08 北京人大附中高三 月份内部特供卷 数学 ( 文 )( 二 ) 注意事项 :. 答题前 先将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 选择题的作答 : 每小题选出答案后 用 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 非选择题的作答 : 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 第 Ⅰ 卷 一 选择题 : 本大题共 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.. 如图为几何体的三视图 则其体积为 ( ) A. B.. 已知 i 是虚数单位 复数 i 的虚部为 ( ) C. D. A. B. i C. D. i. 若 a b 且 ( a b) a 则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. B. C. / 8 D. 或. ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a 6 c A. B. C. 或 D. 无解 5. 设集合 A { 6 8} B { x x 7} 则 A B ( ) A. { } B. { 6} C. { 68} D. { 8} cos A 则 b ( ) 6. 函数 f (x) 在 ( 0 ) 单调递增 且 f ( x ) 关于 x 对称 若 f ( ) 则 f( x ) 的 x 的取值范围是 ( ) A. [ ] B. ( ] [ ) C. ( 0] [ ) D. [ 0] x y 7. F 为双曲线 ( a0 b 0) 右焦点 M N 为双曲线上的点 四边形 OFMN 为平行四边形 且四 a b 边形 OFMN 的面积为 bc 则双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D. xy 0 y 8. 已知变量 x y 满足 x 则的取值范围是 ( ) x x y 0
A. [ ] B. [ ] C. [ ] D. ( ] [ ) 9. 世界数学名题 x 问题 : 任取一个自然数 如果它是偶数 我们就把它除以 如果它是奇数 我们就把它乘 再加上 在这样一个变换下 我们就得到了一个新的自然数 如果反复使用这个变换 我们就会得到一串自然数 猜想 : 反复进行上述运算后 最后结果为 现根据此问题设计一个程序框图如下图 执行该程序框图 若输入的 N 则输出 i ( ) A.5 B.7 C.8 D.9 x 0. 函数 f( x) 的图象大致为 ( ) e x A. B. C. D.. 将函数 f ( x) sin( x ) 的图象向左平移个单位 再向下平移 个单位 得到 g (x) 的图象 若 6 g ( x ) g( x) 9 且 x x[ ] 则 x x 的最大值为 ( ) A. 55 B. 5 C. 5 D. 7 6. 已知点 A B C D 在同一个球的球面上 AB BC AC 球心 O 恰好在棱 DA 上 则这个球的表面积为 ( ) A. 5 B. C.8 D.6 二 填空题 : 本大题共 小题 每小题 5 分. 第 Ⅱ 卷 / 8 若四面体 ABCD 的体积为
. 已知 tan( ) 则 tan.. 从圆 x y 内任意一点 P 则 P 到直线 x y 的距离小于 的概率为. f ( x ) x 的解集为. 5. 已知函数 f (x) ( x R ) 满足 f ( ) 且 f (x) 的导数 f( x) 则不等式 p 6. 已知抛物线 C : y px( p 0) 的焦点为 F 点 M ( x 0 ) ( x 0 ) 是抛物线 C 上一点 以 M 为圆心的圆 p MA 与线段 MF 相交于点 A 且被直线 x 截得的弦长为 MA 若 则 AF. AF 三 解答题 : 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 7. 已知 { a n } 是首项为 的等比数列 数列 { b n } 满足 b b 5 且 a nbn anbn an. () 求数列 { a n } 的通项公式 ; () 求数列 { b n } 的前 n 项和. 8. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查 在高三的全体 000 名学生中随机抽取了 00 名学生的体检表 得到如图的频率分布直方图 ( 图 ). () 若直方图中后四组的频数成等差数列 试估计全年级视力在 5.0 以下的人数 ; () 学习小组成员发现 学习成绩突出的学生 近视的比较多 为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系 对年级名次在 ~50 名和 95~000 名的学生进行了调查 得到图 中数据 根据表中的数据 能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? 9. 在如图所示的多面体 ABCDE 中 已知 AB // DE AB AD ACD 是正三角形 AD DE AB BC 5 F 是 CD 的中点. / 8
