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巷忌扈
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1 3. 线性回归分析教学要求回归分析是一种统计工具, 它利用两个或两个以上变量之间的关系, 由一个或几个变量来预测另一个变量, 它是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法. 本节要求学习者理解回归分析的基本思想, 对给定的实际问题能够作出一元线性回归的数学模型, 并熟练运用最小二乘估计法, 求解一元线性回归方程中的未知参数, 深刻理解和掌握一元回归效果的显著性检验方法, 并根据求出的回归直线方程, 作出预测和控制, 了解二元线性回归方程的建立方法. 知识点. 回归分析的基本思想. 一元线性回归的数学模型 3. 一元线性回归中未知参数的最小二乘估计 4. 一元线性回归效果的显著性检验 F 检验法 *5. 一元线性回归效果的显著性检验相关系数检验法 6. 一元线性回归的预测问题 7. 一元线性回归的控制问题 *8. 二元线性回归方程 *9. Mthemtc 系统的线性回归软件包的使用 3.. 回归分析的基本思想在客观世界中, 我们经常会遇到一些相互依赖相互制约的变量. 它们之间有着一定的关系, 这种关系在量上主要有两种类型. 一类是确定性关系, 也就是我们所熟悉的函数关系, 其特点就是给定自变量的值, 能确定因变量的对应值. 另一类是非确定性关系, 其特点是给定自变量的值, 不能确定因变量的值. 例如, 身高和体重之间的关系, 一般来说, 人高一些, 体重大一些, 但同样高度的人体重往往不尽相同 ; 又如在气候土质水利种子和栽培技术等条件基本相同时, 水稻亩产量与施肥量有密切关系, 但是施肥量相同, 亩产量不一定相同等等. 这种既存在着密切的关系, 但又不能由一个或一组变量的值来确定另一个变量的值, 在数理统计中, 我们把这类变量之间的非确定性的关系称之为统计关系或相关关系. 回归分析就是研究这类关系的统计方法. 在此, 我们首先要区分两种主要类型的变量. 一种变量相当于通常函数关系中的自变量, 对这样的变量能够赋予一个需要的值如室内的温度施肥量或者能够取到一个可观测但不能人为控制的值如室外的温度, 这样的变量称为自变量 ; 自变量的变化能引起另一些变量如水稻亩产量的变化, 这样的变量称为因变量. 我们所感兴趣的问题是自变量对因变量的取值有什么样的影响. 回归分析是研究自变量的变化对因变量变化的影响程度, 其目的在于根据已知自变量的变化来估计或预测因变量的变化情况. 回归分析的内容包括 : 如何确定因变量与自变量之间的回归模型 ; 如何根据样本观测数据, 估计并检验回归模型及未知参数 ; 在众多的自变量中, 判断哪些变量对因变量的影响是显著的, 哪些变量的影响是不显著的 ; 根据自变量的已知值或给定值来估计和预测因变量的值.

2 定义. 由一个或一组非随机变量来估计或预测某一个随机变量的观测值时, 所建立的数学模型及所进行的统计分析, 称为回归分析. 因此, 回归分析是研究随机变量与非随机变量之间的数量关系的一种数学方法. 如果所建立的模型是线性的就称为线性回归分析. 线性回归分析不仅告诉我们怎样建立变量间的数学表达式, 即经验公式, 而且还利用概率统计知识进行分析讨论, 判断出所建立的经验公式的有效性, 从而可以进行预测或估计. 按变量个数的多少, 回归分析有一元回归分析与多元回归分析之分, 而多元回归分析的原理与一元回归分析的原理类似, 因此本节重点介绍一元线性回归. 3.. 一元线性回归的数学模型设相关的两个变量为与, 且是可以控制或可以观测的变量普通变量, 是随机变量, 我们来讨论与之间的关系. 我们先从一个例子入手. 例 3.. 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数之间有一定关系, 下表是实测 4 个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的数据记录. 试求出它们之间的关系. 编号拉伸倍数强度编号拉伸倍数强度解. 从表中可以看出, 有随着增加而增加的趋势, 但它们之间的关系又是不确定的. 为了研究与之间的内在联系, 我们以为横坐标, 以为纵坐标, 在直角坐标系中将表中的 4 对数据,,,,, 4 描成图 3.87, 在回归分析中, 这种图称为散点图. 散点图有助于我们粗略地了解两个变量之间大致上存在怎样的相关关系.

3 图 3.87 如图 3.87 所示, 这些点大致分布在一条直线的附近. 变量和之间的关系基本上可看作是线性的. 但这些点与直线还有一定的偏离, 这是因为除了因素以外, 还有许多其它随机因素在影响着, 使与直线产生了误差 ε. 因此, 与应满足下列关系 : ε 称为对的一元线性回归的数学模型. 其中是两个未知参数,ε 是一个变量, 在一般情况下, 总是假设 ε 满足两个条件 : 对自变量的任一给定值,ε 均为随机变量, 并且服从同一正态分布 N,σ. 对自变量的任意个给定值,,,, 相应的随机变量 ε,ε,,ε 相互独立. 我们只讨论自变量是一般变量的情形, 即它是可以精确测量或可以严格控制的变量, 对于样本,,,,, 如果它符合一元线性回归的数学模型, 则 ε,,, 其中 ε ~N,σ,,,, 且相互独立, 则 ~N,σ E 当已知时, 由上式可以算出 E, 由于 ε 是不可控制的因素, 通常用 E 作为的估计值, 记为 ŷ 即一般情况下, 只能通过试验获得有限个样本点, 无法获得和的真值, 只能求出它们的估计值 â 和, 从而得到上式称为对的线性回归方程或回归直线方程, 其中 â 称为回归常数项, 称为回归系数. 那么, 要求出线性回归方程, 关键要求出的估计值 â, 即用下面的一元线性回归未知参数的最小二乘估计. 3

4 一元线性回归中未知参数的最小二乘估计如果变量对的回归方程的形式为, 又如何根据样本数据去寻求未知参数与的估计值 â 和, 而使回归直线方程与所有的观测点,,,, 拟合得最好. 对任一给定的, 的估计值为 :,,, 这些回归值同实际观测值 ε 之间的离差或随机误差为 :. 于是, 离差平方和 ε Q 定量地描述了直线与所有散点, â,,, 的拟合程度.Q 的值随着和的不同而变化, 它是和的二元函数, 要找一条与这个散点拟合最好的直线, 就是找出使得 Q 达到最小值的和, 即使, m,, Q Q. 我们可以利用微积分中的极值求法来求得 â 和. 图 3.88 Q Q 经整理后可得方程组 : 解上述方程组得到的估计值 â 和.

5 其中另记,,,. 可以证明, â 确能使离差平方和 Q 达到最小. 用这种方法求出的估计值 â 称为的最小二乘估计值. 下面具体计算例 3.. 中的回归直线方程. 回归直线方程的计算步骤 I 编号 Σ 回归直线方程的计算步骤 II 4 7.5, 3., 4, , 4. 75, 5

6 4 89.6, , 73. 6, , , , , 所以所求回归直线方程为 : 直线方程图见 3.. 中的图注. 在计算回归直线方程时, 并不需要的值, 但在进一步分析中经常要用到, 因此顺便计算出来. 回归分析时, 一般计算量较大. 为了减少计算量, 可以进行适当的变量替换, 基本替换办法如下 : 可令 : d c, d c 则 c c d d d, d, d d. 例 3.. 炼钢是一个氧化脱碳的过程, 钢液含碳量的多少直接影响到冶炼时间的长短, 下表列出了某平炉炉的熔毕碳即全部炉料熔化完毕时钢液的含碳量, 单位 :.% 与精炼时间从熔毕至出钢所需时间, 单位 : 分的冶炼记录. 试对此进行回归分析. 编号熔毕碳精炼时间编号熔毕碳精炼时间解. 为了计算方便, 令 : 5, 5 6 6

7 回归方程计算步骤 I 编号 Σ 回归方程计算步骤 II, 6,,.6,. 8, , 7.8, 57. 7, 7, 337,,. 8,, , , 7.8, 5 643, 5 698, , , 所以所求回归直线方程为 :

8 图 3.89 从以上推导过程可以看出, 对于任意给定的观测值,,,,, 我们都可以找到一条回归直线, 使得 Q, m Q, 成立. 此回归直线只是相对于其他直线, 而言, 它是最好的. 但它是否能够充分体现之间是线性关系, 常常还需要对回归效果的好坏进行检验即一元线性回归效果的显著性检验一元线性回归效果的显著性检验 F 检验法前面我们给出了一元回归直线方程的求解即一元线性回归中未知参数的最小二乘估计. 那么这条回归直线对观测数据,,,, 拟合的程度如何? 是否真正体现之间的这种线性关系, 这就需要对回归效果的好坏进行检验. 这种检验是评价方程对总体的代表性的所谓线性关系的显著性检验. 检验与是否具有线性关系, 以及它们之间的密切程度, 这就是回归直线方程的效果检验所要解决的问题. 由一元线性回归的数学模型可知, 一元线性回归的数学模型是 ε ε~n,σ 即随机变量的数学期望是自变量的线性函数, 然而这样的假设是否合理呢? 若在 ε 中, 说明的变化对没有影响, 这时回归方程就不能近似地描述变量与之间的关系, 因此为了判断与之间是否存在线性关系, 只需检验假设 : H : 此问题也称为线性回归方程的显著性检验问题. 我们要根据观测数据,,,, 作出拒绝或接受原假设的判断. 拒绝原假设才能确认我们的线性回归模型是合理的, 接受原假设表示不能认为之间有线性相关关系. 如何构造统计量来检验这个假设问题呢? 我们先把变量的离差平方和予以分解. 8

9 9 ] [ 而 ] ][ [ ] [ ] [., QU 其中 U 是回归值与其平均值的离差平方和, 而, 可以把看成是由于的变化而引起的值变化, 因此称之为回归平方和 ; Q 反映的是观测值与回归值之间的离差平方和, 它表示除对的线性影响之外的一切因素引起的值的变化, 称之为误差平方和或残差平方和. 而 U ] [ U Q 数学上我们可以证明, 当 H / Q U F 为真时, 统计量 ~F, - 对于给定的显著性水平 α, 查自由度为, - 的 F 分布临界值表, 可得临界值 Fα α α >, F F P,- 使得

10 其拒绝域为 W{F>Fα, -}. 图 3.9 由样本观测数据计算统计量 F 的观测值 F, 如果 F > Fα,-, 则应拒绝假设 H, 即认为与之间线性关系显著 ; 否则认为与的线性关系不显著或根本不存在线性关系, 回归方程没有什么实用价值. 例 3..3 试用 F 检验法来检验例 3.. 中回归直线方程的效果 α.5. 解. 根据题意, 需检验的假设为 : H : 由例 3.. 得到回归直线方程为且 4, , U Q -U U.84 F Q / / 对于给定的 α.5, 查 F 分布临界值表, F.5,4.3 显然,F > F.5,4.3, 拒绝 H, 即与之间有显著的线性关系, 且它们之间的关系为例 3..4 在某大学一年级新生体检表中, 随机抽取张, 得到名大学生的身高和体重的数据如下, 试求体重关于身高的线性回归方程, 并检验回归方程的显著性 α.5? 身高 cm 体重 kg 身高 cm 体重 kg

11 解. 根据表中数据, 列出下列计算表. 回归直线方程的计算步骤 I Σ ,,,

12 ,,,. 因此线性回归方程为 :. 下面我们来检验身高与体重之间是否具有显著的线性关系. 根据题意, 我们作假设 H :.,,,. 对于给定的 α.5, 查 F 分布临界值表得到临界值 : F.5, 显然,F 9.> F.5, 85.3, 故拒绝 H, 即由 F 检验法可知, 身高与体重之间的线性关系是显著的, 且它们之间的关系为 : 上述对一元线性回归效果的显著性检验的方法, 称为 F 检验法. 在统计中, 我们还有另一种检验方法相关系数检验法. *3..5 一元线性回归效果的显著性检验相关系数检验法为了检验两个变量之间是否具有显著的线性关系, 我们介绍了一元线性回归效果的显著性检验 F 检验法, 这里我们介绍另一种检验方法相关系数检验法.

