2017 JM01 question & answer

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索城龙
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1 澳門四高校聯合入學考試 ( 語言科及數學科 ) Joit Admissio Emitio for Mo Four Higher Edutio Istitutios (Lguges d Mthemtis) 08 年試題及參考答案 08 Emitio Pper d Suggested Aswer 數學正卷 Mthemtis Stdrd Pper

2 第一部分選擇題請選出每題之最佳答案. 若 X { Z } 和 Y { Z }, 則 A. X Y B. Y X C. X Y X Y E. 以上皆非. 將 9 0 除以, 則餘數為 A. B. C. 0 0 E. 0. 若方程 k 0 的兩根之差是, 則 k A. B. C. E. 以上皆非 b. b A. B. 8b 8b C. 8 8b 8b E. b 8. 若 (, ) 為下圖中陰影區域 ( 包括邊界 ) 任何一點, 則 M 的最大值為 O 7 8 A. B. C. E. 以上皆非. 若, b, 則 log b log b b 的最大值為 A. B. 0 C. E. 7. 若, 則 A. B. C. E.

3 8. 考慮以下資料 :,,7,7,8,8,9,0,,m, 若以上資料的平均值及中位數均為 9, 則下列何者正確? I. m 9 II. III. m 0 A. 只有 I 及 II B. 只有 I 及 III C. 只有 II 及 III I, II 及 III E. 以上皆非 9. 一組學生有位女生和位男生, 從中隨機選出一名學生, 其後再從餘下的學生中選出另一人則選出男女生各一人的概率為 A. B. C. E. 0. 某一無窮等比級數之和為, 其各項的平方數之和為, 則此級數首項為 A. B. C. E.. 橢圓 9 的右焦點為 A. (, 0) B. (, 0) C. (0, ) (0, ) E. (, 0). 用到 9 這九個數字, 組成沒有重複數字的三位數, 其中奇數的個數為 A. 0 B. 80 C. 79 E. 70. 函數 ( b) 的圖形如右圖所示, 其中和 b 為常數下列何者正確? A. 0 及 b 0 B. 0 及 b 0 C. 0 及 b 0 0 及 b 0 E. 以上皆非. 不等式的解為 A. B. 或 0 E. C.. 某個三角形的三邊之中點為 A(, ), B(, 0) 和 C(, ) 下列哪一點是該三角形的一個頂點? A. (, ) B. (, ) C. (, ) (, ) E. (., )

4 第二部分解答題,, () 求 si. 已知 si ( 分 ) (b) 求 si os ( 分 ). 已知 f() 為兩部分之和, 一部分隨正變, 而另一部分隨正變假定 f() 8 及 f() 0 () 求 f() ( 分 ) (b) 解方程 log f ( ) ( 分 ). 在下圖中, p q 的圖像通過點 A (7, ), 且與軸交於點 B (0, ) 點 C 是圖像上的另一點, 使得 BC 平行於軸 B (0, ) C O A (7, ) () 求 p 及 q 的值 ( 分 ) (b) 求點 C 的座標 ( 分 ) () 求 ABC 的面積 ( 分 ). 等比數列 { } 的公比 q, 7 和 0 () 求 { } 的通項 ( 分 ) (b) 求 { } 的前項的乘積 T ( 分 ). () 若等式 k b 對所有正整數皆成立, 其中和 b 為常數, 求和 b 的值 ( 分 ) k (b) 用數學歸納法證明等式 b 對所有正整數皆成立, 其中和 b 為 () 部分確 k k 定的常數 ( 分 )

5 第一部分選擇題題目編號最佳答案 A B D C C B 7 E 8 D 9 E 0 C E B D A A ( 第二部分答案由下頁開始 )

6 第二部分解答題. () 因為,, 所以 os < 0, 從而有 os si α 9 由公式 si( A B) si Aos B os Asi B, 得 si si os os si si os 0 (b) 由公式 si si os, 得 si 由公式 os si os 7, 得從而有 si os 7. () 據題意,f() b, 其中 b 為常數 (b) 由由 f() b 8 及 f() b 0, 得及 b 所以 f() log ( ) f f, 得 ( ) 8 從而有 f() 8, 即 8 解二次方程 8 0 得或. () 由於點 A (7, ) 與點 B (0, ) 在 p q 的圖像上, 我們有 7 7p q 及 q, 從而有 p 8 及 q (b) 設 C 的座標為 (, b) 由於 BC 平行於軸,b 因為點 C 在 8 的圖像上, 所以 8, 即 8 0, 從而得 8 ( 由題意知, 應捨棄 0) 所以 C 的坐標為 (8, ) () 點 A (7, ) 到 BC 的距離 ( ) 7, 為 ABC 中 BC 邊上的高的長度由此及 BC 8 得 ABC 的面積 O B (0, ) C (, b) A (7, ). () 由於 7, 我們有 7 由此及 0, 得知為 0 0 的兩個根, 即, 8 ( 因為 q ), 所以 q /, 即 q 於是, / q / 8 / 因此通項公式為 (b) 由 () 的結果及等差級數公式得 q ( ) ( ) ( ) ( ) T

7 . () 當時, 有 b, 即 b 當時, 有 b, 即 b 解聯立方程組 b, 得及 b b (b) 以下利用數學歸納法來證明 I) 當時, 左邊左邊右邊命題成立 k 對所有正整數皆成立 k, 右邊 II) 假設當時 ( Z ), 命題成立, 即當時, 由歸納法假設得 k k k k ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 換句話說, 當時, 命題也成立綜合 I) II) 和數學歸納法原理, 可知 k k ( ) 8 ( )( ) k 對所有正整數皆成立 k 7

