得 到 的 結 論 是 作 三 角 形 三 垂 線 在 三 邊 上 的 交 點 並 將 之 連 接, 於 是 我 想 將 它 推 廣 至 鈍 角 三 角 形 與 凸 n 邊 形 的 情 況, 便 進 行 了 以 下 的 研 究. 關 於 之 前 的 研 究 結 果, 全 國 科 展 第 29 屆 高

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1 多 邊 形 的 尋 短 歐 翰 青 國 立 武 陵 高 級 中 學 Abstract In the field of geometry, the shortest path problem has always been an old, popular and rich applications issue. From the earliest to the river then go back and put out the fire to modern telecommunications network systems, whether it is set up rail lines, facilities, relief route planning, it all has applications. This work is focusing on how to find the shortest circumference of the inscribed polygon within a polygon. The subjects we re discussing are whether the solution exists or not, solvability conditions, mapping methods and what graphics it will approach if no solution. Research method is to use the Mirror method or as light reflection principle, which commonly used in geometry, and classified into odd and even side polygon various situations to discuss respectively. 摘 要 : 在 幾 何 領 域 中, 最 短 路 徑 問 題 一 直 是 一 門 古 老, 熱 門 以 及 富 應 用 性 的 問 題, 從 最 早 的 到 河 邊 提 水 救 火 到 近 代 的 電 信 網 路 系 統, 不 管 是 鐵 路 路 線 設 置, 設 施 分 布 或 是 救 災 路 徑 規 劃 上 均 有 應 用, 而 這 份 文 章 主 要 討 論 凸 n 邊 形 內 接 周 長 最 小 n 邊 形 是 否 有 解, 有 解 的 條 件 與 作 法 及 無 解 時 會 趨 近 於 何 種 圖 形, 研 究 方 法 是 使 用 幾 何 中 常 用 的 鏡 射 法 或 稱 為 光 反 射 原 理, 並 分 類 成 奇 數 邊 形 與 偶 數 邊 形 的 各 種 情 況 逐 一 討 論. 1 研 究 簡 介 在 研 究 數 學 的 途 中, 我 在 高 中 數 學 競 賽 教 程 與 幾 何 明 珠 中 同 時 看 到 了 以 下 的 問 題 : 如 何 在 銳 角 三 角 形 的 三 邊 上 各 找 一 點 非 頂 點, 作 出 周 長 最 短 的 內 接 三 角 形? 1

2 得 到 的 結 論 是 作 三 角 形 三 垂 線 在 三 邊 上 的 交 點 並 將 之 連 接, 於 是 我 想 將 它 推 廣 至 鈍 角 三 角 形 與 凸 n 邊 形 的 情 況, 便 進 行 了 以 下 的 研 究. 關 於 之 前 的 研 究 結 果, 全 國 科 展 第 29 屆 高 中 組 第 三 名 n 邊 形 內 具 有 最 小 周 長 的 內 接 n 邊 形 所 做 出 來 的 研 究 結 果 有 : 以 三 角 函 數 的 方 式 表 示 出 最 短 內 n 邊 形 的 周 長, 當 凸 多 邊 形 並 且 n 是 偶 數 時, 兩 組 間 角 的 和 相 等 時 是 解 的 必 要 條 件, 並 且 能 計 算 解 的 周 長, 這 個 時 候 有 無 限 多 組 解, 在 n 為 奇 數 的 凸 多 邊 形 時, 有 解 的 必 要 條 件 是 (n 2)90 > (n 1)/2 > (n 3)90 並 且 也 能 算 出 周 長. 另 外, 當 我 完 成 我 的 作 品 時, 我 發 現 另 一 組 研 究 者, 第 38 屆 國 中 數 學 科 展 作 品 第 二 名 鏡 射 乾 坤 所 做 出 來 的 研 究 結 果 有 : 若 三 角 形 是 鈍 角 時, 則 只 有 退 化 解, 也 就 是 其 中 的 2 點 和 原 三 角 形 的 某 個 頂 點 重 合, 圓 內 接 四 邊 形 的 無 解 狀 況 ( 解 分 兩 種, 但 未 寫 出 成 立 條 件 ), 非 圓 內 接 四 邊 形 的 解 ( 分 成 了 十 種 情 況 討 論 ) 以 及 正 奇 數 邊 形 有 唯 一 解, 正 偶 數 邊 形 有 無 限 多 組 解. 就 之 前 研 究 結 果 不 足 的 部 分, 全 國 科 展 第 29 屆 高 中 組 第 三 名 n 邊 形 內 具 有 最 小 周 長 的 內 接 n 邊 形, 所 探 討 的 是 最 短 多 邊 形 的 周 長 長 度, 什 麼 情 況 有 解 這 兩 項, 使 用 的 是 相 當 繁 複 的 三 角 函 數 運 算 與 克 拉 瑪 公 式 解 法, 而 當 無 解 時 到 底 會 退 化 至 何 種 圖 形 並 未 討 論, 無 論 奇 偶 數 邊 形, 也 僅 討 論 有 解 的 必 要 條 件, 另 外 的 一 組 研 究 者, 第 38 屆 國 中 數 學 科 展 作 品 第 二 名 鏡 射 乾 坤, 推 導 出 了 鈍 角 三 角 形 的 退 化 解 與 四 邊 形 部 分 的 退 化 解, 但 對 於 圓 內 接 四 邊 形 退 化 解 的 成 立 條 件 雖 有 討 論, 但 並 未 列 有 像 本 文 的 簡 單 判 斷 條 件, 而 對 非 圓 內 接 四 邊 形 退 化 解 的 形 狀 成 立 條 件 分 成 了 十 種 情 況 進 行 了 相 當 冗 長 的 分 段 討 論 ( 事 實 上 只 要 分 兩 種 情 況 就 足 夠 了 ), 在 n 邊 形 部 分 也 只 推 導 出 正 n 邊 形 中 奇 數 邊 形 有 唯 一 解. 一 般 凸 邊 形 的 結 果, 僅 列 出 結 論, 而 未 有 討 論 的 細 節, 以 及 在 無 解 時, 究 竟 退 化 到 何 種 圖 形 並 未 討 論. 另 外, 在 完 成 我 的 研 究 之 後, 我 得 到 了 一 份 文 獻, 得 知 尋 短 問 題 在 歷 史 上 其 實 早 有 研 究, 名 叫 Billiard Problem ( 撞 球 檯 問 題 ), 在 Marcel Berger 所 著 的 Geometry I, Springer-Verla 的 第 九 章 9.4 節, 他 在 書 中 也 發 現 了 包 括 我 在 內 的 三 份 作 品 中 的 一 些 結 果, 例 如 在 圓 內 接 四 邊 形 的 情 況 下, 如 果 有 解, 就 有 無 限 多 解, 所 用 的 也 是 標 準 的 反 射 方 法, 但 文 獻 中 並 沒 有 看 到 我 所 推 出 的 有 解 條 件, 也 並 未 討 論 無 解 時 會 趨 近 於 何 種 圖 形. 在 我 的 這 篇 文 章 中, 證 明 過 程 中 使 用 的 除 了 幾 何 中 常 用 的 鏡 射 法 外, 並 未 進 行 龐 雜 繁 複 的 三 角 函 數 與 代 數 運 算 來 證 明 上 述 結 果, 使 得 過 程 得 以 簡 化 許 多 並 增 加 了 可 讀 性, 並 且 也 就 這 兩 組 研 究 者 中 不 足 的 部 分 進 行 討 論 與 延 伸. 本 研 究 主 要 討 論 三 角 形, 四 邊 形, 偶 數 邊 形, 奇 數 邊 形 的 內 接 最 短 多 邊 形 有 解 的 情 況 與 條 件, 無 解 的 情 況 以 及 無 解 時 會 退 化 成 何 種 圖 形, 此 外 也 試 著 2

