)=4 12=48 時, 即五個骰子任中取四個,A+C=12, T=2 時, 中間數字 B:4 5 6 7 8 是可以成立的, 情形如下表十四 : 表十四 五個骰子任取取四個, 骰子個數 (A+C)=4 12=48 時, 中間數字 B 的可以成立的情形分析表對應 B 時是五個連續左述 B 任取四個相異正整數 T 值 T 值是 2 相異正整數和 :Bt(1 5) 和的最小與最大範圍 :Bt(1 4) 是是否成立 1+2+3+4+5=15 1+2+3+4=10 1 否 2+3+4+5=14 2+3+4+5+6=20 2+3+4+5=14 1 否 3+4+5+6=18 3+4+5+6+7=25 3+4+5+6=18 1 或 2 否 4+5+6+7=22 4+5+6+7+8=30 4+5+6+7=22 2 是 5+6+7+8=26 5+6+7+8+9=35 5+6+7+8=26 6+7+8+9=30 2 或 3 否 設擲出四個骰子的四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (10-B)+Ct, 但要記住四個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 因為 Bt(4 8)=4+5 +6+7+8=30, 所以擲出四個骰子的四位數和中百位數字 (b) 對應關係 11
如下表十五 : 表十五 五個骰子中任取出四個四位數和中百位數字 (b) 對應關係表 缺少 的 B 五個骰子中任取出四個四位 數的中間數數字和 (Bt) 12 T b 和中百位數 (b) 的對應 關係 8 4+5+6+7+8-8=30-8 2 2 10-8=2 7 4+5+6+7+8-7=30-7 2 3 10-7=3 6 4+5+6+7+8-6=30-6 2 4 10-6=4 5 4+5+6+7+8-5=30-5 2 5 10-5=5 4 4+5+6+7+8-4=30-4 2 6 10-4=6 設 At+Ct=48=4 12, 即 A+C=12, 則可以湊出如下表十六的五個骰子 : 表十六 A+C=12, 中間數字 B 是 4 5 6 7 8 的五個骰子的四位數表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 中間數 B0 40 50 60 70 80 A+C 12 12 12 12 12 第一面 9403 6506 5607 7705 4808 第二面 3409 9503 6606 5707 7805 第三面 8404 3509 9603 6706 5807 第四面 4408 8504 3609 9703 6806 第五面 7405 4508 8604 3709 9803 第六面 5407 7505 4608 8704 3809 百位與個位數數字和 12 12 12 12 12 如上表, 隨機取出四個骰子擲出, 四個數如上表紅色底的數, 運用速算公 式擲出四個骰子的四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (10-B)+Ct= 10 4-1 (50-27)+10 4-2 (10-6)+27=23427=3409+3509+9703+6806, ( 註 :B 則為表中, 未被抽中骰子中間數 B0 中 60 的 6, 這樣不用真的去 計算 4+5+7+8=24, 只要記 30-6=24, 亦即四個四位數和和中百位數 字 (b) 的對應關係等於 10-6=4 ) (3) 從下表十七分析七個骰子中取六個的情形 : 因為 Bt(4 9)=4+5+6+7+8 +9=39, 所以 Bt 的十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以 T=50- 骰子 個數 (A+C) 要小於 3, 情形如下 : 表十七 七個骰子中取六個, 使 T=50- 骰子個數 (A+C) 要小於 3 的分析表 骰子個數 (A+C) T 值 <3 是否成立 6 13=78-28 否 6 12=72-22 否 6 11=66-16 否 6 10=60-10 否 6 9=54-4 否 6 8=48 2 是 6 7=42 8 否 6 6=36 14 否