8 Prt I Multiple hoie questios. Choose the best swer for eh questio.. If X { Z } d Y { Z }, the A. X Y B. Y X C. X Y X Y E. oe of the bove. If 9 0 is divided b, the the remider is A. B. C. 0 0 E. 0. If the differee of the roots of the equtio k 0 is, the k A. B. C. E. oe of the bove b. b A. B. 8b 8b C. 8 8b 8b E. b 8. Fid the lrgest possible vlue of M if (, ) is poit lig withi the shded regio (iludig the boudr) s show i the figure below. O 7 8 A. B. C. E. oe of the bove. If, b, wht is the mimum vlue of log b log b b? A. B. 0 C. E. 7. If, the A. B. C. E. 8

9 8. Cosider the umbers:,, 7, 7, 8, 8, 9, 0,, m,. If the me d medi re both 9, whih of the followig is true? I. m 9 II. III. m 0 A. I d II ol B. I d III ol C. II d III ol I, II d III E. oe of the bove 9. There re femles d mles i group of studets. Oe studet is hose t rdom from the group. Aother oe is hose t rdom from the remiig studets. Clulte the probbilit tht two studets of differet geders re hose. A. B. C. E. 0. The sum to ifiit of geometri series is, d the sum of the squres of eh of its terms is. Its first term is A. B. C. E.. Whih of the followig is the right fous of the ellipse 9? A. (, 0) B. (, 0) C. (0, ) (0, ) E. (, 0). -digit umbers re ostruted b tkig three differet digits from,,,, 9. How m of these ostruted umbers re odd? A. 0 B. 80 C. 79 E. 70. The right figure shows the grph of ( b), where d b re ostts. Whih of the followig is true? A. 0 d b 0 B. 0 d b 0 C. 0 d b 0 0 d b 0 E. oe of the bove. The solutio of the iequlit is A. B. or 0 E. C.. The midpoits of the sides of trigle re A(, ), B(, 0) d C(, ). Whih of the followig poits is verte of the trigle? A. (, ) B. (, ) C. (, ) (, ) E. (., ) 9

10 Prt II Problem-solvig questios.. Suppose tht si,. () Fid si. ( mrks) (b) Fid si os. ( mrks),. Suppose f() is sum of two prts, the first prt vries diretl with, d the other prt vries diretl with. Assume tht f() 8 d f() 0. () Fid f(). (b) Solve the equtio log ( mrks) f ( ). ( mrks). I the below figure, the grph of p q psses through A (7, ) d itersets the -is t B (0, ). C is other poit o the grph suh tht BC is prllel to the -is. B (0, ) C O A (7, ) () Fid the vlues of p d q. (b) Fid the oordites of C. () Fid the re of ABC. ( mrks) ( mrks) ( mrks). I geometri sequee { }, the ommo rtio q, 7 d 0. () Fid the geerl term of { }. (b) Fid the produt T of the first terms of { }, i.e., T. ( mrks) ( mrks). () If the equlit b holds for ll positive itegers, where d b re ostts, fid k k the vlues of d b. ( mrks) (b) Prove b mthemtil idutio tht for ll positive itegers, the equlit holds, where d b re the ostts foud i (). k b k ( mrks) 0

11 Prt I Multiple hoie questios. Questio Number Best Aswer A B D C C B 7 E 8 D 9 E 0 C E B D A A (Aswers for Prt II strt from et pge)

12 Prt II Problem-solvig questios.. () Sie,, os < 0. Hee os si α 9. From the formul si( A B) si Aos B os Asi B, we hve si si os os si si os 0 (b) From the formul si si os, we hve si. From the formul os si os 7., we hve Evetull, we hve si os 7... () The give mes tht f() b for some ostts d b. From f() b 8 d f() b 0, we get d b. Therefore, f(). (b) From log ( ) f, we get f ( ) 8. It follows tht f() 8, i.e., 8. Solvig the qudrti equtio 8 0 ields or.. () Sie the poit A (7, ) d the poit B (0, ) lie o the grph of p q, we get 7 7p q d q, d so p 8 d q. (b) Let the oordites of C be (, b). Sie BC is prllel to -is, we hve b. Also, sie C lies o the grph of 8, 8, i.e., 8 0, d so 8 ( 0 is disrded ordig to the give). Therefore, the oordites of C re (8, ). () The diste from A (7, ) to BC ( ) 7, whih is the height of ABC with BC s the bse. This, together with BC 8, gives re of ABC O B (0, ) C (, b) A (7, ). () Sie 7, we hve 7. This, together with 0, implies tht d re the two roots of 0 0, i.e., d 8 (beuse q ), therefore, q /, i.e., q. Hee, / q / 8 /. The geerl term is thus give b q. (b) From the result of () d the formul for rithmeti series, we get ( ) ( ) ( ) ( ) T.

13 . () Whe, b, i.e., b. Whe, b, i.e., b. Solvig the sstem of equtios b, we obti d b. b (b) I wht follows, we wt to prove b mthemtil idutio tht positive iteger. I) Whe, LHS, d RHS LHS RHS. The sttemet is true.. k k holds for II) Assume tht whe ( Z ), the sttemet is true, i.e., k Whe, it follows from the idutio ssumptio tht k k k ( ) 8 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ). ( ) I other words, the sttemet is lso true whe. Aordig to I), II), d the Priiple of Mthemtil Idutio, positive iteger. k. k k k is true for

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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos