一 是非題 ( 第 ~ 題每題 分 若 AX B,et A, 則 X BA 解答 et A A 存在 AX B A (AX A B (A AX A B IX A B X A B BA 若 A, 則 A os si si os os si si os 解答 A A os si si os os si si os os si si os I 設 A,B,C 表示矩陣,O 表示零矩陣,I 表示單位矩陣 ( 設 A 為三階方陣, 且 A O, 則 A 必有反方陣 ( 若 A B, 且 A,B 為二階方陣, 則 A B ( 設 AC,BC 都有意義, 則 AC BC (A BC C(A B ( 矩陣沒有乘法反矩陣 ( 矩陣沒有乘法反矩陣 解答 ( ( ( ( ( ( 當 A 時,A O, 且 A 沒有反方陣 ( A,B 時,, 但 A B ( AC BC (A BC, 但不一定會等於 C(A B ( 時, 沒有乘法反矩陣 (, 有乘法反矩陣
矩陣 (AB A B,A 表 A 之反方陣 解答 (AB B A 蓋因 :(AB(B A A(BB A (AIA AA I 矩陣 (AB t A t B t,a t 表 A 之轉置矩陣 解答 (AB t B t A t, 注意它的順序 矩陣 AC BC (A BC 解答 矩陣乘法滿足分配律 A 表三階方陣,A O, 則 A 必有反方陣 解答 A 存在 et A 矩陣 BA CA,A O, 則 B C 解答 例如, 但 應為 BA CA,etA (BAA (CAA B C 矩陣 (A B(A B A B 解答 矩陣乘法沒有交換律, 即 AB BA,(A B(A B A AB BA B 下列所指的矩陣 A,B,M 皆為二階方陣,O 為零方陣,I 為單位方陣 ( 任何不是 O 的方陣 M 都有乘法反元素 M ( AB BA 恆成立 ( 若 AB I, 則 A,B 都有乘法反元素 ((A B(A B A B 恆成立 ( 若 A I, 則 A I 或 A I ( 平移與伸縮兩變換具有保長性和角性 解答 ( ( ( ( ( ( ( 方陣 M, 當 M 時,M 沒有反方陣 ( A,B 時,AB,BA AB ( AB I, 即 A B, 所以 A, B 均不為,A,B 都有反方陣
( 如第 ( 題中的 A,B 時,(A B(A B A B ( 當 A 時,A I ( 伸縮不一定有保長性 若 A, N,, 則 A 解答 A A A 由數學歸納法知 : N,A 二 單選題 ( 第 ~ 題每題 分 設 A,B,, R, 若 AB BA, 則 (A (B (C (D (E 解答 (D A,B AB BA 設有三矩陣 A ( ij m,b ( ij p q,c ( ij r s, 若 AB C, 則下列敘述何者不一定成立? (A m p (B p (C m r (D q s 解答 (A 由矩陣之乘法規則 p 且 m r 且 q s m,p 不一定要相等 下列哪一個矩陣的反矩陣不存在? (A (B (C, R (D (E 解答 (D
A 存在之條件為 et A A et A A 存在 A et A A 存在 A et A ( A 存在 A et A A 不存在 A et A A 存在 設 A,B 均為 階方陣,I 為 階單位方陣, 下列敘述何者正確? (A 若 A O, 則 A O (B 若 A I, 則 A I 或 A I (C 若 A A, 則 A O 或 A I (D 若 AB O, 則 BA O (E 若 AB O,et A, 則 B O 解答 (E (A A O A O (B A I 或 I A I (C A O 或 I A A (D A,B AB O,BA O (E AB O,et A A 存在 A (AB A O IB O B O 設 A,I, 則下列何者正確? (A A O (B A I (C A A I (D A A (E A A O 解答 (C
