數學傳播 40 卷 1 期, pp. 91-96 數學和古典詩詞的意境 張奠宙 蘇意雯教授的 詩情畫意談數學 ( 數學傳播 總 151 期 ) 一文, 將古代的一些中國數學詩收集起來欣賞, 增加了今人學習數學的興趣, 讀後受益良多 最近, 筆者也注意到在現代數學和中國古詩文之間, 可以在意境上有所溝通 數字嵌入詩詞, 早已有之 鄭板橋有詠雪詩 : 一片二片三四片, 五片六片七八片 ; 千片萬片無數片, 飛入梅花總不見 詩句抒發了詩人對漫天雪舞的感受 不過, 詩中儘管嵌入了數字, 卻實在和數學沒有什麼關係 數學和古典人文的連接, 貴在意境 早年講到數列極限, 總會用 一尺之棰, 日取其半, 萬世不竭 ( 莊子 天下篇 ) 與之相聯繫 後來徐利治先生將之發展到用古詩來描述連續變數的極限 記得是 1993 年, 在無錫黿頭渚開過一次數學方法論的研討會 有一天下午, 徐先生作報告 他說了一個故事 我在 數學分析 課堂上, 先在黑板上寫了李白的名詩 : 故人西辭黃鶴樓, 煙花三月下揚州 孤帆遠影碧空盡, 唯見長江天際流 然後問同學們哪一句可以和極限概念相通? 大家的共同回答是 孤帆遠影碧空盡, 這說明數學和詩詞是可以溝通的 徐先生的演講觸動了我的心弦, 我似乎看到了數學和人文意境互相溝通的隧道, 於是陸續收集了一些例子 ( 一 ) 道德經 與自然數公理 老子 道德經 裏有名句: 道生一, 一生二, 二生三, 三生萬物 91
92 數學傳播 40 卷 1 期民 105 年 3 月這 13 個字, 簡直是一組中國化的自然數公理 它透露以下的資訊 : 自然數是一個接一個地 生 出來的 ; 1 加 1, 就能生出 2; 2 再 加 1 就能生出 3; 不斷地 加 1 就能生出萬 ; 自然數裏有 1, 2,... 等等, 多得不得了, 沒完沒了 ; 1 前面還有一個 道, 在數學上用 0 代表 一年級小學生, 不妨把它背下來 這既不困難, 也不囉嗦 其中有熟悉的一 二 三 萬等數字, 又有 生 這個極為生動傳神的動詞, 容易領會 ( 二 ) 道德經 與數學歸納法 眾所周知, 數學歸納法原理是和自然數公理等價的 一生二, 二生三, 相當於數學歸納法中 n = 1,2 時, 命題成立的要求 關鍵是要獲得 三生萬物 的結果 然而, 要 生 出萬物 ( 自然數全體 ) 來, 必須要每個與 n 有關的命題都能 生 出與 n+1 有關的命題 這是數學歸納法原理的精髓 現在中學數學課堂裏常用多米諾骨牌來比喻數學歸納法 但多米諾骨牌畢竟是有限的 到頭來就是因為總有第 n 塊倒下卻不能讓第 n+1 塊倒下, 因而不得不終止 說白了, 就是 n 命題 生 不出 n+1 命題來 因此, 為了要三生萬物, 就必須生生不息, 即保證每個 n 命題不僅自己成立, 還必須會 生, 保證能夠生出 n+1 命題來 數學歸納法後半部分要做的不在於檢驗 n 命題 是不是正確, 要做的事情是 n 命題能不能 生 的問題 強調一個 生 的動詞, 保證每個 n 命題都能 生, 正是 道德經 告訴我們的數學歸納法 ( 三 ) 登幽州台歌 與愛因斯坦的四維時空 初唐陳子昂有一首劃時代的 登幽州台歌 : 前不見古人, 後不見來者 ; 念天地之悠悠, 獨愴然而涕下 一般的語文解釋說 : 前兩句俯仰古今, 寫出時間綿長 ; 第三句登樓眺望, 寫出空間遼闊 第四句描繪了詩人孤單寂寞悲哀苦悶的情緒, 兩相映照, 分外動人 然而, 從數學上看來, 這是一首闡發時間和空間感知的佳句 前兩句表示時間可以看成是一條直線 ( 一維空間 ) 陳老先生以自己為原點, 前不見古人指時間可以延伸到負無窮大, 後不見來者則意味著未來的時間是正無窮大 後兩句則描寫三維的現實空間 : 天是平面, 地是平面, 悠悠地張成三維的立體幾何環境
