第九章正弦稳态功率和能量 三相电路 重点 : 平均功率, 无功功率, 视在功率 复功率 最大功率传输定理 三相电路
电阻 波形图及相量图 : R 9 9. 电阻电感 电容的瞬时功率 O p R u R t u = R 瞬时功率 : p R u R R sn ( ω t Ψ R [ cs ( ω t Ψ ] 瞬时功率以 交变 但始终大于零, 表明电阻始终是吸收 ( 消耗 功率
电感 功率 : p u m m sn( ωt sn ( ωt Ψ Ψ cs( ωt Ψ 波形图 : 瞬时功率以 交变, 有正有负, 一周期内刚好互相抵消 u p O t
电容 功率 : p 波形图 : u sn( ω t Ψu cs( ω t Ψu sn ( ω t Ψ u p u X O t 瞬时功率以 交变, 有正有 负, 一周期内刚好互相抵消
9. 正弦交流电路中的功率 无源一端口网络吸收的功率 (u u, 关联 u _ 无源 u( t snωt ( t sn( ωt φ φ 为 u和 的相位差 φ. 瞬时功率 (nstantaneus pwer 信息科学与工程学院杨华 Ψ u Ψ p ( t u snωt sn( ωt φ [csφ cs(ωt φ] 第一种分解方法 ; csφ( cs ωt snφ sn ωt 第二种分解方法
O 信息科学与工程学院杨华 第一种分解方法 : p ( t [cs φ cs( t φ ] p 第二种分解方法 : p 有时为正, 有时为负 ; u cs p>0, 电路吸收功率 : p<0, 电路发出功率 ; t - cs(( t p( t cs φ( cs t sn φsn t cs (-cs t cs (-cs t 为不可逆分量 O t - sn sn t sn sn t 为可逆分量
瞬时功率实用意义不大, 一般讨论所说的功率指一个周 期平均值. 平均功率 (average pwerp T T pdt 0 T 0 P T csφ [ cs cs( t ] dt P 的单位 :W( 瓦 = u - : 功率因数角 对无源网络, 为其等效阻抗的阻抗角 cs : 功率因数
cs, 纯电阻 0, 纯电抗 一般地, 有 0cs X>0, >0, 感性, 滞后功率因数 X<0, <0, 容性, 超前功率因数 例 : cs=0.5 ( 滞后, 则 =60 ( 电压领先电流 60 平均功率实际上是电阻消耗的功率, 亦称为有功功率 表示电路实际消耗的功率, 它不仅与电压电流有效值有关, 而且与 cs 有关, 这是交流和直流的很大区别, 主要由于电压 电流存在相位差 电流存在相位差
3. 无功功率 (reactve pwer Q Q def sn φ 表示交换功率的最大值, 单位 :var ( 乏 Q>0, 表示网络吸收无功功率 ; Q<0, 表示网络发出无功功率 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小 是由储能元件 的性质决定的 4. 视在功率 ( 表观功率 def 反映电气设备的容量 单位 : V ( 伏安
u - u - 信息科学与工程学院杨华 5. R 元件的有功功率和无功功率 R P R =cs =cs0 == R= /R Q R =sn =sn0 =0 对电阻,u, 同相, 故 Q=0, 即电阻只吸收 ( 消 耗 功率, 不发出功率 P =cs =cs90 =0 Q =sn =sn90 = 对电感,u 领先 90, 故 P =0, 即电感不消 耗功率 由于 Q >0, 故电感吸收无功功率 P =cs =cs(-90=0 u Q =sn =sn (-90= - - 对电容, 领先 u 90, 故 P =0, 即电容不消耗功率 由于 Q <0, 故电容发出无功功率
6. 电感 电容的无功补偿作用 u - R u - u p - 0 u t 当 发出功率时, 刚好吸收功率, 则与外电路交换功率为 p p 因此, 的无功具有互相补偿的作用 0 p u u t
7. 交流电路功率的测量 * W * u - R 电压线圈 电流线圈 单相功率表原理 : 电流线圈中通电流 = ; 电压线圈串一大电阻 R(R>> 后, 加上电压 u, 则电压线圈中的电流近似为 u/r u 设 sn( ωt φ, sn( ωt φ R R 则 M K csφ K' csφ K' P R