在骰子個數 (A+C)=6 8=48 時, 中間數字 B 是 1 2 3 4 5 6 7 時是可以成立的, 情形如下表十八 : 表十八 個數 (A+C)=6 8=48 時, 中間數字 B 可以成立的情形分析表 對應 B 時是七個連續 相異正整數和 :Bt(1 7) 1+2+3+4+5+6+7 =28 2+3+4+5+6+7+8 =35 3+4+5+6+7+8+9 =42 左述 B 任取六個相異正整數 和的最小與最大範圍 :Bt(1 6) 1+2+3+4+5+6=22 2+3+4+5+6+7=27 2+3+4+5+6+7=27 3+4+5+6+7+8=33 3+4+5+6+7+8=33 4+5+6+7+8+9=39 13 T 值 是 2 是 2 或 3 T 值是 2 是否成立 否 3 否 設擲出六個骰子的四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (8-B)+Ct, 但 要記住六個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 因為 Bt(1 7)=1+2+3 +4+5+6+7=28, 所以七個骰子中任取六個擲出四位數和中百位數字 (b) 對應關係, 如下表十九 : 表十九 七個骰子任取出六個擲出四位數和中百位數字 (b) 對應關係表 缺少 的 B 七個骰子中任取出六個的中間數 字 B 的數字和 (Bt) T b 和中百位數字 (b) 的對應關係 7 1+2+3+4+5+6+7-7=28-7 2 1 8-7=1 6 1+2+3+4+5+6+7-6=28-6 2 2 8-6=2 5 1+2+3+4+5+6+7-5=28-5 2 3 8-5=3 4 1+2+3+4+5+6+7-4=28-4 2 4 8-4=4 3 1+2+3+4+5+6+7-3=28-3 2 5 8-3=5 2 1+2+3+4+5+6+7-2=28-2 2 6 8-2=6 1 1+2+3+4+5+6+7-1=28-1 2 7 8-1=7 設 At+Ct=48=6 8, 即 A+C=8, 則可以湊出如下表二十的七個骰子 : 表二十 A+C=8, 中間數字 B 是 1 2 3 4 5 6 7 的七個骰子的四位數表 第一顆 第二顆 第三顆 第四顆 第五顆 第六顆 第七顆 中間數 B0 10 20 30 40 50 60 70 A+C 8 8 8 8 8 8 8 第一面 8100 3205 2306 1407 8500 3605 2706 第二面 7101 4204 5303 6402 7501 4604 5703 第三面 1107 8200 3305 2406 1507 8600 3705 第四面 6102 7201 4304 5403 6502 7601 4704 第五面 2106 1207 8300 3405 2506 1607 8700 第六面 5103 6202 7301 4404 5503 6602 7701 百位數字 與個位數 字和 8 8 8 8 8 8 8
如上表, 從七個骰子中隨機取出六個擲出, 六個四位數如上表紅色底的數, 運用速算公式擲出六個四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (8-B) +Ct=10 4-1 (50-18)+10 4-2 (8-7)+18=32118=7101+8200+3305 +5403+6502+1607,( 註 :B 則為表中, 未被抽中骰子中間數 B0 中 70 的 7, 這樣不用真的去計算 1+2+3+4+5+6=21, 只要記 28-7=21, 亦即六個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係等於 8-7=1) 伍 研究結果 一 從表一可以發現, 同一個骰子六個面的百位數字與個位數字和是相同的, 且十位數字也相同, 並發現五個骰子擲出後任一組五個三位數其十位數的和都是 300; 任一組五個三位數其百位數字與個位數字和都是 47, 即五個三位數和中百位數字和加個位數字和再加十位數和進位到百位數的數字 (3), 是 47+3=50 則五個骰子的五個三位數和的速算公式為 100(50- 個位數字和 )+ 個位數字和, 亦即五個三位數和中千位數字與百位數字的兩位數字是 (50- 個位數和 ); 十位數字與個位數字的兩位數字是五個三位數中個位數字和 二 假設每個骰子每一面三位數為 ABC, 即 ABC=100A+10B+C, 但不同骰子的十位數字是不相同的, 即 B1 B2 B3 B4 B5, 而且五個三位數中十位數字和 [Bt=B1+B2+B3+ B4+B5=10T(T 為正整數 )] 為 10 的倍數, 即十位數和 (10Bt) 的十位數一定是 0, 才不至於與個位數字和 (Ct=C1+C2+C3+C4+C5) 中的十位數字還要進行加法進位的運算, 導致運算的麻煩困難, 所以 Bt=10T, 最小可能是 10; 最大是 30, 所以中間十位數字相加的和是十的倍數, 只有 10 20 及 30 三種, 即 T 只可以是 1 或 2 或 3 三種情形 百位數字和 (At)+ 個位數字和 (Ct)+ 十位數和進到百位的數字 (T)=S= 10Y(Y 為正整數 ), 即 10 的倍數, 而 50 是日常生活中常用的,S=50 是恰當且能有利於心算運算的 因為 6 A+C 13, 再規定 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 則 At+Ct 最小是 6+7+8+9+10=40, 最大是 9+10+11+12+13=55 已知 T 只可以是 1 或 2 或 3 三種情形, 則 S 的最小值為 40+1=41, 最大值為 55+3=58 又 S 是 10 的倍數, 所以 S 也只可以是 50 三 利用相同規則自製一組三位數的魔術數學骰子, 是可以符合計算方式 : ( 一 ) 相同規則 :At+Ct+T=S=50,Bt=10T, T=1,At+Ct=S-1=50-1=49, 6 A+C 13, 則 49 可分為 :6+7+11+12+13 或 6+8+10+12+13 或 7+8+9 +12+13 或 6+9+10+11+13 或 7+8+10+11+13 或 7+9+10+11+12 共六組, 隨意挑一組為 6+7+11+12+13, 可製成表四, 隨意挑選一組, 假設該組骰出的數如上黃色底的數 :501+512+427+834+746=3020=100[50-(1+2+ 7+4+6)]+(1+2+7+4+6), 所以是可以成立的 ( 二 ) 利用上述規則的規律性 :At+Ct+T=50,Bt=100T, 製作一組五個骰子的四位數的魔術數學骰子, 可以符合速算的計算方式 :1000(50-Ct)+Ct, 但要注意五個四位數和的五位數中間要有一個 0; 當 Bt=1000T 時, 製作一組五個五位數的魔術數學骰子, 也可以符合速算的計算方式 :10000(50-Ct)+Ct, 但要注意五個五位數和的六位數中間要有兩個 0; 從表九可歸納出當 Bt=10 N-2 T 時,N 位數的五個魔術數學骰子的任五個 N 位數和等於 10 N-1 (50-Ct)+Ct, 但要注意 14
五個 N 位數和的 N+1 位數中間要有 N-3 個 0 四 從表十, 六個魔術數學骰子中隨意取出五個擲出的三位數和的情形, 是無法利用速算方式來運算的 但設四位數是 AB0C, 十位數字是 0, 讓個位數字和進到十位的數字不要受干擾, 則五個四位數和的十位數字與個位數字就確定了, 剩下千位數字與百位數字要處理, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 但無法克服 S 是 50 的要求, Bt 的十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以就變成不可用 S=50, 若 S=48 則可以湊出三十組以上不相等的四位數 擲出五個骰子的四位數和等於 10 4-1 (48-Ct)+10 4-2 b+ct = 10 4-1 (48-Ct)+10 4-2 (9-B)+Ct, 但要記住五個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 即 9-B 中的 B 是未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 五 如果一定要 S=50, 則要調整成從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個, 因為 Bt 的十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以 T=50- 骰子個數 (A+C) 要小於 3, 從表十三分析, 在骰子個數 (A+C)=4 12=48 時, 中間數字 B:4 