數學和古典詩詞的意境 93 全詩將時間和空間放在一起思考, 感到自然之偉大, 產生了敬畏之心, 以至愴然涕下 這樣的意境, 數學家和文學家可以共有 尤其是, 把時間和空間放在一起思考, 可以說也在意境上與愛因斯坦的四維時空學說相銜接 ( 四 ) 葉紹翁 遊園不值 與無界變數 宋朝葉紹翁有詩云 : 應憐屐齒印蒼苔, 小扣柴扉久不開 春色滿園關不住, 一枝紅杏出牆來 貴州六盤水師專的楊光強老師對我說, 他在講無限大和無界變數時都會引用此詩, 學生每每會意而笑 實際上, 無界變數是說, 無論你設置怎樣大的正數 M, 變數總要超出你的範圍, 即有一個變數的絕對值會超過 M 於是, M 可以比喻成無論怎樣大的園子, 變數相當於紅杏 無界變數相當於無論怎麼大的園子, 總至少有一支紅杏會越出園子的範圍 詩和數學的意境如此切合, 竟把枯燥的數學語言形象化了 ( 五 ) 杜甫的名詩 登高 與實無限 潛無限 登高 詩云 : 風急天高猿嘯哀, 渚清沙白鳥飛回 無邊落木蕭蕭下, 不盡長江滾滾來 萬里悲秋常作客, 百年多病獨登臺 艱難苦恨滿霜鬢, 潦倒新停濁酒杯 我們關注的是其中的第三 第四兩句 : 無邊落木蕭蕭下, 不盡長江滾滾來 前句指的是 實無限, 即實實在在全部完成了無限過程的結果 例如區間 [a,b] 中具有無限多個點, 就是一種實無限 杜甫所說的 無邊落木 是指 所有的落木, 那是一個已被我們一覽無餘的實無限集合 後一句則是指所謂的潛無限了 儘管到現在為止, 長江水還是有限的, 卻永遠不會停止 它沒完沒了, 不斷地 滾滾 而來 數學的無限顯示出 冰冷的美麗, 杜甫詩句中的 無限 則體現出悲壯的人文情懷, 但是在意境上, 彼此是溝通的 ( 六 ) 賈島的 尋隱者不遇 與純粹存在性定理 賈島有一首五言絕句云 : 松下問童子, 言師採藥去 只在此山中, 雲深不知處
94 數學傳播 40 卷 1 期民 105 年 3 月這首小詩在人文意境上和數學存在性定理彼此相通 事實上, 這種只知其 有, 卻並不知道具體是 誰 的數學存在性定理很多 如在小學裏就有抽屜原理出現 M 個蘋果放到 N 個抽屜裏 (M > N), 那麼必有一個抽屜裏的蘋果至少為兩個, 但是究竟是哪一個抽屜? 裏面確切的蘋果數目是多少, 我們並不知道 其餘如代數基本定理, 微積分裏有連續函數的介值性定理, 以及微分中值定理等等, 都是只知根或某個介值 中值的存在, 但是不知道它們究竟在哪裡 賈島的詩句斷定隱者 只在此山中, 卻 雲深不知處 這與數學的意境何等契合! 如果說文學家欣賞 雲深不知處 的蒼茫意境, 而數學家則會關注難以名狀的一種不確定性 ( 七 ) 蘇軾的 琴詩 與反證法 蘇軾有一首哲理詩云若言琴上有琴聲, 放在匣中何不鳴? 若言聲在指頭上, 何不於君指上聽? 數學上常用反證法 要證明一個命題, 只要先將此命題的反面假定為正確, 然後據此推出明顯錯誤的結論, 就可以從反面證明原命題的正確性 琴詩 的意境與此相通 命題 : 琴聲不在琴上 證明 : 用反證法 假設 琴上有琴聲, 那麼琴放在匣中應該 鳴 這和琴放在匣中不鳴的事實矛盾, 因此假設 琴上有琴聲 是錯的 原命題正確 證畢由此可見, 人文的論辯和數學的證明, 都需要遵循邏輯規則 ( 八 ) 李商隱的詩句 : 相見時難別亦難 與因式分解 因式分解課上, 說說唐詩宋詞, 別有一番風味 初中學習 因式分解 內容, 沒有什麼實際背景可以依靠, 學生學起來很枯燥 如果我們把兩個因式的相乘和分解, 用兩個人的 相見 和 分別 作 擬人化 的比喻, 那麼就有許多詩句可以聯想了 李煜詞有 : 無限江山, 別時容易見時難 李商隱的詩句有 : 相見時難別亦難 這樣一來, 我們不妨說 相乘容易分解難 事實上, 兩個因式相乘有演算法規則可循, 依次去做就是了 比較容易 但是給一個多項式, 要拆成兩個因式, 卻並非一定有章可循, 往往要動腦筋, 使用技巧才能解比較困難 更進一步, 聯想到當今的密碼技術與大素數的分拆困難有關, 正是相乘容易而分解難, 在意境上可以有所借鑒