指针偏转角度 ( 由 M 确定 与 P 成正比, 由偏转角 ( 校准 后 即可测量平均功率 P 使用功率表应注意 : ( 同名端 : 在负载 u, 关联方向下, 电流 从电流线圈 * 号端流入, 电压 u 正端接电压线圈 * 号端, 此时 P 表示负载吸收的功率 ( 量程 :P P 的量程 = 的量程 的量程 cs ( 表的 测量时,P 均不能超量程
例. 已知 : 电动机 P D =000W,=0V,f =50Hz, =30F csφ D =0.8 求负载电路的功率因数 解 : D D _ D PD csφ D 000 00.8 csφ D 5.68 csφd 0.8( 滞后, φ D 36.8 设 00 D 5.6836.8, 00 jω 4.54 j.33 4.73 6.3 csφ D cs[0 ( 6.3 ] 0.96 ( 滞后 j.08
例. 三表法测线圈参数 _ * * W V R 已知 f =50Hz, 且测得 =50V,=,P=3W 解 : P R 50 R 50Ω P 30 30Ω R ( ω R 50 30 ω 34 40 34 0.7H
. 复功率 为了用相量 _ 负载 9.3 复功率 和 来计算功率, 引入 复 P Ψu, cs( Ψu j u Re( e 信息科学与工程学院杨华 Ψ Ψ Re[ e j e 功率 j( u ] 记则 P * * Re[ ] * 为复功率, 单位 V ( Ψu Ψ φ φ csφ jsnφ P j Q ( 其中 Q snφ 无功功率, 单位 Var( 乏
有功, 无功, 视在功率的关系 : 有功功率 : P=cs 单位 :W 无功功率 : P=sn 单位 :var 视在功率 : = 单位 :V Q P X Q X º _ º _ R R X _ X P R R 功率三角形阻抗三角形电压三角形
电压 电流的有功分量和无功分量电流的有功分量和无功分量 : ( 以感性负载为例 X R _ R R _ X _ X R cs P 称 R 为 的有功分量 sn Q X 称 X 为 的无功分量 G _ G G G csφ P 称 G 为 的有功分量 snφ Q 称 为 的无功分量
根据定义根据定义 sn φ Q 吸收无功为正 0 sn 90 0 R X X Q Q 吸收无功为负 0 90 sn( X X Q X ( 发出无功 X 电抗元件吸收无功, 在平均意义上不做功 反映了电源和负载之间交换能量的速率 无功的物理意义 : 无功的物理意义 : ( : ω ω X Q 举例 max max m π W T fw ω π
* : * 也可以表示为以下式子复功率 ( * * * * * Y Y Y 复功率守恒定理在正弦稳态下任电路的所有支路吸收复功率守恒定理 : 在正弦稳态下, 任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零 即 0 0 * b k k k b k k 0 0 j ( b b k k b k k P Q P 0 b k k k Q 此结论可用特勒根定理证明
., * 不等于视在功率守恒复功率守恒 * ( * * * ( _ 一般情况下 : b k k
例. 已知如图, 求各支路的复功率 0 0 _ 0 j5 5 -j5 解一 : 发 00 [(0 j5 //(5 j5] 36( 37. V 36( 37. 00 88 j44 V * * Y 36 ( 768 j90 V 0 j5 * Y 3 j3345 V 吸 吸
0 0 0 5 _ 0 0 j5 -j5 05.3 ( 8.77 j5 5 j5 0 j5 5 0 0 解二 : V j93 769 j5 (0 8 77 34.5 4.94 j5 5 j5 0 j5 (0 3 05 ( 8 77 0 V j3348 6 j5 (5 4.94 V j93 769 j5 (0 8.77 * 吸吸 V j43 885 j5 (0 05.3 ( 8.77 0 发
