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Moey Market ( 貨幣市場 ) vs. Captal Market ( 資本市場 ) Ch 6 利率期貨 Iterest Rate Futures Facal market are segmeted to moey markets ad captal markets. Moey Market ( 貨幣市場 ) ---- Short-term, marketable, lqud, low-rsk debt securtes. Captal Market ( 資本市場 ) ---- Loger-term ad rsker securtes. 1 2 Treasury ods, Notes ad lls 天數計算的慣例 (Day Cout Covetos) Treasury od: A log-term, coupo-bearg strumet ssued by the govermet to face ts debt. (10yr *) Treasury Note: A md-term, coupo-bearg strumet ssued by the govermet to face ts debt. (1yr * 10yr ) Treasury ll: A short-term, o-coupo-bearg strumet ssued by the govermet to face ts debt. (* 1yr) 3 Day cout covetos vary from coutry to coutry ad strumet to strumet. Actual/365: Moey market strumets Australa, Caada. Actual/360: LIOR for all curreces except sterlg. Actual/365: LIOR for sterlg. Actual/Actual: Euro-deomated bod. 4 1

天數計算的慣例 (Day Cout Covetos) 天數是指計算利息的天數天數計算一般以符號 X/Y 表示 X 表示計息期間的天數 Y 表示每一期的總天數美國常用的三種天數計算方式 : Actual / Actual U.S. Treasury ods 30 / 360 U.S. Corporate ods, U.S. Mucpal ods Actual / 360 Example : Actual / Actual 孳息天數與計息期間都以實際天數計算假設某個政府付息債券, 使用 Actual/Actual 方式計算天數假設票面利率 8%, 每半年支息一次, 於 3/1 與 9/1 發放請問在 3/1 至 7/3 日之間, 此債券孳息多少? 3/1 ~ 9/1 31 4+30 2 = 184 ( [ 3/1, 9/1) ) 3/1 ~ 7/3 31 2+30 2+2 = 124 ( [ 3/1, 7/3) ) 孳息 : 124/184 4% = 2.6957 % U.S. Treasury lls, U.S. Moey Market Istrumets 5 6 Example : 30 / 360 Example : Actual / 360 假設每個月 30 天, 每年 360 天假設某公司的付息債券, 使用 30/360 方式計算天數假設票面利率 8%, 每半年支息一次, 於 3/1 與 9/1 發放請問在 3/1 至 7/3 日之間, 此債券孳息多少? 3/1 ~ 9/1 30 6 = 180 ( [ 3/1, 9/1) ) 3/1 ~ 7/3 30 4 + 2 = 122 ( [ 3/1, 7/3) ) 孳息 : 122/180 4% = 2. 7111 % 7 孳息用實際天數計算, 每年假設 360 天假設投資年息 8% 的貨幣市場商品 : 投資 90 天, 孳息 :90/360 8% = 2% 投資一年, 孳息 :365/360 8% = 8.028% 8 2

國庫券 (Treasury lls) 國庫券的報價 (Quotatos for Treasury lls) 由聯邦政府發行的一年以下債券可以分為三種 : 91 days, 182 days, 52-weeks. 前二者, 每週發行 ; 後者, 每月發行有時會額外發行星期一進行拍賣, 於 1:30 p.m. 停止出價星期四交割最小交易面額 $10,000, 每增加單位 $5,000 9 國庫券一般是以貼現率 (Dscout Rate) 報價國庫券的天數計算方式為 :Actual/360 概念上 : 假設某一年期國庫券到期支付 $100, 他的報價 6, 表示期初售價 $94 元,$6 是這一年的利息假設面額 $100, 實際持有天數,Y 是國庫券的現金價格 (Cash Prce),P 是國庫券的報價 (Quoted Prce), 則 Y 與 P 的關係式如下 : Y = 100 P ( / 360 ) 10 國庫券的報價 (Quotatos for Treasury lls) 政府公債的報價 (Quotatos for Treasury ods) 假設某 91-day 的國庫券, 報價 8, 則現金價格為 : Y = 100 8 (91/360) = 100 2.0222 = 97.978 Quoted Prce 亦可以視為年化的貼現率, 但不可以視為投資國庫券的報酬率報酬率是收益除以成本 : 2.0222/97.978 365/91 = 0.0828 ( 每 91 天複利一次 ) 11 美國政府公債的天數計算方式 :Actual/Actual 美國政府公債以面額 $100 報價, 計價單位為 1/32 Quoted Prce = 90-05, 表示每面額 $100 的債券, 報價為 90 + 5/32 = $90.15625. 報價為除息報價, 現金交割價格需再加上孳息 Quoted Prce = Clea Prce Cash Prce = Drty Prce Cash Prce = Quoted Prce + Accrued Iterest Sce Last Coupo Date 孳息需考慮 Kth 買賣 (k+1)th Coupo 時點 Coupo 12 3