13 为了检验假设 : H :, H :. 根据样本观测数据,,,,, 由一元线性回归中未知参数的最小二乘估计中的结论知回归直线方程为 : 其中,,,,. 令 r 此统计量称为相关系数. 而回归平方和 U 误差平方和 Q U, -r. 不难看出, 由于 Q,, 故 -r, 即 r. r 越接近,Q 越小, 回归方程对样本数据的拟合程度越好 ; 反之, r 越接近,Q 越大, 回归方程对样本数据的拟合程度越差. 下面利用散点图具体说明, 当 r 取各种不同数值时, 散点分布的情形, 见图

14 图 3.9 具体说明如下 : 当 r 时,, 因此, 回归直线平行于轴, 说明的取值与无关. 注意, 此时与可能存在其他非线性关系. 当 r 时,Q, 从而 ŷ 这时所有的点都在回归直线上, 此时与存在确定的线性函数关系, 称与完全线性相关. 3 当 < r < 时, 与存在一定的线性关系. 若 r 与同号, 则 r>, >, 称与正相关 : 若 r 与异号, 则 r<, <, 称与负相关. 当 < r < 时, 与线性相关. 但只有当 r 的绝对值大到一定程度时, 才能认为与线性关系密切. 此时, 我们认为相关系数是显著的, 所求的回归直线方程才有意义, 否则无意义. r 究竟大到什么程度时, 才算与的线性关系为密切呢? 对于给定的显著性水平 α, 查相关系数临界值表, 可得临界值 rα-, 使得 P r > rα α 因此其拒绝域是 W{ r > rα-}. 由样本观测值计算统计量 r 的观测值 r, 若 r rα-, 则应拒绝 H, 即与之间线性关系显著 ; 否则认为与之间的线性关系不显著或根本不存在线性关系, 回归方程没有实用价值. 这种检验方法称为相关系数检验法. 相关系数检验法与 F 检验法, 只是形式上的不同, 实质上是一回事. 这是因为 U F Q / r r. r r 关于 r 的临界值表, 可以利用上式根据 F 的临界值反算出来. 因为对 F 分布的临界值 Fα, - 有 r P F > Fα, α, r 则容易得到 P r > r α α, 其中 Fα, r α. F, α 利用此公式由统计量 F 的临界值 Fα, - 可以求出统计量 r 的临界值 rα-. 例 3..5 试用相关系数检验法检验例 3... 中回归直线方程的效果.α.5 解. 根据题意, 要检验的假设为 H :, H :. 例 3.. 的回归直线方程为 4

15 又 4, α.5, 5.663, , 查相关系数临界值表得.389<rα-r.5 <.47, 查 F 分布临界值表得 Fα, -F.5, 4.3 由 r α F α Fα, 知, r.5.443, 而 r 显然 r.9757>r.5 所以拒绝 H, 接受 H, 即与之间的线性关系是显著的一元线性回归的预测问题若变量与变量之间有显著的线性关系, 那么由它的一组观测值,,,, 所得到的回归方程大致反映了与之间的变化规律. 但是, 由于与之间不是确定性的关系, 对于的一个值, 利用回归直线方程不能得到的相应真值, 而只能得到的一个估计值这样, 我们就会提出问题 : 若用 ŷ 来作的估计值, 那么它的可靠度有多大? 为此, 就需要我们对作区间估计, 即给定一个置信度 α, 要寻找出的置信区间预测区间, 这就是预测问题. 对于, ε, ε ~N,σ. 在数学上可以证明 : 若 ε,ε,,ε 相互独立且都服从 N,σ, 则,,, 是一组相互独立的服从正态分布的随机变量, 且随机变量 T S ~ t Q 其中 S. 因此, 对于给定的置信度 -α, 寻找临界值 tα/ -, 使得 P T > t α α 由 t 分布密度函数的对称性, 可知 5

16 且 P t < T < t α, α α α P T > t α. 查自由度为 - 的 t 分布临界值表, 得到临界值 tα/ -. 由不等式 - tα/-<t< tα/-, 可以得到的 -α 置信区间预测区间为 : δ, δ. 其中 δ t α S Q S. 由上述公式可知,S 越小, 预测区间越窄即预测区间越精确. 另外, 对于给定的样本观测值及置信度而言, 若与越接近, 预测区间越窄, 预测精度也越高 ; 反之, 预测精度就越差 ; 而且观测个数越大其预测区间的精度就越高. 若对给定的样本观测值作曲线 : δ, δ 则夹在这两条曲线之间的部分就是 ε 的置信度为 -α 的预测带, 它以 -α 的概率包含的值, 且当越靠近时, 预测区间越窄, 预测越精确. 在实际问题中, 当 5 很大且接近时, 便有且 t α α U U 为标准正态分布临界值 α 因此, 的置信度为 -α 的预测区间为 : α S U, SU α 但有时, 在不大并且要求精度不高时, 也常用正态分布去求的近似预测区间. 例 3..6 在例 3.. 中求时, 在 α.5 下, 的预测区间. 解. 例 3.. 的回归方程为 : ,, 5. 6, α.5 643, 698, 7.8 查 t 分布临界值表, 得到临界值 tα/-t S , 6