功率因数提高 信息科学与工程学院杨华 设备容量 ( 额定 向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定 75kV P=cs 负载 cs=, P==75kW cs=0.7, P=0.7=5.5kW 一般用户 : 异步电机空载 cs =0.~0.3 满载 cs=0.7~0.85 日光灯 cs=0.45~0.6 功率因数低带来的问题 : ( 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有 ; ( 当输出相同的有功功率时, 线路上电流大 =P/(cs, 线路压降损耗大
解决办法 : 并联电容, 提高功率因数 ( 改进自身设备 分析 : _ R 并联电容后, 原感性负载取用的电流不变, 吸收的有功无功都不变. 即负载工作状态没有发生任何变化. 由于并联电容的电流 领先 90, 总电流 减少. 电源端的功率因数 csφ. 从相量图上看,, 的夹角减小了, 从而提高了
补偿容量的确定 : 将 snφ snφ csφ P, csφ csφ P (tgφ tgφ P ( tgφ tgφ ω ω P( tgφ tgφ Q 信息科学与工程学院杨华 P csφ 代入得 补偿容欠量不同全 不要求 ( 电容设备投资增加, 经济效果不明显 过 使功率因数又由高变低 ( 性质不同 综合考虑, 提高到适当值为宜 ( 0.9 左右
功率因数提高后, 线路上电流减少, 就可以带更 多的负载, 充分利用设备的能力 再从功率这个角度来看 : 并联 后, 电源向负载输送的有功 cs = cs 不变, 但是电源向负载输送的无功 sn < sn 减少了, 减少的这部分无功就由电 容 产生 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而 功率因数得到改善
例. 已知 :f=50hz, f =380V, P=0kW, cs =0.6( 06( 滞后 要使功率因数提高到 0.9, 求并联电容 _ P=0kW cs =0.6 _ R 解 : 由 csφ 0.6 得 φ 53. 3 由 csφ P (tg φ tg φ 3 00 (tg53.3 34 380 375 F 0.9 得 φ 5. 84 tg5.84
例 : s(t ( 0.5H 0.5F 信息科学与工程学院杨华 图中电路 ( t 5 cs t 电路处于稳态. 试求电源提供的 P,Q, 并计算,csφ 解 : 对电源而言的无源网络, 其输入阻抗为 故得 ( j ( j 3 j j j 3 Q P cs P R e m cs ( ( Q arctg 5 5 75 3 3 3 3.5V 75W 8.3 Var 0.944
例 : 例 : 检验图中电路复功率的平衡例 : 例 : 检验图中电路复功率的平衡解 : 三个阻抗所消耗的复功率各为. * *... * 3 3 其和为 : * * * * * * * * * ( *
94 最大功率传输定理 9.4 最大功率传输定理讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 P max 的条件 max = R jx = R jx = R jx, = R jx - ( (, X X R R ( = R jx 可任意改变 R ( ( X X R R R R P 有功功率
(a 先讨论 X 改变时,P P 的极值 信息科学与工程学院杨华 显然, 当 X X =0, 即 X =-X 时,P 获得极值 P R ( R R (b 再讨论 R 改变时,P 的最大值 当 R = R 时,P 获得最大值 P max 4R 综合 (a (b, 可得负载上获得最大功率的条件是 : = *, 即 R = R X =-X 此结果可由 P 分别对 X R 求偏导数得到
( 若 = R jx 只允许 X 改变 此时获得最大功率的条件 X X =0, 即 X =-X 最大功率为 P max R ( R R (3 若 = R jx =,R X 均可改变, 但 X / R 不变 ( 即 可变, 不变 此时获得最大功率的条件 = 最大功率为 P max cs ( R cs X sn 证明如下 :
(3 的证明 : R (3 的证明 : cs ( ( X X R R R P φ cs cs X X X X R R R R φ cs sn cs cs φ X φ R sn cs ( φ X φ R d ( (, P 得即改变最小需使最大若使 0 0, ( d d 即得即 此时 P max 即如 (3 中所示 证毕!
本章小结 :. 正弦量三要素 : m,,. 比较 电阻 电感 时域 u=r dt 频域 ( 相量 R j u d 电容 du dt j 相位 有效值 =R =X X = 有功 P= R= /R 0 0 = -X X = -/( 无功 0 Q= Q= - 能量 W= Rt W= / W=u /
3. 相量法计算正弦稳态电路 先画相量运算电路 电压 电流 相量 复阻抗 相量形式 K KV 定律, 欧姆定律 3 网络定理计算方法都适用 4 相量图 4. 功率 复功率 P j Q P Q φ 视在功率有功无功 P Q P Q csφ sn φ Re[ ] m[ ] P Q
9.6 三相电路 三相电源 对称三相电路 3 不对称三相电路示例 4 三相电路的功率
三相电源 信息科学与工程学院杨华 一 对称三相电源的产生通常由三相同步发电机产生, 三相绕组在空间互差 0, 当转子转动时, 在三相绕组中产生感应电压, 从 而形成对称三相电源 Y º N º X 三相同步发电机示意图
. 瞬时值表达式 u u X Y u. 波形图 u u u u u u ( t ( t ( t sn t sn( t sn( t 0 0 三端称为始端, X Y 三端称为末端 u 0 O t
3. 相量表示 0 0 0 0 ( ψ 0 4. 对称三相电源的特点 0 0 0 u u u 0 0
5. 对称三相电源的相序 : 三相电源中各相电源经过同一值 ( 如最 正序 ( 顺序 : 负序 ( 逆序 : 大值 的先后顺序 相序的实际意义 : 对三相电动机, 如果相序反了, 就会反转 3 D 3 D 正转 反转 以后如果不加说明, 一般都认为是正相序
二 对称三相电源的联接. 联接 信息科学与工程学院杨华 星形联接 (Y 接 : 把三个绕组的末端 X, Y, 接在一起, 把始端,, 引出来 X Y X Y N X, Y, 接在一起的点称为 Y 接对称三相电源的中点, 用 N 表示 N
三角形联接接三个绕组始末端顺序相接三角形联接 ( 接 : 三个绕组始末端顺序相接 X X Y X Y Y 三角形联接的对称三相电源没有中点
Y X 名词介绍 : N Y 信息科学与工程学院 杨华 ( 端线 ( 火线 : 始端,, 三端引出线 ( 中线 : 中性点 N 引出线, 接无中线 (3 三相三线制与三相四线制 (4 线电压 : 端线与端线之间的电压, X, (5 相电压 : 每相电源的电压,,
对称三相电源线电压与相电压的关系 ( Y 接. 对称三相电源线电压与相电压的关系 N 0 设 X Y N N 0 N 0 N 30 3 0 0 N N N N 90 3 0 0 30 3 0 0 N N 50 3 0 0
利用相量图得到相电压和线电压之间的关系 : 信息科学与工程学院杨华 30 N 30 N 30 N N N N N 一般表示为 : 3 N30 3 N 30 3 N30 线电压对称 ( 大小相等, 相位互差 0
结论 :Y 接法的对称三相电源 ( 相电压对称, 则线电压也对称 ( 线电压大小等于相电压的 3倍, 即 l 3 p. (3 线电压相位领先对应相电压 30 所谓的 对应 : 对应相电压用线电压的第一个下标字母标出 N N N
( 接 ( 接 0 0 设 0 0 X Y 0 0 0 0 即线电压等于对应的相电压
注意 : 关于 接还要强调一点 : 始端末端要依次相连 信息科学与工程学院杨华 正确接法 0 =0, 接电源中不会产生环流 错误接法 总 0, 接电源中将会产生环流
为此, 当将一组三相电源连成三角形 时, 应先不完全闭合, 留下一个开口, 在 开口处接上一个交流电压表, 测量回路中 总的电压是否为零 如果电压为零, 说明 连接正确, 然后再把开口处接在一起 信息科学与工程学院杨华 V 型接法的电源 : 若将 接的三相电源去掉一相, 则线电压 仍为对称三相电源 V
. 对称三相电路 信息科学与工程学院杨华 一 对称三相负载及其联接. 对称三相负载 ( 均衡三相负载 : 三个相同负载 ( 负载阻抗模相等, 阻抗角相同 以一定方式联接起来. 对称三相负载的联接 : 两种基本联接方式 ' N' ' ' N 星形联接 ' ' ' ab 三角形联接 bc ca
a n b c N an ab a b c 信息科学与工程学院杨华 an ab bc ca 负载的相电压 : 每相负载上的电压 负载的线电压 : 负载端线间的电压 线电流 : 流过端线的电流,, 相电流 : 流过每相负载的电流,, ab an bc bn,,, ab, bc ca ca cn