政府公債的報價 (Quotatos for Treasury ods) 政府公債期貨 (Treasury ods Futures) 某公債每年 1/10 與 7/10 支付利息票面利息 11% 假設此公債在 2003/3/5 的報價為 95-16, 則此債券的現金交割價為何? 1/10 ~ 7/10 付息期間天數 : 22+28+31+30+31+30+9 =181 1/10 ~ 3/5 孳息期間天數 :22+28+4 =54 報價 :95-16 = 95+16/32 =95.5 孳息 :100 5.5% 54/181 = 1.64 每面額 $100 的交割價 :95.5+1.64 = $97.14 面額 $100,000 的債券, 售價為 $97,140 政府公債期貨為交易熱絡的長期利率期貨, 在 COT 交易到期時, 用來交割的政府公債必須符合兩個條件 : 以交割期間的第一天為基準, 該債券存續期間必須大於 15 年以交割期間的第一天為基準, 該債券不能於 15 年內被提早贖回 13 14 政府公債期貨 (Treasury ods Futures) 政府公債期貨報價因此可以用來交割的債券不唯一, 短部位投資人於交割期間, 可以選擇任一符合標準的政府公債進行交割可交割期間為整個交割 ( 到期 ) 月份交割 ( 到期 ) 月份 : 3, 6, 9, 12 一口政府公債期貨合約 $100,000 與政府公債報價方式相同 110-03 = 110 + 3/32 假設某合約面額為 $100,000, 當期貨價格變動 $1, 則該契約價格變動 $1000 100,000 100 1 = $1,000. 15 16 4

Iterest Rate Futures Quotato 轉換因子 (Coverso Factors) 由於公債期貨的標的債券不唯一, 因此無法對期貨價格進行報價因此, 建構一虛擬的政府公債作為期貨的標的公債, 以進行報價, 再透過此虛擬的公債與其他符合標準的公債的價格關係 ( 轉換因子 ), 求出實際符合標準的公債期貨的價格虛擬公債 1. 2 符合標準的實際公債 17 報價 = Q 1. 2 轉換因子報價 = 1.2 Q 18 轉換因子 (Coverso Factors) 假設某債券期貨的報價為 90-00, 而短部位投資人欲進行交割的債券轉換因子為 1.38, 而該債券的孳息為 $3, 則實際進行交割的債券的現金交割價為 : 90 1.38 + 3 =$127.2 假設短部位投資人進行交割的債券面額為 $100,000, 則實際收入為 : $127,200 Treasury Note Futures & 5yr Treasury Notes Futures Treasury Note Futures 與 5yr Treasury Notes Futures 交易也非常熱絡 Treasury Note Futures 的可交割債券必須存續期間 6.5 ~ 10 年 5yr Treasury Notes Futures 的可交割債券必須存續期間 4 ~ 5 年 Treasury Note Futures 與 5yr Treasury Notes Futures 的交割方式與 Treasury ods Futures 相似, 因此本章僅介紹 Treasury ods Futures 的交割方式 19 20 5

求算轉換因子求算轉換因子時, 假設每半年複利一次的折現率為 6% 假設虛擬債券的票面利率為 6% 因此, 無論虛擬債券的到期日多長, 它在期初的價格為 $100 Ex. : 1 年到期的虛擬債券, 期初價格 : 3/1.03 + 3/ (1.03)^2 +100 / (1.03)^2 =100 交割債券的到期日, 會以無條件捨去的方式, 調整成三個月的倍數存續期間 20 年又 2 個月存續期間調整為 20 年存續期間 20 年又 4 個月存續期間調整為 20 年又 3 個月範例一 : 求算轉換因子假設某政府公債的存續期間為 20 年又 2 個月, 票面利率 10%, 其轉換因子為 1.4623 調整存續期間為 20 年 40 = 1 5 100 + = $146.23 40 1.03 1.03 轉換因子 = 146.23/100 = 1.4623 每半年複利一次的折現率為 6% 21 22 範例二 : 求算轉換因子假設某政府公債的存續期間為 20 年又 4 個月, 票面利率 8%, 其轉換因子為何? 調整存續期間為 20 年又 3 個月 40 4 100 4 + + = $125.83 40 = 1 1.03 1.03 尚須往前折現 3 個月,3 個月折現率 R: 1.03 = (1+R) 2 R = (1.03) 0.5-1 = 1.4889% 今日含息價 :125.83 / 1.014889 = $ 123.99 (Drty Prce) 扣除孳息 $2 (= 4 0.5), 此債券價格 : $121.99 (Clea Prce) 轉換因子 :1.2199-0.3m 0.3m Now 評價時點 0.9m 1.5m 2.1m 23 以最便宜的債券交割 (Cheapest-to-Delvery od) 由於可供交割的債券不唯一, 因此短部位投資人會選擇對自己最有利的債券交割想法 : 短部位於市場上購買一符合標準的公債, 出售予長部位因此, 選擇最便宜的債券即是選擇成本最低的債券 24 6

以最便宜的債券交割 (Cheapest-to-Delvery od) 出售價格 : (Quoted futures prce Coverso factor) + Accrued t. 購買成本 : Quoted bod prce + Accrued t. Example Assume the curret futures prce s 93-16. The cost of delverg each of the bods s as follows: od 1 : 99.5 (93.5 1.0382) = $2.69 od 2 : 143.5 (93.5 1.5188) = $1.87 od 3 : 119.75 (93.5 1.2615) = $2.12 The cheapest-to-delvery bod s od 2. 最便宜的債券為 : Delverable od Quoted od Prce Coverso Factor Mmze ( 成本 - 售價 ) 25 1 99.5 1.0382 2 143.5 1.5188 3 119.75 1.2615 26 外卡交易策略 (Wld Card Play) 債券期貨價格的決定公債期貨每日交易停止時間下午 2:00 公債每日交易停止時間下午 4:00 短部位投資人在交割期間內, 每日最晚遞送交割通知單的時間為下午 8:00 一旦送出, 結算價便是當日的公債結算價格因此, 交易期間, 每日下午 2 點, 期貨價格已固定若 2 點後, 債券價格下跌, 則短部位投資人可以在債券市場買入債券, 並送出交割通知單, 如此可以獲利此策略稱為外卡交易策略 27 債券期貨價格的決定不易, 因為包含兩項不確定的因素 : 交割日期交割債券假設此兩不定因素可以確定, 即交割債券確定, 且交割日期在 T, 則債券期貨的現金交割價為 : F = (S-I) exp(rt) F: 債券期貨的現金交割價 (Cash Prce) S: 債券的現金交割價 I: 期貨契約存續期間債券的利息收入現值 r: 無風險利率 28 7

Example 6.2: (1) Calculato of Treasury od Futures Prce 假設某債券期貨的最便宜交割債券的今日報價 $120, 票面利率 12%, 轉換因子 1.4, 無風險利率 10%, 假設此債券期貨的交割日期在 270 (=0.7397y) 日後 The cash prce of the bod: 120 + 60/(60+122) 6 = $121.978 The preset value of a coupo $6 receved after 122 days (0.3342y) s: 6 exp(-0.1 0.3342)= $5.803 Example 6.2: Calculato of Treasury od Futures Prce The cash futures prce s: (121.978-5.803) exp(0.1 0.7397)= $125.094 The quoted futures prce f the cotract were wrtte o ths bod s: 125.094-6 148/(148+35)= $ 120.242 The quoted futures prce s: 120.242/1.4 =85.887 Coupo Curret Coupo Paymet Tme Paymet Maturty of Coupo futures Paymet Coupo Curret Coupo Paymet Tme Paymet Maturty of Coupo futures Paymet 60 Days 122 Days 148 Days 35 Days 29 60 Days 122 Days 148 Days 35 Days 30 Example 6.2: Calculato of Treasury od Futures Prce QP = Quoted prce of a od traded, deoted by. CP = Cash Prce of. CF = Cash Prce of the futures prce o. QF = Quoted Prce of the futures prce o. F = Quoted Prce of the treasury bod futures prce. QP CP CF QF F The quoted futures prce of treasury bods s F rather tha CF ad QF. 歐洲美元期貨 (Eurodollar Futures ) 在美國境外的美元存款, 稱為歐洲美元歐洲美元存款利率是銀行將歐洲美元存入另一家銀行所獲得的利率, 本質上與 LIOR 利率相同在美國, 三個月期的歐洲美元存款利率期貨, 是交易最熱絡的利率期貨其標的資產為三個月歐洲美元定期存單在 CME (Chcago Mercatle Exchage ) 交易 31 32 8

歐洲美元期貨 (Eurodollar Futures ) 歐洲美元期貨 (Eurodollar Futures ) 交易月份 : 每年的 3, 6, 9, 12 月份最近四個連續月份 ( 非季月 ) 到期日最長到十年例 : 在 2004, 可以透過此契約鎖定 2014 的三個月歐洲美元存款利率到期日為交割月份的第三個星期三 33 市場報價 : Q = 市場報價, 為三個月定期存單的價格, 以貼現的方式報價, 單位為 % (100 Q) %= R % 表示以每三個月複利一次的年化借 / 放款利率歐洲美元期貨的報價是針對定期存單, 因此歐洲美元期貨的標的資產為定期存單 34 歐洲美元期貨 (Eurodollar Futures ) 歐洲美元期貨 (Eurodollar Futures ) 歐洲美元期貨的報價是針對定期存單, 因此歐洲美元期貨的標的資產為定期存單假設市場報價 Q = 96%, 表示該期貨契約允許長部位投資人於到期時, 以每三個月複利一次的年利率 4 % (100% - 96%) 存款 ( 以 96% 買入三個月期 $1 的定期存單 ) 假設市場報價 Q = 96%, 表示該期貨契約允許短部位投資人於到期時, 以每三個月複利一次的年利率 4% (100% - 96%) 借款 ( 以 96% 賣出三個月期 $1 變動單位 :0.0001 = 0.01% = 1 bass pot (bp) 天數計算方式 :Actual/360 一口 3 個月 (90-day) 歐洲美元存款利率期貨, 可以讓投資人鎖定未來某一 3 個月期間,$ 1 mllo 的存款利率長部位投資人, 可以以契約約定的利率 R%, 放 ( 存 ) 款 $1m 三個月 ( R% = 100% Q% ) 短部位投資人, 可以以契約約定的利率 R%, 借款 $1m 三個月 (R% = 100% - Q% ) 使用現金交割報價 Q% 變動 1bp, 利率 R% 反向變動 1bp, 契約價值變動 $25 $25 = 1,000,000 0.25 0.0001 的定期存單 ) 35 36 9

