第 59 卷第 3 期 2010 年 3 月 / 2010 / 59(03)/ 物理学报 ACTA PHYSICA SINICA Vol. 59,No. 3,March, Chin. Phys. Soc. 热场动力学理论中的 Husimi 分布函数
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1 第 59 卷第 3 期 010 年 3 月 / 010 / 59(03/ 物理学报 ACTA PHYSICA SINICA Vol 59,No 3,March, Chin Phys Soc 热场动力学理论中的 Husimi 分布函数及 Wehrl 熵的研究 王帅 张丙云张运海 ( 菏泽学院物理系, 菏泽 (008 年 11 月 5 日收到 ;009 年 6 月 13 日收到修改稿 利用量子相空间技术和信息熵理论, 研究了热场动力学理论中量子纯态与相应混合态的 Husimi 分布函数及 Wehrl 熵的一致性问题 结果表明, 热相干态与相应混合态的 Husimi 分布函数及 Wehrl 熵完全相同, 支持了热场动力学理论 且热相干态的 Wehrl 熵与平移因子无关, 故在热相干态中, 量子系统的可观测量的量子涨落及不确定关系也与平移因子无关 关键词 : 热场动力学理论,Husimi 分布函数,Wehrl 熵 PACC:450, 引言 Takahashi 与 Umezawa 在 1975 年提出了热场动力学理论 (TFD, 这一理论使得量子系统处于非零温度时的系综平均值可以等价地转换为对一个量子纯态的期望值 [1], 并给出了热真空态的表达式 随后热相干态和热压缩态等量子纯态相继被提出 [,3], 并在量子统计和量子光学中得到了广泛应用 [4 9] Fan 于 1991 在计算量子系统可观测量的热平均时发现, 热真空态的 Wigner 函数与相应混合态的 Wigner 函数是一致的 [10] 受此启发, 文献 [11] 研究了 TFD 理论中热相干态与相应混合态的 Wigner 函数的一致性问题 他们的研究结果支持了 TFD 理论 但是由于 Wigner 分布函数的非正定性质, 故不能作为一个概率分布函数, 通常称之为准概率分布函数 [1] 为了克服这个缺点,Husimi 在 Wigner 函数定义的基础上引入了 Husimi 分布函数 [13], 它是一类相空间正定概率分布函数 Husimi 分布函数对于讨论热平衡态动力学问题 量子信息熵 ( 尤其是 Wehrl 熵 等有着非常重要的意义, 故近年来量子态的 Husimi 分布函数越来越受到人们的重视 [14 16] 山东省自然科学基金 ( 批准号 :Y008A16 和菏泽学院自然科学基金 ( 批准号 :XY09WL01 资助的课题 wangshuai197903@ sohu com 本文利用量子相空间理论, 首先给出 TFD 理论中量子纯态 热相干态的 Husimi 分布函数, 并研究热相干态与相应混合态的 Husimi 分布函数一致性问题 其次由 Husimi 分布函数, 给出热相干态的 Wehrl 熵 而量子态的 Wehrl 熵是一种量子系统可观测量的量子涨落及不确定关系的最好度量 [14] 最后根据热相干态的 Wehrl 熵, 研究量子系统在热相干态下, 可观测量的量子涨落及不确定关系与平移因子的关系 热相干态的 Husimi 分布函数 在量子力学中, 通常采用态矢量或波函数来描述和确定系统所处的状态 如果某个量子系统的状态能在希尔伯特空间由一个态矢量或波函数来描述, 即可表示为 ψ, 且满足归一化条件, 这样的量子态称为量子纯态 在谐振子相干态表示的量子相空间中, 量子纯态的 Husimi 分布函数的定 义为 [15] = z ψ ψ z (1 式中 z = exp - 1 z [ + za ] 0 为 Glauber 提出的相干态 [17], 它在量子光学等领域有着重要应用
2 1776 物理学报 59 卷 在量子统计和量子光学等领域, 热相干态也有着广泛应用 常用的热相干态定义如下 []: τ DT = D(τ 0 T, 0 T = T(θ 00, ( ~ 式中 0 T 为热真空态,D(τ= exp(τa - τ a 为 标准平移算符,T(θ= exp[- θ(a a珘 - a a珘 ] 为热压 缩算符 对于处在热库中的一维谐振子系统, 热真空态 [18] 为 0 T = (1 - e - βω 1 / exp(e - βω / a a珘 00, ~ 则相应的热相干态表达式为 τ DT = D(τ 0 T = (1 - e D(τ - βω 1 / exp(e - βω / a a珘 00 ~ (3 式中的珘 a 是虚构希尔伯特空间中的玻色产生算符, 与希尔伯特空间中的玻色产生算符 a 相对应 由 (3 式可知, 热相干态是双模量子纯态 为了求其 Husimi 分布函数, 我们引入如下双模相干态 形式 [18]: z z 珓 = exp - 1 z - 1 z珓 + za + + [ + z 珓 a珘 ] 00 ~ (4 利用 IWOP 技术 [18], 容易证明双模相干态满足归一 化条件 d zd z珓 z z 珓 z z珓 = 1 则热相干态的 Husimi 分布函数可表示为 μ(p p,q 珓 q 珓 = z z珓 τ DTDT τ z z 珓 (5 把 (3 和 (4 式代入 (5 式, 