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1 第 37 卷 第 8 期 电 子 与 信 息 学 报 Vol.37 No 年 8 月 Journal of Electronics & Information Technology ug. 015 一 种 新 型 基 于 环 上 带 误 差 学 习 问 题 的 认 证 密 钥 交 换 方 案 杨 孝 鹏 马 文 平 张 成 丽 ( 西 安 电 子 科 技 大 学 综 合 业 务 网 及 关 键 技 术 国 家 重 点 实 验 室 西 安 ) 摘 要 : 利 用 格 上 判 定 带 误 差 学 习 问 题 (Ring-DLWE) 困 难 假 设 该 文 基 于 Peikert 的 调 和 技 术 构 造 认 证 密 钥 交 换 方 案 在 标 准 模 型 下 该 方 案 是 CK 模 型 中 可 证 明 安 全 的 并 达 到 弱 前 向 安 全 性 (wpfs) 与 现 有 的 基 于 LWE 的 密 钥 交 换 方 案 相 比 该 方 案 使 用 平 衡 的 密 钥 提 取 函 数 因 而 保 护 共 享 会 话 密 钥 同 时 因 其 基 于 格 中 困 难 问 题 所 以 能 抵 抗 量 子 攻 击 关 键 词 : 密 码 学 ; 格 ; 认 证 密 钥 交 换 ;CK 模 型 ; 环 上 判 定 带 误 差 学 习 问 题 (Ring-DLWE) 中 图 分 类 号 :TP309 文 献 标 识 码 : 文 章 编 号 : (015) DOI: /JEIT New uthenticated Key Exchange Scheme ased on Ring Learning with Errors Problem Yang Xiao-peng Ma Wen-ping Zhang Cheng-li (State Key Laboratory of Integrated Service Networks Xidian University Xi an China) bstract: Using the hard assumption of Ring-Decision Learning With Errors (Ring-DLWE) in the lattice a new uthenticated Key Exchange (KE) scheme is proposed which is based on the Peikert s reconciliation technique. Under the standard model the proposed scheme is provably secure in the CK model which is additionally achieves weak Perfect Forward Secrecy (wpfs). Compared with the current Key Exchange (KE) schemes based on the LWE the proposed scheme not only protects the shared session key with balanced key derivation function but also resists quantum attacks because of the hard assumption on lattice problem. Key words: Cryptography; Lattice; uthenticated Key Exchange (KE); CK model; Ring-Decision Learning With Errors (Ring-DLWE) 1 引 言 认 证 密 钥 交 换 是 密 码 学 中 的 基 本 原 型 它 不 仅 允 许 通 信 双 方 协 商 出 共 享 密 钥 而 且 为 双 方 提 供 认 证 每 个 通 信 方 拥 有 一 对 静 态 公 私 钥 其 中 静 态 公 钥 由 可 信 第 三 方 颁 发 在 协 议 执 行 过 程 中 每 个 通 信 方 首 先 生 成 自 己 的 短 暂 公 私 钥 再 计 算 会 话 状 态 最 后 利 用 密 钥 提 取 函 数 计 算 共 享 密 钥 近 年 来 基 于 格 的 密 码 体 制 因 其 具 有 较 高 的 渐 进 效 率 可 并 行 计 算 抗 量 子 攻 击 等 优 点 迅 速 成 [1 1] 为 密 码 学 研 究 新 热 点 并 取 得 了 一 系 列 成 果 其 中 基 于 带 误 差 学 习 (Learning With Errors LWE) 问 题 的 困 难 性 在 建 立 秘 密 共 享 方 案 方 面 应 用 广 [6 1] 泛 文 献 [6] 基 于 LWE 提 出 了 认 证 密 钥 交 换 协 收 到 改 回 网 络 优 先 出 版 国 家 自 然 科 学 基 金 ( ) 高 等 学 校 博 士 学 科 点 专 项 科 研 基 金 ( ) 高 等 学 校 创 新 引 智 计 划 项 目 (08038) 十 二 五 国 家 密 码 发 展 基 金 (MMJJ ) 和 华 为 技 术 有 限 公 司 合 作 项 目 (Y ) 资 助 课 题 通 信 作 者 : 杨 孝 鹏 xp_yang89xidian@16.com 议 并 证 明 协 议 是 强 安 全 的 文 献 [7] 指 出 文 献 [6] 的 协 议 难 以 抵 抗 不 知 道 任 何 秘 密 信 息 的 外 部 攻 击 者 实 施 的 假 冒 攻 击 文 献 [8] 提 出 基 于 LWE 的 秘 密 共 享 方 案 该 方 案 借 助 符 号 函 数 来 降 噪 但 符 号 函 数 泄 露 了 密 钥 的 一 些 信 息 文 献 [9] 提 出 基 于 LWE 的 认 证 密 钥 交 换 方 案 并 构 造 了 特 征 函 数 和 符 号 函 数 为 了 使 符 号 函 数 输 出 分 布 与 均 匀 分 布 不 可 区 分 要 求 模 数 很 大 针 对 现 有 文 献 的 不 足 该 文 基 于 环 上 带 误 差 学 习 问 题 (RLWE) 问 题 [10] 提 出 新 的 认 证 密 钥 交 换 方 案 使 用 较 小 的 模 数 并 利 用 平 衡 密 钥 提 取 器 所 以 不 会 泄 露 共 享 密 钥 的 信 息 而 且 所 有 计 算 可 以 采 用 分 圆 域 上 快 速 傅 里 叶 变 换 (FFT) [10] 加 速 预 备 知 识.1 符 号 说 明 用 和 分 别 表 示 复 数 集 实 数 集 整 数 集 和 有 理 数 集 对 于 x 定 义 [ x ] = x + 1/ 对 于 q 1 定 义 q = / q 一 个 k n k n 维 格 表 示 为 Λ = L( ) = { c : c }
2 第 8 期 杨 孝 鹏 等 : 一 种 新 型 基 于 环 上 带 误 差 学 习 问 题 的 认 证 密 钥 交 换 方 案 1985 π 是 格 的 基 高 斯 函 数 为 ρr ( ) exp x x = r 其 中 x H={ x: xi= xm i i m} 格 的 陪 集 Λ+ c 上 ρr ( x) 的 离 散 高 斯 概 率 分 布 为 D Λ + c r ( x) = ρ ( Λ+ c ) x Λ + c 对 于 正 整 数 m ζ m 是 本 原 m 阶 单 位 根 K = ( ζ m ) 表 示 m 次 分 圆 域 R = [ ζ m ] 表 示 m j m 1 次 分 圆 环 { ζ : gcd( jm ) = 1} 是 R 的 幂 基 P 设 m j= 0 τ 是 K 的 自 同 构 R 的 解 码 基 为 d = τ( P ) 设 p 为 奇 素 数 记 g = (1 ζ ) 设 R 为 可 换 环 R 上 pm ij 离 散 傅 里 叶 变 换 DFT m 为 矩 阵 ( ω m) ( i j) ( m m) 中 国 剩 余 变 换 CRT m 为 DFT m 的 亚 矩 阵 阶 为 m [ ϕ( m)]. 格 上 亚 高 斯 变 量 p 定 义 1 [10] 对 于 δ > 0 t 若 满 足 πtx δ +π r t 则 称 上 随 机 变 量 E[exp( )] exp( ) X 是 标 准 偏 差 为 r 的 δ - 亚 高 斯 变 量 由 马 尔 科 夫 不 等 式 得 : t 0 有 Pr X t exp δ π t / r (1) [ ] ( ) 事 实 1 [10] 若 X 1 是 δ1 - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 r 1 X 是 δ - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 r X 1 与 X 相 互 独 立 则 X1 + X是 ( δ1 + δ) - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 r + r 1 引 理 1 [10] 设 g e是 δ - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 m r e Q( ζ m ) 则 对 于 e e ( ζ m ) 用 R 的 每 个 解 码 基 表 示 时 系 数 均 是 δ - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 r e 引 理 [10] 设 e χ 其 中 χ = [ ϕ r ] ϕ r = ( m / g) D r 则 g e 是 δ - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 m r + π rad( m)/ m 且 g e m r + r ( rad( m)/ m) n 以 至 少 1 n 的 概 率 成 立.3 代 数 整 数 环 上 格 的 抽 样 设 a K 用 R 的 解 码 基 表 示 为 a = ( m / g) da 代 数 整 数 环 上 格 的 高 斯 抽 样 简 述 如 下 :(1) t ϕ( m) σ ζ = CRT ; () 从 空 间 ( 0 ) m t= 利 用 典 范 嵌 入 计 算 { } H 上 的 连 续 高 斯 分 布 中 抽 样 σ () a 左 乘 CRT m 计 算 a = CRT m σ( a) ; (3) 计 算 a = ( m / g) da ; (4) 对 a 的 解 码 基 的 每 个 系 数 凑 整 为 最 近 整 数 输 出 [ a ].4 困 难 问 题 定 义 [410] 对 于 s R q K 上 的 分 布 χ 随 机 均 匀 选 取 a e 是 服 从 χ 的 噪 声 计 算 b = R q a s + e modqr 记 ( ab= a s+ e modr) q 的 分 布 为 s χ 以 不 可 忽 略 的 概 率 区 分 s χ 与 R q (K m / qr ) 上 的 均 匀 分 布 问 题 就 是 判 定 Ring-LWE 问 题 记 作 RDLWE q χ 引 理 3 [4] n 设 α = ω( log n) 向 量 x 分 布 χ α 与 分 布 χ α + x 统 计 距 离 至 多 为 x / α.5 安 全 模 型 安 全 模 型 定 义 请 参 见 文 献 [13].6 调 和 技 术 调 和 函 数 定 义 请 参 见 文 献 [11] 引 理 4 [11] 对 于 偶 数 模 q 若 x q 是 随 机 均 匀 的 则 [ x ] 是 随 机 均 匀 的 引 理 5 [11] 对 于 偶 数 模 q 若 w = x + emodq v q e E 则 rec( w x ) = [ x] = rec( x x ) 引 理 6 [11] 对 于 奇 数 模 q 若 x q 是 随 机 均 匀 的 x dbl( x) q 给 定 x 条 件 下 [ x ] 的 分 布 是 一 致 分 布 3 方 案 3.1 方 案 描 述 设 R q = q[ X]/( Φm( X)) q 为 奇 素 数 且 满 足 q 1modm αq ω( log n) 抽 样 s e χ 将 s 作 为 静 态 私 钥 计 算 静 态 公 钥 P = a s + e R q 抽 样 s e χ 将 s 作 为 静 态 私 钥 计 算 静 态 公 钥 P = a s + e R q 方 案 如 图 1 所 示 r f χ r f χ x = a r + f x y = a r + f e χ d = g P s + e d = dbl( d) k = [ d] v = d f χ y v v w = g s P y = y + a k 1 rec( w v ) = k SK = [] c 1 w = g ( y a k) r rec( w v )=SK c = g x r + f c = dbl( c) 擦 掉 除 (SK w ) 外 的 擦 掉 除 (SK c) 外 的 所 有 状 态 信 息 v = c 所 有 状 态 信 息 图 1 基 于 Ring-LWE 的 认 证 密 钥 交 换 方 案
3 1986 电 子 与 信 息 学 报 第 37 卷 3. 正 确 性 引 理 7 假 设 g si g r i 令 e 1 = g ( s e s e) e R e 1 R 为 在 d dbl( d) 中 选 取 的 随 机 元 对 于 μ > 0 若 能 恢 复 k 的 真 实 值 则 要 求 q π r ( + n) + μ 8 () 进 一 步 在 恢 复 k 的 真 实 值 条 件 下 SK = SK 以 至 少 n(1 exp(3 δ π μ )) 的 概 率 成 立 证 明 因 为 w1 = d + g ( s e + s e) e R q 由 引 理 可 知 g e 和 g e 都 是 δ - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 m r 其 中 r = ( r + π 1/ rad( m)/ m) 因 为 g si g r i 由 引 理 1 可 知 g e s 和 g e s 的 解 码 基 的 每 个 系 数 都 是 δ - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 r 由 引 理 1 可 知 e 的 解 码 基 的 每 个 系 数 都 是 δ - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 r n 另 外 e 1 的 解 码 基 的 每 个 系 数 都 是 0 - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 π 由 事 实 1 可 知 e1 + e 1 的 解 码 基 的 每 个 系 数 都 是 3δ - 亚 高 斯 变 量 标 准 偏 差 为 [ r ( λ + n) +π 1/ /] 此 时 e1 + e 1 的 解 码 基 的 每 个 系 数 落 在 区 间 [ q/4 q/4) 上 由 引 理 5 可 知 能 恢 复 k 的 真 实 值 由 式 (1) 得 出 式 () e1 + e 1 的 解 码 基 的 每 个 系 数 以 至 少 1 exp(3 δ π μ ) 的 概 率 落 在 区 间 [ q/4 q/4) 上 由 引 理 5 得 以 至 少 n(1 exp(3 δ π μ )) 的 概 率 恢 复 出 k 的 真 实 值 同 理 可 证 在 恢 复 k 的 真 实 值 条 件 下 SK = SK 以 至 少 n(1 exp(3δ π μ )) 的 概 率 成 立 证 毕 3.3 参 数 选 取 由 引 理 7 可 知 只 需 取 q = O ( n ) 为 保 证 α q 1/4 ω( log n) 设 r = ( n/ log ( n)) ω( log n) 3.4 效 率 比 较 方 案 效 率 由 计 算 复 杂 度 和 通 信 复 杂 度 组 成 计 算 复 杂 度 主 要 考 虑 向 量 乘 法 和 抽 样 通 信 复 杂 度 考 虑 发 送 比 特 总 数 表 1 对 现 