歐洲美元期貨 (Eurodollar Futures ) 歐洲美元期貨 (Eurodollar Futures ) 舉例說明 : 假設市場報價 Q 從 97.12 上升至 97.23 報價變動 :11bp = 97.23% - 97.12% 長部位投資人 : 獲利 $275 = 11bp 25 短部位投資人 : 損失 $275 = 11bp 25 長部位投資人 = 買入存單 = 存款 ( 賺取利息 ) 報價 Q 上升, 可以透過期貨以較低的價格買入, 獲利市場利息下降, 透過期貨, 可以較高的利率放 ( 存 ) 款, 獲利短部位投資人 = 賣出存單 = 借款 ( 付出利息 ) 報價 Q 下降, 可以透過期貨以較高的價格賣出, 獲利與一般期貨契約相同, 歐洲美元期貨契約到期前要結束部位, 只須建立相反的期貨部位交易所定義用來衡量契約價值的公式 : 1,000,000 [100% - 0.25 (100% - Q%)] = 10,000 [100-0.25 (100 - Q)] 長部位投資人 : 契約價值上升, 獲利短部位投資人 : 契約價值下降, 獲利市場利息上升, 透過期貨, 可以較低的利率借款, 獲利 37 38 歐洲美元期貨 (Eurodollar Futures ) Example (1) 期貨契約每日的收益, 來自契約價值的變化 Date 1: P1 = 10,000 [100-0.25 (100 Q1)] Date 2: P2 = 10,000 [100-0.25 (100 Q2)] Date 2 長部位的收益 :10,000 0.25 (Q2-Q1) Date 2 短部位的收益 :10,000 0.25 (Q1-Q2) 假設 Q% 上升 1bp ( 或 Q 變動 0.01): 期貨長部位 :+ $25 期貨短部位 :- $25 $25 = 10,000 0.25 0.01 假設契約持有至到期日, 則每日結算部位損益, 直到到期日最後一次結算, 然後結束部位 39 2007/1/8, 某投資人將在 2007/6/20 貸放 $5m 三個月, 擔心到時利率下降, 因此想鎖定放款利率假設 2007/1/8 的三個月歐洲美元期貨報價為 :94.79 避險策略 : 投資人進入 5 口期貨長部位, 以鎖定存款利率在 2007/6/20, 該期貨到期, 市場利率為 4% (= R), 對應市場的報價為 96 (= Q) 因此該投資人期貨收益為 : 40 10

Example (2) 2007/6/20 到期時, 共收入 :$65,125 利率 4% 的存款收入 :$50,000 =5,000,000 0.25 0.04 期貨部位收入 : $15125 本金 $5,000,000, 利息收入 $65,125, 表示存款利率 5.21%, 此即期貨鎖定的存款利率 (100-94.79)% $ 65,125 =5,000,000 0.25 0.0521 歐洲美元期貨 vs. 遠期利率協定歐洲美元期貨與遠期利率協定皆可鎖定未來某一區間的存 / 放款利率歐洲美元期貨期貨利率 ( Futures Iterest Rate ) 遠期利率協定遠期利率 ( Forward Iterest Rate ) 歐洲美元期貨每日結算, 且最後一次結算在 T1 遠期利率協定到期一次結算, 結算日在 T2, 但實務上會折現至 T1 支付損益 Now 借 / 貸款起始日借 / 貸款結束日 41 T1 T2 42 遠期利率 vs. 期貨利率當到期日小於 1 年時, 遠期利率與期貨利率幾乎相等當到期日大於一年時, 期貨利率大於遠期利率市場分析師常用的凸性調整 (Covexty Adjustmet) 近似公式 : 1 2 Forward Rate = Futures Rate - σ TT 2 1 2 T 1 : Tme to maturty of the futures cotract. T 2 : Tme to maturty of the rate uderlyg the futures cotracts. σ 表示一年期短期利率變動的標準差公式裡的遠期與期貨利率皆是連續複利 Example : Covexty Adjustmet 假設一年期利率變動的標準差為 1.2 %, 八年期的 3 個月歐洲美元期貨利率報價為 94 因此,T1 = 8, T2 = 8.25 Covexty Adjustmet = (1/2) (0.012)^2 8 8.25 = 0.00475 43 44 11

Example : Covexty Adjustmet Futures terest rate = 6% per aum o a actual/360 bass wth quarterly compoudg. Ths equals 6 365/360 = 6.083% per aum o a actual/365 bass wth quarterly compoudg Ths equals 6.038% per aum wth cotuous compoudg. 6.038% = 4 l(1+(6.083%/4)) The forward rate s 6.038% - 0.475 % = 5.563% per aum wth cotuous compoudg. 為何期貨利率大於遠期利率? 期貨利率大於遠期利率!! 原因有二 : 利率期貨逐日結算損益, 遠期利率協定到期一次結算期貨是在契約到期時 T1 結算, 遠期合約是在 T2 結算 45 46 為何期貨利率大於遠期利率? 原因一 : 假設某人欲使用利率契約規避 [T1, T2] 期間的借款成本任意時間 t, 該契約價值為 : ( R F R K ) 時間 t 所觀察的遠期利率 : R F 契約約定的借款利率 : R K R K R F 借 / 貸款起始日借 / 貸款結束日 0 t T1 T2 47 利率期貨逐日結算損益, 遠期利率協定到期一次結算當利率上升, R F, 該契約獲利, 且可以較高的利率存款當利率下降, R F, 該契約損失, 但可以較低的利率借款回補保證金因此, 以期貨契約借款較遠期利率協定佳, 故以期貨借款者較以遠期利率協定借款者增加, 因此期貨利率大於遠期利率 48 12

原因二 : 期貨是在契約到期時 T1 結算, 遠期合約是在 T2 結算利率上升, R F, 有收益 ( R F R K ) 遠期合約在 T2 得到, 折現至 T1, 因為 R F, 所以折現值降低, 不利 49 存續期間 (Durato) 存續期間是指債券持有人收到現金流量所需等待的平均時間假設債券在時間 t 有現金流入 c, 債券價格, 債券收益率 y ( 連續複利 ), 則 : yt 債券價格 = ce Durato D = 1 = 1 yt ce t 存續期間是收到現金流量的平均時間, 以現金流量現值除以債券價格為權數 50 存續期間的性質 (1) 存續期間的性質 (2) 債券價格 yt = ce 對收益率 y 微分, = 1 Δ yt 可以得到 : = ce t Δ y ( ) = 1 同除以債券價格, 可得 Δ = yt tce = 1 Δ = Δ y D y 51 Δ = D Δ y Δ = DΔy 存續時間可以描述債券價格變動百分比與債券收益率變動的近似關係債券價格變動百分比與債券收益率呈反向變動 52 13

Calculato of Durato Example Suppose the yeld rate o the bod s 12% per aum wth cotuous compoudg. 由上表可知, = 94.213,D = 2.653, 因此 : Δ = 94.213 2.653 Δ y= 249.95 Δy Tme (y) Cash flow Preset Value Weght Tme Weght T C P =C exp(-t y) W = P/P T W 當 Δy = + 10bp (0.1%),Δ = -0.24995 = -0.25 T1 = 0.5 5 4.709 0.050 0.025 T2 = 1 5 4.435 0.047 0.047 T3 = 1.5 5 4.176 0.044 0.066 T4 = 2 5 3.933 0.042 0.083 T5 = 2.5 5 3.704 0.039 0.098 T6 = 3 5 73.256 0.778 2.333 Total 130 P = 94.213 1 D =2.653 53 當 y = 12% y = 12.1% 5 exp( 0.121 0.5) + 5 exp( 0.121 1) + 5 exp( 0.121 1.5) + 5 exp( 0.121 2) + 5 exp( 0.121 2.5) + 105 exp( 0.121 3) = 93.963 Δ = 93.963 94.213 = - 0.25 54 修改後存續期間 (Modfed Durato) 推導過程先前, 債券收益率 y 是假設為連續複利, 若改為每年複利 m 次, 則存續期間的公式修改為 : = D = 1 y c 1 + m mt mt, y y tc 1 + c 1+ m = 1 m = = t = 1 D 修改後存續期間 D = y 1+ m mt 55 = = 1 y c 1 + m y mt 1 1 tc + Δ y = 1 m = tc 1 + = Δ y y = 1 m 1 + m 同除以債券價格並移項, 可得 y tc 1 + Δ = 1 m = y 1 + m D y * = Δ mt, 對收益率 y 微分, 可以得到 mt D Δ y = Δy y 1 + m mt * D 稱為修改後存續期間 (Modfed Durato) 56 14

修改後存續期間的性質 Δ = D Δy Δ = D Δy, y 每年複利 m 次修改後存續時間可以描述債券價格變動百分比與債券收益率變動的近似關係債券價格變動百分比與債券收益率呈反相變動 Example 某債券價格 94.213, 存續期間 2.653, 半年複利一次的收益率 y = 12.3673% 則修改後的存續期間 D* 為 : D* = 2.653 / (1 + 0.123673/2) = 2.499 因此, 當 ( 半年複利一次 ) 收益率增 10bps, 債券價格下降 : Δ = - 94.213 2.499 0.001 = - 0.235 債券價格成為 :93.978 = 94.213-0.235 57 58 Dollar Durato: D** 債券投資組合的 Durato Dollar Durato D** s defed by D** = D Δ = - D** Δy Dollar Durato 描述債券收益率變動 1%, 債券價格變動多少 ($) 的近似關係 59 假設 P 是由檔債券所組成的債券投資組合, 定義如下 : P = =1 假設債券的 Durato 為 D, P 其中 =1 j j=1 則債券投資組合的 Durato D 定義為 : D = w D, w = P 60 15

債券投資組合的 Durato 凸性 (Covexty) D P 用來描述 : 當債券投資組合裡的所有債券, 其債券收益率同時變動 Δy, 債券投資組合價值變動的 % ΔP = - D P Δy P 上式引含了一個假設, 即不同到期日的債券收益率變動量相等, Δy = Δy 當債券到期日分佈很廣時, 上述假設僅在 Zero Curve 平行移動時成立 61 Durato 僅適合在 Δy 變動幅度很小時債券投資組合 X 與 Y 一開始有相同的 Durato, 因此當 Δy 變動幅度很小時, 兩投資組合價值變化差距不大 Y X Δ Δy X Y 62 凸性 (Covexty) 資產與負債的投資組合避險 (Hedgg Portfolos of Assets ad Labltes) 當 Δy 變化很大時, 兩者價值變動就有很大的差距, 因為投資組合 X 較凸, 所以變化較投資組合 Y 大債券投資組合避險時, 除了考慮仍須 Durato, 仍須考慮 Covexty Y X Δ Δy X Y 金融機構為了規避利率風險, 必須調整資產的平均 Durato 與負債的平均 Durato 相同此法稱為存續期間配對 (Durato Matchg) 或投資組合免疫 (Portfolo Immuzato) 資產 :Log postos bods 負債 :Short postos bods 當 Yeld curve 平行移動 + 1bp, 資產負債變動抵銷資產下降負債減少 63 64 16

問題在存續期間架構下, 以利率期貨規避利率風險上述方法是在債券收益率平行移動的假設下討論, 然而債券收益率常常不是平行移動, 因此避險方法仍可能造成損失短期利率比長期利率較易波動短期利率與長期利率並非一定正相關可能長期利率上升, 短期利率下降更深入的投資組合管理課程 Notatos: F: 利率期貨合約的價值 ( 標的資產的期貨價值 ) Df: 在期貨到期時, 期貨標的資產的 Durato P: 投資組合在避險時點的遠期價格, 通常假設與今日價格相同 Dp: 在避險時點, 投資組合的 Durato 以下討論假設 Yeld Curve 以平行移動 65 66 在存續期間架構下, 以利率期貨規避利率風險假設債券收益率平行變動 Δy, 則 : 在存續期間架構下, 以利率期貨規避利率風險 N* 是避險 P, 需要的期貨單位數 ΔP = -P Dp Δy ΔF = -F Df Δy Durato-based hedge rato or prce sestvty hedge rato s N*= (P Dp) / (F Df) ΔP = (ΔP /ΔF) ΔF ΔP /ΔF = N* It makes the durato of the etre posto zero,.e. durato of ( P + N* F ) s zero. 67 68 17

