第二章訊號與評譜 Signal and spcrum 作者 : 陳昭宏義守大學電子工程系 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連 續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 第二章訊號與評譜 Signal and spcrum... 第一節學習目標... 3 第二節弦波訊號基本定義... 4 一 線頻與 Fourir sris... 4 二 週期訊號與平均功率... 5 三 範例... 5 第三節 Fourir rprsnaions or our class o signals... 7 一 Priodic Signal Fourir Sris FS... 7 二 三角富利葉級數 rigonomric Fourir sris... 8 三 誤差方均值 均方誤差值 MSE o Rprsnaion... 9 四 系統特徵問題簡介... 五 線性非時變系統之特徵函數 Eignuncion o LI sysm... 六 富氏分析之收斂條件... 七 Parsval s Powr horm... 4 第四節 Fourir 轉換與連續頻譜... 6 一 對稱訊號 Symmric signal... 7 二 因果訊號 Causal signal... 8 三 Rayligh s Enrgy horm... 9 四 對偶定理 Dualiy horm... 第五節時域與頻域之關係 im and Frquncy rlaions... 一 重疊性質 Suprposiion... 二 時間延遲 im dlay... 三 刻度變更 scal Chang... 3 四 頻率轉移與調變 Frquncy ranslaion and Modulaion... 4 五 調變定理 modulaion horm... 5 六 微分與積分 Dirniaion and Ingraion... 6 七 Convoluion... 9 第六節 Impuls and ransorms in h limi... 3
一 脈衝性質 Propris o h uni impulss... 3 二 脈衝之運算... 33 三 Impulss in rquncy... 33 四 步階函數 Sp uncions... 35 五 符號函數 Sign uncions... 35 六 Impulss in im... 36 七 範例 :Raisd Cosin Puls... 37
第一節學習目標 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 畫出或標示多弦波訊號之線頻譜 計算計算簡單訊號之平均 功率 總功率與能量 寫出訊號之 Fourir 級數與轉換之表示式 由時域辨識訊號之性質或由頻域辨識訊號之性質 畫出或標示方波列 單一方波與 sinc 脈波 說明與應用 Parsval s powr horm Rayligh s nrgy horm 描述 Fourir 轉換之定理 :im dlay, scal chang, 應用 Fourir 轉換之定理計算訊號之頻譜 瞭解與應用摺積定理 convoluion 說明 impulss 計算含 impulss, sps, sinusoids, rcangular 之頻譜
第二節弦波訊號基本定義 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 線頻與 Fourir sris 週期訊號與平均功率 範例 : 振幅 ϖ: 角頻率 φ: 相位角 ϖ φ v cos 上列訊號將以一時間 週期 重覆 ϖ 頻率 週期 Eulr s horm ± θ Eulr s 公式 cosθ ± sinθ 任何弦波函數可用下列方式表示為相量 Phasor cos [ ] ϖ φ ϖ φ R v R ϖ φ [ ] 一 線頻與 Fourir sris 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 線頻與 Fourir sris 週期訊號與平均功率 範例 每一單一頻率之弦波訊號可以表示為相量 phasor v cos ϖ φ v R V φ ϖ φ { } 每一頻率之可由相量畫出其頻譜或相譜 任意週期訊號可表示為 Fourir sris, 運算獲得對應之頻譜, 稱線頻譜 lin spcral 表示為線頻譜之規則
以頻率 表示 ϖ 相角對應於 cosin 函數 sinϖ cos 振幅為正數 ϖ 9 ϖ cos ϖ 8 cos ± 相位 度度量 : cos 徑度量 : cos ϖ ± 8 ϖ ± 二 週期訊號與平均功率 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 線頻與 Fourir sris 週期訊號與平均功率 範例 週期訊號, 有下列關係 v ± m v, 訊號平均值 v lim v d 週期訊號平均值 v v d vd 平均功率 P v v d 三 範例 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 線頻與 Fourir sris 週期訊號與平均功率 範例
弦波訊號 : 振幅 v cos ϖ ϕ ϖ: 角頻率 : ϕ 相位角 平均值 v cos ϖ φ d 平均功率 P v cos ϖ φ ϖ φ d cos d
第三節 Fourir rprsnaions or our class o signals 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條件 Parsval s Powr horm 一 Priodic Signal Fourir Sris FS 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm 任意離散之週期訊號週期為 N, x[n]x[nn], 可表示如下, DFS: ϖ, ω vˆ C ϖ ϖ 稱 之 次諧波 harmonic 任意連續之週期訊號週期為, xx, 可表示如下, FS: N n vˆ [ n] Ω [ ], Ω Ω N n Ωn 稱 之 次諧波 harmonic
諧波 harmonics 所有頻率皆為主頻率 undamnal rquncy 之整數倍 n, 稱 n 次諧波 harmonics 各分量大小如下: n n v d, C DC 分量 : C v d v 若為實數訊號 C n C n C n argc n 二 三角富利葉級數 rigonomric Fourir sris 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm n c cos n arg c n n vˆ c 常計算如下運算 / d / sin 定義 Sinc 函數 sinc λ sin λ λ λ sinc λ λ ±, ±, Sinc 函數波形
三 誤差方均值 均方誤差值 MSE o Rprsnaion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm 誤差方均值 均方誤差值 : 為估測值與原訊號之差量比較函數, 可用於判斷兩訊號之相同程度 連續 MSE x x 離散 MSE N N x[ n] x[ n] 非週期訊號 nonpriodic signal Fourir ransorm F 任何非週期訊號可以表示為下列近似值 連續 x 離散 x[ n] ω ϖ x X dω x[ n] X Ω Ωn dω 問題 : 判斷下列訊號之分析法
n a x[ n] u[ n] b x cos sin3 c x cos u d x[ n] m δ[ n m] δ[ n m] 先判斷連續或離散 D 再判斷週期 FS 或非週期 F a DF, b FS, c F, d DFS 四 系統特徵問題簡介 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm 任一運算子 H, 求下列等式之解, H { x } λx x 稱特徵問題特徵值 : λ 對應於 λ之特徵函數 x x 求岀之解若 H有等效之轉換矩陣 λ 特徵值 λ 對應之特徵向量 線性系統之特徵函數性質 h ignuncion Propry o Linar Sysms h acion o h sysm on an ignuncion inpu is muliplicaion by h corrsponding ignvalu. gnral ignuncion ignuncion Ψ or Ψ[n] and ignvalu λ.
B 連續 complx sinusoidal ignuncion ω and ignvalu hω. C 離散 complx sinusoidal ignuncion Ωn and ignvalu hω. 訊號之 ignuncion 表示法 M a x x M,...,, ω ϖ 可以表示為則任何訊號為訊號空間之特徵函數若之分量在為訊號 x a ϖ 五 線性非時變系統之特徵函數 Eignuncion o LI sysm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條件 Parsval s Powr horm M H H M,...,, ϖ ϖ δ ω ω ϖ 則任何 LI 系統可表示為為輸入訊號之訊號空間之特徵函數若 M M H a y a x ω ω ϖ 之輸出則對應於輸入
六 富氏分析之收斂條件 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm ω v ˆ C ϖ, 若 v 是 squar 殮 ingrabl 則可收. v ˆ 是否會收殮至 v? N vn C ϖ N 方波脈衝列 為週期連續訊號 週期為 脈衝寬為 Spcrum o rcangular puls rain wih ƒ /4 a mpliud b Phas
lim v v dv N N Gibbs 現象若 v 有不連續點是否會收斂? 收殮於 vn 不連續點之中間值 Gibbs 現象, 若 v 不連續點 為殮但, v可收. N 不連續點之中間值 [ v v ] Fourir-sris rconsrucion o a rcangular puls rain/
Gibbs phnomnon a a sp disconinuiy 七 Parsval s Powr horm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi
Priodic Signal and Fourir Sris FS 三角富利葉級數 誤差方均值 系 統特徵問題簡介 線性非時變系統之特徵函數 富氏分析之收斂條 件 Parsval s Powr horm 訊號之平均功率與 Fourir 係數之關係 P v d v v d n v c n n n v c n n n n P v cn d v n n P n c ncn cn n d c n 訊號能量 訊號能量 E v d 若上式存在且 E, 則此訊號稱稱為非週期之能量訊號
第四節 Fourir 轉換與連續頻譜 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 Fourir 轉換 V F [ v ] v d Invrs Fourir 轉換 v F - [ V ] V d V 頻譜之主要性質 Fourir 轉換是複數函數 V, 時 V 等於 v 之面積 V v d v d 實數訊號 v V V V V arg V arg V 方波脈衝 Rangular Puls 基本方波脈衝 / / > / 若 v /
頻譜 / V / d sin sinc Rcangular puls spcrum Vƒ sinc ƒ 一 對稱訊號 Symmric signal 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 訊號頻譜 V V V 其中 V V o v cos ϖ d o v sin ϖ d Evn symmrical: 若 v v 稱訊號為偶對稱 Evn symmrical Odd symmrical : 若 v v V o 稱訊號為奇對稱 Odd symmrical V Ral symmrical: 若訊號為實數 V V V V o
二 因果訊號 Causal signal 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 若訊號 v, 稱因果訊號 Causal signal 簡言之, 就是只有訊號開始後才可觀察到訊號 代入頻譜計算 V v d v d 上式與 Laplac ransorm 類似 L [ v ] s v s d 範例 :causal xponnial puls 有一因果指數衰減波形, 有時間常數 /b 波形函數 v b > 波形 求頻譜? 解 :causal xponnial puls v b > F V b
整理分母為實數 b b V 振幅 V b 相位 arg V arcan b 三 Rayligh s Enrgy horm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 Rayligh s Enrgy horm nrgy signal 類比於 Parsval powr horm powr signal, 說明訊號 v 之能量 E V V d V d 其中 V 為訊號之能量密度頻譜 nrgy spcral dnsiy 方波之能量密度頻譜 Enrgy spcral dnsiy o a rcangular 假設有一方波脈衝 寬, 能量密度頻譜 nrgy spcral dnsiy, 如下圖 : 假設只取頻帶
E / / / / V d sinc d.9 約有 9% 之能量 四 對偶定理 Dualiy horm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 對稱訊號 因果訊號 Rayligh s Enrgy horm 對偶定理 若檢視所有 Fourir ingral pair, 可發現只有一些變數與符號不同 如 : 若 V F v 假設 z V 則 F [ z ] v 其中 v 等於 v, 其中 對偶定理 : 簡單之概念 F v V F V v IF V v IF V v 範例 :Sinc Puls, z sincw 重要之分析訊號 求其頻譜?