5 6 7 8, T=2 是可以成立的, 情形如表十四 : 則五取四個骰子, 擲出四個骰子的四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (10-B)+Ct, 但要記住四個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 即 10-B 中的 B 是未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 從表十七分析, 七個骰子中取六個的情形, 在骰子個數 (A+C)=6 8=48 時, 中間數字 B:1 2 3 4 5 6 7,T=2 是可以成立的情形, 如表十八 : 則擲出六個骰子的四位數和等於 10 4-1 (50 -Ct)+10 4-2 (8-B)+Ct, 但要記住六個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 即 8-B 中的 B 是未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 陸 討論 一 從表一 五個魔術數學骰子的三位數數字分析表中紅色底的三位數, 其五個三位數和 135+156+762+775+598=2426, 利用直式加法算式分析 : At+Ct=(1+5)+(1+6)+(7 +2)+(7+5)+(5+8)=(1 +1+7+7+5)+(5+6+2+5+8) =21+26=47 其中,At=1+1+7+ 7+5=21,Ct=5+6+2+5+8= 26, 又 Bt=3+5+6+7+9=30, 則 可以發現個位數字和 (Ct) 的兩位數 字 26 就是五個三位數和的十位數字 與個位數字, 而千位數字與百位數字 24 就等於 (47+3)-26=50-26, 即 50-Ct 所以五個三位數和的四 位數中千位數字與百位數字的兩位 數字是 50-Ct, 十位數字與個位數 字兩位數字就是 Ct 47-26= (47+3)-26= 50-26= 千 百 十 個 位 位 位 位 A B C 1 3 5 1 5 6 7 6 2 7 7 5 +) 5 9 8 2 1 2 6 3 0 2 4 2 6 50- Ct Ct Ct 15
二 從魔術數學骰子的分析, 設每個骰子每一面每一個三位數為 ABC, 且遵守魔術骰子的製作原理 : 同一個骰子,A+C 是相同的, 中間數字 (B) 是相同,Bt=10 T=T0,T 是正整數, 且 S=At+Ct+T=50, 則可以利用直式加法算式分析, 最後的五個三位數和一定是 100(50-Ct)+Ct At+Ct+T=50, 十位數字 B 的數字和 (Bt) 等於 T0, 所以五個三位數和的十位數字與個位數字的兩位數可以確定是 Ct, 而 T+At 則確定是五個三位數和的千位數字與百位數字, 因為 At+Ct+T=50, 移項 At +T=50-Ct 也就是說五個三位數和的千位數字與百位數字的兩位數等於 50-Ct 即五個三位數和的四位數中千位數字與百位數字是 50- Ct, 十位數字與個位數字就是 Ct 千 百 十 個 位 位 位 位 +) A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 A4 B4 C4 A5 B5 C5 Ct T 0 At 50-Ct Ct 三 從魔術數學骰子的規律性分析, 設每個骰子每一面四位數為 ABDC, 且遵守魔術骰子的製作原理 : 同一個骰子,A+C 是相同的, 中間數 (BD) 是相同, 但 Bt=100 T=T00, 且 S=At+Ct+T=50, 則可以利用直式加法算式分析, 最後的五個四位數和一定是 1000(50-Ct)+Ct At+Ct+T=50, Bt=T00, 所以五個四位數和的十位數字與個位數字可以確定是 Ct, 而 T+At 則確定是五個四位數和的萬位數字與千位數字, 因為 At+Ct+T=50, 移項 At +T=50-Ct 也就是說五個四位數和的五位數中萬位數字與千位數字等於 50-Ct, 百位數字是 0, 十位數字與個位數字就是 Ct 萬 千 百 十 個 位 位 位 位 位 +) A1 B1 D1 C1 A2 B2 D2 C2 A3 B3 D3 C3 A4 B4 D4 C4 A5 B5 D5 C5 Ct T 0 0 At 50-Ct 0 Ct 四 從魔術數學骰子的規律性分析, 設每個骰子每一面五位數為 ABDEC, 且遵守魔術骰子的製作原理 : 同一個骰子,A+C 是相同的, 中間數 (BDE) 是相同, 但 Bt=1000 T =T000, 且 S=At+Ct+T=50, 則可以利用直式加法算式分析, 最後的五個五位數和一定是 10000(50-Ct)+Ct 16