17 , , δ t α S , 因此的预测区间为 : , , 图 3.9 例 3..7 在服装标准的制定过程中, 调查了许多人的身材, 得到一系列的服装各部分的尺寸与身高胸围等的关系, 下表给出的是一组女青年身高与裤长的数据单位 :cm. 求裤长对身高的回归方程. 在显著性水平 α. 下检验回归方程的显著性. 3 预测当身高 7 时, 其裤长的置信度为 99% 的预测区间

18 解. 为计算方便, 令 5 得到下列计算表. 回归方程计算步骤 I 编号 Σ 由上表可计算得下表 : 回归方程计算步骤 II 3 97, 68, 3, ,. 667, 3849, 5,

19 , , , ,. 667, 98.7, , , 所以所求回归直线方程为 : 图 3.93 下面我们来检验身高与裤长之间是否具有线性关系. 根据题意, 我们作假设 H : 3 U , Q U , U F Q / 4.68 / 8, 对于给定的 α., 查 F 分布临界值表,F., 显然,F > F.,87.64, 故拒绝 H 长之间的线性关系是显著的, 且它们之间的关系为 : , 即由 F 检验法可知, 女青年身高与裤 3 求当 7 时的预测区间. 3, α., 查 t 分布临界值表, 得到临界值 tα/-t , 7, 59. 9, 98.7, Q4.68, 9

20 Q 4.68 S.963, , , 5 δ , 因此的预测区间为 : , ,.34. 图一元线性回归的控制问题一元线性回归的控制问题是一元线性回归的预测问题的反问题. 如果某质量指标与某一自变量间有线性相关关系, 且已求得了线性回归方程, 若已知, 为合格, 那么应控制在什么范围内才能以概率 -α 保证质量合格? 这便是一个控制问题即要求出区间,, 使当 << 时, 质量指标值以 -α 概率落在, 之中. 在图 3.95 中 δ 与 δ, 所夹的部分就是 ε 的置信度为 -α 的预测带. 其中 δ t α S, Q S 而故若要的观测值以 -α 的概率落在, 中, 只需控制满足以下两个不等式 : δ, δ,. 这只要求解方程组 :

21 δ δ 分别解出与, 那么, 就是所求的的控制区间. 图 3.95 在实际问题中, 当很大时, 由预测问题中的预测区间 : SU α, SU 知, 要求控制区间,, 只需求解方程组 : α SU SU α α 分别解出与, 那么, 就是所求的的控制区间. 而且, 当 > 时控制区间为,, 见图 3.96 ; 当 < 时, 控制区间为,, 见图图 3.96

22 图 3.97 显然为了实现控制, 在应用公式时, 必须要求 - >SUα/, 否则便会失去控制的意义. 例 3..8 在例 3... 中, 要使冶炼时间在 5 分到 85 分钟之间, 钢液含碳量应控制在多少范围之间 α.5? 解. 由例 3.. 可知, 其回归方程为 : ,. 为了简化计算, 我们用简化公式去求解. 由例 3..6 知 S4.7677, α.5 查标准正态分布函数数值表得 Uα/.96 由简化公式可得到下列方程组 : 解这个方程组得到 : 解这个方程组得到 : / , / , 即钢液含碳量应控制在.454% 与.564% 之间. 例 3..9 在例 3..7 中, 要使裤长在 cm 到 8cm 之间, 其身高应控制在多少之间 α.5? 解. 由例可知, 其回归方程为 : 又已知 3, α.5, S.963 查标准正态分布函数数值表得 :Uα/.96 由简化公式可得到下列方程组 :