并利用算符的正规乘积形式, 可得在希尔伯特和虚构希尔伯特所组成的相 空间中 Husimi 分布函数为 μ(p p,q 珓 q 珓 = (1 - e - ωβ exp [ e - ωβ / (z - τ z珓 - (z - τ (z - τ- z珓 + e - ωβ / (z - τ z 珓 ] (6 由 Husimi 函数的归一化条件 d zd z珓 μ(p p,q 珓 q= 珓 1, 对虚构希尔伯特空间进行积分, 就可得出在希尔伯特空间中的 Husimi 分布函数, 即 d μ(p,q = z珓 ωβ (1 - e - exp [ e - ωβ / (z - τ z珓 - (z - τ (z - τ- 珓 z + e - ωβ / (z - τ z珓 ] = (1 - e - ωβ exp [ - (1 - e - ωβ (z - τ (z - τ ] (7 这就是热相干态的 Husimi 分布函数 推导中利用了如下公式 : d z e λ z + fz + gz = - 1 λ e - fg / λ, 00 ~ 00 ~ = :e ~: - - ~ (8 式中 :: 表示算符的正规乘积形式 再利用积分式 (8, 易证明热相干态的 Husimi 分布函数满足归一化条件 d z μ(p,q = 1 (9 当平移算符 D(τ= 1, 即 τ = 0 时, 可以得到热真空态的 Husimi 分布函数 μ(p,q = ( 1 - e - ωβ exp - ( 1 - e - ωβ [ z ] (10 以上通过引入双模相干态, 得到了量子纯态 热相干态的 Husimi 分布函数, 其值恒为正值, 且与平移因子有关 利用双模相干态表象和算符的正规乘积形式来计算量子态的 Husimi 函数显的非常简洁方便, 这是利用相干态表象和算符正规乘积形式进行有关量子计算的优点 下面我们进而研究热相干态的 Wehrl 熵 3 热相干态的 Wehrl 熵 信息熵是信息科学中的一个基本量, 由统计物理理论知, 信息熵是描述量子系统可观测量量子涨落及不确定关系的最好度量 特别是量子态的 Wehrl 熵, 在量子统计物理中是非常有用的工具, 是一种关于量子效应和热效应所引起的不确定关系的最好度量 [14,15] 文献 [19] 给出 Wehrl 熵的如下定义 : dpdq = - μ(p,qlnμ(p,q (11 按照 Wehrl 熵的定义 (11 式, 把 (7 式代入 (11 式, 在相干态表示的量子相空间中, 得 = - (1 - e - ωβ exp [ - ( 1 - e - ωβ - τ z - τz + τ ] ln( 1 - e - ωβ - exp [ - ( 1 - e - ωβ ( 1 - e - ωβ
3 3 期王帅等 : 热场动力学理论中的 Husimi 分布函数及 Wehrl 熵的研究 τ z - τz + τ ] [ e - ωβ ( - τ z - τz + τ ] 1 +, (1 (1 式的第一项 1 采用积分式 (8, 得 1 = - ( 1 - e - ωβ exp [ - ( 1 - e - ωβ - τ z - τz + τ ] ln( 1 - e - ωβ = - ln( 1 - e - ωβ (13 在 (1 式的第二项, 令 λ = - ( 1 - e - ωβ,f = - τ λ,g = - τλ 若直接对 (1 式积分, 积分过程会十分的复杂, 在此采用一巧妙的数学变换有 = exp(λ τ λ(λ z + fz + gz + λ τ exp(λ z + fz + gz = exp(λ τ [ λ λ d z exp(λ z + fz + gz + λf f d z exp(λ z + fz + gz ] + exp(λ τ [ λg g d z exp(λ z + fz + gz + λ τ d z exp(λ z + fz + gz ] (14 再利用积分式 (8, 在整个相空间对 (14 式积分, 得 = 1 (15 把 (13 和 (15 式代入 (1 式, 得 = 1 + = 1 - ln(1 - e - βω (16 这样我们就通过一个巧妙的数学变换, 得到了热场动力学理论中热相干态, 这一量子纯态的 Wehrl 熵 显然, 热相干态的 Wehrl 熵随温度的增加而增加 另外热相干态的 Wehrl 熵与平移因子 τ 无关 这一结果表明在热相干态下, 量子系统的可观测量的量子涨落及不确定关系也与平移因子 τ 无关 由热真空态的 Husimi 分布函数 (10 式和 Wehrl 熵的定义 (11 式, 可得这样的结论, 虽然热真空态与热相干态的 Huismi 分布函数不同, 故其 物理量的期望值也不同, 但它们的 Wehrl 熵完全相同 这一结果表明, 在热相干态或热真空态下, 量子系统的可观测量的量子涨落及不确定关系完全相同, 这与目前研究结果相一致 [7,8] 下面研究热相干态这一量子纯态与其相应混合态的 Husimi 分布函数及 Wehrl 的一致性问题 4 混合态的 Husimi 分布函数和 Wehrl 熵在有限温度 T 时, 量子系统以一定的概率处于 某一个量子态上, 需要用一组态矢量及其概率来描述, 即系统处于混合态 对于处于热平衡的系统, 混合态常用与吉布斯正则分布相联系的密度矩阵来表征, 其密度矩阵可表示为 [0] = Z -1 e - βh, (17 式中 Z = Tr( e - β H 为配分函数, 这时量子系统处在自由热态, 由能量本征态所组成的混合态 由于密度矩阵包含了量子态的概率分布及相位等信息, 所以由密度矩阵 ρ 所构建的 Husimi 分布函数一样也包含了量子态的所有量子信息 利用算符恒等式 e λa a = :exp[(e λ - 1a a]: [18], 把 = Z - 1 e 化为 - βh 正规乘积形式有 = (1 - e - ωβ :exp[- (1 - e - ωβ a a]:, (18 对于热场中一维谐振子系统的哈密顿量 H = 1 ω a a + 配分函数 Z 在能量本征态表象中为 ( Z = Tr( e - β H = n = 0 = n e - βh n e - ωβ( n + 1 n = 0 = e - 1 ωβ (19 - ωβ 1 - e 由 (18 式, 可以得到与热相干态这一量子纯态相对应的混合热态的密度矩阵为 [] (τ = D(τ D (τ = (1 - e - ωβ :exp[- (1 - e - ωβ (a - τ (a - τ]: (0 在谐振子相干态表示的量子相空间中, 密度矩阵 ρ 构建 Husimi 分布函数的定义如下 [14]: q = z ρ z, (1 μ( p,
4 1778 物理学报 59 卷 因此, 把 (0 式代入到 (1 式, 得 = z ρ z = ( 1 - e - exp - ( 1 - e - ωβ (z - τ (z - τ ] ( ωβ [ 比较 ( 式和 (7 式, 可知, 热相干态的 Husimi 函数与混合态的 Husimi 函数是相同的 并且根据 Wehrl 熵的定义, 热相干态与相应混合态的 Wehrl 熵也完全一致 这一研究结果与文献 [11] 中给出的热相干态的 Wigner 函数与混合态的 Wigner 函数视为同一在理论上相一致 当平移算符 D(τ= 1, 即 τ = 0 时, 得到自由热态 ( 混合态 Husimi 分布函数 = ( 1 - e - ωβ exp - ( 1 - e - ωβ [ z ] (3 与 Anderson 等人 [14] 的结果相一致 对比 (3 式和 (10 式, 可以得到这样的结论, 热真空态的 Husimi 函数与自由热态的 Husimi 函数是相同的 且根据 Wehrl 熵的定义, 热真空态与相应混合态的 Wehrl 熵也完全一致 这一结果又与热真空态和自由热态的 Wigner 函数视为统一在理论上是相一致的 [10] 5 结论 本文利用量子相空间技术和信息熵理论, 通过引入双模相干态, 给出了 TFD 理论中的热相干态的 Husimi 分布函数 进而利用一巧妙的数学变换, 简捷地得到了热相干态的 Wehrl 熵 并与相应混合态的 Husimi 分布函数及 Wehrl 熵进行了比较 结果表明, 热相干态与相应混合态的 Husimi 分布函数及 Wehrl 熵完全相同 且根据热相干态的 Wehrl 熵与平移因子无关, 故在热相干态下, 量子系统的可观测量的量子涨落及不确定关系也与平移因子无关 所以本文的研究结果不但支持了 TFD 理论的正确性, 还对 TFD 理论中量子态的相空间分布函数和 Wehrl 熵的研究具有很好的参考价值 [1] Takahashi Y,Umezawa H 1975 Collective Phenomena 55 [] Fearn H,Collett M J 1988 J Mod Opt [3] OzVogt J,Mann A,Revzen M 1991 J Mod Opt [4] Fan H Y,Liang X T 000 Chin Phys Lett [5] Wang Z Q 00 Acta Phys Sin (in Chinese[ 汪仲清 00 物理学报 ] [6] Zhan Y B 004 Chin Phys [7] Li H Q,Xu X L,Wang J S 006 Chin Phys Lett 3 89 [8] Xu X L,Li H Q,Wang J S 007 Chin Phys [9] Mintert F,Zyczkowski K 004 Phys Rev A [10] Fan H Y 1991 Commun Theor Phys [11] Wang S 009 Acta Optica Sinica (in Chinese[ 王帅 009 光学学报 ] [1] Meng X G,Wang J S,Liang B L 007 Acta Phys Sin (in Chinese[ 孟祥国 王继锁 梁宝龙 007 物理学报 ] [13] Husimi K 1940 Proc Phys Math Soc Japan 64 [14] Anderson A,Halliwell J J 1993 Phys Rev D [15] Pennini F,Plastino A 004 Phys Rev E [16] Xu X W,Ren T Q,Chi Y J,Zhu Y L,Liu S Y 006 Acta Phys Sin (in Chinese[ 徐秀玮 任廷琦 迟永江 朱友良 刘姝廷 006 物理学报 ] [17] Glauber R J 1963 Phys Rev [18] Fan H Y 005 From Quantum Mechanics to Quantum Optics (Shanghai:Shanghai Jiaotong University Press(in Chinese [ 范洪义 005 从量子力学到量子光学 ( 上海 : 上海交通大学出版社 ] [19] Wehrl A 1978 Rev Mod Phys 50 1 [0] Department of Physics, Peking University 1987 Quantum Statistical Physics (Beijing:Peking University Pressp8 (in Chinese[ 北京大学物理系 量子统计物理学 编写组 1987 量子统计物理学 ( 北京 : 北京大学出版社 第 8 页 ]
5 3 期王帅等 : 热场动力学理论中的 Husimi 分布函数及 Wehrl 熵的研究 1779 Husimi function and Wehrl entropy in thermo field dynamics Wang Shuai Zhang BingYun Zhang YunHai (Department of Physics,Heze College,Heze 74015,China (Received 5 November 008;revised manuscript received 13 June 009 Abstract Using the quantum phase space technique and the informationtheory like the Wehrl entropy,the Husimi function and the Wehrl entropy of the quantum pure states and the corresponding mixed states in thermo field dynamics are studied It is found that the Husimi function and the Wehrl entropy of the thermal coherent state agree with that of the corresponding mixed states And the Wehrl entropy of thermal coherent state is not related with the displacement factor Therefore for a quantum system,the quantum fluctuations of the observable quantities and corresponding uncertainty relation are also not related with the displacement factor in the thermal coherent state Keywords:thermo field dynamics,husimi function,wehrl entropy PACC:450,0365 Project supported by the Natural Science Foundation of Shandong Province,China (Grant No Y008A16and the Natural Science Foundation of Heze University of Shandong Province,China (Grand No XY 09WL01 wangshuai197903@ sohu com
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量子信息物理学 PH3520201 量子信息导论 00220201 中国科学技术大学微尺度国家实验室 / 近代物理系 陈凯 2018.10 第一章量子体系 量子态表示, 密度矩阵, 混合态, 量子不可克隆定理, Schmidt 分解, 量子测量等 任意两体纯态 Schmidt decomposition 假设 n m 存在一组正交态 µ 1, µ 2,, µ n 以及 ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n
BISQ理论模型与声波测井响应研究
* BISQ, 133 BISQ BISQ BISQ BISQ BISQ : PACC: 43, 665, 913 1. [1], * (:4743). 119 133 431-8449917 431-898966 431-8941554 Email cuizwjlu@sina.com; kexiew@public.cc.jl.cn [] [3 4] Dvorkin Nur [5 6] - BISQ
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论由 Dirac 符号组成的算符之积分及应用 牛顿 - 莱布尼兹积分的新方向 范洪义 物理系 2010 学术大会 Newton 1643-1727 1727 Leibniz 1646-1716 1716 Poisson 1781-1840 1840 Cauchy 1789-1857 1857 Lebesgue 1875-1941 1941 Poisson 是把微积分引入复平面的第一人 牛顿 - 莱布尼兹积分