3 討 論 凸 n 邊 形 內 接 周 長 最 小 m 邊 形 中 最 簡 單 的 情 況 : 四 邊 形 內 接 最 短 三 角 形, 此 時 也 可 證 明 一 定 無 解. 我 證 明 這 個 情 況 並 沒 有 解. 研 究 方 法 的 部 分, 我 先 嘗 試 證 明 了 原 始 題 目 以 了 解 它 的 概 念, 然 後 思 考 鈍 角 三 角 形 與 直 角 三 角 形 的 情 況, 隨 後 證 明 其 無 解 且 會 趨 近 於 何 種 圖 形, 到 此 大 概 擬 定 了 推 廣 到 n 邊 形 時 的 研 究 方 向. 在 研 究 四 邊 形 的 過 程 中, 我 一 開 始 找 了 幾 個 特 例 ( 如 等 腰 梯 形 等 ) 使 用 了 鏡 射 法, 發 現 圓 內 接 四 邊 形 有 些 情 況 的 解, 隨 後 證 明 其 解 有 無 限 多 個, 並 找 到 一 種 簡 單 的 作 圖 法 作 出 其 中 一 解, 並 在 思 考 過 後 找 出 了 有 解 的 條 件, 而 非 圓 內 接 四 邊 形 在 嘗 試 了 菱 形 等 特 例 後, 利 用 了 趨 近 法 證 明 了 此 種 情 況 不 可 能 有 解, 再 由 鏡 射 法 中 的 卡 點 連 線 導 出 了 在 何 種 情 況 會 趨 近 於 何 圖 形. 而 推 廣 到 偶 數 邊 形 時, 發 現 其 結 論 跟 四 邊 形 差 不 多, 只 是 在 偶 數 邊 形 時 我 們 必 須 鏡 射 n 1 次 後 才 能 判 定 兩 組 間 角 和 相 等 的 情 況 是 否 有 解. 至 於 奇 數 邊 形, 我 則 推 出 了 一 組 跟 其 內 接 最 小 奇 數 邊 形 有 關 的 n 個 角 度 的 方 程 式 ( 此 組 方 程 式 只 有 在 奇 數 邊 形 時 不 會 相 依, 之 前 的 研 究 者 n 邊 形 內 具 有 最 小 周 長 的 內 接 n 邊 形 使 用 了 三 角 函 數 與 克 拉 瑪 公 式 後 亦 有 推 出 一 樣 的 結 果, 但 我 使 用 的 是 更 為 簡 潔 的 幾 何 方 法 ), 而 這 組 方 程 式 的 每 一 個 角 都 有 範 圍 限 制, 同 時 每 一 個 角 都 能 用 原 來 奇 數 邊 形 的 各 個 角 來 表 示, 同 時 發 現 將 此 式 帶 回 三 角 形 恰 能 應 證 之 前 所 推 出 的 結 論 ( 即 只 有 銳 角 三 角 形 有 解 ), 但 後 來 聯 絡 之 前 的 作 者 何 思 賢 先 生 後 發 現 這 只 是 奇 數 邊 形 的 必 要 條 件, 但 仍 能 用 它 來 證 明 凹 n 邊 形 不 可 能 有 解, 奇 數 邊 形 的 充 要 條 件 仍 然 必 須 鏡 射 後 才 能 求 得. 新 研 究 出 來 的 結 果 主 要 有 : 凸 四 邊 形 內 接 最 短 四 邊 形 有 解 的 情 況 為 圓 內 接 四 邊 形 且 圓 心 在 四 邊 形 內, 凸 四 邊 形 內 接 最 短 四 邊 形 無 解 的 情 況 為 圓 內 接 四 邊 形 且 圓 心 在 四 邊 形 外 或 非 圓 內 接 四 邊 形, 凸 四 邊 形 內 接 最 短 四 邊 形 無 解 時, 若 為 圓 內 接 四 邊 形 且 圓 心 在 四 邊 形 外 時 會 趨 近 於 一 三 角 形, 非 圓 內 接 四 邊 形 會 趨 近 於 一 三 角 形 或 較 短 對 角 線 的 兩 倍, 取 決 於 和 較 大 的 兩 對 角 是 否 有 一 角 小 於 90, 當 n = 2k, k N 時, 凸 n 邊 形 內 接 最 短 n 邊 形 有 解 的 充 要 條 件 是 : 此 凸 n 邊 形 的 兩 組 間 角 和 必 相 等, 且 鏡 射 後, 由 上 卡 點 與 下 卡 點 所 作 之 平 行 線 不 會 交 錯 排 列 ( 定 義 請 參 照 附 錄 三 ). 當 n = 2k, k N 時, 無 解 的 情 況 : 若 凸 n 邊 形 兩 組 間 角 和 相 等, 而 且, 鏡 射 後 由 上 卡 點 與 下 卡 點 所 作 之 平 行 線 有 k 條 交 錯 排 列, 內 接 最 小 凸 n 邊 形 的 k 個 角 會 趨 近 於 這 k 條 平 行 線 所 對 應 的 頂 點 ; 若 兩 組 間 角 和 不 相 等, 且 當 較 大 的 n 2 間 角 有 t 個 角 不 符 合 2 a k 1 a k a k+1 a k 2 a k a k+2 < 180 時, 它 的 內 接 最 小 凸 n 邊 形 會 趨 近 於 一 n t 邊 形, 且 n t 邊 形 在 凸 n 邊 形 頂 點 上 的 角 會 在 不 符 合 2 a k 1 a k a k+1 a k 2 a k a k+2 < 180 的 t 角 上. 當 n = 2k + 1, k N 時, 3

4 凸 n 邊 形 內 接 周 長 最 小 n 邊 形, 解 的 充 要 條 件 在 文 章 裡 有 仔 細 的 描 述 ( 見 p.13), 奇 多 邊 形 無 解 的 情 況 與 偶 多 邊 形 類 似, 凹 多 邊 形 情 形 一 定 無 解. 至 於 凸 n 邊 形 內 接 周 長 最 小 m 邊 形, 本 文 初 步 探 討 凸 四 邊 形 內 接 周 長 最 小 三 角 形 的 情 形, 結 論 為 一 定 無 解. 最 後, 由 衷 感 謝 丘 成 桐 數 學 獎 提 供 機 會 讓 我 表 達 我 的 作 品 ; 感 謝 評 審 們 給 予 我 的 肯 定 和 鼓 勵 ; 感 謝 武 陵 高 中 吳 明 霞 導 師 的 指 導 ; 最 後 也 要 感 謝 我 的 父 母, 他 們 期 許 我 健 康, 樂 觀, 自 信, 熱 誠, 我 會 全 力 以 赴, 未 來 希 望 在 數 學 領 域 方 面 更 上 一 層 樓. 2 研 究 主 體 2.1 有 解 情 況 銳 角 三 角 形 : 原 命 題 : 如 何 在 銳 角 三 角 形 的 三 邊 上 各 找 一 點, 作 出 周 長 最 短 的 內 接 三 角 形? 原 命 題 結 論 : 作 三 角 形 三 垂 線 在 邊 上 的 交 點 並 將 之 連 接, 所 得 的 三 角 形 即 為 所 求. 定 理 2.1. 當 n 邊 形 內 接 n 邊 形 與 原 n 邊 形 各 邊 所 夾 的 角 兩 兩 相 等 時, 此 內 接 n 邊 形 為 內 接 最 小 n 邊 形. 定 理 2.1 在 三 角 形 與 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 時 的 證 明 : 1. 設 D, E, F 分 別 為 BC, AC, AB 上 的 任 意 點, 將 原 三 角 形 對 其 三 邊 依 序 鏡 射 五 次, 並 延 長 BC, B C, B C 可 得 圖 1 ( 的 數 目 意 義 請 見 附 錄.B): 圖 1: 4