At+Ct+T=50, Bt=T000, 所以五個五位數和的十位數字與個位數字可以確定是 Ct, 而 T+At 則確定是五個五位數和的十萬位數字與萬位數字, 因為 At+Ct+T=50, 移項 At+T=50-Ct 也就是說五個五位數和的十萬位數字與萬位數字等於 50-Ct 即五個五位數和的六位數中十萬位數字與萬位數字是 50 -Ct, 千位數字是 0, 百位數字也是 0, 十位數字與個位數字就是 Ct 十萬 萬 千 百 十 個 位 位 位 位 位 位 +) A1 B1 D1 E1 C1 A2 B2 D2 E2 C2 A3 B3 D3 E3 C3 A4 B4 D4 E4 C4 A5 B5 D5 E5 C5 Ct T 0 0 0 At 50-Ct 0 0 Ct 所以利用上述規則,S=At+Ct+T=50,Bt=10 N-2 T, 同一骰子中間數 B 是相同的, A+C 也是相同的時, 製作歸納出 N 位數的魔術數學骰子五個數和為 10 N-1 (50-Ct) +Ct, 即五個 N 位數和的 N+1 位數數字中間要有 N-3 個 0 五 利用相似規律可否想出創新魔術數學骰子的新玩法情形, 從表一 六個魔術數學骰子中隨意取出五個骰子, 擲出的三位數和無法符合擲出五個三位數和的規則 10 N-1 (50 -Ct)+Ct, 因為 Bt 不等於 10 的倍數 而隨意的抽五個骰子,At+Ct+T 50=S, 所以是無法利用速算方式來運算的 如果調整成四位數, 讓十位數字是 0, 四位數是 AB0C, 讓個位數字和進到十位的數字不要受干擾, 則五個骰三位數和的十位數字與個位數字就確定了, 剩下千位數字與百位數字要處理, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 但要克服 S 是 50 的要求, 則五個骰子的 At+Ct 最可能是 9 5=45, 而 45 再加上 5 可以符合 S=50, 是不可能的, 因為 5 +6+7+8+9=35,Bt 的 T 最大也只有 3 而已, 所以就變成不可用 50-Ct, 若變成 (45+3)-Ct=48-Ct,B 是 4 5 6 7 8 9 時, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數 則擲出五個四位數和等於 10 4-1 (48-Ct)+10 4-2 b+ct =10 4-1 (48-Ct) +10 4-2 (9-B)+Ct, 但要記住五個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係,B 則為表中, 未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 如果一定要 S=50, 則要考慮從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個, 因為 Bt 的 T 最大也只有 3 而已, 所以 T=50- 個數 (A+C) 要小於 3, 在個數 (A+C) =4 12=48 時,T=2, 中間數字 B:4 5 6 7 8 時, 是可以成立的, 擲出四個四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (10-B)+Ct, 但要記住四位數和中百位數字 (b) 的對應關係,B 則為表中, 未被選中的中間數 B0 中 B0 的 B 而從表十七分析七個骰子中取六個的情形, 可以發現當在個數 (A+C)=6 8=48 時,T=2, 中間數字 B: 1 2 3 4 5 6 7 時, 是可以成立的, 則擲出六個四位數和等於 10 4-1 (50-Ct) +10 4-2 (8-B)+Ct, 但要記住四位數和中百位數字 (b) 的對應關係,B 則為表中, 未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 六 當 6 A+C 13,A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 求 (A1+C1)+(A2+C2) +(A3+C3)+(A4+C4)+(A5+C5)=49, 求有幾組解? 不如考慮剩下的三個數和 17
