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1 第 34 卷 2014 年 4 月北京理工大学学报 TransactionsofBeijingInstituteofTechnology Vol.34 No.4 Apr.2014 输入非仿射不确定性混沌系统的输出跟踪控制程春华胡云安吴进华肖支才 ( 海军航空工程学院控制工程系山东烟台 ) 摘要 : 针对一类输入非仿射不确定性混沌系统采用反演设计了一种新的控制器. 该方法结合非线性跟踪微分器以及扩展状态观测器非线性跟踪微分器用于逼近虚拟控制量的导数或者参考信号的导数 ; 扩展状态观测器用于估计系统中的未知项及扰动项并且证明了其收敛性能. 该方法的运算时间远远小于现有设计方法并且跟踪误差是渐近一致稳定的 ; 该方法保证了此类系统的输出能跟踪任意可微的参考信号. 对具有非仿射输入及扰动和不确定性的混沌系统的仿真结果表明了该方法的可行性和有效性. 关键词 : 非仿射输入 ; 不确定性 ; 输出跟踪 ; 跟踪微分器 ; 扩展状态观测器中图分类号 :TP13 文献标志码 :A 文章编号 : (2014) OutputTrackControlofChaoticSystem with UncertaintyandNon-AffineInputs CHENG Chuṉhua HU Yuṉan WUJiṉhua XIAOZhi-cai (DepartmentofControlEngineeringNavalAeronauticalandAstronauticalUniversity YantaiShandong264001China) Abstract:Anovelcontrolschemecombiningthenonlineartrackdiferentiatorandextendedstate observer (ESO) was presented for a class ofchaotic systems with noṉafineinputs. Al uncertaintiesand externaldisturbances were modeledin backstepping.the nonlineartrack diferentiatorwasemployedtoapproximatethederivativeofthevirtualcontrolorthereference signals.theeso wasemployedtoestimatetheuncertaintiesanddisturbanceinthesystem furthermoretheconvergenceofeso wasproved.the maincharacteristicsoftheschemeare thatthecomputationtimeis muchlessthanotherapproachespresentedinreferencesandthe trackingerrorsareguaranteedtobeuniformlyasymptoticalystable.foremosttheoutputof chaoticsystem cantrackarbitrarydiferentiablereferencesignal.simulationresultsofchaotic systemswithnoṉafineinputsmodeleduncertaintiesandexternaldisturbancesilustratethe feasibilityandefectivenessoftheproposedcontrolmethod. Key words:noṉafine input;uncertainty;output tracking;track diferentiator;extended stateobserver 自人类发现混沌系统的优点以来它的控制与同步问题一直备受学者的关注并且已成功应用于很多工业领域 [1]. 为了很好实现混沌系统的控制非线性控制领域的很多设计技巧都应用到了混沌系 [25] 统的控制和同步问题例如自适应控制非线性反馈 [6] 变结构控制 [79] 滑模控制 [1013] 反演控 [1417] 制等方法. 虽然上述文献可以很好地控制具有扰动或不确定性的混沌系统但是它们研究的对象中未知参数和输入呈线性形式. [1819] YouH T 和 NorooziN 等研究了输入呈收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( ) 作者简介 : 程春华 (1986 ) 男博士生 chch715@126.com.

2 程春华等 : 输入非仿射不确定性混沌系统的输出跟踪控制 387 非线性形式的混沌系统并且设计了控制但是文中要求输入非线性项的增长率限制在某个扇区内. 当输入呈仿射形式时上述文献中的设计方案不能直 [20] 接适用.WenJ 等针对输入呈非仿射形式的混沌系统结合模糊系统和反演设计了间接自适应控制器并且通过 Lyapunov 稳定性分析得出模糊系统参数范数的自适应律从而减少了自适应参数但是该方案中需要对虚拟控制求偏导信号又由于虚拟控制量中含有符号函数及模糊基函数使得求偏导 [2122] 很困难. 王丽君和程春华等为了处理系统中的未知项引入了扩张状态观测器取得了很好的效果. 本文研究了一类输入非仿射不确定性混沌系统的输出跟踪设计了跟踪微分器以及扩展状态观测器来估计系统中的未知项避免了模糊逼近方法中模糊规则选择难的问题同时避免了对虚拟控制变量的求导. 1 问题描述和准备 1.1 系统描述常见的一类混沌系统 ( 例如 Lorenz 系统 Chen 系统 Lǔ 系统和 Liu 系统 ) 可表示为 ìẋ 1 =f1(x 1 )+b 1x 2 ẋ 2 =f2(χ) (1) ẋ 3 =f3(χ) îy=[x 1 x 3 ] T. 式中 :X = [x 1 x 2 x 3 ] T R 3 为状态向量 ; f1(x 1 )f2(χ)f3(χ) 为光滑的非线性函数 ;b 1 为常数 ;y 为系统的输出. 当 f1 (x 1 )= -ax 1 f2(χ)=-x 1x 3+bx 1-x 2 f3(x)= -cx 3+x 1x 2 其中 abc 为系统的参数则系统 (1) 描述的是 Lorenz 系统. 当系统 (1) 存在不确定性外部扰动以及非仿射输入时则 ìẋ 1 =f1(x 1 )+b 1x 2 +d 1 (Χt) ẋ 2 =g2(χu 1 )+d 2 (Χt) (2) ẋ 3 =g3(χu 2 )+d 3 (Χt) îy=[x 1 x 3 ] T. 式中 :u 1 Ru 2 R 为控制输入 g2(χu 1 )g3(χ u 2 ) 为未知的输入非仿射项是光滑的函数并且 g2(χ0)=f2(χ)g3(χ0)=f3(χ)d i (Χt)(i= 123) 为系统的外部扰动. 假设 1 系统所有状态 Χ 是可以用来反馈的. 假设 2 假设 b 1 具有不确定性故不妨设 b 1= b 0+Δb 0 表示标称值 ;Δ 表示不确定性. 假设 3 存在紧集 Ω X 对 (Xu i ) 0 Ω X 췍g Ri=12 使得 1 0 췍g2 0 成立不失一般性 췍u 1 췍u 2 췍g 令存在一个未知的正常数 m 使得 1 >m >0 췍u 1 췍 g 2 췍 u 2 >m>0. 控制目标 : 设计控制器使系统 (2) 的输出 y 跟踪参考输出信号 yd 且所有涉及到的信号都有界. 参考信号 yd 以及 y (1) d y (2) d y (3) d 假定有界. 1.2 跟踪微分器跟踪微分器可以实现信号及其导数的估计利用滑模技术提出非线性微分器估计信号及其导数 [23] 同时有效抑制了噪声. 非线性微分器表示为 υ1 =υ 2 -λυ 1 -r(t) 1 2 sgn (υ 1 -r(t)) (3) { υ2 =-αsgn(υ 1 -r(t)). 式中 :r(t) 为未知的信号 ;υ 1 ὐ 2 为微分器的状态变量 ;α 和 λ 为待设计的正数. 该非线性微分器可以保证 υ 1 r(t) 和 υ 2 ṙ(t). 这种跟踪微分器的优点文献 [23] 已作了阐述收敛性的证明参见文献 [23]. 1.3 扩展状态观测器采用扩展状态观测器 (ESO) 来估计系统的未知项. 考虑系统 ż=h(t)+bu (4) 式中 :H (t) 为未知项 ;U 为子系统的输入. 则可扩张成如下的系统 : ż=z 0 +BU { ż 0 =G(t). (5) 式中 G(t) 为未知项 H (t) 的导数则可构建扩张状态观测器为 ì E 1 =Z 1 -z Ż 1 =Z 2 -β01e 1 +BU îż 2 =-β02fal(e 1 ἀ 1 δ). (6) 式中 :E 1 为观测误差 ;Z 1 Z 2 为状态的观测量 ; β 01 为可调参数 ; 函数 β02 fal( ) 为线性函数或非线性函数定义为 fal(e 1 ἀ 1 δ)= E1 α 1sgnE1 E 1 >δ {.(7) E 1 /δ 1-α 1 其他式中 α 1 (01)δ>0. 通过选择恰当的参数 β01 和 β02 ἀ 1 (01)δ> 0 以及函数 fal( ) 可以使观测器状态 Z 1 Z 2 分别收敛到实际状态 zh (t) 的某一紧集内. 详细的证

3 388 北京理工大学学报第 34 卷明可以参考文献 [22]. 2 基于微分器和扩展状态观测器的反演设计 2.1 反演设计定义误差变量 e 1=y1-y1d=x 1-x 1d e 3=y2- y2d=x 3-x 3d e 2=x 2-x 2d 其中 yd=[y1d y2d] T = [x 1d x 3d ] T 为参考信号 x 2d 为虚拟控制量误差向量 e=[e 1 e 2 e 3 ] T R 3. 反演方法进行控制输入设计步骤如下. 步骤 1 量 e 1=x 1-y1d 微分后得为跟踪参考信号 y1d 引入跟踪误差变 ė 1 =f1(x 1 )+b 1x 2 +d 1 (Χt)-ẏ1d = H 1 (Χ)+b 0x 2 (8) -ẏ1d 式中 H 1 (Χ)=f1(x 1 )+d 1 (Χt)+Δ 代表整个子系统中的未知项. 考虑式 (9) 所示的李雅普诺夫函数对 V 1 进行微分得 V 1 =e 2 1/2 (9) V1 =e 1 ė 1 =e 1 (H 1 (Χ)+b 0x 2 -ẏ1d ) (10) 选取虚拟控制输入变为步骤 2 x 2d =-c 1e 1-1 b 0 (H 1 -ẏ1d ). (11) 对 e 2 微分后得定义变量 e 2 =x 2 -x 2d 则式 (10) 可 V1 =-c 1e 2 1 +b 0e 1e 2. (12) ė 2 =g2(χu 1 )+d 2 (Χt)-ẋ2d = u 1 + [ g2(χu 1 )+d 2 (Χt)-u 1] -ẋ2d = u 1 +H 2 (Χu )-ẋ2d. 1 (13) 式中 H 2 (Χu 1 )=g2(χu 1 )+d 2 (Χt)-u 1 代表整个子系统中的未知项. 考虑式 (14) 所示的李雅普诺夫函数对 V 2 进行微分 V 2 =V 1 +e 2 2/2 (14) V2 =e 2 ė 2 + V 1 = -c 1e 2 1 +e 2 (u 1 +H 2 (Χu 1 )-ẋ2d +b0e1 ) 选取控制律则有 (15) u 1 =-c 2e 2 -b 0e 1 -H 2 (Χu 1 )+ẋ2d (16) 步骤 3 V2 =-c 1e 2 1 -c 2e 2 2. (17) 定义 e 3=x 3-y2d 进行微分可以得出 ė 3 =g3(χu 2 )+d 3 (Χt)-ẏ2d = u 2 + [ g3(χu 2 )+d 3 (Χt)-u 2] -ẏ2d = u 2 +H 3 (Χu 2 )-ẏ2d (18) 式中 H 3 (Χu 2 )=g3(χu 2 )+d 3 (Χt)-u 2 代表整个子系统中的未知项. 微分后得选取式 (19) 所示的李雅普诺夫函数 V 3 =V 2 +e 2 3/2 (19) V3 =-c 1e 2 1 -c 2e 2 2 +e 3 (u 2 +H 3 (Χu 2 )-ẏ2d ) 选取控制律为则有 (20) u 2 =-c 3e 3 -H 3 +ẏ2d (21) V3 =-c 1e 2 1 -c 2e 2 2 -c 3e 3 3. (22) 由式 (22) 可以看出设计的控制输入能保证系统一致渐进稳定且涉及到的误差信号都有界. 2.2 基于扩展状态观测器和跟踪微分器的控制设计通过上面设计获得的虚拟控制量及控制量 (11) (16)(21) 中含有未知项 H i (i=123) 所以本文这部分根据式 (5)(6)(7) 及误差动态方程针对未知项 H i (i=123) 分别构建 3 个扩展观测器. H 1 的扩展观测器为 ìe 11 =Z 11 -e 1 Ż 11 =Z 12 -β01e 11 +b 1x 2 -ẏ1d îż 12 =-β02fal(e 11 ἀ 1 δ). 式中参数的定义如式 (6)Z 12 逼近的是 H 1. H 2 的扩展观测器为 ìe 21 =Z 21 -e 2 Ż 21 =Z 22 -β01e 21 +u 1 -υ 2 îż 22 =-β02fal(e 21 ἀ 1 δ). (23) (24) 式中参数的定义如式 (6);Z 22 逼近的是 H 2 ;υ 2 是 ẋ 2d 它的估计信号. H 3 的扩展观测器为 ìe 31 =Z 31 -e 3 Ż 31 =Z 32 -β01e 31 +u 2 -ẏ2d îż 32 =-β02fal(e 31 ἀ 1 δ). 式中参数的定义如式 (6)Z 32 逼近的是 H 3. (25) 又由于在控制器 u 1 的设计中涉及到虚拟控制量 x 2d 的导数所以根据二阶滑模微分器式 (3) 设计 ẋ 2d 的估计量. 设计的跟踪微分器为 1 υ1 =υ 2 -λυ 1 -ẋ2d 2 sgn (υ 1 ) -ẋ2d (26) { υ2 =-αsgn (υ 1 ) -ẋ2d.

4 程春华等 : 输入非仿射不确定性混沌系统的输出跟踪控制 389 式中 υ 1 ὐ 2 分别跟踪 x 2d 和 ẋ 2d. 如果本文跟踪的信号 y1d 和 y2d 是不可微分的信号则也可以针对 y1d 和 y2d 的导数设计跟踪微分器. 将式 (23)~(26) 代入式 (11)(16)(21) 可以获得控制量及虚拟控制量为 3 仿真分析 ì x 2d =-c 1e 1-1 (Z 12 ) b -ẏ1d 1 u 1 =-c 2e 2 -b 1e 1 -Z 22 +υ 2 îu 2 =-c 3e 3 -Z 32 +ẏ2d. (27) 以参考文献 [20] 中的不确定性 Lü 系统为例它的方程为 ì ẋ 1 =a(x 2 -x 1 )+0.3sinx 2cost ẋ 2 =-x 1x 3 +cx 2 +sin (10t)+u (1+x 2 2)u 1 +sin (0.1u 1 ) (28) ẋ 3 =-bx 3 +x 1x sint+u î (1+x 2 2)u 2 +sin (0.1u 2 ). 系统的输出为 y=[y1 y2]=[x 1 x 3 ]. 式中 :x 1 x 2 x 3 为状态变量 a=35+2sin(2t);bc 为不确定性参数 b=3+cos(5t/3)c=20+ cos(8t);u 1 u 2 为输入初始状态为 x 10=4x 20= 3x 30=-3. 控制的目标是使系统输出 y1 跟踪期望轨迹 y1d=2cos(2πt)+sin (3πt)y2 跟踪期望轨迹 y2d= sin (6πt)-cos(πt). 参考文献 [20] 中的方案所得控制器为 ìx 2d =-c 1e 1 -^λ 1sgne 1 Φ 1 (W 1 )-^ρ1sgne 1 u 1 =-c 2e 2 -e 1 -^λ 2sgne 2 Φ 2 (W 2 )- ^ρ2sgne 2 îu 2 =-c 3e 3 -^λ 3sgne 3 Φ 3 (W 3 )-^ρ3sgne 3. (29) 式中 :Φ i i=123 为模糊基函数 ( 详细的函数形式参见参考文献 [20]);W i i=123 为模糊系统输入 ^λi ^ρii=123 为自适应参数自适应律方程见参考文献 [20];c i i=123 为设计的控制器参数. 本文方案所得的控制器如式 (27) 参考文献 [20] 中控制器参数和本文控制器的参数设置为 c 1=c 2=c 3=3; 仿真时间设置为 5s; 仿真步长设计为 0.01s. 仿真结果见图 1~ 图 6 和表 1. 图 1 为没有控制作用下受扰不确定性 Lü 系统的轨迹从图可以看出在扰动和参数不确定性条件下 Lü 系统仍保持混沌现象 ; 图 2 为施加控制作用后受扰不确定性 Lü 系统的轨迹. 图 1 受扰不确定性 Lü 混沌系统的轨迹 Fig.1 TrajectoryofLüchaoticsystem withdisturbanceanduṉ certainty 图 2 控制作用下的轨迹 Fig.2 TrajectoryofLüchaoticsystemundercontrol 图 3 跟踪效果 Fig.3 Performanceoftracking

5 390 北京理工大学学报第 34 卷控制量由于含有符号函数导致控制量不平滑 ; 图 5 为本文方案中未知非线性项及其估计从图可以看出扩张状态观测器的估计效果很好 ; 图 6 为参考文献 [20] 中的参数自适应律. 结合表 1 的各项指标和图 3~ 图 4 可以看出本文的设计方案是有效的. 表 1 性能比较 Tab.1 Performancecomparison 方案 e 2 + u 2 e /10 2 u /10 3 t/s 本文方案文献 [20] 中方案图 4 控制输入量 Fig.4 Controlinput 4 结论研究了输入非仿射不确定性混沌系统的跟踪问题采用了反演设计以及非线性微分器和扩展状态观测器设计了控制律使跟踪误差渐进收敛. 仿真结果证实了本文方法的有效性. 本文设计思路可为非线性动力学和控制的研究人员提供参考和借鉴. 参考文献 : 图 5 未知非线性项及其估计 Fig.5 Uncertaintermsandtheirestimations 图 6 参考文献中的参数自适应律 Fig.6 Adaptivelawsofparametersinreference 从图 3 可以看出本文设计方案和参考文献 [20] 中的方案均能很好地实现目标跟踪 ; 从图 4 可以看出本文方案所得控制量很平滑参考文献 [20] 中的 [1]Sun Y J.Generalizedprojectivesynchronizationfora classofchaoticsystems withparameter mismatching unknown external excitation and uncertain input nonlinearity [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat201116: [2]BagheriAMoghaddamJJ.Decoupledadaptiveneurofuzzy(DANF)slidingmodecontrolsystemforaLorenz chaotic problem [J]. Expert Syst Appl200936: [3]HaghighatdarFAtaeiM.Adaptiveseṯpointtracking ofthelorenzchaoticsystem usingnoṉlinearfeedback [J].ChaosSolitonsFractals200940: [4]Zhou X BWu YLiYetal.Adaptivecontroland synchronization ofa novelhyperchaotic system with uncertainparameters[j].appl Math Comput : [5]Chang K M.Adaptivecontrolforaclassofchaotic systems with nonlinearinputs and disturbances[j]. ChaosSolitonsFractals200836: [6]Wang HaoxiangCaiGuoliang.Controlinghyperchaos in a novel hyperchaotic system [J]. Journal of Information and Computing Science20094 (4): [7]YanJ J Chang W D Lin J Set al. Adaptive chateringfreevariablestructurecontrolforaclassof chaoticsystems with unknown bounded uncertainties

6 程春华等 : 输入非仿射不确定性混沌系统的输出跟踪控制 391 [J].PhysLetA : [8] Hung Y CLiao T LYanJJ.Adaptivevariable structurecontrolforchaossuppressionofunifiedchaotic systems[j].applmathcomput : [9]NorooziNRoopaeiMKarimaghaeePetal.Simple adaptivevariablestructurecontrolforunknownchaotic systems[j].commun NonlinearSciSimul201015: [10]YauH TYauJJ.Designofsliding modecontroler forlorenzchaoticsystem with nonlinearinput[j]. ChaosSolitonsFractals200418: [11]ChiangT YHung M LYanJJetal.Slidingmode controlforuncertainunifiedchaoticsystemswithinput nonlinearity[j].chaos Solitons Fractals200734: [12]FalahpoorMAtaeiMKiyoumarsiA.Achateringfreesliding modecontroldesignforuncertainchaotic systems[j]. Chaos Solitons Fractals : [13]Wang HHan Z ZXie Q Yetal.Sliding mode controlforchaoticsystemsbasedonlmi[j].commun NonlinearSciSimul200914: [14]Xie Qiyue Han ZhengzhiKang Huijun. Adaptive backsteppingcontrolforhybridexcitationsynchronous machine with uncertain parameters [J]. Expert SystemswithApplications201037: [15] 陈强任雪梅那靖. 参数不确定混沌系统的自适应 Backstepping 控制 [J]. 北京理工大学学报 (2): Chen Qiang Ren Xuemei Na Jing. Adaptive Backsteppingcontrolofchaoticsystem withuncertain parameter[j]. Transactions of Beijing Institute of Technology201131(2): (inChinese) [16]Chen Fengxiang Chen Lin Zhang Weidong. Stabilizationofparametersperturbationchaoticsystem via adaptive backstepping technique [J]. Applied MathematicsandComputation : [17]Lin Da Wang Xingyuan Nian Fuzhong et al. Dynamicfuzzyneuralnetworksmodelingandadaptive backstepping tracking control of uncertain chaotic systems[j].neuro-computing201073: [18]Yau H TYauJJ.Designofsliding modecontroler forlorenzchaoticsystem with nonlinearinput[j]. ChaosSolitons& Fractals200419(4): [19]NorooziNRoopaeiMKarimaghaeePetal.Simple adaptivevariablestructurecontrolforunknownchaotic systems[j].communicationsinnonlinearscienceand NumericalSimulation201015(3): [20]WenJJiangCS.Adaptivefuzzycontrolforaclassof chaotic systems with nonafine inputs [J ]. Communicationsin NonlinearScienceand Numerical Simulation201116(1): [21] 王丽君苍黄林李擎等. 基于数据的二阶线性扩张状态观测滤波器 [J]. 北京理工大学学报 (5): Wang LijunCang HuanglinLi Qingetal.Data basedsecondorderlinearextendedstateobserverfilter [J].TransactionsofBeijingInstituteofTechnology (5): (inChinese) [22] 程春华胡云安吴进华. 非仿射纯反馈非线性系统的自适应观测器自抗扰控制 [J]. 控制理论与应用 (2): Cheng Chunhua Hu Yunan Wu Jinhua. Auto disturbancerejectioncontrolerfornoṉafinenonlinear systemswithadaptiveobservers[j].controltheory& Application201431(2): (inChinese) [23]LevantA.Robustexactdiferentiationviaslidingmode technique[j].automatic199834: ( 责任编辑 : 刘雨 )

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