23 / , / , 即身高应控制在 6.46cm 到 66.36cm 之间. *3..8 二元线性回归方程在实际问题中, 影响一个事物的因素往往不止一个, 要揭示这些变量之间的数量关系, 就要运用多元回归分析. 在这里我们只对二元线性回归作一些简单的介绍.. 二元线性回归方程的建立与一元线性回归分析类似, 二元线性回归的回归方程为 : 其中 â,, 可以应用最小二乘法原理求得. 由下面的方程组可以求出, : 其中 :. ; ; ; ; ; 式中 : 第一个变量的第次观测值 ; : 第二个变量的第次观测值 ; : 变量的第次观测值.,,,. 根据观测数据, 由上述公式可以求出 â,, 代入回归方程中, 就可以得到二元线性回归方程, 从而揭示出变量与变量, 之间的数量关系.. 二元线性回归方程的显著性检验

24 4 用上述方法得到的二元线性回归方程后, 还需要判定与, 是否具有线性相关的关系. 若它们之间没有线性关系, 则, 均为, 因此要判断与, 是否具有线性关系, 实质上就是要检验假设 : H :, H :, 不全为. 因此, 把的总离差平方和 ] [ 分解 : 把平方项展开后, 中间项为 QU 而 U, ] [. 由, 因此的定义 U Q. U 称为回归平方和, 它反映了, 对的线性影响的大小 ;Q 称为残差平方和, 它反映了除, 的线性影响以外的其它因素对的影响的大小. 数学上可证明, 当假设 H 3 / / Q U F 为真时, 统计量 ~F, -3. 因此, 对给定的显著性水平 α, 查 F 分布临界值表, 得到临界值 Fα α > α 3, F F P, -3, 使得, 其拒绝域为 W{F> Fα, -3}.

25 图 3.98 由样本观测数据, 计算统计量 F 的观测值 F, 当 F >Fα, -3, 则拒绝 H, 表明与, 确有线性关系 ; 否则认为与, 之间不存在线性关系. 例 3.. 设有一个工厂会计部门在估计每月管理费时, 用工人的劳动日数与机器的开工台数作自变量, 现将当年个月的数据搜集如下表, 试估计对与的线性回归方程, 并检验线性回归方程的显著性 α.5. 月份劳动日数机器开工台数理费用解. 设所求回归方程为 : 根据样本的观测数据, 可以得到下表 : 序号 X

26 Σ 此时, 于是得到 : , , 7 7., , , , , , , 由上面的计算结果, 得到方程组 : 解方程组得 :. 5637, 995., 故所求回归方程为 : 下面我们来检验回归方程的显著性. 根据题意, 需要检验的假设为 : H :, H :, 不全为. 根据前面的计算 :

27 U , Q -U , α.5, 查 F 分布临界值表得 : Fα, -3 F.5, 74.74, U / F 9.49 > F.5,7 Q / , 因此拒绝 H 而接受 H, 可认为, 与有显著性的线性关系, 即工厂的每月管理费与工人的劳动日数和机器的开工台数有线性关系. *3..9 Mthemtc 系统的线形回归软件包的使用本知识点中, 我们讲解怎样利用 Mthemtc 软件 3. 以上版本解决线形回归的问题. 在 Mthemtc 软件简介中对 Mthemtc 软件的使用方法作了简单介绍, 现在我们通过几个例子, 介绍 Mthemtc 软件统计部分内线形回归的使用方法. 以下是对前面已给出的例, 用 Mthemtc 软件计算的实际操作和说明下文中紫红色文字表示在使用 Mthemtc 时用户键入的部分. 用 Mthemtc3. 或以上版本处理时, 首先在启动 Mthemtc 软件后要作必要的准备工作, 装入相应的统计软件包, 键入 : Off[Geerl::spell] <<Sttstcs`CotuousDstrutos` 例 3.. 解. 输入原始数据 : dt {{.9,.4}, {.,.3}, {.,.8}, {.5,.5}, {.7,.8}, {.7,.5}, {3.5, 3.}, {3.5,.7}, {4., 4.}, {4., 3.5}, {4.5, 4.}, {4.6, 3.5}, {5., 5.5}, {5., 5.}, {6., 5.5}, {6.3, 6.4}, {6.5, 6.}, {7., 5.3}, {8., 6.5}, {8., 7.}, {8.9, 8.5}, {9., 8.}, {9.5, 8.}, {., 8.}}; 现在用命令 : gstplot[ dt, PlotRge->{ {M@@Mp[ #[[]]&, dt], M@@Mp[ #[[]]&, dt]}, {M@@Mp[ #[[]]&, dt], M@@Mp[ #[[]]&, dt]}}, PlotStle->{RGBColor[,,], PotSze[.]}] 作其散点图如下 : 7

28 图 3.99 根据散点图, 我们看出这些点大致分布在一条直线附近, 变量与之间的关系近似线性关系, 由此我们根据算法编制程序, 进行回归分析 : stt[ dt_, lph_]:module[ {col,,,, r, r,,,, est, est, U, Q, F, Flph, l}, egth[ dt]; Mp[#[[]]&, dt]; Mp[#[[]]&, dt]; r Me[ ]; r Me[ ]; Plus@@^ - *r^; Plus@@* - *r*r; Plus@@^ - *r^; est / ; est r - est * r; U est * ; Q - U; F -U/Q; Flph Qutle[ FRtoDstruto[, -], -lph]; l N[{est, est, F, Flph}]; Retur[ TleForm[ l, TleHedgs->{{"Estmte", "Estmte", "F", "Flph"}}]] ]; 其中函数 stt 的参数为 dt 表示样本数据,lph 为显著性水平. 通过 : stt[ dt,.5] 获得结果 : 8

29 得到回归方程 : , 即.5474, , 并且 F >Flph, 拒绝假设 H, 即与存在线性关系. 图 3. 为其散点图与其回归方程的对照 : g Plot[ , {,.5,.5}, PlotRge -> Mp[ #[[]] &, dt], Mp[ #[[]] &, dt]}, Mp[ #[[]] &, dt], Mp[ #[[]] &, dt]}}, PlotStle -> {RGBColor[,, ], PotSze[.]}, DsplFucto->Idett] Show[ g, g, DsplFucto->$DsplFucto] 图 3. 对其它数据的例只需把以上过程中的 dt 重新赋值即可, 程序部分不需重复输入. 例 3..6 解. 输入数据 : dt {{68, 7}, {6, 3}, {6, 3}, {6, }, {56, }, {57, }, {6, }, {59, }, {68, 7}, {59, }, {58, }, {56, 99}, {65, 5}, {58, }, {66, 5}, {6, 5}, {5, 97}, {5, 98}, {56, }, {59, 3}, {56, 99}, {64, 7}, {68, 8}, {65, 6}, {6, 3}, {58, }, {57, }, {7, }, {47, 95}, {55, 99}}; 参照上例, 作其散点图如下 : 9

30 图 3. 根据算法编制程序, 进行回归分析, 参照上例 : stt[ dt_, _, lph_, lph_, lph_, _, _]: Module[{col,,,, r, r,,,, est, est, U, Q, F, Flph, S, t, delt,, delt, delt,,, rt, l}, egth[ dt]; Mp[#[[]]&, dt]; Mp[#[[]]&, dt]; r Me[ ]; r Me[ ]; Plus@@^ - *r^; Plus@@* - *r*r; Plus@@^ - *r^; est / ; est r - est * r; U est * ; Q - U; F -U/Q; Flph Qutle[ FRtoDstruto[, -], -lph]; S Sqrt[ Q/-]; t Qutle[ StudetTDstruto[ -], -lph/]; delt t * S * Sqrt[/-r^/]; est est * ; t Qutle[ StudetTDstruto[ -], -lph/]; delt t * S * Sqrt[/-r^/]; 3

31 delt t * S * Sqrt[/-r^/]; rtsolve[ {estest*-delt, estest*delt}, {, }]; l N[{est, est, F, Flph, {-delt, delt}, If[ est>, {, }, {, }]/.rt[[]]}]; Retur[ TleForm[ l, TleHedgs->{{"Estmte", "Estmte", "F", "Flph","PredItervl", "CotrolItervl"}}]] ]; 其中函数 stt 的参数 dt 表示样本数据, 表示要预测的点,lph 为检测回归方程显著性的显著性水平,lph 表示预测区间的置信度 -lph, {, } 和 lph 分别表示, 控制区间的置信度通过 : stt[ dt, 7,.,.,.5,, 8] 获得结果 : 得到回归方程 : , 并且 F >Flph, 拒绝假设 H. 当身高 7 时, 其裤长的置信度为 99% 的预测区间为 5.65,.7. 要使裤长在 cm 到 8cm 之间, 其身高应控制在 6.654, 66.3 之间 α.5. 拟合情况如图 3.: 图 3. 3

32 习题 3... 工厂废品与成本之间单位 : 元 / 吨的相关关系资料如下 : 废品率成本废品率成本求与之间的线性回归方程. 3.. 对来往的车辆进行研究. 每隔 5 分钟获得下列的观察数据 : 稠密度车辆数 / 公里速度公里 / 小时根据以上数据, 判断车速与稠密度之间是否有显著的线性关系 α.5? 3..3 有人认为, 企业的利润水平和它的研究费用之间存在近似的线性关系, 下表所列资料能否证实这种判断 α.5. 研究费万元利润万元

33 3..4 拖拉机拉杆的曳力 F 与拖拉机的速度 v 有关, 测得如下有关数据 : 速度 v 曳力 F 速度 v 曳力 F 试检验拖拉机拉杆的曳力 F 与拖拉机的速度 v 之间是否存在显著的线性关系, 如果存在, 求 F 对 v 的线性回归方程 α 用切削机床进行金属加工时, 为了适当地调整机床, 应该测定刀具的磨损程度. 在一定时间如每隔一小时测量刀具的厚度, 测得结果列下表中. 试求刀具厚度关于切削时间的线性回归方程, 并检验回归方程的显著性.α.5 时间 h 刀具厚度 cm 时间 h 刀具厚度 cm 树的平均高度 h 与树的胸径 d 之间有密切联系. 根据下表所列资料估计 h 对 d 的线性回归方程, 并进行显著性检验 α.5. 胸径 d cm 平均树高 h m 为了研究小麦某种害虫的生长规律, 测得害虫从产卵块到孵化成幼虫的天数 N 以及孵化期内每日平均温度的算术平均数 T 如下表编号平均气温 T

34 孵化期 N 试求 N 对 T 的回归方程. 如果在四月中旬发现虫卵, 而四月中旬的平均气温在 4 C 左右, 试预测害虫孵化成幼虫的天数 α 在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中, 得到以下的数据 : 碳含量电阻设对于给定的, 为随机变量, 且方差与无关. 求线性回归方程. 检验线性回归方程的显著性 α.5. 3 求.5 时, 的置信水平为 95% 的预测区间下表是 6 种不同的钢标本资料. 强力伸长率试求对线性回归方程 ; 检验线性回归方程的显著性 α.5; 3 当 4.5 时, 的 95% 的置信区间 ; 4 若要求伸长率 3 之间, 则强力应控制在什么范围内 α.5? 3.. 设为正态变量, 对有下列观测值 : 求对的回归直线方程 ; 检验线性关系的显著性 α.5; 3 当.5 时, 求的 95% 的预测区间 α.5; 4 若要求 <4, 应控制在什么范围 α.5. *3.. 一册书的成本费与印刷册数有关, 其统计结果如下 : 千册元千册元试检验成本费与印刷册数的倒数的回归方程 α.5. 之间是否存在显著的线性相关关系, 如果存在, 求对 34

35 *3.. 为研究某种商品用冷冻机的温度和贮存容积与冷冻机功能的使用率千瓦小时的关系, 进行为期两周的试验, 结果如下 : 表中数据的正负号, 表示比常温高低或比通常贮存容积多少的数量或百分比. 求对与的回归方程 ; H :, 是否成立? 这个结论意味着什么? 实验题. 随机抽查同学的身高和坐高, 根据样本数据, 在给定的显著性水平下, 分析身高与坐高之间是否有显著的线性关系.. 根据实验题的结果, 如果身高与坐高有显著的线性关系, 请进一步做预测和控制. 35

类似地, 又可定义变下限的定积分 : ( ). 与 ψ 统称为变限积分. f ( ) d f ( t) dt,, 注在变限积分 (1) 与 () 中, 不可再把积分变量写成的形式 ( 例如 ) 以免与积分上下限的

类似地, 又可定义变下限的定积分 : ( ). 与 ψ 统称为变限积分. f ( ) d f ( t) dt,, 注在变限积分 (1) 与 () 中, 不可再把积分变量写成的形式 ( 例如 ) 以免与积分上下限的 5 ( 一 ) 微积分学基本定理当函数的可积性问题告一段落, 并对定积分的性质有了足够的认识之后, 接着要来解决一个以前多次提到过的问题在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一变限积分与原函数的存在性设 f 在 [,] 上