數學和古典詩詞的意境 95 ( 九 ) 古詩的對仗與數學的對稱 : 變化中的不變 中國古詩講究對仗 這是指上句變為下句之後, 雖然位置變了, 可是許多性質不能變 例如王維 山居秋暝 中的名句 : 明月松間照, 清泉石上流 其中的上句雖然變為下句, 但是, 字數不變, 名詞對名詞, 動詞對動詞, 形容詞對形容詞, 意義上相通, 都是自然景色 存在著許多不變性 聯想到數學的軸對稱, 對稱軸的左右兩邊, 翻折過去 圖形位置是變了, 但是大小形狀都沒有變, 由此看來, 數學的對稱和文學的對仗, 可以說是異曲同工 對聯和對仗, 是漢字獨有的文化現象, 現在居然和西方數學有如此的關聯, 令人叫絕 ( 十 ) 蘇軾 題西林壁 詩與勒貝格積分 蘇軾有名句云橫看成嶺側成峰, 遠近高低各不同 不識廬山真面目, 只緣身在此山中 如果將前兩句比喻黎曼積分和勒貝格積分的關係, 相當有趣 蘇軾詩意是 : 同是一座廬山, 橫看和側看各不相同 勒貝格則說, 比如數一堆摞好了的硬幣, 你可以一疊疊地豎著數, 也可以一層層橫著數, 同是這些硬幣, 計算的思想方法卻差異很大 從數學上看, 同是函數 y = f(x) 形成的曲邊梯形面積 M, 也是橫看和側看不相同 實際上, 如果分割函數 y = f(x) 的定義 n 域 [a,b] 然後作和 f(ξ i ) x i 用以近似 M, 那是黎曼積分的思想, 而分割值域 [m,n] 作和 i=1 n y i me(x,y i 1 f(x) y i ) 近似表示 M, 則是勒貝格積分的思想 ( 這裏的 m 是勒貝格 i=1 測度 ) 同是橫看和側看, 數學意境和人文意境竟可以相隔時空得到共鳴, 發人深思 ( 十一 ) 韓愈名詩 早春 與數學中的 大範圍 韓愈有詩句云天街小雨潤如酥, 草色遙看近卻無 突然想到, 詩的第二句當是拓撲學上局部和整體的一種文學意境描寫 就曲面來說, 遠看可以有整體的區分, 例如球面和環面彼此不同 但是, 近看卻都差不多, 都是一個 圓片 : 二
96 數學傳播 40 卷 1 期民 105 年 3 月維的歐氏平面的局部 這正如整體的草色只能 遙看, 一旦近了, 到局部狀態, 那種 草色 就 近看無 了 除了以上的十一例之外, 數學活動中的人文意境, 還會有許多其他的方面 例如王國維用宋詞來描述做學問的三重意境 : 昨夜西風凋碧樹, 獨上高樓, 望盡天涯路 衣帶漸寬終不悔, 為伊消得人憔悴 眾裏尋他千百度, 驀然回首, 那人卻在燈火闌珊處 蝶戀花 晏殊 蝶戀花 柳永 青玉案 辛棄疾 這同樣適用於數學學習 確實, 一個學生如果沒有經歷過這樣的數學解題意境, 數學大概 是學不好的了 本文作者任教華東師範大學數學系 2016 Pan Asia Number Theory Conference 日期 : 2016 年 7 月 11 日 ( 星期一 ) 2016 年 7 月 15 日 ( 星期五 ) 地點 : 台北市大安區羅斯福路四段 1 號天文數學館 6 樓演講廳 詳見中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw