篇吊

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翔太叔
5 years ago
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1 篇名二進位制作者謝至騏私立天主教公東高級工業職業學校高三 5 班 1

2 壹前言 1+1=2, 在我有運算能力以來, 我一直都知道, 這也是基本中的基本, 就在上高中的那一年我接觸到二進位制, 那時我才知道 1+1 不定要等 2, 它可以等於 10, 十? 這不唸十, 這唸做一零, 是的! 這很莫名奇妙吧! 我也是花了很久的時間才懂得, 人們因為有十個手指才習慣十進位制, 難道小時候不適用一根手指跟另一根手指和在一起, 就會知道有兩個手指, 當手指不夠用時就是近位了, 就因為大部分的人都以習慣了十進制, 所以大家都不是很了解二進制, 但是這個二進制卻是開啟數位時代的鑰匙呢! 一個讓電腦普及化重要推手! 貳正文一二進位制 (Binary) 的由來電腦使用二進位, 只有 0 與 1, 有人問電腦是人發明的, 人類使用十進位, 為什麼會發明二進位的電腦呢? 這是因為受限於人類的科技能力, 因為電腦是靠電路來運轉的, 而利用電路上電流的通過與否來表示 0 與 1, 也就是通電代表 1, 不通電代表 0, 因此每一條電路就可表示 0 與 1 兩種變化 (Binary Digit) 就稱為位元 (Bit) 這是由 Binary 的 B 結合 Digit 的 it 而成簡單的說, 位元就像開關, 有兩種表示方式, 但要電腦來表示人類的十進位數字 0 到 9, 一個位元是不夠的, 必須四個位元才足以表示, 因四個位元可以變成十六種變化 (2 4 ) 雖然超過了 0 到 9 的需求, 這也是人類為何使用十六進位 (0 到 15) 的由來電腦如果要進一步表示英文二十六個字母, 加上十個數字, 共三十六個符號, 則至少需六個位元, 那麼六十四種變化 (2 6 ) 也可以表示大小寫的英文字母, 但要表示全部出現在鍵盤上的各種符號, 則以八個位元的二百五十六種變化 (2 8 ) 即可完全表示, 這八個位元的組合就稱為位元組 (Byte) 也是目前電腦用來表示人類所使用符號的基本單位 2

3 電腦的速度越來越快, 記憶容量越來越大, 功能也越來越強, 目前的 Power PC 已是六十四位元的電腦 ; 算算六十四位元所能表示的符號有多少呢? 也就是 2 的 64 次方, 為了要溝通方便, 電腦就以 2 的 10 次方 (1024) 表示 1K(Kilo) 因此 2 64 就是 2 54 K, 還是太大 ; 再以 1M(Mega) 表示 2 10 K, 那麼 2 64 就是 2 44 M, 還是很大 ; 再以 1G(Giga) 表示 2 10 M, 那 2 64 就是 2 34 G,Giga 是目前大家常用的單位, 後面還有嗎? 不用擔心,1T (Tera) 表示 2 10 G, 那 2 64 就是 2 24 T, 再以 1P (Peta) 表示 2 10 T, 那 2 64 就是 2 14 P, 也就是 2048 Peta, 小多了吧! 希望不久的將來, 我們都能以少許的費用, 買到 16 Tera 的記憶空間, 甚至是 16 Peta 的計算速度 (PHz) 簡單的表示這些單位符號如下 : Bit 位元 Byte 位元組 Kilo 千 (K) Mega 百萬 (M) Giga 十億 (G) Tera 兆 (T) Peta 千兆 (P) Exa 百萬兆 (E) 大小約為一篇短篇故事大小約為一篇短篇小說大小約為貝多芬第五章交響曲的樂譜內容大小約為一家大型醫院的 X 光片容量大小約為全美圖書館一半的總藏書量大小約為全球人類所講過的談話總量 Zetta 10^21(Z) 大小約為地球上沙灘的沙子總量 Yotta10^24(Y) 大小約為七千個人體內之微細胞的總合 ( 以上比擬說明參考自美國資訊儲存管理廠商 EMC 公司 ) ( 註一 ) 二什麼是二進位制 (Binary) 所謂的進制 ( 進位 ) 是指一種次方的觀念., 先建立一個觀念, 所有自然數的零次方都是 1, 而我們最常用的就是十進制, 十進制是我們生活中最常用的進制 : , 也就是說十進制的單位, 3

4 到 10 時進位, 個位 ( 即 10 的 0 次方 = 1) 十位 (10 的 1 次方 =10) 百位 (10 的 2 次方 =100) 以此類推我們用的時間則是 60 進制 : ~59 60 到 60 時就進位,60 秒等於 1 分 60 分等於 1 時而 2 進制就是,0 與 1 組成的, 到 2 就進位, 就如同 :1+1=10 其餘的進位制有: 4 進制 8 進制 16 進制, 依照不同的需求, 就會使用不同的進位制三為什麼要用二進制 (Binary) 人們常說二進制式使用在電腦上面的, 這一點是沒錯的剛剛開始的電腦剛剛開始發明的時候, 沒像現在這樣進步, 以前的電腦叫做計算機, 沒錯就是算數字的那個計算機, 因為電腦是由基本的電子元件, 就是電晶體所組成的, 從電晶體再組成邏輯元件, 像是反相器 (Inverter), 及閘 (AND), 或閘 (OR gate), 反及閘 (NAND), 反或閘 (NOR), 互斥或閘 (XOR) 等等, 而電腦就是由這些邏輯閘所組成的複雜電路來完成我們的所下指令, 但是因為電路只有通路跟斷路兩種, 些元件運算時是由邏輯 0( 斷路 ) 與邏輯 1( 通路 ) 為而運作 ( 註二 ) 四二進位制 (Binary) 的表示法 1. 底數是 2, 由 0 與 1 兩個數字組成, 滿 2 即要進位 2. 每一個二進制數字, 稱為一個位元 (Binary Digit Bit), 每四個位元, 則合稱半位元組 (Nibble), 每八個位元, 則稱為位元組 (Byte) 3. 適用於數位電路中, 如開關之 NO OFF 可代表表示法 :(1101) (2 ) ( 1101)(B) 1101( 二 ) 5. 在二進制數目中, 最左邊的位元稱為最高位元 (Most Significant Bit), 簡稱為 MSB, 最右邊的位元稱為最低有效位元 (Least Significant Bit), 簡稱 LSB 4

5 6. MSB 與 LSB 之判別 : MSB LSB 7. 二進制數目 , 可以表示為 : (2) = =45(10) 8. 二進制與十進制的對照表二進制十進制 : : :.. : : 五二進位制 (Binary) 的運算由於計算機硬體僅利用加法電路處理加法運算及減法運算, 當處裡減法時, 5

6 須將數轉換成補數, 在與被減數作加法運算在計算機中以最高位元 (MSB) 作為正負符號位元, 1 代表負值, 0 代表正值常用的運算方式有下面幾種方式 : 1. 1 的補數法 : 先將減數取 1 S 補數後, 在與被減數想加如果相加後的結果, 沒有超過原來位數, 即無溢位則表示負值, 將結果取 1 S 補數, 再加負號, 即可得正確數值, 如果溢位了, 則是要將溢位加至最低位元上, 稱為端迴進位, 則表示正值, 就是正確答案 1 S 補數的數目表示範圍 -(2 n-1-1)~ +(2 n-1-1),n 位元數 (3)10-(2)10=?( 用 1 的補數法 ) 3.( 被減數 ) -2.( 減數 ) 因為 0010 的 1 S 補數是 1101 所以端迴進位若有溢位, 表示正值 0001=+(1) 的補數法 : 6

7 先將減數取 2 S 補數後, 再與被減數想加如果相加後的結果, 沒有超過原來的位數, 即無溢位, 則表示負值, 將結果取 2 S 補數, 再加上負號, 就能得到答案, 若有溢位, 則會表示正值, 就將溢位位元捨去, 就可得到答案,2 S 補數的數目表示範圍 -(2 n-1-1)~+(2 n-1-1),n 位元數 (3)10-(2)10=?( 用 2 的補數法 ) 3.( 被減數 ) -2.( 減數 ) 因為 0010 的 2 S 補數是 1110 所以溢位捨去 =+1 若有溢位, 表示正值, 並將溢位捨去, 即為這卻答案 ( 註三 ) 六易經與進位在前面已經談過位元組, 因為一個位元無法表示所有的數字符號字母, 所以要把幾個位元放在一起, 通常都以 8 位元為一組, 就稱它為位元組, 而一般將一個數字符號字母, 都稱為字元, 在資料主記憶體裡, 以一連串位元來儲存, 無論輸入任何資料是數字符號字母, 電腦都會把它轉換一連串的位元, 然後再儲存起來而易經和電腦相通之處, 在於每卦變爻時所得到卦數, 用來代表位元, 每 7

8 卦代表一個位元, 每卦共有六爻, 不管陰爻或陽爻, 反覆來回升降變爻, 如果要用於幾個位元組, 可以配合卦爻的變化, 重新整理再排列組合每個位元都是用 1 和 0 來表示, 不是 0 就是 1, 在易經裡不是陰爻就是陽爻 ; 電腦如果用 0 和 1 組合表示資料, 可能要佔很大空間, 因此電腦內部記憶體就以二進位來表示, 或轉換成八進位十進位十六進位前面提過二進位所轉換表示出來, 可以從卦爻去變化, 然後再重新排列組合, 以 0 和 1 來表示, 每一卦都可以用在二進位各項轉換, 因為在電腦只能用 0 與 1 來表示, 一個位元表示一個 (0) 或一個 (1), 為了須要更多位元, 須要較長位元組合, 所以位元組合就成為位元組, 而位元組是用來形容記憶容量最小的單位, 而一般位元組長度通常是由 8 個位元合組而成在乾卦變爻裡, 由乾卦一卦所變爻十五卦, 每一卦都有兩個位元組, 就是 (1) 位元組和 (0) 位元組, 每一位元組由八個卦所組成, 如果須要位元更長的話, 在每一卦可以重新把位元分配, 但是要注意本卦所變爻一定是陽爻和陰爻對稱, 其餘各五爻都是相同假如乾卦第三變爻是本卦, 那乾卦第三爻就是陽爻, 天澤履第三爻就是陰爻, 陽爻等於 (1) 陰爻等於 (0), 乾卦和天澤履第一爻第二爻第四爻第五爻第六爻不管陰爻或陽爻都是一樣同樣乾卦第一變爻是本卦, 那乾卦第一爻就是陽爻, 天風姤第一爻就是陰爻, 陽爻等於 (1) 陰爻等於 (0), 乾卦和天風姤第二爻第三爻第四爻第五爻第六爻不管陰爻或陽爻都是一樣 1. 如果是乾卦第一變爻第一卦是乾卦, 乾卦是本卦第一爻是陽爻, 天風姤卦第一爻是陰爻, 天風姤和乾卦第二爻第三爻第四爻第五爻第六爻不管陰爻或陽爻都是一樣 8

9 2. 火風鼎同樣和火山旅第一爻是相對稱, 火天大有第一爻是陽爻, 火風鼎卦第一爻是陰爻, 火風鼎和火天大有第二爻第三爻第四爻第五爻第六爻不管陰爻或陽爻都是一樣 3. 天火同人同樣和天山遯第一爻是相對稱, 天火且人第一爻是陽爻, 天山遯卦第一爻是陰爻, 天火同人和天山遯第二爻第三爻第四爻第五爻第六爻不管陰爻或陽爻都是一樣 4. 天雷無妄同樣和天地否第一爻是相對稱, 天雷無妄第一爻是陽爻, 天地否卦第一爻是陰爻, 天雷無妄和天地否第二爻第三爻第四爻第五爻第六爻不管陰爻或陽爻都是一樣以此類推, 各項進位都是同原理乾卦第一變爻 : 乾卦是本卦, 二進位和八進位互相轉換, 從乾卦開始是 (0)2 和 (0)8 到火天大有是 (111)2 和 (7)8 就要進一位是天風姤 (1.000)2 和 (10)8 到火風鼎是 (1.111)2 和 (17)8 又要進一位就是乾卦變爻 (1) 位元組第二卦天火同人 (0)8 (1)8 (2)8 (3)8 (4)8 (5)8 (6)8 (7)

10 乾卦天火同人天雷無妄風雷益山雷頤火雷噬嗑離卦火天大有天風姤天山遯天地否風地觀山地剝火地晉火山旅火風鼎 (10)8 (11)8 (12)8 (13)8 (14)8 (15)8 (16)8 (17) ( 註四 ) 參結論如今二進位制以被大眾廣泛運用在電腦上面, 世人對他也是越來越熟析,0 與 1 的世界是一個數位的世界, 這讓電腦便宜才能普及, 也讓我們進入人們所說的 E 世代, 人類的科技也會越來越進步, 二進位的最初用法原是用在易經上的, 而現在卻用在數位電子上, 真的是很不可思議! 但我相信有天一定會有可以取代二進制的數位系統, 讓我們邁向更好的未來我們都是世界未來的希望, 或許我們在人生的路上都會有風風雨雨, 但倒了就在爬起, 要不停努力我們要繼續前進, 創造美好的未來肆引註資料註一 :0 與 1 學問大 ( 檢索日 2008/09/19) 註二 : 奇摩知識檢索日 2008/09/22) 註三 : 易平王鑫數位邏輯 ( 含實習 ) 總複習 ( 台北市 : 碁峰資訊, 民 10

11 69) 頁註四 : 易經與進位檢索日 2008/10/28) 11

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0