() 求证 : AF // 平面 BCE ; () 求证 : 平面 BCE 平面 CDE ; () 求 D 到平面 BCE 的距离. x y 0. 已知椭圆 C : ( a b 0) 过 E ( ) 且离心率为 e. a b () 求椭圆 C 的方程 ; () 过右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A B 两点 D 点坐标为 ( ) 求直线 DA DB 的斜率之和.. 已知函数 f ( x) x ln x a( x ). () 讨论函数 f (x) 的单调性 ; () 若 f( x) 0 恒成立 求 a 的值. 请考生在 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分.. 选修 -: 坐标系与参数方程 x cos x 直角坐标系 xoy 中 曲线 C 的参数方程为 ( 为参数 ) 曲线 C : y. y sin () 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 求 C C 的极坐标方程 ; () 射线 ( 0) 与 C 异于极点的交点为 A 与 C 的交点为 B 求 AB.. 选修 -5: 不等式选讲已知函数 f ( x) x g( x) x m. () 若关于 x 的不等式 gx ( ) 0 的解集为 { x x 0} 求实数 m 的值 ; () 若 f ( x) g( x) 对于任意的 x R 恒成立 求实数 m 的取值范围. / 8
数学试题答案 一 选择题. 答案 答案 D 解析 几何体形状如图所示 : 是由半个圆柱和一个四棱锥的组合体 所以选 D.. 答案 A. 答案 C. 答案 C 解析 由余弦定理得 a b c bc cos A 即 b b 0 所以 b 或. 选 C. 5.B 6. 答案 D 解析 由 f( x ) 为偶函数 所以 f ( x ) f ( ) 又 f( x ) 在 ( 0 ) 单调递增 所以 x 即 0 x. 选 D. 7. 答案 B c 解析 设 M x0 y0 x0 0 y0 0. 四边形 OFMN 为平行四边形 x 0 四边形 OFMN 的面 c 积为 bc y 0 c bc 即 y0 b M b 代入双曲线方程得 e e e. 选 B. 8. 答案 B 9. 答案 C 0. 答案 A x x x 解析 函数 f( x) 不是偶函数 可以排除 CD 又令 f( x) 0 得极值点为 x e x x 所以排除 B 选 A.. 答案 A 解析 由题意得 g( x) sin[( x ) ] 故 gx ( ) max gx ( ) min 6 gx ( ) 由 g( x) g( x) 9 得 gx ( ) 由 g( x) sin( x ) 得 x k k Z 5 7 5 7 9 即 x k k Z 由 x x[ ] 得 x x 9 7 55 故当 x x 时 x x最大 即 xx 故选 A.. 答案 D 解析 如图所示 设 AC 的中点为 M 由已知 AB BC 所以底面三角形 ABC 外接圆的圆心为 M 所以 OM 平面 ABC 又 OM//DC 所以 DC 平面 ABC 由四面体的体积为 得球的表面积为 6π. 选 D. e x 得 DC= 所以 DA= 球的半径为 由球的表面积公式 5 / 8
二 填空题. 答案. 答案 解析 如图所示 满足条件的点 P 构成阴影部分区域 由一个直角边为 的等腰直角三角形和两个圆心角为 5 的扇形组成. 这是一个几何概型 不难求得 P 到直线 x+y= 的距离小于的概率为. 5. 答案 {x x> 或 x<-} x 解析 令 g( x) f ( x) 则 g( x) f ( x) 0 g() 0 所以 g(x) 在 R 上为减函数 不等式等价 于 g(x )<0 则 x > 得 x> 或 x<-. 6. 答案 p 解析 由题意: 圆被直线 x 截得的弦长为 MA 设圆的半径为 r 则 MA ME r 在 Rt MDE 中 r r r r DE DM ME 得 MD MF 而 MF = MD p 所以 p 得 p r x 0 p r p 又由于 M ( x0 )( x0 ) 在抛物线上 则 8 p 解得 : p AF. p 三 解答题 7. 答案 解:() 把 n 代入已知等式得 ab ab a a a b a b a 所以 6 / 8
所以 a n 是首项为 公比为 的等比数列 即 an () 由已知得 b n b n a n 所以 b 是首项为 公差为 的等差数列 n a n n. n( b bn ) n( n ) n n 其通项公式为 bn n Sn. 8. 答案 解() 由图可知 第一组有 人 第二组 7 人 第三组 7 人 设后四组的频数构成的等差数列的公差为 d ( 7 d) 7 d 7 d 6 解得 d= 则 所以后四组频数依次为 7 8 所以视力在 5.0 以下的频率为 +7+7++=8 人 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 000 8 00 =80( 人 ) 00 (8 9) 00 () k.0.8 50 50 7 7 7 因此能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系. 9. 答案 解:() 取 CE 的中点 M 连接 BM MF 因为 F 为 CD 的中点 所以 MF = ED 又 AB= ED 所以 MF = AB 所以四边形 ABMF 为平行四边形 所以 MB//AF 因为 BM 平面 BCE AF 平面 BCE 所以 AF // 平面 BCE. () 因为 ACD 是正三角形 所以 AC AD CD 在 ABC 中 AB AC BC 5 所以 AB AC BC 故 AB AC DE AC 又 DE ADAC AD=A DE 平面 ACD DE AF 又 AF CD 由 () 得 BM AF DE BMBM CDDE CD=D BM 平面 CDEBM 平面 BCE 平面 BCE 平面 CDE () 连接 DM 由于 DE=DC DM CE 由 () 知 平面 BCE 平面 CDE DM 平面 BCE 所以 DM 为 D 到平面 BCE 的距离 DM= 所以 D 到平面 BCE 的距离为. 9 0. 答案 () 解 : 由已知得 a b c a a b c 解之得 a=b= c= x y 所以椭圆方程为. () 设 A( x y ) B( x y ) 由 () 得 F (0) 当直线 l 斜率存在时 设直线 l 的方程为 y k( x ) 与椭圆联 x y 立得 消去 y 得 ( k ) x 8k x k 0 y kx k 7 / 8
8k 所以 xx k k xx k y y kx k kx k 所以 kda kdb x x x x k k (k )( x x 8) k k x x ( x )( x ) ( k )(8 k k ) ( )( ) k k k k 8k 6(k ) 6k 6 k 当直线 l 斜率不存在时 A ( ) B( ) kda kdb 所以 DA DB 的斜率之和为.. 答案 解:() 函数 f( x ) 的定义域为 ( 0 ) f ( x) ln x a 由 f( x) 0 得 x e a a a 当 x ( 0 e ) 时 f( x) 0 ; 当 x (e ) 时 f( x) 0. a a 所以 f( x ) 在 ( 0 e ) 单调递减 f( x ) 在 (e ) 单调递增 () 由 () 得 f( x ) 在 x e a 时有极小值 也就是最小值. a 所以 f (e a a ) 0 即 ( a)e a(e ) 0 也就是 a e a 设 g( x) x e x g ( x) e x 由 g( x) 0 得 x. 当 x (0) 时 g( x) 0 ; 当 x ( ) 时 g( x) 0. 所以 gx ( ) 在 (0) 单调递增 gx ( ) 在 ( ) 单调递减. 所以 gx ( ) 的最大值为 g( x) g() 0. max 所以 a e a 又 a e a 所以 a e a 即 a. 请考生在 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分.. 选修 -: 坐标系与参数方程 x cos 答案 解:() 曲线 C : ( 为参数 ) 化为普通方程为 x y x y sin 所以曲线 C 的极坐标方程为 cos 曲线 C 的极坐标方程为 ( sin ). () 射线 ( 0) 与曲线 C 的交点的极径为 cos 射线 ( 0) 与曲线 C 的交点的极径满足 ( sin ) 0 0 解得 所以 AB. 5 5. 选修 -5: 不等式选讲 答案 解:() 由 g( x) x m 0 可得 x m 所以 m x m 由题意得 m m 0 所以 m. () 若 f ( x) g( x) 恒成立 则有 x x m 恒成立 因为 x x x x 当且仅当 ( x)( x) 0 时取等号 所以 m. 8 / 8