5 求 證. 當 FDB = EDC, DEC = FEA, AFE = DFB 時, FED 的 周 長 會 最 小. 證 明. FED 周 長 之 兩 倍 = 2(DE + FE + ED) = DF + FE + E D + D F + F E + E D DD + D D DD. 四 邊 形 AC PB 中, P PC = 360 (180 AC B ) (180 ABC) C AB = B + C A = PP B BC//B C ( 內 錯 角 相 等 ), 又 DC = D C DCD C 為 平 行 四 邊 形, DD = CC ( 定 值 ) DD 為 定 值 不 受 D 點 移 動 之 影 響, 且 為 D, D 兩 點 間 可 能 的 最 短 距 離. 所 以 不 管 D, E, F 在 任 一 位 置, FED 周 長 之 兩 倍 恆 小 於 等 於 一 定 值, 即 為 DD, 並 且 如 果 存 在, 這 個 解 必 定 是 唯 一 的, 因 為 D 並 不 會 隨 著 DD 移 動 而 移 動, 而 是 與 DD 靠 近 或 是 遠 離, 只 有 當 D, D, D 三 點 共 線 時 FED 周 長 之 兩 倍 才 可 能 等 於 DD, 因 此 當 解 成 立 時, D 必 恰 好 移 動 到 DD 上, 所 以 解 為 唯 一. 現 在 來 看 等 號 是 否 可 能 成 立, 若 FDB = EDC, DEC = FEA, AFE = DFB 時, 依 照 上 述 的 做 圖 法 可 得 圖 2: 圖 2: 5

6 因 為 AFE = DFB, AFE = AFE DFB 與 AFE 為 對 頂 角, D, F, E 會 共 線, 同 理 可 得 F, E,D 會 共 線, E, D, F 會 共 線 D, F, E, D, F, E, D 會 共 線 FED 周 長 之 兩 倍 = DF + FE + E D + D F + F E + E D = DD 當 FDB = EDC, DEC = FEA, AFE = DFB 時, FED 為 此 三 角 形 內 接 周 長 最 短 三 角 形. 同 理, 此 證 明 法 在 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 時 也 是 可 行 的, 設 n 個 頂 點 依 序 為 a 1, a 2,, a n, 只 要 對 a n a 1 鏡 射 2n 1 次, 並 用 稍 後 證 明 的 引 理 2.2 來 證 明 a n a n 1 //a n (2n 1) a n 1 (2n 2) ( 即 三 角 形 的 BC//B C ), 其 他 的 步 驟 一 概 相 同, 同 時 可 知 奇 數 邊 形 時 若 解 存 在 則 必 為 唯 一. 2. 求 證. 作 三 角 形 三 邊 之 垂 足 並 將 之 連 接, 所 得 的 三 角 形 會 符 合 定 理 2.1 的 條 件, 也 就 是 FDB = EDC, DEC = FEA, AFE = DFB. 作 ABC 的 外 接 圓, 如 圖 3: 圖 3: 共 圓, 令 HD BC, HF BA HDBF FDB = 1, FHB = 2, EDC = 3, EHC = 4, 1 = 1 2 BF 1 = 2 = 4 = 2 EC = 3 1 = 3 6

7 同 理 可 得 證 畢. FDB = EDC, DEC = FEA, AFE = DFB, 由 知 : 作 三 角 形 三 垂 線 在 邊 上 的 交 點 並 將 之 連 接, 所 得 的 三 角 形 即 為 所 求 圓 內 接 四 邊 形 - 圓 心 在 四 邊 形 內 的 情 況 : ABCD 為 圓 內 接 四 邊 形, 且 圓 心 在 四 邊 形 中, 連 接 兩 對 角 線, 令 其 交 點 為 E, 過 E 分 別 對 四 邊 垂 線, 與 AB, BC, CD, DA 的 交 點 分 別 為 FGHI, 連 接 FGHI. 我 們 宣 稱 此 四 邊 形 為 其 最 小 內 接 四 邊 形 之 一, 而 其 內 最 小 四 邊 形 有 無 限 多 個, 只 要 在 AB 上 特 定 的 範 圍 內 任 取 一 點 F, 過 其 作 FG, FI 之 平 行 線 分 別 交 於 G, I, 再 過 G, I 作 GH, IH 之 平 行 線 必 與 CD 交 於 一 點 H, 四 邊 形 F G H I 即 為 另 一 解, 如 圖 4 : 圖 4: 現 在 來 證 明 定 理 2.1 在 四 邊 形 與 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N) 的 情 況 : 求 證. 當 AIF = DIH, AFI = BFG, FGB = HGC, GHC = IHD 時, 四 邊 形 FGHI 會 最 小. 首 先 如 果 我 們 將 其 鏡 射 三 次, 可 得 圖 5: 7

8 圖 5: 四 邊 形 的 周 長 為 HI + IF + F G + G H, 由 於 CD // C D ( 這 點 稍 後 證 明 ), 四 邊 形 FGHI 的 周 長 HH = CC ( 定 值 ), 易 知 當 HIF G H 共 線 時, 四 邊 形 FGHI 為 過 H 的 內 接 周 長 最 小 四 邊 形, 而 事 實 上 H 只 要 在 邊 上 的 一 定 範 圍 內 內 接 周 長 最 小 四 邊 形 的 周 長 都 是 一 樣 的, 即 是 這 種 情 況 有 無 限 多 個 解, 這 點 稍 後 證 明. 當 AIF = DIH, H, I, F 會 共 線, 當 AIF = DIH, AFI = BFG, FGB = HGC 時, HIF G H 會 共 線, 即 四 邊 形 FGHI 為 過 H 的 內 接 周 長 最 小 四 邊 形. 同 理, 當 AIF = DIH, AFI = BFG, FGB = HGC, GHC = IHD 時, 不 管 以 哪 一 邊 為 鏡 射 那 邊, 所 鏡 射 出 來 的 五 點 都 會 共 線, 此 時 內 接 四 邊 形 的 周 長 = HH = CC ( 定 值 ), 即 四 邊 形 FGHI 周 長 會 最 小. 同 理, 當 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N) 時, 定 理 2.1 也 是 成 立 的, 設 n 個 頂 點 依 序 為 a 1, a 2,, a n 只 要 對 a n a 1 鏡 射 n 1 次 再 重 複 上 述 步 驟 即 可. 求 證. 連 接 兩 對 角 線, 令 其 交 點 為 E, 過 E 分 別 對 四 邊 作 垂 線, 與 AB, BC, CD, DA 的 交 點 分 別 為 FGHI, 連 接 FGHI 會 使 得 所 得 到 的 四 邊 形 符 合 如 圖 6: AIF = DIH, AFI = BFG, FGB = HGC, GHC = IHD, 8

9 圖 6: 令 IFE = 1, GFE = 2, EAI = 3, EBG = 4 AFE = EIA = 90 AIEF 共 圓 1 = 1 2 IE = 3, 同 理 2 = 1 2 GE = 4, 又 3 = 2 1CD = 4 1 = 3 = 4 = 2 1 = = 90 2 AIF = DIH, 同 理 可 得 AFI = BFG, FGB = HGC, GHC = IHD 以 此 作 法 所 做 出 之 內 接 四 邊 形 周 長 最 小. 求 證. 解 有 無 限 多 個 : 現 在 證 明 一 個 引 理, 將 它 定 為 引 理 2.2: 引 理 2.2. 若 我 們 將 一 任 意 四 邊 形 鏡 射 後, CD 與 C D 會 形 成 一 夾 角, 令 其 為 X, 如 圖 7: 9

10 圖 7: 現 在 來 求 CD 與 C D 會 之 夾 角 : 由 於 XC B AD 會 形 成 一 凹 五 邊 形, 由 n 邊 形 內 角 和 = (n 2)180 可 得 若 X + C + (360 B) + A + (180 D) = X = ( B + D) ( A + C), CD 與 C D 之 交 點 在 另 一 邊, 則 故 我 們 可 將 X 寫 為 X = ( A + C) ( B + D), X = A B + C D. 求 證. 可 推 廣 到 當 一 n 邊 形 依 序 對 其 邊 作 了 n 1 次 鏡 射 時, X = k 1 k 2 + k 3 k ( 1) n 1 k n 1 + ( 1) n k n. 證 明. 如 圖 8: 10

11 圖 8: X + (180 k n ) + k 1 + (360 k 2 ) + k 3 + (360 k 4 ) + = (n + 1 2)180 X = k 1 + k 2 k 3 + k 4 ( 1) n 1 k n 1 ( 1) n k n. 若 兩 線 之 交 點 在 另 一 邊, 則 X = k 1 k 2 + k 3 k ( 1) n 1 k n 1 + ( 1) n k n, 故 可 將 X 寫 為 X = k 1 k 2 + k 3 k ( 1) n 1 k n 1 + ( 1) n k n. 如 果 我 們 將 一 個 圓 內 接 四 邊 形 鏡 射, 如 圖 9: 11

12 圖 9: 由 引 理 2.2 可 知 CD 與 C D 之 夾 角 為 A B + C D 但 由 於 四 邊 形 ABCD 為 一 圓 內 接 四 邊 形 由 引 理 2.2 可 知 A + C = B + D, CD 與 C D 的 夾 角 為 A B + C D = 0 CD// C D, 如 果 我 們 在 原 來 求 得 的 HH 旁 作 一 平 行 線 段 JO 則 可 得 H HJO 為 平 行 四 邊 形 CD//C D, HH //JO JO = HH. 所 以 我 們 可 以 在 四 邊 形 ABCD 的 邊 上 找 到 四 個 點 形 成 一 個 新 的 四 邊 形 ( 此 四 點 為 NLMJ 在 四 邊 形 上 對 應 的 點 ), 使 得 其 周 長 與 四 邊 形 IFGH 相 等. 因 此, 可 以 得 出 原 四 邊 形 內 可 以 找 出 無 限 多 組 解. 12

13 2.1.3 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N)- 兩 組 間 角 和 相 等 且 卡 點 未 卡 到 的 情 況 : 首 先 將 此 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N) 鏡 射 2n 1 次, 然 後 連 接 a n, a n (n 1) (a 6, a 6 (5) ), 再 過 卡 點 a 1, a 2, a 3 a n (n 1) ( a 1, a 2, a 3 a 6 (5) ), 作 a n a n (n 1) a 6 a 6 (5) 之 平 行 線, 可 得 圖 10 ( 圖 以 六 邊 形 為 例 ): 圖 10: 然 後, 在 最 接 近 的 兩 上 下 卡 點 的 平 行 線 間 ( 即 圖 中 最 接 近 的 兩 紅 綠 線 間 ), 作 一 a n a (n 1) n (a 6 a (5) 6 ) 的 平 行 線, 將 此 平 行 線 在 ( ) a n a 1, a 1 a 2,, a (n 2) n 1 a (n 1) n a 6 a 1, a 1 a 2,, a (4) 5 a (5) 6 上 的 交 點 鏡 射 回 原 2n 邊 形 即 為 所 求. 說 明 : 由 引 理 2.2 知 a n a n 1 //a n 1 (n 2) a n (n 1) ( ) a 6 a 5 //a (4) 5 a (5) 6, 所 以 a n a n 1 (a 6 a 5 ) 上 的 任 意 點 到 其 在 a n 1 (n 2) a n (n 1) (a 5 (4) a 6 (5) ) 上 的 對 應 點 距 離 是 固 定 的, 為 了 在 凸 n 邊 形 各 邊 上 各 找 到 一 點, 須 使 任 意 點 連 線 在 最 下 上 卡 點 與 最 上 下 卡 點 之 間. 13

14 2.1.4 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N)- 鏡 射 作 圖 後 能 與 每 一 鏡 射 邊 皆 有 交 點 : 有 解 的 必 要 條 件 ( 可 用 此 來 證 明 凹 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 一 定 無 解 ): 若 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 有 解, 則 可 在 其 邊 上 找 三 相 鄰 該 解 的 頂 點 b 1 b 2 b 3, 過 b 1, b 2, b 3 分 別 作 其 與 邊 的 垂 線, 使 過 b 1, b 2 之 垂 線 交 於 一 點 c 2, 將 它 連 至 b 1, b 2 之 間 的 角, b 2, b 3 交 於 一 點 c 3, 將 他 連 至 b 2, b 3 之 間 的 角, 可 得 圖 11 ( 圖 以 五 邊 形 為 例 ): 圖 11: 由 於 b 1 b 2 b 3 為 內 接 最 小 凸 n 邊 形 之 一 角 b 1 b 2 a 2 = b 3 b 2 a 3 1 = 2, 又 b 1 a 2 b 2 c 2 與 b 3 a 3 b 2 c 3 皆 為 圓 內 接 四 邊 形 3 = 4, 同 理, 在 各 頂 點 皆 找 到 一 條 線 使 得 a 1 = k n + k 1, a 2 = k 1 + k a n = k n 1 + k n, 如 圖 12 ( 圖 以 五 邊 形 為 例 ): 14

15 圖 12: 由 於 a 1 + a a n = (n 2)180 ( k n + k 1 ) + ( k 1 + k 2 ) + + ( k n 1 + n ) = (n 2)180 k 1 + k k n = (n 2)90 k 1 = (n 2)90 ( k k n ) 同 理 可 得 = (n 2)90 ( a 3 + a a n ), k i (i = 1, 2, 3,, n) = (n 2)90 ( k k n k i ) = (n 2)90 ( a i+2 + a i a i 1 ) ( 若 超 過 n 則 由 1 重 新 數 過, 也 就 是 若 i + m n 則 a i+m 視 為 a i+m n ) = (n 2)90 (n 1) 由 a i+2 開 始 順 時 針 數 2 個 間 角 時, 若 要 使 凸 n 邊 形 有 解, 則 k 1 必 須 使 c i, c i+1 能 投 影 到 凸 n 邊 形 的 各 個 邊 上, 此 時 0 < k i < 90 (n 1) 0 < (n 2)90 由 a i+2 開 始 順 時 針 數 2 個 間 角 < 90 (n 2)90 (n 1) > 由 a i+2 開 始 順 時 針 數 2 個 間 角 > (n 3)90 又 (i = 1, 2, 3,, n) (n 2)90 (n 1) > 任 意 2 個 間 角 > (n 3)90, 此 即 為 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 有 解 的 必 要 條 件. 以 五 邊 形 為 例, 有 解 的 條 件 為 270 > 任 意 2 個 間 角 > 180, 如 果 以 三 角 形 帶 入, 則 會 發 現 90 > 任 意 一 個 角 > 0, 符 合 前 面 所 得 需 為 銳 角 三 角 形 的 充 要 條 件, 但 此 式 仍 然 非 內 接 最 短 的 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 有 解 的 充 分 必 要 條 件. 15

16 內 接 最 短 的 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 有 解 的 充 分 必 要 條 件 : 將 一 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 鏡 射 2n 1 次 後, 過 a n, a n (2n 2) (a 5, a 5 (8) ) 作 一 直 線 並 過 a n (n 1) (a 5 (4) ) 作 其 平 行 線 可 得 圖 13 ( 圖 以 五 邊 形 為 例 ): 圖 13: 延 長 a n a n 1 (a 5 a 4 ) 使 其 與 L 2 交 於 T ( 若 兩 線 已 相 交 則 令 其 交 點 為 T), 延 長 a n (n 1) a n 1 (n 2) (a 5 (4) a 4 ) 使 其 與 L 1 交 於 S ( 若 兩 線 已 相 交 則 令 其 交 點 為 S), 作 Ta n (Ta 5 ) 與 Sa n (n 1) (Sa 5 (4) ) 之 中 點 U, V 並 將 之 連 接, UV 在 凸 n 邊 形 上 的 各 點 即 為 所 求, 如 圖 14 ( 圖 以 五 邊 形 為 例 ): 圖 14: 16

17 證 明. 根 據 引 理 2.2 可 得 a n a n 1 與 a n (2n 1) a n 1 (2n 2) 的 夾 角 (a 5 a 4 與 a 5 (9) a 4 (8) 的 夾 角 ) = [( a 1 + a a n ) ( a 2 + a a n 1 )] + [( a 2 + a a n 1 ) ( a 1 + a a n )] = 0 a n a n 1 //a n (2n 1) a n 1 (2n 2) (a 5 a 4 //a 5 (9) a 4 (8) ) a n a n 1 (a 5 a 4 ) 上 的 任 意 點 到 其 在 a (2n 1) n a (2n 2) n 1 a (9) 5 a (8) 4 上 的 對 應 點 距 離 是 固 定 的, 也 就 是 兩 倍 最 小 內 接 凸 n 邊 形 的 周 長, 在 此 先 將 任 意 點 取 為 a n (a 5 ), 而 a n a n 1 ( a 5 a 4 ) 即 為 L 1, 而 要 求 出 凸 n 邊 形 內 接 最 小 n 邊 形 必 須 在 L 1 與 L 2 之 間 找 一 平 行 線, 使 得 此 線 也 通 過 a n a n 1 (a 5 a 4 ) 上 的 任 意 點 在 a (n 1) n a (n 2) n 1 (a (4) 5 a 4 ) 上 的 對 應 點. Sa n (n 1) T = a n (n 1) Sa n (2n 1) ( Sa 5 (4) T = a 5 (4) Sa 5 (9) )( 內 錯 角 ) a n Ta n (n 1) = a n (n 1) Sa n (2n 1) ( a 5 Ta 5 (4) = a 5 (4) Sa 5 (9) )( 全 等 ) Sa n (n 1) T = a n Ta n (n 1) ( Sa 5 (4) T = a 5 Ta 5 (4) ) a n Ta n (n 1) S(a 5 Ta 5 (4) S), 為 一 等 腰 梯 形, 又 U, V 為 其 腰 上 的 中 點 a n U = a n (n 1) V (a 5 U = a 5 (4) V), 且 UV // L 1 // L 2 ( 等 腰 梯 形 中 點 連 線 平 行 其 上 下 兩 底 ) V 為 U 在 a n a n 1 (a 5 a 4 ) 上 之 對 應 點, 且 UV // L 1 // L 2 UV 在 凸 n 邊 形 上 的 各 點 即 為 所 求. 2.2 無 解 情 況 鈍 角 三 角 形 : ABC 中, A 為 鈍 角, 點 D 為 BC 上 的 任 意 點, 將 此 三 角 形 對 AC, AB 鏡 射, 令 反 射 後 的 D 點 分 別 為 E, F, 如 圖 15: 17

18 圖 15: 求 證. 在 AC, AB 任 取 兩 點 與 D 形 成 的 三 角 形 周 長 必 大 於 等 於 2DA. FAD + EAD > 180 A, E, F 必 可 形 成 一 三 角 形, 且 點 A 會 在 AB, AC 上 其 中 的 點 之 連 線 ( 即 下 圖 中 的 HG) 與 EF 之 間. 現 今 G, H 分 別 為 AC, AB 上 之 任 意 點, 分 別 在 AB, AC 找 任 意 點 H, G, 則 A 為 於 四 邊 形 EFGH 內 部, 連 接 GH, HD, DG, 將 其 對 AB, AC 作 反 射, 得 HF, GE, 如 圖 16: 圖 16: HDG 的 周 長 = FH + HG + GE, FH + HG + GE FA + AE = 2DA. 18

19 ( 等 號 在 AHG 重 疊 時 會 成 立 ) HDG 的 周 長 2DA, 而 DA 為 過 A 且 垂 直 BC 之 垂 線 時 會 最 小 鈍 角 三 角 形 的 內 接 最 小 三 角 形 圖 形 趨 近 於 過 A 且 垂 直 BC 之 垂 線 之 兩 倍 直 角 三 角 形 : 而 當 三 角 形 為 直 角 三 角 形, 則 會 出 現 如 圖 17 的 特 殊 情 形 : 圖 17: FAE = 2 BAC = 180 FAE 三 點 共 線 直 角 三 角 形 的 內 接 最 短 三 角 形 趨 近 於 其 斜 邊 上 之 高 的 兩 倍 圓 內 接 四 邊 形 - 圓 心 在 四 邊 形 外 的 情 況 : 將 一 個 圓 心 在 四 邊 形 外 的 圓 內 接 四 邊 形 鏡 射 一 次, 其 中 EI AD, EH CD, 得 圖 18: 圖 18: 19

20 求 證. 當 圓 心 落 在 該 四 邊 形 外 時, AB 與 CD 的 夾 角 會 大 於 CD 與 HH 的 夾 角 ( HH 是 利 用 上 述 作 圖 法 找 出, 使 對 應 的 四 邊 形 鏡 射 後 為 直 線 的 線 ), 即 HH 同 時 與 AB, AD 不 可 能 同 時 有 交 點, 因 此 周 長 最 小 的 四 邊 形 會 是 趨 近 於 ABH 之 四 邊 形 (CD 為 較 靠 近 圓 心 的 那 一 邊 ). 證 明. CD 與 AB 的 夾 角 = DAB ADC ( 外 角 定 理 ) = DAB ADC = 1 2 (BD AC) = 1 2 [(CD + BC) (AB + BC)] = 1 2 (CD AB), 由 於 IE AD, EH DC IEHD 共 圓 CD 與 HH 的 夾 角 為 IHD = 1 2 CD = IED = 90 ADB = 1 2 (180 AB ), 當 圓 心 落 在 該 四 邊 形 外 時, CD > 180 CD 與 AB 的 夾 角 > CD 與 HH 的 夾 角 HH 與 AB, AD 不 可 能 同 時 有 交 點 ( 因 為 若 HH 與 AB 有 交 點, 且 CD 與 AB 的 夾 角 > CD 與 HH 的 夾 角, 則 H 會 比 與 CD 的 交 點 更 靠 近 C, 使 得 I 點 落 在 AD 之 外 ) 圓 內 接 四 邊 形 圓 心 在 四 邊 形 外 的 情 況 不 可 能 有 解. 接 下 來 討 論 其 退 化 解 : 將 一 圓 心 在 四 邊 形 外 的 圓 內 接 四 邊 形 鏡 射 四 次 可 得 圖 19: 20

21 圖 19: 求 證. 最 小 的 四 邊 形 在 ABCD 上 的 四 個 點 IFGH 各 為 AD 上 趨 近 於 A 的 一 點, 過 對 角 線 交 點 且 和 AB 垂 直 之 線 的 垂 足, BC 上 趨 近 於 B 的 一 點, 過 對 角 線 交 點 且 和 CD 垂 直 之 線 的 垂 足. 證 明. 由 於 HH 與 AD 不 可 能 有 交 點, 為 了 使 周 長 和 最 短, 勢 必 要 取 最 接 近 HH 又 在 四 邊 形 邊 長 上 的 多 段 線 段, 因 此 取 在 AD 上 又 最 近 HF 的 點 A, AB 上 任 一 點, 在 B C 上 又 最 近 F H 的 點 B, 以 及 B A (4) 與 C D 之 交 點 H ( 此 點 即 為 四 邊 形 對 角 線 之 交 點 在 CD 上 的 投 影 點 所 鏡 射 出 來 的 點 ), 因 為 HA + AB + B H 是 在 四 邊 形 上 所 能 取 最 短, 最 接 近 HH 之 線 段 和, 故 四 邊 形 ABCD 內 接 最 小 四 邊 形 圖 形 會 趨 近 於 ABH, 證 畢 圓 內 接 四 邊 形 - 圓 心 在 四 邊 形 上 的 情 況 : 求 證. 圖 20: AB 與 HH 會 重 合, 且 H 為 對 角 線 交 點 對 CD 所 作 之 垂 足. 21

22 證 明. CD 與 AB 的 夾 角 = 2 1(CD AB) = 1 2 (180 AB ) = CD 與 HH HH 與 AD 及 AB 有 交 點, 必 須 HH 與 AB 重 合, 的 夾 角. 而 為 了 要 使 又 IHD = CD 與 HH 的 夾 角 = 2 1(180 AB ) = 90 ADE = AED AEHD 共 圓 EHD = 180 DAE = 90, H 為 對 角 線 交 點 對 CD 所 作 之 垂 足 非 圓 內 接 四 邊 形 的 情 況 : 將 一 非 圓 內 接 四 邊 形 鏡 射 七 次 後 可 得 圖 21, 其 中 H 為 CD 上 的 任 意 點 : 圖 21: ABCD 為 一 非 圓 內 接 四 邊 形 CD 不 平 行 C D H HD = HH C, 又 H HD = H (7) H D H (7) H D = HH C H (7) H D 與 HH C 不 互 為 對 頂 角 HH H (7) 三 點 不 可 能 共 線. 22