有 的 基 于 Ring-LWE 的 密 钥 交 换 方 案 做 比 较 ( 密 钥 为 n bit) 4 安 全 分 析 1/ 定 理 1 设 n 是 安 全 参 数 α < (log n/ n) q = 1modm 是 一 个 多 项 式 有 界 的 素 数 且 αq ω( log n) 若 RDLWE q χ 是 困 难 问 题 则 上 述 方 案 在 标 准 模 型 下 是 带 wfs 的 SK 安 全 的 证 明 在 下 述 证 明 中 设 sid 表 示 测 试 会 话 标 示 符 表 示 敌 手 Suc 表 示 敌 手 赢 得 游 戏 根 据 测 试 会 话 是 否 有 匹 配 会 话 分 为 以 下 两 种 情 形 进 行 分 析 : 情 形 1 sid 有 匹 配 会 话 并 且 可 以 得 到 sid 的 静 态 私 钥 这 部 分 证 明 要 利 用 混 合 游 戏 G 1x 记 dv( G1 x ) 表 示 赢 得 游 戏 G 1x 的 优 势 其 中 x = G 10 这 个 游 戏 是 敌 手 和 协 议 之 间 的 真 实 交 互 按 照 模 型 规 定 的 能 力 向 模 拟 器 S 发 出 询 问 并 得 到 相 应 的 回 答 特 别 地 当 向 一 个 未 完 成 的 会 话 发 出 Test 询 问 时 S 选 取 b R {01} 若 b = 0 则 S 返 回 一 个 随 机 密 钥 给 否 则 S 返 回 sid 的 真 实 密 钥 给 G 11 这 个 游 戏 和 G 10 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 抽 取 r f χ 计 算 y = a r + f 选 取 k {01} n R 计 算 y = y + a k 选 取 r R Rq 计 算 v = dbl( r) c = g x r + f 依 据 协 议 规 范 地 计 算 cv SK 并 发 送 ( y v v ) 给 因 为 y 的 分 布 与 一 致 分 布 计 算 不 可 区 分 所 以 猜 测 出 y = y + a k 的 概 率 可 忽 略 因 为 y = a ( r + k) + f 由 引 理 3 可 知 r + k 的 分 布 统 计 接 近 χ 则 G 11 中 的 y 的 分 布 统 计 接 近 G 10 中 的 y 的 分 布 构 造 一 个 规 约 R 1 它 的 两 对 输 入 为 ( ay ) 和 ( b r ) R Rq Rq 设 v = dbl( c ) 输 出 1 ( ap = s b y v k ) 若 R 1 的 输 入 取 自 e 0 χ 则 R 1 的 输 出 和 G 10 的 输 出 相 同 否 则 R 1 的 输 出 和 G 11 输 出 相 同 由 引 理 6 可 知 这 两 对 输 入 计 算 不 可 区 分 若 RDLWE q χ 是 困 难 问 题 则 dv G dv G negl( n) (3) ( 11 ) ( 10 ) 表 1 基 于 Ring-LWE 的 密 钥 交 换 方 案 的 性 能 比 较 ( 密 钥 为 n bit) 方 案 认 证 q 的 尺 寸 困 难 假 设 安 全 模 型 计 算 复 杂 度 ROM 发 送 比 特 总 数 文 献 [8] n 4 Ideal-SIVP 9 On ( ) n O( ) n + n log q 文 献 [9] Ideal-SIVP ω(log n) 9 On ( ) R n O( ) n + n log q 本 文 On ( ) Ideal-SIVP 5 On ( ) CK n 1 O ( + ) n + n log q
4 第 8 期 杨 孝 鹏 等 : 一 种 新 型 基 于 环 上 带 误 差 学 习 问 题 的 认 证 密 钥 交 换 方 案 1987 G 1 这 个 游 戏 和 G 11 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 选 取 P R Rq 计 算 w1 = g s P 选 取 k R R q 设 置 rec( w1 v) = k 依 据 协 议 规 范 地 计 算 w 和 SK 因 为 P 的 分 布 与 一 致 分 布 计 算 不 可 区 分 则 由 引 理 6 可 知 给 定 v 条 件 下 k 是 一 致 分 布 的 且 dv G dv G negl( n) (4) ( 1 ) ( 11 ) G 13 这 个 游 戏 和 G 1 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 选 取 y R Rq k {01} n R 计 算 y = y + a k 选 取 c R R q 计 算 cv v 选 取 SK {01} n R 并 设 置 [ c ] = SK 发 送 ( y v v) 给 G 1 中 SK 替 换 为 G 13 中 的 随 机 值 设 ( u1 v 1) 和 ( u v ) 是 两 个 Ring-LWE 挑 战 组 构 造 求 解 Ring-LWE 问 题 的 区 分 器 D D 设 置 s = u 1 x = u y = v 1 选 取 k {01} n R 计 算 y = y + a k 设 置 c = v 依 据 协 议 规 范 计 算 csk v 另 外 D 选 取 SK {01} n R 设 置 [ c ] = SK 发 送 ( y v v ) 给 若 RDLWE q χ 是 困 难 问 题 则 ( 13 ) ( 1 ) dv G dv G negl( n) (5) G 14 这 个 游 戏 和 G 13 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 选 取 x R Rq 设 置 SK {01} n R 作 为 共 享 密 钥 在 G 14 中 SK 是 均 匀 随 机 的 给 定 w 条 件 下 rec( w v ) 的 输 出 分 布 统 计 接 近 均 匀 分 布 G 13 与 G 14 计 算 不 可 区 分 且 有 ( 14 ) ( 13 ) dv G dv G negl( n) (6) 在 G 14 中 会 话 状 态 完 全 随 机 化 则 敌 手 不 能 通 过 Test 问 询 获 得 任 何 优 势 结 合 式 (3) 式 (6) 可 知 的 优 势 是 可 忽 略 的 量 情 形 sid 没 有 匹 配 会 话 且 可 以 得 到 sid 的 静 态 私 钥 这 部 分 证 明 要 利 用 混 合 游 戏 G x G 0 这 个 游 戏 与 情 形 1 中 游 戏 G 10 相 同 G 1 这 个 游 戏 和 G 0 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 抽 取 r f χ 计 算 x = a r + f 抽 取 r f χ 计 算 y = a r + f 选 取 k {01} n R 计 算 y = y + a k 选 取 r R Rq 计 算 v = dbl( r ) 并 发 送 ( y v v ) 给 类 似 分 析 G 11 与 G 10 的 不 可 区 分 性 可 以 得 到 dv G dv G negl( n) (7) ( 1 ) ( 0 ) G 这 个 游 戏 和 G 1 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 用 P R R q 替 换 G 1 中 的 P 类 似 分 析 G 1 与 的 不 可 区 分 性 可 以 得 到 G 11 ( ) ( 1) dv G dv G negl( n) (8) G 3 这 个 游 戏 和 G 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 抽 取 r f χ 计 算 x = a r + f 选 取 P R Rq 计 算 w1 = g s P 依 据 协 议 规 范 地 计 算 SK 类 似 分 析 G 13 与 G 1 的 不 可 区 分 性 可 以 得 到 ( 3 ) ( ) dv G dv G negl( n) (9) G 4 这 个 游 戏 和 G 3 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 抽 取 r f χ 计 算 z 1 = a r + f 计 算 x= z1 + f= a r + ( f + f ) 计 算 c = g x r +f 依 据 协 议 规 范 地 计 算 csk v y 由 引 理 3 可 知 不 能 区 分 G 4 与 G 3 则 有 ( 4 ) ( 3 ) dv G dv G negl( n) (10) G 5 这 个 游 戏 和 G 4 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : n S 选 取 v R {01} 依 据 协 议 规 范 地 计 算 SK 因 为 在 v 随 机 均 匀 条 件 下 SK 的 分 布 是 一 致 分 布 由 引 理 5 可 知 猜 测 成 功 的 优 势 可 忽 略 则 有 ( 5 ) ( 4 ) dv G dv G negl( n) (11) G 6 这 个 游 戏 和 G 5 基 本 相 同 下 述 情 况 除 外 : S 选 取 z1 R R q 在 G 6 中 会 话 密 钥 完 全 随 机 化 则 敌 手 不 能 通 过 Test 问 询 获 得 任 何 优 势 结 合 式 (7) 式 (11) 可 知 的 优 势 是 可 忽 略 的 量 证 毕 5 结 束 语 本 文 利 用 Ring-DLWE 困 难 假 设 基 于 调 和 技 术 构 造 出 一 种 新 型 认 证 密 钥 交 换 方 案 相 对 于 现 有 的 基 于 LWE 的 认 证 密 钥 交 换 方 案 来 说 本 文 使 用 较 小 的 模 数 并 利 用 平 衡 函 数 提 取 共 享 密 钥 下 一 步 工 作 可 以 考 虑 基 于 LWE 构 造 强 安 全 的 认 证 密 钥 交 换 方 案 参 考 文 献 [1] Gentry C Peikert C and Vaikuntanathan V. Trapdoor for hard lattices and new cryptographic constructions[c]. Proceedings of the 40th nnual CM Symposium on Theory of Computing Victoria C Canada 008: [] Regev O. On lattices learning with errors random linear codes and cryptography[j]. Journal of the CM 009 DOI: / [3] Peikert C. Public-key cryptosystems for the worst-case shortest vector problem[c]. Proceedings of the 41th nnual CM Symposium on Theory of Computing ethesda MD US 009: [4] Lyubashevsky V Peikert C and Regev O. On ideal lattices and learning with errors over rings[c]. Proceedings of the 9th nnual International Conference on the Theory and pplications of Cryptographic Techniques Riviera France 010: 1-3.
5 1988 电 子 与 信 息 学 报 第 37 卷 [5] enny David C and Peikert C. Fast cryptographic primitives and circular-secure encryption based on hard learning problems[c]. Proceedings of the 9th nnual International Cryptology Conference Santa arbara C US 009: [6] Fujioka Suzuki K Xagawa K et al.. Practical and post-quantum authenticated key exchange from one-way secure key encapsulation mechanism[c]. Proceedings of the 8th CM Symposium on Information Computer and Communication Security Hangzhou China 013: [7] 胡 学 先 魏 江 宏 叶 茂 等. 对 一 个 强 安 全 的 认 证 密 钥 交 换 协 议 的 分 析 [J]. 电 子 与 信 息 学 报 (9): Hu Xue-xian Wei Jiang-hong Ye Mao et al.. Cryptanalysis of a strongly secure authenticated key exchange protocol[j]. Journal of Electronics & Information Technology (9): [8] Ding Jin-tai. simple provably secure key exchange scheme based on the learning with errors problems[ol] [9] Zhang Jiang Zhang Zhen-feng Ding Jin-tai et al.. uthenticated key exchange from ideal lattices[ol] [10] Lyubashevsky V Peikert C and Regev O. toolkit for ring-lwe cryptography[c]. Proceedings of the 3nd nnual International Conference on the Theory and pplications of Cryptographic Techniques thens Greece 013: [11] Peikert C. Lattice cryptography for the Internet[C]. Proceedings of the 6th International Workshop Post-Quantum Cryptography Waterloo Canada 014: [1] Peikert C. n efficient and parallel gaussian sampler for lattices[c]. Proceedings of the 30th nnual International Cryptology Conference Santa arbara C US 010: [13] Canetti R and Krawczyk H. nalysis of key-exchange protocols and their use for building secure channels[c]. Proceedings of the 0th nnual International Conference on the Theory and pplications of Cryptographic Techniques Innsbruck ustria 001: 杨 孝 鹏 : 男 1986 年 生 博 士 生 研 究 方 向 为 格 密 码. 马 文 平 : 男 1965 年 生 博 士 教 授 博 士 生 导 师 研 究 方 向 为 通 信 理 论 纠 错 码 和 信 息 安 全 等. 张 成 丽 : 女 1985 年 生 博 士 生 研 究 方 向 为 格 密 码.
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