注意事項注意事項若使用債券期貨避險, 則必須先預測哪一檔債券可能會是交割債券 (Cheapest-to-Delver od), 並以此債券算 Durato 若之後發覺可能交割的債券改變, 則必須調整避險部位規避中長期利率風險, 使用中期與長期公債期貨 (Treasury od ad Treasury Note Futures Cotracts ) 規避短期利率風險, 使用歐洲美元期貨 ( Eurodollar Futures Cotracts ) 69 利率下降, 期貨價格上升利率上升, 期貨價格下降利率期貨長 / 短部位的選擇 : 某公司利率下降時會損失, 須進入利率期貨長部位某公司利率上升時會損失, 須進入利率期貨短部位 70 債券投資組合的避險 (Hedgg a od Portfolo) 浮動利率借款的避險 (Hedgg a Floatg-Rate Loa) 8/2, 某基金經理人管理 $10m 債券投資組合, 想規避未來 3 個月的利率風險假設該債券投資組合的 Durato = 6.8 年債券經理人欲使用公債期貨規避利率風險假設 12 月到期的期貨報價 93-02 由市場觀察得知, 可能交割債券在到期的 Durato = 9.2 年最適避險口數 : N* = (10,000,000 6.8/93062.5 9.2)=79.42 因此, 應該進入債券期貨短部位 79 口假設,8/2 ~ 11/2 之間, 利率快速下降 : 債券投資組合部位價值上升至 $10,450,000 期貨報價為 98-16, 因此期貨損失 79 (98500-93062) = $429,562.5 Net Chage: 450,000-429,562.5 = $20,437.5 71 4 月, 某公司於借入 3 個月期的浮動利率借款 $15m, 利息每個月底支付, 利率為當月的 1-m LIOR +1% 假設今日觀察到的 1-m LIOR 為 8%, 則第一個月適用的利率確定為 9%, 無須進行規避利率風險借入 $15m 支付已知利息支付未知利息支付未知利息 & 本金 4 5 6 7 72 18

浮動利率借款的避險 (Hedgg a Floatg-Rate Loa) 浮動利率借款的避險 (Hedgg a Floatg-Rate Loa) 第 2 個月適用的利率在下個月 (5 月 ) 才能得知, 因此欲規避利率風險借款的 Durato = 1 moth = 0.0833y 假設 Jue Eurodollar Futures cotract 今日報價為 91.88 因此, 合約價格為 :10,000 [100-0.25 (100-91.88)] =$979,700 Eurodollar Futures cotract 的標的是三個月歐洲美元定期存款, 所以 Durato =3 moth = 0.25y 必須進入期貨短部位進行避險, 最適避險單位為 : N* = ( 15,000,000 0.0833) / (979,700 0.25) = 5.1 5/29, 1-m LIOR 為 8.8%,6 月期貨報價 91.12 公司在期貨部位的收益為 : 5 (979,700 977,800) =$9,500 or 5 25 ( 91.88 91.12) =$9,500 因為利率從 8 % 增加至 8.8 %, 公司利息支出增加 : 15,000,000 0.008 12 = $10,000 避險後, 利率上升造成的利息增加僅 :$500 進入 5 口期貨短部為進行避險 73 74 浮動利率借款的避險 (Hedgg a Floatg-Rate Loa) 浮動利率借款的避險 (Hedgg a Floatg-Rate Loa) 第 3 個月適用的利率在下個月 (6 月 ) 才能得知, 因此欲規避利率風險借款的 Durato = 1 moth = 0.0833 y 假設 September Eurodollar Futures cotract 今日報價為 91.44 因此, 合約價格為 :10,000 [100-0.25 (100-91.44)] =$978,600 Eurodollar Futures cotract 的標的是三個月歐洲美元定期存款, 所以 Durato = 3 moth = 0.25y 必須進入期貨短部位進行避險, 最適避險單位為 : N* = ( 15,000,000 0.0833) / (978,600 0.25) = 5.11 6/29, 1-m LIOR 為 9.4%,9 月期貨報價 90.16 公司在期貨部位的收益為 : 5 (978,600 975,400) = $16,000 or 5 25 ( 91.44 90.16) = $16,000 因為利率從 8 % 增加至 9.4 %, 公司利息支出增加 : 15,000,000 0.014 12 = $17,500 避險後, 利率上升造成的利息增加僅 :$1500 進入 5 口期貨短部為進行避險 75 76 19

Exercse 2,7,8,9,10,11,12,14,15,17,18,27 77 20