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Homework7 答案 1. 均匀磁场中的中性自旋 1/2 粒子, 磁场方向 x, 强度 B, n 为任意方向 (θ, φ) 的单位矢量,σ n = n σ 为泡利算符在该方向的投影, 如果初态是 σ n = 1 的本征态, 请解出态的时间演化, 并分别计算 S x, S y, S z 的测量值与
Homework7 答案. 均匀磁场中的中性自旋 / 粒子, 磁场方向 x, 强度 B, n 为任意方向, 的单位矢量,σ n n σ 为泡利算符在该方向的投影, 如果初态是 σ n 的本征态, 请解出态的时间演化, 并分别计算 S x, S y, S z 的测量值与相应几率 请问要经过多长时间才能回到初态? 解 : 设哈密顿量为 H µ s B e h m σ B ec e hb ψ m σ ec
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2005 年 第 25 卷 有 机 化 学 Vol. 25, 2005 第 7 期, 771~779 Chinese Journal of Organic Chemistry No. 7, 771~779 综 述 与 进 展 紫 草 素 的 全 合 成 研 究 进 展 徐 德 锋 管 鹏 健 毛 志 强 李 绍 顺 * ( 上 海 交 通 大 学 药 学 院 上 海 200030) 摘 要 综 述
Ⅰ Ⅱ 1 2 Ⅲ Ⅳ
Ⅰ Ⅱ 1 2 Ⅲ Ⅳ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p E = m + k x ν (1) 考虑 x ν x ν/ V (x) = k x ν 是偶函数, 因而 Schrodinger 方程的解必然具有宇称对称性, 从而可以得到 : 所以 < x >= 0, < p
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物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 62, No. 14 (2013) 147802 叠 [4]. PET 设备最重要的部件就是探测器环, 探测 备重建图像具有减少数据插值的优势. 器环的性能直接影响 PET 的成像能力. 探头与探头 之间得到的符合直线叫做投影线. 所有的投影线在
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45 5 Vol. 45 No. 5 2013 9 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics Sep. 2013 2013 1) ( 100085) 2013. 2013 ( 1). (1) 3 3... 2013. 80 /. 25 / 2012 5 50 /. 1. 2 (2) 2012 -- ( -- ) 2013 --. --
Vol. 36 ( 2016 ) No. 6 J. of Math. (PRC) HS, (, ) :. HS,. HS. : ; HS ; ; Nesterov MR(2010) : 90C05; 65K05 : O221.1 : A : (2016)
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2013 34 ANNALS OF SHANGHAI OBSERVATORY ACADEMIA SINICA No. 34, 2013 1986 1998 1,2,3 1,3 2,3 4 ( 1. 100049 2. 200030 3. 100012 4. 430071 ) 1986 1998 32 20 ( M 5) 20 15 0.15 a P631.4 + 43 1 [1,2] 1925 0.18
幻灯片 1
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36 4 2015 385 ~ 397 The Chinese Journal for the History of Science and Technology Vol. 36 No. 4 2015 1951 ~ 1956 100049 100190 1951 ~ 1966 1951 ~ 1956 N092 P62-092 A 1673-1441 2015 04-0385-13 1951 ~ 1966
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Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
从分析力学到量子力学
产生湮灭算符 Jk 量子力学补习班 集智俱乐部 本次内容 希尔伯特空间中的向量与算符 谐振子的另类解法 传统方法复习 产生湮灭算符 多粒子系统 Fock 空间 产生湮灭算符 基于产生湮灭的量子力学 相干态表象 相干态表象下的谐振子 准概率分布 产生湮灭算符在经典反应扩散问题中的应用 希尔伯特空间 希尔伯特空间 H H 中的向量 > > H 中的算符 AB 转置共轭运算 ᵻ: 两个向量的内积 : A