A A A I A A I I I 又 A A A A A A A O 三 多重選擇題 ( 第 ~ 題每題 分 如果將每天天氣的狀態略分為晴 陰 雨等三種情況, 根據統計資料知道, 某地天氣變化的機率如下 表所示 : 某日天氣 次 晴 陰 雨 日 晴 天 陰 氣雨 如果今天是晴天, 則下列哪些是正確的? ( 明天是雨天的機率為 ( 明天晴天或陰天的機率為 ( 後天 ( 即兩天後 是晴天的機率為 ( 後天是陰天的機率超過 ( 明天與後天, 雨天的機率都不超過 解答 ((( 令矩陣 M P 表今日晴天 陰天 雨天的機率為,, 則明天的天氣晴天 陰天 雨天的機率為 MP 後天的天氣晴天 陰天 雨天的機率為 M(MP 而 MP,M(MP os si osφ siφ 設 A,B, 則下列敘述何者正確? si os siφ osφ
(A A os si (B B osφ si os si φ si φ osφ (C A os si os( φ si( φ os( φ (D AB (E BA si os si( φ os( φ si( φ si( φ os( φ 解答 (A(C(D os (A A si si 表作轉角 之旋轉變換 A os os si si os (B A osφ siφ 表以矢角之直線為鏡射軸之鏡射變換 B I siφ osφ (C A os( si( os si( os( si si os os si (D AB si os osφ siφ siφ osφ os osφ si siφ os siφ si osφ os( φ si osφ os siφ si siφ os osφ si( φ si( φ os( φ osφ (E BA siφ siφ osφ os si si os osφ os siφ si osφ si siφ os os( φ siφ os osφ si siφ si osφ os si( φ si( φ os( φ 設 A,A, 下列各敘述何者正確? (A et A (B et A (C A I (D (E 解答 (B(C(E A et A A A, 即 A AA I
設矩陣 A,A 之反矩陣 A, 則下列敘述何者是正確的? (A (B (C (D (E 解答 (A(B(C(D(E A et A A,,,,,,,, 設 A,B,C 均為 階方陣, 下列式子何者是正確的? (A(A B A AB B B C (E AB O A O 或 B O 解答 (C(D 矩陣之乘法不滿足交換律, 即 AB BA (B A B (A B(A B (C A(B C AB AC (D AB AC,et A (A(A B (A B(A B A AB BA B A AB B (B(A B(A B A AB BA B A B (C A(B C AB AC 滿足分配律 (D AB AC, 由 et A A 存在 A (AB A (AC (A AB (A AC IB IC B C (E AB O 並不能推得 A O 或 B O, 若 et A, 則 B O 四 填充題 ( 第 ~ 題每題 分 A, 則 A 解答 os si A 時,A os si,a si os os si, si os si os
此時 π,a os si si os os si si os π π π π 設 A, R, 若 A 沒有反矩陣, 則 解答, A 不存在 et A, 設 A, N, 則 A 解答 ( ( B B B O 同理,B B O ( A I B A (I B I B B C C I B ( B
( ( 設 A, ( A A ( A A A A I (I 解答 ( ( I I ( A A A A I ( 由 A A I A A I 視 A 為, 本題變形為, 求 之值利用除法 : 故所求為 I 設 A,B,X 為 階方陣, 若 AX B, 則 X 解答 A,B A
由 AX B X A B X 設 A,, 若 A 沒有反矩陣, 則 解答 A 沒有反矩陣 et A A et A A,B 滿足 AB, 則 解答 AB 得且即,,,, A, 若 A B, 則矩陣 B 解答 ( 第一列 ( 併入第二列, 第一列併入第三列
( 第二列 (, 第三列 ( 使 [A I ] [I A ] A,B A A,B,C, 可找二矩陣 E 與 F 使 EA B 及 FA C, 則 E,F 解答, 將 A 的第一列與第三列互換時,A 換成 B; 而將 A 之第一列乘 倍後再加入第三列時,A 轉換成 C, 將 I 之第一列與第三列互換時,I 換成 E, 而將 I 之第一列乘 倍後再加入第三列時,I 換成 F 即 E,F 時,EA B,FA C 可檢查 EA B FA C A,P, 若 A P, 則
解答 AP A P A(AP,,, I 表二階單位方陣,A,P, 則滿足 A λi 之 λ, 又 PAP 解答 或 ; λ ( A λi λ A λi ( λ( λ λ λ λ 或 ( P, 易知 P ( 求法同題 PAP PAP λ 註 λ,λ, 由 有異於 (, 之解時 λ y 由 ( λ y, 得 y, 取 的一解 P y 由 ( λ y, 得 y, 取 的一解 P y 令 P P 時,P, 且 P AP D [ ] P
即得對角矩陣 D 設 A,,,, {,,,,}, 若 A 存在, 則此種 A 共有個 解答 A,,,,,,,,,A 存在 et A 今考慮 et A 之情形 ( 四個 個 ( 三個, 可為,,, 再考慮位置, 共有 個 ( 二個, 可為,,, 再考慮位置, 共有 個 ( 沒有 四同 共有 個 二同二同,,,,,, 再考慮位置, 共有 個 二同二異, 共有 個 et A 的共有 個 et A 的共有 C 個 I,A, 滿足 A αa I O 之實數 α (O 表二階零矩陣 解答 A 使 A A I A ( A I O,α A, 若 A A A A, 則實數 解答
A, 易知 A,A,A, ( A,B,C,D, 則 AB AC,AD 解答, AD AD AB AC A(B C AB AC A,B, 則 (A B(A B (A B 解答 AB BA 使 (A B(A B (A B (A BA AB B A B BA AB (A B(A B (A B A,E, 則 AE,AE
解答, AE 由上一行易知 : 將矩陣 A 之第二 第三行作為 AE 之第一 第二行而 AE 之第三行為 E 之第一 二 三行的總和即,, 故知 AE (AEE,AE, AE p 設 p,q,r,s 為實數, 若三階方陣 A 的反方陣 ( 即乘法反元素 為 A, 且 A p,a q r,a 方陣的行列式值 A, 則 ( 數對 (q,r qy z s ( 若由上面的結果可求得方程組 ry z 的解 z, 則 s y z 解答 ( (, ( ( 當 A 時, A A p p p p p p p 又 A, 因此 p
又 AA 可得, 因此, 可得 r,q 所以, 數對 (q,r (, ( 原方程式組可寫成 即可得 又已知 z, 即 s, 所以 s r q r q r q r q r q r q z y s z y s 設 A, N, 若 A si os os si I, 則 之最小值 解答 A A os si si os si os os si 由數學歸納法可得知 A os si si os os si si os os si si os 欲 A os( si( si( os( I, N, N 之最小值 若 A, 則 A 解答 A
A A A I A A A A,A A 設 A,B, 則 A AB B 解答 A,B A,AB B A AB B A,A A A A, 則 解答 解 A,A,A,A 使 A A A A, 得,
解 A 時,A os si si os A os si si os,a os si si os 此時, si si si si 及 os os os os os si si os, 故 M t,m t t t t t t 有反方陣 ( 即 M t 存在 的條件為, 又當 M t y, 其中 t,, 時, 數對 (,y 解答 t,,,(, ( AB A B 知 :M t 有反方陣時, t t t 且 t t 得 t t 且 t t,, ( M, 使 M, 易知 M M y M y,y,(,y (, 已知三矩陣 A,B,C 中,A,B, C, 則 AB,A(B C
解答, AB,A(B C 設方陣 B, 則 B, B, 若 BX, 則 X 解答,, B, 所以 B BX 時,X B 設 A,I, 則 A, A,(I A 解答,, A A A A
因為 I A AI A 所以 (I A I I A I A A 設 A,B, 則 (AB 解答 AB, 又 所以 (AB 設 A,B, 則 ( AB ( BA t 解答 ( ( A,B ( AB