等於 6+7+8+9+10+11+12+13-49=76-49=27, 來得容易求解, 即先解出三 個相異數和是 27, 就知道剩下的另外五個相異數和 49 是那五個了 柒 結論 一 五個三位數魔術數學骰子, 三位數為 ABC, 只要遵守魔術骰子的製作原理 : 同一個骰子中間數 (B) 是相同,Bt=10 3-2 T=10 T=T0,A+C 相等, 但六個面 (A C) 的配對是不相同的, 且 S=At+Ct+T=50, 擲出五個三位數和一定是 100(50-Ct) +Ct, 即五個三位數和的四位數中千位數字與百位數字是 50-Ct, 十位數字與個位數字就是 Ct 二 五個四位數魔術數學骰子, 四位數為 ABDC, 只要遵守魔術骰子的製作規律原理 : 同一個骰子中間數 (BD) 是相同, 但 Bt=10 4-2 T=100 T=T00,A+C 相等, 但六個面 (A C) 的配對是不相同的, 且 S=At+Ct+T=50, 擲出五個四位數和一定是 1000 (50-Ct)+Ct, 即五個四位數和的五位數中千位數字與百位數字是 50-Ct, 百位數字是 0, 十位數字與個位數字就是 Ct 三 五個五位數魔術數學骰子, 五位數為 ABDEC, 只要遵守魔術骰子的製作規律原理 : 同一個骰子中間數 (BDE) 是相同,Bt=10 5-2 T=1000 T=T000,A+C 相等, 但六個面 ( A C) 的配對是不相同的, 且 S=At+Ct+T=50, 擲出五個五位數和一定是 10000 (50-Ct)+Ct, 即五個五位數和的六位數中十萬位數字與萬位數字是 50-Ct, 千位數字是 0, 百位數字也是 0, 十位數字與個位數字就是 Ct 最後可歸納出五個 N 位數魔術數學骰子的情形, 當 S=At+Ct+T=50,Bt=10 N-2 T, 同一骰子 B 是相同的, A+C 相等, 但六個面 (A C) 的配對是不相同的, 則五個 N 位數和為 10 N-1 (50-Ct) +Ct, 即五個 N 位數和 N+1 位數的數字中間要有 N-3 個 0 四 創新魔術數學骰子的新玩法是調整成四位數, 讓十位數字是 0, 四位數是 AB0C, 讓個位數字和進到十位的數字不要受干擾, 則五個四位數和的十位數字與個位數字就確定了, 剩下千位數字與百位數字要處理, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 但要克服 S 是 50 的要求, 則要考慮從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個 在五個骰子中取四個時, 其 A+C=12, 中間數字 B:4 5 6 7 8 時,T=2 是可以成立的, 五個骰子中擲出四個四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (10-B)+Ct; 在七個骰子中取六個時, 其 A+C=8, 中間數字 B 是 1 2 3 4 5 6 7 時,T=2 是可以成立的, 七個骰子中擲出六個四位數和等於 10 4-1 (50-Ct)+10 4-2 (8-B) +Ct, 但要記住六個四位數和中百位數的對應關係,B 則為未被抽中的骰子數 AB0C 中 B0 的 B 捌 參考資料一 書籍部份 : ( 一 ) 國小數學教科書編輯委員會 ( 民 103) 國小數學領域課本第十二冊南一版 18
台南市 : 南一書局出版 ( 二 ) 林壽福 吳如皓著 ( 民 98) 數學魔術 (65-71 頁 ) 台北市: 尖端出版 ( 三 ) 戴禮著 ( 民 81) 數學魔術 (78-83 頁 ) 台北市: 國語日報社出版 ( 四 ) 奧斯朋出版編輯群 (2008) 圖解數學辭典(112-115 頁 ) 台北市: 小天下 二 網路部分 : ( 一 ) 中華民國第四十四屆中小學科學展科別 : 數學科組別 : 國小組作品名稱 : 魔術數學骰子 民國 102 年 10 月 12 日取自於 http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/44/c08/080401.pdf 19