国家实验教学示范中心
附 件 2: 辽 宁 省 实 验 教 学 示 范 中 心 建 设 单 位 申 请 书 学 校 名 称 : 中 心 名 称 : 渤 海 大 学 物 理 实 验 教 学 中 心 类 别 代 码 : 1 中 心 主 任 姓 名 : 高 亚 军 联 系 电 话 ( 手 机 ): 13941687355 中 心 网 址 : www.bhu.edu.cn/page/depart/slxy/syzx/index.html
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49 5 Vol. 49No. 5 2017 9 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics Sep.2017 2017 1) ( 100085) 2017. THE SUPPORTED PROJECTS ON MECHANICS OF NSFC IN 2017 Zhan Shige 1) Bai Kunchao Zhang Panfeng
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14审稿专家
第 69 卷 第 9 期 2014 年 9 月 ACTA GEOGRAPHICA SINICA Vol.69, No.9 September, 2014 审 稿 专 家 名 单 ( 按 单 位 行 政 区 域 和 审 稿 专 家 姓 氏 拼 音 为 序 ) 在 创 刊 80 周 年 之 际, 编 辑 部 谨 向 所 有 为 审 稿 的 专 家 表 示 衷 心 的 感 谢! 以 下 是 2000 年
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标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
6 Β Χ Η Ι ϑ Κ 1 1 Δ 1 =< Χ > Δ Ε > Δ <Β > 9 Φ < ; = 3Χ Χ ΓΒ 1 < ; = Κ 4 Η Λ + % # &!% () # % & #! Π? Μ Ν Ο, 0+ 1, + 2 & # 1,
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2009 6 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.25 No.3 Jun. 2009 (,, 20024;,, 54004).,,., P,. :,,. : O22... (Credibility Theory) 20 20, 80. ( []).,.,,,.,,,,.,. Buhlmann Buhlmann-Straub
講義ノート 物性研究 電子版 Vol. 7, No. 2, (2018 年 11 月号 ) Metropolis [1] Buffon Neumann 20 importance Importance (Markov-chain Monte Carlo
![講義ノート 物性研究 電子版 Vol. 7, No. 2, (2018 年 11 月号 ) Metropolis [1] Buffon Neumann 20 importance Importance (Markov-chain Monte Carlo](/thumbs/102/155547667.jpg "講義ノート 物性研究 電子版 Vol. 7, No. 2, (2018 年 11 月号 ) Metropolis [1] Buffon Neumann 20 importance Importance (Markov-chain Monte Carlo")
953 Metropolis [] 980 8 Buffon Neumann 20 importance Importance (Markov-chain Monte Carlo : MCMC) (PMC) E-mail: hukusima@phys.c.u-tokyo.ac.jp : ( ) Importance ( ) MCMC PMC ( ( )) MCMC X MC MCMC 2 MCMC
Microsoft Word - 793-797 tb20150504赵宏宇s-高校教改纵横.doc
微 生 物 学 通 报 Microbiology China tongbao@im.ac.cn Apr. 20, 2016, 43(4): 793 797 http://journals.im.ac.cn/wswxtbcn DOI: 10.13344/j.microbiol.china.150504 高 校 教 改 纵 横 生 物 工 程 专 业 发 酵 课 程 群 建 设 探 索 * 赵 宏 宇
4 # = # 4 Γ = 4 0 = 4 = 4 = Η, 6 3 Ι ; 9 Β Δ : 8 9 Χ Χ ϑ 6 Κ Δ ) Χ 8 Λ 6 ;3 Ι 6 Χ Δ : Χ 9 Χ Χ ϑ 6 Κ
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幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