解 : 方波訊號之頻譜 sinc / B V B v F Π 應用對偶性質 W, W B 得 sinc W W W z Π W W Z
第五節時域與頻域之關係 im and Frquncy rlaions 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積分 Convoluion 重疊性質 Suprposiion 時間延遲與刻度變更 im Dlay and Scal Chang 頻率轉移與調變 Frquncy ranslaion and Modulaion 微分與積分 Dirniaion and ingraion 運算 一 重疊性質 Suprposiion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion Fourir ransorm 之重疊性質 若兩訊號 v, v, 且常數 a, a 兩訊號之線性組合, 令 v a v a v 則 F [ v ] a F[ v ] a F[ v ] V a V a V 應用訊號之線性組合定理, 則任意訊號之線性組合 av av 二 時間延遲 im dlay 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 任何訊號 v
若將 -d, 則稱為延遲 d, v d 此延遲後之訊號與原訊號有相同之波封波形, 但時間位移位置不同 如此訊號之頻譜關係 v V d d 若 d >, 表示延遲 :, 表示超前 振幅頻譜 V d V d V 三 刻度變更 scal Chang 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 時域軸之刻度放大縮小與頻域間之關係? 時域與頻域軸放大縮小關係為倒數關係 時域放大頻域縮小, 時域縮小頻域放大 v α V, α α α 證明 : F ϖ [ v [ α ] ] v [ α ] d v [ α ] [ α ] / α λ v / λ ϖλ α λ dλ dλ V, α α α
範例 : 使用方波脈衝表示下列波形 方波脈衝 v / 寫出下列圖形之數學表示式, 並求頻譜? 解 : 使用方波脈衝表示下列波形 v / 圖 a 波形 z v v a d d 頻譜 [ ] d d Z V a [ sinc ][ sin ], / Z 圖 b a d 波形 v / v / z b 頻譜 Z b [ sinc ][ sin ] 應用 sinc 函數之定義 Z b [ sinc ] 四 頻率轉移與調變 Frquncy ranslaion and Modulaion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion F 若 v F, V F v
則稱下列運算為頻率移與調變 Frquncy ranslaion and Modulaion v ωc F V c 因是乘 c ω 稱複數調變 complx modulaion, 頻譜只移至一單邊頻帶 調變前後之頻譜, 調變前 a, 調變後 b 振幅 相位大小皆沒變化 由頻帶 移至中心頻 c 五 調變定理 modulaion horm 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 實際應用調變時, 無法使用複數訊號, 因此, 使用 cos φ φ v cos ϖ c φ V c V c 所以若訊號為時數訊號, 頻譜為 Hrmiian 所以頻寬為原來兩倍, 因為負的頻譜也進入至正頻譜 實數訊號負頻譜之資訊是與正頻譜相同 為 Hrmiian V V 範例 :RF Puls 若有如下圖之 RF 訊號
表示如下 z Π cos ϖ c 求頻譜? 提示 : 可視為將脈波訊號 Π 調變至 ϖ c 解 :R Puls F Π sinc 應用調變定理 φ φ v cos ϖ c φ V c V c 所以 Z sinc c sinc c 振幅頻譜如 : 六 微分與積分 Dirniaion and Ingraion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi
重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 微分與積分是常應用之運算, 若時域訊號微分與積分, 頻譜? Dirniaion horm d d d v V d d d V d d [ V ] d 所以 d d Nh 微分 v V n d v n d Ingraion horm v λ dλ n V V λ d dλ λ v λ dλ V dλ d v λ dλ V d 假如 V v λ dλ 則 v λ dλ V 範例 : 三角脈波 riangular Puls
有三角脈波如 : > λ λ d z w b 求頻譜? 提示 : 可以使用積分定理 並求 Z z b F b 解 : 三角脈波 riangular Puls 計算 Z z b F b sinc 應用積分定理 V d v λ λ λ λ d z w b Z W b sinc
七 Convoluion 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 重疊性質 時間延遲 刻度變更 頻率轉移與調變 調變定理 微分與積 分 Convoluion 數學運算 convoluion 被高度應用於通訊工程中, 是一種重要工具 應用於 系統分析 應用於 機率分佈之轉換計算 Convoluion 可以被應用於時域與頻域 時域 Convoluion 頻域有何結果? 頻域 Convoluion 時域有何結果? Convoluion Ingral 若有兩函數, 有相同之自變數 如 : 時間 v, w 則兩函數間之摺積運算定義為 v w w v w λ v λ dλ 注意定義之中之 λ, 可以是任何之變數符號 又 convoluion 是有交換性的所以 v w v w v λ w λ dλ 摺積之圖示 Graphical inrpraion o convoluion 下面將進行 convoluion 之分解圖示