( BA t 設 A,B, 若 AB BA, 則 解答 A,B, 由 AB BA, ( A, 則 A os si si os ( A, 則 A 解答 ( ( I os si si os ( A A os si si os ( A os si si os os si si os os si os si os si si os os si si os A os si si os os si si os I 設 A, 則 A
解答 A eta A A et 設 A, 則 A 解答 A eta A 若方陣 M, 則 M 解答 M,
設三階方陣 A, 則 A,A, 又若 AX, 則 X 解答 A I,A A,X A A I A A 又 AX X A 若, 則 (,y y 解答 (, 設 A I B, 其中 B y y y
此時,B yi A y y y y (I B I B B ( yi B A ( y I ( yb yi ( y y I ( yb (,y (, ( ( y y y y y 設 A,B, 若 AX B, 則 X 解答 A A AX B X A B 若 A 且 A os si si os I, 且 < < π, 則 解答 π A 時,A os si si os 因此且 < < os si si os si os π, 此時 π, 即 π 若 A,B, 則 AB 解答
AB A,AB 時, 矩陣 B 解答 A, 易知 A 又 C AB B A C B 三階方陣 A 之反方陣 A 解答 解
A 解 A,A 的轉置矩陣 A T 得矩陣 A 其中如 A 之第二列, 第三行元素 (, 而是將 A T 之第二列, 第三行去掉合併而得如 A 之第三列, 第一行元素 (, 而是將 A T 之第三列, 第一行去掉合併而得 A, 若 A 沒有反方陣 ( 即 A 不存在, 則實數 解答,, A 不存在 ( (,, 旋轉矩陣 R, < < π,m, 若 R os si si os I, 則 的最小值, 此時 (RMR 解答 π, R os si si os os si si os
si os, < < π, 則 的最小角 π (RMR (RMR (RMR (RMR RMR RMR RMR RMMMR RM R,(M os si si os π π π π os si si os - π π π π 試利用矩陣方法解下列方程組 :, 得 (,y,z z y z y z y 解答 (,, 解 ( ( ( ( ( (,y,z 解 A eta 由 A z y
A z y 即,y,z 設 A, 若 A 不存在, 則 解答, A A 不存在 eta, 設 A,AB, 則 B 解答 A A AB B A A, 若 A α A, 則 α, 又 I 表四階單位方陣, 而 (I A βi γ A 時, 數對 (β,γ 解答,(, ( A, 單位方陣 I 易知 A I A A A IA A,A A A I A A A A,A A A AA A I
A α A 時,α ( (I A I ( A ( A ( A ( A ( A ( A I A I A I A I ( I ( A I A (β,γ (, A, 若 A ( ij, 則 解答 A, 易知 A,A,A, 其中,,, 時,A 之,,, 而,,, 故當 時, A,B, 若對任意數,y,z, 恆有 EA B, 則三階方陣 E z y z y 解答 A 與 B 的一 二兩列相同, 將 A 的第一列各元素乘 倍後, 併加入第三列同一行的各元素, 即 (, y, z (,, (,y,z 將 I 的第一列各元素乘 倍後, 併加入其第三列之同一行的各元素, 得矩陣 E, 即 E
EA B z y z y A, 則 A, 又 A 時, 實數 y z y ( 以 表示 解答, A,A A A A A A A 同理 A, 一般而言, 若 A 時,A 使 A y 五 證明題 ( 第 ~ 題每題 分 設, R,, N, 試證 : ( (