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2015年度中国博士后科学基金资助申请指南
2016 年 度 中 国 博 士 后 科 学 基 金 资 助 申 请 指 南 目 录 前 言... 2 一 资 助 类 型... 4 二 申 请 条 件... 6 三 申 请 材 料 及 要 求... 10 四 申 请 材 料 的 提 交 和 审 核... 13 五 资 助 工 作 时 间 安 排... 18 六 评 审 工 作... 19 七 资 助 名 单 公 示 及 成 果 管 理... 24
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Web of Knowledge web of science 2009-11-24 xwyu@lib.sjtu.edu.cn Web of Knowledge Web of Science 2 Web of Knowledge 3 Web of Knowledge 4 5 6 9 10 WOK JCR JCR - (Journal Citation Reports??? 11 WOK JCR
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47 5 Vol. 47 No. 5 2015 9 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics Sep. 2015 2015 1) ( 100085) 2015. 2015 ( 1). (1).... 2015 2015. ( 2002 64 ) ( 2002 65 ). ( 2015 15 ). 359 43 24 532 29.67%
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39 6 Vol. 39, No. 6 2013 6 ACTA AUTOMATICA SINICA June, 2013 1, 2,,,. DOI,,,., 2013, 39(6): 697 702 10.3724/SP.J.1004.2013.00697 Present Situation and Development Tendency of Aerospace Control Techniques
国信证券股份有限公司
国 信 证 券 股 份 有 限 公 司 关 于 鹭 燕 ( 福 建 ) 药 业 股 份 有 限 公 司 股 票 上 市 保 荐 书 深 圳 证 券 交 易 所 : 经 中 国 证 券 监 督 管 理 委 员 会 证 监 许 可 2016 89 号 文 核 准, 鹭 燕 ( 福 建 ) 药 业 股 份 有 限 公 司 ( 以 下 简 称 鹭 燕 医 药 发 行 人 或 公 司 ) 不 超 过 3,205
Microsoft PowerPoint - 量子统计系综.ppt
我们前 次课的目的是 : 复习一下统计物理的基本概念 : 系综 微观态 刘维定理. 学习量子统计中的基本概念 : 密度矩阵 量子刘维定理. 通过一些具体的例子 加深对这些基本概念的认识. 统计物理学 : 微观态 微观态数 微观态的能量 动量 S lw W 玻耳兹曼公式 其中 是系统能量 体积 粒子数确定时 的微观态数目. 热力学 : 内能 熵 做功 压强 体积 注意 : 我的课中不追求系统全面的知识
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1910 9 1 1 () 1925 1928 () (E. A. Poe) 1931 1933 1934 (Osgood, 1864-1943) ( ) A note on the indices and numbers of nondegenerate critical points of biharmonic functions, 1935 1936 (University College London)
第一章 绪论
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土 木 工 程 防 灾 国 家 重 点 实 验 室 ( 同 济 大 学 ) STATE KEY LABORATORY OF DISASTER REDUCTION IN CIVIL ENGINEERING, TONGJI UNIVERSITY 管 理 制 度 汇 编 土 木 工 程 防 灾 国 家 重 点 实 验 室 ( 同 济 大 学 ) 目 录 国 家 重 点 实 验 室 建 设 与 运 行 管
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中 醫 診 斷 蒐 集 資 訊 - 望 聞 問 切 邏 輯 推 斷 - 辨 證 論 治
美 洲 中 國 工 程 師 學 會 短 期 課 程 中 醫 概 論 李 宗 恩 中 醫 診 斷 蒐 集 資 訊 - 望 聞 問 切 邏 輯 推 斷 - 辨 證 論 治 辨 證 論 治 六 經 辨 證 臟 腑 辨 證 五 行 辨 證 其 它 : 病 因 辨 證 氣 血 津 液 辨 證 經 絡 辨 證 衛 氣 營 血 辨 證 三 焦 辨 證 症 頭 痛 流 鼻 水 咳 嗽 怕 冷 發 熱... 右 側