23 為 因 此, HH H (7) 必 會 形 成 一 非 平 角 的 角 度, 此 時 對 應 的 四 邊 形 周 長 HH = IH + H I (4), 若 我 們 將 II 連 接, 則 會 發 現 II (4) 所 對 應 的 四 邊 形 周 長 必 定 會 小 於 IH + H I (4) ( 三 角 形 兩 邊 和 大 於 第 三 邊 ), 因 此 我 們 將 原 本 HH 上 的 各 點 移 到 II (4) 上, 可 得 圖 22: 圖 22: 此 時 新 的 周 長 II (4) = H I + IH > HH, 因 此 我 們 又 可 將 上 II (4) 的 各 點 移 到 HH 上, 如 此 將 不 斷 循 環, 直 到 II (4), HH 超 出 四 邊 形, 而 由 於 II, HH 不 在 四 邊 形 內, 勢 必 要 取 在 四 邊 形 內 II 或 HH 第 一 個 卡 到 的 卡 點 ( 即 II (4) 或 HH 無 法 再 與 此 頂 點 相 鄰 的 兩 邊 上 找 到 對 應 點 ). 在 此 我 們 將 AC A (4) 定 義 為 上 卡 點, B D B (5) 定 義 為 下 卡 點 ( 卡 點 的 定 義 請 見 附 錄.C), 當 II (4) 或 HH 超 出 四 邊 形 時 便 取 II (4) 或 HH 碰 到 的 卡 點, 而 此 點 為 趨 近 於 四 邊 形 四 個 頂 點 之 一, 因 此 非 圓 內 接 四 邊 形 內 接 最 小 四 邊 形 不 存 在, 證 畢. 接 下 來 討 論 其 退 化 解 : 求 證. 非 圓 內 接 四 邊 形 內 接 最 小 四 邊 形 趨 近 於 四 邊 形 的 一 條 對 角 線 之 兩 倍 或 是 一 三 角 形. 23

24 證 明. 當 II (4) 或 HH 碰 到 卡 點 後, 代 表 此 最 小 內 接 四 邊 形 必 須 經 過 此 卡 點, 而 兩 卡 點 間 最 短 距 離 為 直 線, 將 此 卡 點 與 其 鏡 射 後 所 得 之 另 一 卡 點 連 接 起 來 即 為 所 求, 而 若 中 間 又 碰 到 另 一 卡 點 的 話 則 將 卡 點 依 序 連 接 即 為 所 求. 如 果 未 碰 到, 則 會 趨 近 於 一 三 角 形, 如 圖 23: 圖 23: 由 引 理 2.2 可 得 知, 當 B + D > A + C 時, CD 與 C D 的 交 點 會 在 上 圖 的 左 方, 也 就 是 II (4) 或 HH 將 持 續 往 較 短 的 左 方 趨 近 直 到 碰 到 下 卡 點 B 或 D, 而 當 DB D 在 四 邊 形 內 的 角 180 時, 會 卡 到 B 點, 當 B (5) D B 在 四 邊 形 內 的 角 180 時, 會 卡 到 D 點, 又 DB D = AB C + ( C B D + DB A) = 2 B, B (5) D B = C D A (4) + ( A (4) D B (5) + B D C ) = 2 D, 當 B < 90 時 會 卡 到 B 點, 當 D < 90 時 會 卡 到 D 點, 而 當 B + D > A + C 時, 則 會 卡 到 A 點 或 C 點 當 非 圓 內 接 四 邊 形 較 大 的 兩 對 角 有 其 中 一 個 角 < 90 時, 它 的 內 接 最 小 四 邊 形 會 趨 近 於 一 三 角 形, 且 三 角 形 在 四 邊 形 頂 點 上 的 角 會 在 非 圓 內 接 四 邊 形 較 大 的 兩 對 角 > 90 的 那 個 角 上. 若 碰 到 另 一 卡 點, 則 會 趨 近 於 其 對 角 線 之 兩 倍, 如 圖 24: 24

25 圖 24: 若 是 如 上 圖 兩 個 點 都 卡 到 的 情 況, 則 代 表 DB D, B (4) D B 在 四 邊 形 內 的 角 皆 180, DB D = AB C + ( C B D + DB A) = 2 B B (5) D B = C D A (4) + ( A (4) D B (5) + B D C ) = 2 D 當 非 圓 內 接 四 邊 形 較 大 的 兩 對 角 兩 個 角 皆 90 時, 它 的 內 接 最 小 四 邊 形 會 趨 近 於 其 較 短 的 對 角 線 之 兩 倍, 也 就 是 非 圓 內 接 四 邊 形 較 大 的 兩 對 角 之 連 線 的 兩 倍 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N)- 兩 組 間 角 和 相 等, 但 卡 點 卡 到 的 情 況 : 當 上 卡 點 與 下 卡 點 的 平 行 線 交 錯 排 列, 表 示 交 錯 排 列 的 卡 點 將 會 卡 到, 此 凸 n 邊 形 將 無 解. 25

26 圖 25: 說 明 : 若 此 四 邊 形 有 解, 則 必 須 找 一 a n a (n 1) n (a 6 a (5) 6 ) 的 平 行 線 通 過 ( ) a n a 1, a 1 a 2,, a (n 2) n 1 a (n 1) n a 6 a 1, a 1 a 2,, a (4) 5 a (5) 6, 也 就 是 必 須 找 一 a n a n (n 1) (a 6 a 6 (5) ) 的 平 行 線 將 紅 線 與 綠 線 分 開, 而 由 於 上 下 卡 點 交 錯 排 列, 代 表 此 平 行 線 不 可 能 存 在. 接 下 來 討 論 其 退 化 解 : 將 一 兩 組 間 角 和 相 等 的 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N) 鏡 射 2n 1 次 後 可 得 圖 26 ( 圖 以 六 邊 形 為 例 ): 圖 26: 如 果 下 卡 點 在 過 上 卡 點 所 作 之 最 下 面 一 條 平 行 線 之 上, 則 此 卡 點 會 卡 到, 如 果 上 卡 點 在 過 下 卡 點 所 作 之 最 上 面 一 條 平 行 線 之 下, 則 此 卡 點 會 卡 到, 也 就 是 說, 在 最 下 方 的 綠 線 上 方 之 所 有 紅 線 所 對 應 的 卡 點 皆 會 卡 到, 在 最 上 26

27 方 的 紅 線 下 方 之 所 有 綠 線 皆 會 卡 到, 而 有 一 綠 線 在 紅 線 的 下 方, 就 代 表 至 少 有 一 紅 線 在 一 綠 線 的 上 方, 因 此 圓 內 接 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N) 可 能 趨 近 圖 形 為 一 n 2 邊 形, n 3 邊 形, n 4 邊 形,, n 2 邊 形 ( 若 為 四 邊 形 則 為 對 角 線 之 兩 倍 ) 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N) 兩 組 間 角 和 不 相 等 的 情 況 : 將 一 非 圓 內 接 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N) 鏡 射 2n 1 次 後 可 以 得 到 圖 27 ( 圖 以 六 邊 形 為 例 ), 其 中 H 為 a n a n 1 的 任 意 點 : 圖 27: 此 凸 n 邊 形 為 一 非 圓 內 接 凸 n 邊 形 a n a n 1 (a 6 a 5 ) 不 平 行 a n (n 1) a n 1 (n 2) (a 5 (4) a 6 (5)) ) H (n 1) Ha n = HH (n 1) a n 1 ( H (5) Ha 5 = HH (5) a 5 ). 又 H (n 1) Ha n = H (2n 1) H (n 1) a n (n 1) ( H (5) Ha 5 = H (11) H (5) a 6 (5) ) H (2n 1) H (n 1) a n (n 1) = HH (n 1) a n 1 (n 2) ( H (11) H (5) a 6 (5) = HH (5) a 5 (4) ) H (2n 1) H (n 1) a n (n 1) 與 HH (n 1) a n 1 (n 2) 不 互 為 對 頂 角 ( H (11) H (5) a 6 (5) 與 HH (5) a 5 (4) 不 互 為 對 頂 角 ) HH (n 1) H (2n 1) (HH (5) H (11) ) 三 點 不 可 能 共 線. 27

28 因 此, HH (n 1) H (2n 1) (HH (5) H (11) ) 必 會 形 成 一 非 平 角 的 角 度, 此 時 對 應 的 凸 邊 形 周 長 = HH (n 1) (HH (5) ) = IH (n 1) + H (n 1) I (n) (IH (5) + H (5) I (6) ). 若 我 們 將 II (n) (II (6) ) 連 接, 則 會 發 現 所 對 應 的 凸 n 邊 形 周 長 必 定 會 小 於 IH (n 1) + H (n 1) I (n) ( 三 角 形 兩 邊 和 大 於 第 三 邊 ) (IH (5) + H (5) I (6) ), 因 此 我 們 將 原 本 HH (n 1) (HH (5) ) 上 的 各 點 移 到 II (n) (II (6) ) 上, 可 得 圖 28: 此 時 新 的 周 長 圖 28: = II (n) (II (6) ) = IH (n 1) + HI(IH (5) + HI) > HH (n 1) (HH (5) ). 此 時 又 可 將 II (n) (II (6) ) 上 的 各 點 移 到 HH (n 1) (HH (5) ) 上, 如 此 將 不 斷 循 環, 直 到 II (n), HH (n 1) (II 6, HH (5) ) 超 出 凸 邊 形, 當 II (n) 或 HH (n 1) (II (6) 或 HH (5) ) 超 出 凸 n 邊 形 時 便 取 II (n) 或 HH (n 1) (II (6) 或 HH (5) ) 碰 到 的 卡 點, 而 此 點 為 趨 近 於 凸 n 邊 形 個 頂 點 之 一, 因 此 非 圓 內 接 凸 n 邊 形 內 接 最 小 凸 n 邊 形 不 存 在, 證 畢. 接 下 來 討 論 其 退 化 解 : 將 兩 組 間 角 和 不 相 等 的 凸 n 邊 形 (n = 2k, k N) 鏡 射 2n 1 次 後 可 得 圖 29 ( 圖 以 六 邊 形 為 例 ): 28

29 圖 29: 由 引 理 2.2 可 得 知, 當 a 2 + a a n > a 1 + a a n 1 ( a 2 + a 4 + a 6 > a 1 + a 3 + a 5 ) 時, a n 1 a n 與 a n 1 (n 2) a n (n 1) (a 5 a 6 與 a 5 (4) a 6 (5) ) 的 交 點 會 在 上 圖 的 左 方, 也 就 是 II (n) 或 HH (n 1) (II (6) 或 HH (5) ) 將 持 續 往 較 短 的 左 方 趨 近 直 到 碰 到 下 卡 點 a 2, a 4,, a n (a 2, a 4, a 6 ). 而 當 a n a 2 a 4 ( a 6 a 2 a 4 ) 在 凸 n 邊 形 內 的 角 180 時 會 卡 到 a 1, 又 a n a 2 a 4 = a 1 a 2 a 3 + a n a 2 a 1 + a 4 a 2 a 3 = 2 a 2 a 6 a 2 a 4 ( a 6 a 2 a 4 = a 1 a 2 a 3 + a 6 a 2 a 1 + a 4 a 2 a 3 = 2 a 2 a 6 a 2 a 4 ) 若 2 a 2 a 6 a 2 a 時 會 卡 到 a 2, 2 a 2 a 6 a 2 a 4 < 180 則 不 會 卡 到. 同 理, 當 2 a k 1 a k a k+1 a k 2 a k a k 時 會 卡 到 a k, 2 a k 1 a k a k+1 a k 2 a k a k+2 < 180 則 不 會 卡 到. n 當 非 圓 內 接 凸 n 邊 形 較 大 的 2 個 間 角 有 t 個 角 不 符 合 2 a k 1 a k a k+1 a k 2 a k a k+2 < 180 時, 它 的 內 接 最 小 凸 n 邊 形 會 趨 近 於 一 n t 邊 形, 且 n t 邊 形 在 凸 n 邊 形 頂 點 上 的 角, 會 在 不 符 合 2 a k 1 a k a k+1 a k 2 a k a k+2 < 180 的 t 角 上. 而 若 a 2 + a a n < a 1 + a a n 1 時, 則 a n 1 a n 與 a (n 2) n 1 a (n 1) n (a 5 a 6 與 a (4) 5 a (5) 6 ) 的 交 點 會 在 上 圖 的 右 方, 也 就 是 II (n) 或 HH (n 1) (II (6) 或 HH (5) ) 將 持 續 往 較 短 的 右 方 趨 近, 直 到 碰 到 上 卡 點 a 1, a 3,, a n 1 (a 1, a 3, a 5 ), 其 他 以 此 類 推. 29

30 2.2.8 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N)- 作 圖 後 未 能 與 每 一 鏡 射 邊 皆 有 交 點 : 由 於 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 的 解 只 有 唯 一, 故 當 下 圖 的 綠 線 與 任 一 邊 無 法 相 交 或 交 於 頂 點, 則 此 凸 n 邊 形 (n = 2k + 1, k N) 的 內 接 最 小 凸 n 邊 形 無 解, 退 化 解 可 連 接 各 個 最 接 近 的 頂 點 求 得, 如 圖 30, 紅 線 即 為 其 退 化 解 : 圖 30: 凹 n 邊 形 : 事 實 上, 上 面 所 推 導 的 各 項 結 論 也 適 用 於 凹 n 邊 形 ( 凹 n 邊 形 的 定 義 為 有 一 個 以 上 的 內 角 大 於 180 ), 但 都 不 會 有 解, 凹 n 邊 形 n = 2k, k N 鏡 射 時 180 的 那 個 角 會 造 成 圖 形 重 疊 使 得 解 的 那 條 直 線 無 法 在 不 彎 曲 的 情 況 下 到 達 第 n 個 圖 形 的 對 應 邊, 因 此 必 為 一 過 卡 點 的 折 線 而 非 直 線, 而 凹 n 邊 形 n = 2k + 1, k N 時, 大 於 180 的 那 個 角 永 遠 都 無 法 分 成 兩 個 範 圍 在 0 90 的 k i, k i+1 ( 因 為 不 可 能 兩 個 都 小 於 90 ), 而 會 趨 近 的 圖 形 也 符 合 先 前 所 推 出 的 結 論 凸 四 邊 形 內 接 周 長 最 小 三 角 形 : 凸 四 邊 形 內 接 周 長 最 小 三 角 形 無 解, 會 趨 近 於 何 圖 形 經 比 較 過 後 即 可 得 知. 求 證. 要 求 出 凸 四 邊 形 內 接 周 長 最 小 三 角 形, 我 們 必 須 在 四 邊 形 中 選 取 三 邊 上 找 一 頂 點 形 成 一 三 角 形, 然 後 比 較 哪 個 三 角 形 最 小, 因 此 我 們 先 將 不 用 的 30

31 一 邊 去 掉 後, 可 以 分 三 種 情 況 討 論 : 1. 去 掉 的 一 邊 之 兩 鄰 邊 於 去 掉 的 一 邊 方 向 延 長 後 會 相 交 : 若 去 掉 的 一 邊 之 兩 鄰 邊 於 於 去 掉 的 一 邊 方 向 延 長 後 會 相 交, 則 可 將 去 掉 的 邊 之 兩 鄰 邊 延 長 形 成 一 新 的 三 角 形, 然 後 作 三 邊 的 垂 足, 即 是 此 種 情 況 對 應 的 最 短 內 接 三 角 形 了, 如 圖 31: 圖 31: 若 垂 足 落 在 原 四 邊 形 內 的 邊 上 有 解, 而 若 垂 足 未 落 在 原 四 邊 形 內 的 邊 上, 則 必 須 將 剩 下 三 邊 依 序 鏡 射 五 次 後, 連 接 未 落 在 原 四 邊 形 內 的 邊 上 的 頂 點 ( 圖 以 B 為 範 例 ) 之 鏡 射 B B (4) 以 找 出 其 新 的 對 應 點, 如 圖 32, 紅 色 線 段 為 解 : 31