解答 見詳解 證明 設 X, 則 X 所對應的特徵方程式為 et(x I et( ( ( 其二根為, 又 [α β] [ ] 取, 取 α β ( 取, 取 α,β ( 令 P β α β α β α β α P 即 X P P X ( ( ( ( ( ( ( ( ( 設有一矩陣 A ( ij, 若此矩陣 A 滿足 ( ij, i,j;(, j,,, 則此 A 叫 i ij 馬可夫矩陣, 即每一行之元皆介於, 之間, 且其總和為 試證 :A,B 同階馬可夫矩陣, 則 AB 也是馬可夫矩陣 解答 見詳解 證明 A ( ij,b ( ij, ij, ij, i,j,j,,,,,j,,, 令 AB C ( i ij i ij ij, 而 ij, i,j ( i j ij, ij ij
( ij i i j i j i j i j i i i ( j,,,, ij ( i ij i j i j i j i j i ( i i j i i j i j i i j i ( ( ( ( j j j j ( 每個 ( 均為 AB 也是馬可夫矩陣 設 A, 試證 :A os si si os, N os si si os 解答 見詳解 證明 利用數學歸納法證明之 A 設 時成立, 即 A os si si os os si si os os si si os A os si si os A A 知 時亦成立, 故本題得證 os si si os os si si os os( si( si( os( 設 A,B ( 試證 :B O ( 試求 A 解答 ( 見詳解 ( A I B,B
( B,B O ( A I B A (I B I B B C C B C I B B ( 設 A, 試證 A ( A ( I ( 設 A, 試求 A A A A I 解答 ( 見詳解 ( ( A A A ( A ( I O ( A A ( ( ( ( A I O 視 A 為多項式中之文字 已知 :, 求 之值, 利用長除法, 如下 :
則所求矩陣為 A I 設 A,B 均有反方陣, 若 AB BA, 求證 BA A B 解答 見詳解 證明 因為 AB BA, 兩邊左側乘以 A 得 A (AB A (BA (A AB (A BA B (A BA 兩邊右側乘以 A 得 BA (A B(AA BA A B 設 A,B 可乘且 B,A 也可乘, 若 AB A,BA B, 求證 A A,B B 解答 見詳解 證明 ( 因 A AB, 兩邊右側乘上 A 得 A (AB A A(BA AB A ( 因 B BA, 兩邊右側乘上 B 得 B (BAB B(AB BA B 設 A,B,C 為三個 階方陣,et A,et B,et C, 試證明 :(ABC C B A 解答 見詳解 證明 欲證 B 是 A 之反矩陣, 只須證明 :AB BA I 即可 今欲證 :(ABC C B A ( (ABC(C B A AB(CC B A ABIB A A(BB A AIA A A I ((C B A (ABC C B (A ABC C B IBC C (B BC C IC C C I (ABC C B A 設 A 與 B 為同階方陣, 若 A 為 A 的乘法反元素, 試證 : 任意自然數,( ABA AB A 恆成立 解答 見詳解 證明 ( 當 時,( ABA ABA AB A, 即 時, 命題成立 ( 設 時, 本命題成立, 即 ( ABA AB A 則當 時,( ABA ( ABA ( ABA ( AB A ( ABA AB A ABA AB BA AB A 因此 時, 命題亦成立 由數學歸納法得知 : 任意自然數,( ABA AB A 六 計算題 ( 第 ~ 題每題 分 設方陣 A, 將 (I A 展開化簡成 I A, 求 之值 ( 提示 :A A 解答 設方陣 A, 對 N, 求 A?
解答 A ( 但是, 所以 A C C ( 後面項均為 O C 設 A,P, 若 A PBP, 試求矩陣 B 及 A 解答 B,A P P A PBP P AP P (PBP P (P PB(P P B B P AP A (PB L PBP PBP P ( ( PB P P B P P B B P P BP PB P