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48 5 Vol. 48 No. 5 2016 9 Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics Sep. 2016 2016 1) ( 100085) 2016. THE SUPPORTED PROJECTS ON MECHANICS OF NSFC IN 2016 Zhan Shige 1) Zhang Panfeng Sun Zhongkui
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尊敬的教授：
现 代 物 理 学 基 础 的 思 考 李 学 生 山 东 大 学 副 教 授, 中 国 管 理 科 学 院 学 术 委 员 会 特 约 研 究 员 北 京 相 对 论 研 究 联 谊 会 会 员, 中 国 民 主 同 盟 盟 员 xiandaiwulixue@21cn.com 一 部 近 代 物 理 学 史 启 示 我 们 : 功 夫 应 在 文 章 外, 最 可 能 带 来 根 本 性 突 破
第 05 期 董房等 : 一种卫星遥测在线状态监测及分析系统的设计 WEB 1 2 总体功能及组成 2.1 总体功能 1 2 3Web 2.2 结构组成 Web WEB WEB 2.3 系统各模块接口关系
电子科学技术 Electronic Science & Technology 电子科学技术第 02 卷第 05 期 2015 年 9 月 Electronic Science & Technology Vol.02 No.05 Sep.2015 年 一种卫星遥测在线状态监测及分析系统的设计 董房 1,2, 刘洋 2, 王储 2 2, 刘赞 (1. 上海交通大学, 上海,200240; 2. 上海卫星工程研究所,
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2017 7 43 4 Journal of Southwest Minzu University Natural Science Edition Jul. 2017 Vol. 43 No. 4 doi10. 11920 /xnmdzk. 2017. 04. 008 1 1 1 2 1 1 3 1. 610212 2. 6100413. 610031 AngⅡ TGF-β. SD 60 180 ~
Homework14 答案 December 31, 氢原子中电子自旋态为 α, 质子处于 s x 的本征值为 h 2 的状态, 求总自旋平方和其 z 分量的测量值以及相应几率 解 : 选取以自旋单态 0, 0 和自旋三重态 1, 0, 1, ±1 作为一组完备基. 自旋单态和自旋三重
Homework1 答案 December 31, 018 1 氢原子中电子自旋态为 α, 质子处于 s x 的本征值为 h 的状态, 求总自旋平方和其 z 分量的测量值以及相应几率 解 : 选取以自旋单态 0, 0 和自旋三重态 1, 0, 1, ±1 作为一组完备基. 自旋单态和自旋三重态的具体表示如下 0, 0 = 1 ( 1 1 1 1 1 1 = 1 (α(1)β() β(1)α()) 1,
182 第 41 卷 方面发挥了重要作用 因此研究留日物理学生是中 国近现代物理学史研究的一项重要内容 出身 并任翰林院编修 不久 云贵总督李经羲上 奏 要求调其回云南兴办新学 他欣然回滇办学宣 1 统二年( 1910) 他接任云南优级师范学堂监督 兼 专任理化教员 负责筹办云南工矿学堂 并担任第一
2011 年 2 月 第 41 卷第 1 期 Feb 2011 Vol 41 No 1 Journal of Northwest University ( Natural Science Edition) 清末民初留日物理学生及其科学贡献 咏 1 2 3 梅 冯立昇 ( 1 北京科技大学 冶金与材料史研究所 北京 100083; 2 内蒙古师范大学 科学技术史研究院 呼和浩特 010022; 3 清华大学
幻灯片 1
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m + V () u()= Eu() 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, o, x > a 0 π En = n ma n = 1,,3, .5
Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.25 No.4 Aug (,, ;,, ) (,, ) 应用概率统计 版权所有, Zhang (2002). λ q(t)
2009 8 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.25 No.4 Aug. 2009,, 541004;,, 100124),, 100190), Zhang 2002). λ qt), Kolmogorov-Smirov, Berk and Jones 1979). λ qt).,,, λ qt),. λ qt) 1,.