w v, /, 中間過程函數 w, / λ λ 分段積分 *, *, *, d w v d w v w v λ λ λ λ λ λ Graphical inrpraion o convoluion Rsul o h convoluion 範例 :rapzoidal puls 之 convoluion 若有兩函數波形如
求兩函數之 convoluion? 解 :rapzoidal puls 之 convoluion 中間過程函數 分段積分 * *, *, *, w v w v w v w v 其他
第六節 Impuls and ransorms in h limi 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函數 Impulss in im 範例:Raisd Cosin Puls Impuls : 脈衝函數, 可以應用於時域與頻域, 當訊號為弦波訊號時, 其頻譜就必需以頻域之脈衝函數表示 ransorm in h limi: 以極限之概念所定義之轉換,impuls uncion 就是一種以極限概念所定義之函數與轉換 常用於訊號之表示, 尤其是非因果之訊號 wo uncions ha bcom impulss as ε 下圖為兩種運用 ransorm in h limi 所定義之 impuls uncion 一 脈衝性質 Propris o h uni impulss 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函數 Impulss in im 範例:Raisd Cosin Puls Uni impuls or Dirac dla uncion 為一特殊函數, 定義 ε δ d d δ ε δ, 基本性質
v v δ d ohrwis 取樣運算積分 v δ d d v d 二 脈衝之運算 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函數 Impulss in im 範例:Raisd Cosin Puls 延遲 δ d d v δ d v d 積分 v δ d u, sp signal 摺積 v w * δ w 相乘 v w δ w δ 三 Impulss in rquncy 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls 若純直流 DC 頻譜? v
可以以 ransorms in h limi 之概念定義 v lim sincw W 因為 ourir ransorm pair sinc W W δ W W 得 若為弦波訊號 cos ϖ φ v c 頻譜? 以 rquncy ranslaion and modulaion 概念 ϖ c δ c 應用 Eulr 公式 φ φ cos ϖ c φ δ c δ c Fourir sris n v c n V c n δ n n n 範例說明 :FM 訊號之頻譜表示 如下圖為 FM 訊號與其頻譜 如下為 FM 訊號表示 / cos ϖ / cosϖ v cos ϖ c c c
頻譜 V [ δ δ ] [ sinc sinc ] c c [ sinc sinc ] c c c c 四 步階函數 Sp uncions 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls 步階函數如下圖 函數表示如 u > 與脈衝函數之關係 u δ d du δ d 五 符號函數 Sign uncions 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls
符號函數如圖 函數表示如 sgn > 可由下圖之極限值定義 z b b > b u 六 Impulss in im 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls sinc 若, δ im impuls 表示在頻域, 所有頻率有相同之振幅
n impulsiv signal wih zro duraion has inini spcral widh, whras a consan signal wih inini duraion gas zro spcral widh. 七 範例 :Raisd Cosin Puls 學習目標 弦波訊號基本定義 Fourir rprsnaions Fourir 轉換與連續頻譜 時域與頻域之關係 Impuls and ransorms in h limi 脈衝性質 脈衝之運算 Impulss in rquncy 步階函數 符號函 數 Impulss in im 範例 :Raisd Cosin Puls 如圖 :raisd cosin puls 表示式為 v cos 求頻譜? 提示 : 應用微分定理 解 :Raisd Cosin Puls 一次微分 dv sin d
三次微分 sin 3 3 3 δ δ d v d 一次微分與三次微分之關係 3 3 δ δ d dv d v d V V 3 一次微分與三次微之頻譜關係
V V 3 整理得 3 / sin V 化簡 sin V