A,P,D PAP, 求矩陣 D? 又 A? 解答 D,A A,P, 易知 P ( D PAP D ( D PAP 時,A P DP,A P D P A A 甲袋中有 黑球 白球, 乙袋中有 白球 黑球, 每球被取到之機會相同, 從甲袋中取 球放入乙袋, 再從乙袋中取 球放回甲袋, 此叫一回合, 試求如此操作二回後, 甲袋中為 白球之機率 解答 按題意 : 共有四種狀態狀態 A: B: C: D: 其相互之間的變化機率如下表前後 A B C D A B C D M 設操作 回合後, 其為狀態 A,B,C,D 之機率
分別為,,,, 操作二回合後, 甲袋為 白球之機率為 設有一數列 < >, 滿足,,, N, 試求 解答 [ ( ] 解 ( 令 B,A B AB, N, A B A B A B, 而 B ( A et (A ti t t t t t t t, t y 取,y t 取 z,u 隨之, 取 P, 進而 P u z A P P
A ( ( ( ( ( B A B ( ( ( ( [ ( ] (, N 解 可利用上述之 及, 設 α β(,α,β R α β, α β α,β ( (, N 設,, 試以,, 表示,y,z γ β α γ β α γ β α z y γ β α 解答,y,z,y,z γ β α γ β α γ β α z y z y γ β α γ β α γ β α z y 設有二階方陣 A, 若 A,A, 試求 A 解答
A (A A A A (A 或 A (A A (A A A (A 設 A 為二階方陣,A I 且 A O, 試找一個 A, 使其滿足 A A 解答 A, 但不唯一 設 A A 由 A A ( ( 得 ( ( (,, 或 A O 或 I, 均不合 ( 取 代回, 取, A, 此 A 即為所求 註 A 之答案不唯一,A, 某鄉鎮有甲 乙二種報紙, 目前甲 乙二報的市場占有率分別為 % %, 假定市場調查結果告訴我們 : 目前訂閱甲報的, 有 % 明年會繼續訂甲報, 有 % 會改訂乙報
目前訂閱乙報的, 有 % 明年會繼續訂乙報, 有 % 會改訂甲報如果明年的訂戶總人數不變, 且市場調查結果持續有效, 則 ( 三年後, 甲 乙二報的市場占有率各為多少? ( 當報業市場趨於穩定時, 甲 乙二報的市場占有率各為多少? 解答 ( 甲報 %, 乙報 % ( 甲報 %, 乙報 % ( 設 P, 又設 年後, 訂閱甲報之機率為, 乙報為, N 一年後 二年後 三年後 即三年後, 訂閱甲報者占 %, 訂閱乙報者占 % ( 當報業市場趨於穩定時, 訂閱甲報之機率為, 乙報為 : : 即甲報的市場占有率為 %, 乙報則為 % 某工廠有甲 乙 丙三條生產線, 共有 個工人, 工廠規定工作一個月後, 原來甲生產線上的工人, 都到乙生產線上工作 ; 原來乙生產線上的工人一半到丙生產線, 另一半到甲生產線上工作 ; 原來丙生產線上的工人一半到甲生產線, 另一半留在丙生產線上工作 開始時, 甲 乙 丙生產線上各有 個工人, 試求三個月後, 甲 乙 丙三條生產線上的工人各有多少人? 解答 甲 人, 乙 人, 丙 人設 個月後, 甲 乙 丙生產線上的工人各為 個人,
設有一數列 < >, 滿足,,, N, 試求 : ( ( lim 解答 ( ( (, (i, 令 B A, B AB, N,N A B A B, 而 B (ii A et (A ti t t t t t t t, t y, 取,y t, 取 z,u P, 隨之,P LLL u z
A P P A P ( P ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( {[ ( ] [ ( ]} [ ( ] ( (iii lim 某人遊走於甲 乙 丙三城鎮, 此三城鎮皆有道路相通 當此人夜宿於某城鎮時, 翌日早晨醒來, 選擇留在該城鎮的機率為, 前往其他城鎮的機率均為 假設此人某日夜宿於丙鎮, 試求此人四日後, 遊走至甲鎮的機率 解答 今日甲乙丙甲 乙 明日丙 設 天後, 留宿於甲, 乙, 丙鎮之機率分別為,,,,,
, 四日後, 遊走 ( 夜宿 於甲鎮之機率為 阿雄流浪於 A,B,C,D 四城市間, 此四城市相鄰關係如下圖 : 假設每日清晨, 阿雄決定當日夜晚繼續留宿該城市, 或改而前往相鄰一城市的機率為, 若已知阿雄今晚夜宿 B 城市, 試求三日後夜宿於 A,B,C,D 城市的機率 解答,,, 設 日後, 阿雄夜宿 A,B,C,D 城市之機率分別,,,,,,, N, 令 A, A A, A 三日後, 夜宿於 A,B,C,D 城市之機率分別為,,, 設 A, N, ( 試就 之值, 討論 A si os os si 之結果 ( 若, 則滿足 之 共有幾個? si os os si si os os si
解答 ( 見詳解 ( os ( 先有一個特殊的矩陣 R si si os os si siφ siφ os( φ si( φ RR φ R si os siφ osφ si( φ os( φ 隨之, 滿足 R R φ π si os os( 令 A os si π si( π si( π os( R π π A os( π si( π si(, N π os( (i A os si si os (ii A si os os si (iii A (iv A os si si os si os os si si os si os ( 欲滿足, 則須,,,, os si os si 由,,,, 共有 個 設甲袋中有 黑球 白球, 乙袋中有 白球, 每球被取到的機會相同, 從甲袋中取一球放入乙袋, 再 從乙袋中取一球放回甲袋, 此叫一回合, 試求如此操作五回合後, 黑球仍在甲袋之機率 解答 解 ( 當黑球在甲袋時, 操作一回合後 黑球在甲袋之機率, 黑球在乙袋之機率 ( 當黑球在乙袋時, 操作一回合後
黑球在甲袋之機率, 黑球在乙袋之機率 ( 設操作 次後, 黑球在甲袋之機率為, 在乙袋之機率為, N 故五回後, 黑球仍在甲袋之機率為 解 設操作 回合後, 黑球在甲袋的機率為 P P,P P ( P, N P P, N 由 P P,P,P P,P 設有甲 乙二城市, 根據調查, 由於工作的關係, 每年由甲市移居乙市的人口, 占甲市的 %, 由乙市移居甲市的人口, 占乙市的 %, ( 已知 : 甲市人口為 萬人, 乙市人口為 萬人, 試求三年後, 甲市的人口約為多少人? ( 若甲 乙二市人口維持不變, 則甲 乙二市的人口比例為何? 解答 ( 萬人 ( : 設 年後, 甲市人口為 萬人, 乙市為 萬人, N ( 已知, 即三年後, 甲市人口約為 萬人 ( 欲甲 乙二市人口維持不變,
: : 即甲 乙二市之人口比例為 : 設二階方陣 A, 滿足 A A, 試求 A 解答 A, 或, 或,,, 設 A eta A A A I ( 或 ( ( ( (, 或, A, 或, (,, ±, ± A,,, 籃球高手阿弘比賽時, 當他投進一球後, 下一球投進的機率是, 當他有一球投不進後, 則下一球的命中率為, ( 如果他第一球投進了, 試求他再連進三球的機率 ( 如果他第一球投進了, 試求他第 球投進的機率 ( 就長期而言, 試求他投籃的命中率 解答 (% (% (% ( 投進一球後, 下一球投進之機率為 第一球投進後, 再連進三球之機率為 (, 命中率約為 % ( 設第 球投進之機率為, 投不進之機率為,, 由, N,
第 球投進的機率為, 約為 % ( 設命中率為 ( ( 故命中率約為 % 設 A,B, 計算 AB BA? 解答 試舉出一例二階方陣 A 滿足 A A, 但, 又 A 必定滿足哪些條件? 解答 見詳解例如 : 取,,, 時,A A A 一般而言 :A 滿足 A A 且, 為 的二根 ( 二根和 故 A 的條件是 且, 為 的二根
已知 I 與 J, 若二實數 與 滿足 (I J I J, 求, 之值? 解答, 易知 J J,( J J J,( J ( J ( J ( J J 同理 ( J ( J J (I J C I C ( J C ( J C ( J C I C ( J C ( J C ( J I (C C C J (I ( J 及 設 M, 且 I, 若 (M I M I, 其中, 為兩定數, 求, 解答, 令 N, 則 M N 又 N N 所以 M (N (N N N M M M (N (N N (N N 因此,(M I M M I MI I N (N I (N I I N N N I N I M I M I 即, A,X 為 矩陣,X 不是零矩陣, 且滿足 AX X, 試求 X?
t 解答 X t,t t X,AX,X AX X :: : : :: ::, 即 t, t, t, 但 t t X t,t t 設 A,P,P AP, N, 試求 : ( P,P ( P ( lim P 解答 ( P,P ( ( ( ( ( ( ( ( P P P
( A et (A ti t t t t t t t,, 取 B ( 取法較繁雜, 省略 B A B B A B B ( ( P B B ( ( P ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 方法 承上 lim P 方法
設 lim P :: :: 由,,, 即 lim P 阿忠每天中午的午餐不是吃麵就是吃飯, 假如某一天他午餐要吃麵, 則第二天仍吃麵的機率為 %; 若是吃飯, 則第二天仍吃飯的機率為 %, ( 某星期一他午餐吃飯, 則星期四吃麵的機率為何? ( 長久以來, 吃麵與吃飯的比例各占多少? 解答 ( % ( 吃麵者占, 吃飯者占 設第 天吃麵之機率為, 吃飯的機率為, N, ( 已知星期一吃飯, 則, 即星期四吃麵的機率為 % ( 穩定狀態時, 設吃麵 吃飯之機率分別為, : : : 即吃麵者占, 吃飯者占
設二階方陣 A,P, ( 求 P ( 求 P AP ( 求 A 解答 ( ( ( ( P P ( P AP ( 設 D D, N 由 P ( AP D P (P APP PDP A PDP A (PDP (PDP PD(P PDP PDIDP PD P A (PD P (PDP PD P A PD P ( 設 A, 試求 A? 解答 A
設 A,B, 試求 AB BA? 解答 AB BA 所以 AB BA O 設兩矩陣 A,B 定義如下 :A [ ij ], 其中 ij ij;b [ ij ], 其中 Ij i j, 試計算 AB 解答 A,B 所以 AB 設 A, ( 計算 A A I? ( 計算 A A A A I? 解答 ( ( ( A A I
( A A A A I (A A I (A I (A I O (A I 設 A,B,C, 計算 AB AC 解答 AB AC 所以 AB AC O 設 A,B, 若 AC B, 試求 C? 解答 A, 因為 AC B, 所以 C A B 即 C A B 設 A,B, 若 AD B, 試求 D?
解答 因 AD B, 故 D A B, 先求 A 所以 A 故 D A B 設 A,B, 計算 AB? 解答 設 A,B,C, 計算 (A BC 與 AC BC 解答 (A BC AC BC 設 A, ( 試求 A A I? ( 求 A A A A I 解答 ( (
設 A,B, 若 AX B, 求 X? 解答 設 A os si si os π π π π, 滿足 A I 的最小自然數 為多少? 解答 設方陣 A,P, 計算 : ( P ( P AP ( A 解答 ( ( ( 設二階方陣 A, 滿足 A O, 試求 A 解答 A, 或, 或 設 A, 由 A ( 或 ( ( ( ( 或 A, 或, (, A
設 f (,A, 試計算 f (A ( 其中 I 解答 f (A A A I 設 A, 試求 A? 解答 A os si si os π π π π A ( os si si os π π π π os si si os π π π π 設 π, 且 A, 若 A os si si os I, 求 之值 解答, π, π, π A, 所以 os 且 si 因 os si si os os si si os π, 所以 π, 故,π,π,π, 即, π, π, π 設方陣 A,P, 試求 : ( P ( P AP ( A
解答 ( ( ( ( ( ( ( ( P ( P AP ( 兩邊 次方, 得 P A P (P AP 所以 A ( P P ( ( ( ( ( ( ( ( 設 f (,A, 求 f (A? 解答 設一袋中, 含有 個紅球, 個黑球, 今手中拿著一個紅球, 然後自袋中每次任取一球後, 將手中的球放入袋中 ; 重複此試驗 ( 試求試驗第二次後, 手中是紅球的機率為何? ( 試求試驗第三次後, 手中是紅球的機率為何? 解答 ( ( 取球前手中為紅球, 可說是初始狀態手中紅球的機率為, 黑球的機率為 以矩陣 P 表示初始狀態的機率 q p
設 P 表示第 次取球後手中是紅球與黑球的機率而每次取球的轉移矩陣 T q p 那麼 P TP,,,,, 而 p,q 所以 P q p P TP q p P TP 所以, 第二次試驗後手中是紅球的機率為 第三次試驗後手中是紅球的機率為 設 A, 計算 A? 解答 設 A,P, 試求 ( P ( P AP ( A 解答 ( ( ( ( ( ( ( 設二階方陣 A 滿足 A,A, 求 A?
( 提示 :A (A (A 解答 設方陣 A, ( A? ( A A A A? (? A 解答 ( I ( O ( 設方陣 A, 設 A, 求, 之值 ( 提示 :A 解答, ( 設 A, 計算 A? 解答