3. 对称三相电路 : 由对称三相电源和对称三相负载联接而成 按电源和负载的不同联接方式可分为 Y Y,Y 0 Y, 等 Y 0,Y, 二 对称三相电路的计算 对称三相电路的计算方法是一相计算法. Y Y 接 ( 三相三线制, Y 0 Y 0 ( 三相四线制 _ N c a n b 设 ψ ψ 0 ψ 0 φ
a 以点为参考点对点列 _ N n c 以 N 点为参考点, 对 n 点列写节点方程 : nn an b c nn ( 3 0 0 ( 3 nn nn 电源侧线电压对称负载侧线电压也对称电源侧线电压对称, 负载侧线电压也对称 nn N an ψ 负载侧相电压 : nn N bn 0 ψ ψ nn N cn 0 ψ
计算电流 : φ ψ an φ ψ bn 0 φ ψ cn 0 φ ψ 流过每相负载的电流与流过相应端线的线电流是同一电流, 且三相电流也是对称的 因 N,n 两点等电位, 可将其短路, 且其中电流为零 因 N,n 两点等电位, 可将其短路, 且其中电流为零 这样便可将三相电路的计算化为一相电路的计算 当求出相应的电压 电流后, 再由对称性, 可以直接写出其出相应的电压 电流后, 再由对称性, 可以直接写出其它两相的结果
a _ N n an b c 一相计算电路 : 相计算电路 : a 由一相计算电路可得 : φ ψ an an N n 由对称性 由对称性可写出 : φ ψ φ ψ 0, 0
结论 :. nn =0, 电源中点与负载中点等电位 有无中线对电路情况没有影响 没有中线 (Y Y 接, 三相三线制, 可将中线连上, 此时中线中没有电流 因此, Y Y 接电路与 Y 0 Y 0接 ( 有中线 电路计算方法相同 且中线有阻抗时可短路掉. 对称情况下, 各相电压 电流都是对称的, 可采用一相 ( 相 等效电路计算 只要算出一相的电压 电流, 则其它两相的电压 电流可按对称关系直接写出 3.Y 形联接的对称三相负载, 其相 线电压 电流的关系为 : ab 3 30, an ab
. Y 接 a N a ab ca ψ 设 _ N b c b ca ψ ψ 0 0 bc φ ab 30 3 ψ 负载上相电压与线电压相等 : bc ab 90 3 30 3 ψ ψ ca 50 3 ψ
计算相电流 : ab bc ab bc 3 ψ 30 3 ψ 90 ca 3 ca ψ 50 φ φ 线电流 : ab ca 3 ab 30 φ bc ab 3 bc 30 ca bc 3 ca 30 _ N ca ca c 30 30 bc ab ca bc a ab ab b
结论 : ( 负载上相电压与线电压相等, 且对称 ( 线电流与相电流也是对称的 线电流大小是相电 流的倍, 相位落后相应相电流 30 3 故上述电路也可只计算一相, 根据对称性即可得到其余 两相结果 /3 a a _ N ca ab n /3 c b bc N n
φ ψ 3 3 3 / an a N n /3 φ ψ ab 30 3 30 3 N n an ab 30 3 30 3 ψ
3. 电源为 接时的对称三相电路的计算 ( Y, N N N N 将 接电源用 Y 接电源替代, 保证其线电压相等, 再根据上述 Y Y, Y Y 接方法计算
例 : _ N N N _ 3 3 3 30 30 30 l a _ N l c b N l N 30 3 l a /3 n
小结 :. 三相电压 电流均对称 负载为 Y 接 线电压大小为相电压的 3, 线电流与对应的相电流相同 相位领先 30. 负载为 接 线电压与对应的相电压相同 线电流大小为相电流的 3, 相位滞后 30.
. 对称三相电路的一般计算方法 ( 将所有三相电源 负载都化为等值 Y Y 接电路 ; ( 连接各负载和电源中点, 中线上若有阻抗可不计 ; (3 画出单相计算电路, 求出一相的电压 电流 : 一相电路中的电压为 Y 接时的相电压 一相电路中的电流为线电流 (4 根据 接 Y 接时线量 相量之间的关系, 求出原电 路的电流电压 (5 由对称性, 得出其它两相的电压 电流
例. l 已知对称三相电源线电压为 380V, =6.4j4.8, l =6.4j4.8 l 求负载 的相电压 线电压和电流 l 解 : N N l l N l N l N N l a n
a N a l V 0 380 设 N N n V 30 0 N 则 73. 7. 30 0 30 0 N 43..88 j8.8 9.4 l V 36. 36.8 36.9 8 73. 7. an V 36. 36.8 36.9 8 73. 7. an V 6. 36.9 V 6. 36.8 3 30 3 an ab
例. 一对称三相负载分别接成 Y 接和 接 分别求线电流 Y Δ 解 : Y N N Δ / 3 3 N 3 Δ Y 应用 :Y 降压起动