32 圖 32: 2. 去 掉 的 一 邊 之 兩 鄰 邊 於 去 掉 一 邊 方 向 延 長 後 不 相 交, 有 一 剩 下 頂 點 小 於 90 : 設 B < 90, 首 先 在 剩 下 的 三 邊 上 各 取 一 點, 對 C 點 作 EG 的 平 行 線, 如 圖 33: 圖 33: 由 圖 我 們 不 難 發 現, ( 等 號 在 重 疊 時 成 立 ) E G EG, E F EF, G F GF 32

33 E FG 的 周 長 一 定 小 於 等 於 EFG 的 周 長, 因 此 我 們 將 E, G 移 到 E, G 上, 如 下 圖 : 圖 34: 由 於 兩 點 間 最 短 距 離 為 直 線, 因 此 當 F 越 接 近 C 時 周 長 會 越 小, 也 就 是 EFG 的 周 長 越 趨 近 於 EG 兩 倍 時 周 長 會 越 短, 而 當 EG 為 過 C 且 與 AB 垂 直 之 線 段 時 會 最 短, 故 當 去 掉 的 一 邊 之 兩 鄰 邊 於 去 掉 一 邊 方 向 延 長 後 不 相 交, 有 一 剩 下 頂 點 小 於 90 時, 內 接 三 角 形 會 趨 近 於 過 C 且 與 AB 垂 直 之 線 段 之 兩 倍, 如 圖 35: 圖 35: 而 若 過 C 且 與 AB 垂 直 之 線 段 無 法 落 在 AB 則 取 最 接 近 的 AC 之 兩 倍, 如 圖 36, 紅 色 線 段 之 兩 倍 為 解 : 33

34 圖 36: 3. 去 掉 的 一 邊 之 兩 鄰 邊 於 去 掉 一 邊 方 向 延 長 後 不 相 交, 剩 下 兩 頂 點 皆 大 於 90 : 同 2. 的 方 法, 只 是 這 種 情 況 會 趨 近 於 去 掉 的 一 邊 之 對 邊 的 兩 倍 ( 下 圖 為 CD 之 兩 倍 ), 而 F 為 CD 上 的 任 意 點, 如 圖 37: 圖 37: 將 四 邊 依 序 去 掉 後 利 用 上 述 三 種 方 法 找 到 去 掉 四 邊 各 自 的 最 小 內 接 三 角 形 後, 再 比 較 去 掉 四 邊 後 哪 一 種 周 長 最 短 即 可 得 到 四 邊 形 內 接 周 長 最 短 三 角 形, 而 除 了 情 況 1. 中 可 以 在 邊 上 作 出 垂 足 為 最 小 外, 其 他 狀 況 都 是 無 解 的, 但 事 實 上 情 況 1. 永 遠 不 可 能 最 小, 因 為 去 掉 第 一 種 狀 況 的 對 邊 ( 去 掉 此 對 邊 後 不 可 能 視 為 情 況 1.) 所 趨 近 的 解 永 遠 小 於 情 況 1. 的 解, 原 因 如 下 : 34

35 圖 38: 如 圖 38 所 示, 由 於 去 掉 的 邊 只 要 在 範 圍 內 就 不 影 響 情 況 1. 作 出 來 的 三 角 形, 而 BC 的 兩 倍 或 過 B 或 C 之 垂 線 的 兩 倍 即 是 去 掉 情 況 1. 的 對 邊 的 解, 因 此 我 們 可 以 將 B, C 隨 意 的 在 邊 上 移 動 使 其 增 長, 如 果 我 們 想 讓 BC 增 長 勢 必 要 讓 B, C 其 中 一 點 無 限 趨 近 形 成 最 小 內 接 三 角 形 的 一 頂 點 才 行, 不 失 一 般 性, 圖 38 讓 C 趨 近 於 F, 而 B 必 須 在 過 F 垂 線 的 垂 足 H 與 E 之 間, 否 則 解 就 會 趨 近 FH 的 兩 倍, 而 F, E, H 會 形 成 一 斜 邊 為 EF 之 直 角 三 角 形 ( 若 讓 B 趨 近 E 則 形 成 另 一 直 角 三 角 形 有 同 樣 的 結 果 ), 2BC 2EF < EF + FG + GE 去 掉 情 況 1. 的 對 邊 所 趨 近 的 解 永 遠 小 於 情 況 1. 的 解 四 邊 形 內 接 最 小 三 角 形 不 可 能 有 解. Appendices 附 錄.A 無 解 的 定 義 : 當 此 凸 n 邊 形 內 接 周 長 最 小 n 邊 形 其 中 一 頂 點 趨 近 於 原 凸 n 邊 形 其 中 一 個 頂 點 時, 我 們 稱 此 凸 n 邊 形 無 解 ( 因 為 永 遠 可 以 找 到 更 接 近 原 凸 n 邊 形 其 中 一 個 頂 點 的 點 ). 附 錄.B 的 數 目 的 意 義 : 其 中 的 數 目 代 表 此 點 所 在 之 n 邊 形, 是 第 幾 個 被 鏡 射 出 的 n 邊 形, 若 此 點 同 時 出 現 在 兩 個 n 邊 形 上, 則 取 較 小 的 數 目, 如 下 圖 的 D 及 代 表 位 在 第 三 35

36 個 被 鏡 射 出 來 的 四 邊 形 上 的 D, 而 圖 中 的 C 同 時 位 在 第 三 個 及 第 二 個 被 鏡 射 出 來 的 四 邊 形 上, 故 的 數 目 取 2. 圖 39: 附 錄.C 上 下 卡 點 的 定 義 : 如 果 我 們 將, A, B, C, 分 別 編 號 為 a 1, a 2, a 3,, 若 凸 n 邊 形 n = 2k, k N 時, 則 上 卡 點 為 a n 1, a 1, a 3,, a n 1 (n 2) 與 a n 1, a (n+2) 3,, a (2n 2) n 1, 下 卡 點 為 a n, a 2, a 4,, a n (n 1) 與 a (n+1) 2, a (n+3) 4,, a (2n 1) n, 若 凸 n 邊 形 n = 2k + 1, k N 時, 則 上 卡 點 為 a n 1, a 1, a 3,, a (n 2) n 與 a (n+1) 2, a (n+3) 4,, a (2n 2) n 1, 下 卡 點 為 a n, a 2, a 4,, a n 1 (n 2) 與 a n 1, a (n+2) 3,, a (2n 1) n. 如 圖 40, 為 n = 5 的 情 況 : 圖 40: 36

37 參 考 文 獻 [1] 幾 何 明 珠, 黃 家 禮 先 生 主 編, 九 章 出 版 社, 第 二 章 光 反 射 定 理, 中 華 民 國 九 十 四 年 七 月 出 版. [2] 高 中 數 學 競 賽 教 程, 嚴 鎮 軍 主 編, 史 濟 懷, 李 炯 生, 李 尚 志, 余 紅 兵, 常 庚 哲, 單 墫, 謝 盛 剛, 蘇 淳, 嚴 鎮 軍 編 著, 九 章 出 版 社, 中 華 民 國 九 十 六 年 五 月 出 版. [3] n 邊 形 內 具 有 最 小 周 長 的 內 接 n 邊 形, 第 29 屆 全 國 科 展 高 中 組 數 學 科 第 三 名, 作 者 王 偉 華, 莊 徐 瑞, 劉 智 龍. [4] 鏡 射 乾 坤, 第 38 屆 國 中 數 學 科 展 作 品 第 二 名, 作 者 何 思 賢, 康 雅 婷, 陳 瓏 方. [5] Marcel Berger; Geometry I, Springer-Verlag 出 版. [6] 私 下 討 論 ( 關 於 引 理 2.2 的 證 明 ), 曾 達. 37