Goals 第 3 章資料的描述 : 數值的測量 Descrbg Data: umercal Measures. Calculate the arthmetc mea, weghted mea, meda, mode, ad geometrc mea. 2. Epla the characterstcs, uses, advatages, ad dsadvatages of each measure of locato. 3. Idetfy the posto of the mea ( 平均數 ), meda, ad mode for both symmetrc ad skewed dstrbutos. 4. Compute ad terpret the rage, mea devato, varace ( 變異數 ), ad stadard devato( 標準差 ). 5. Uderstad the characterstcs, uses, advatages, ad dsadvatages of each measure of dsperso. 6. Uderstad Chebyshev s theorem ad the Emprcal Rule as they relate to a set of observatos. 2 3. 簡介 Measures of Locato Arthmetc Mea Weghted Mea Meda Mode Geometrc Mea Measures of Dsperso Rage Mea Devato Varace Stadard Devato 集中趨勢測量 算術平均數是最常使用與出現的集中趨勢測量尺度 算術平均數就是將所有的數值加總後, 再除以資料的總個數 算術平均數包括母體平均數與樣本平均數 3 4
3.2 母體平均數 (Populato Mea) 母體平均數 : 就是將母體中所有的數值加總後, 再除以資料 的總個數 : X = µ = 其中, µ 是希臘的小寫字母 mu, 代表母體平均數 Ν 是母體中所有資料的個數 Χ 是代表任何特定的資料值 Σ 是希臘大寫字母 sgma, 表示進行加法運算 ΣΧ 是所有 Χ 資料值的總和 參數 (Parameter) 母體資料特徵的測量值, 測量值可以採取不同定義 5 6 3.3 樣本平均數 (Sample Mea) 樣本平均數 : 是樣本資料值的總和除以樣本資料的總個數 : X = = 統計量 (Statstc) 樣本資料特徵的測量值 其中 為樣本中所有觀測資料的總個數 樣本平均數用來估計母體平均數 7 8 2
3.4 算術平均數 (Arthmetc Mea) 的性質. 每一組區間尺度或比例尺度的資料都有一個平均數 2. 所有的數值都必須包含在平均數的計算中 3. 一組資料只有一個平均數, 平均數是獨一無二的 4. 算術平均數非常便於進行二個以上不同母體間的比較 5. 每個資料值與算術平均數之間差異的總和一定為 0 9 算術平均數的性質 4- 證明 ( ) = pf : ( ) = 0,. = where = = = = = = = = = = 0 = = 0 範例 : 3 8 和 4 的平均數為 5 解釋第 4 個性質 [ ] Σ( ) = (3 5) + (8 5) + (4 5) = 0 3.5 加權平均數 (Weghted Mea) 加權平均數是算術平均數的一個特例 它使用在好幾個觀察資料具有相同數值時 通常, 2,...,, 與相對應的權重 w, w 2,...,w 計算公式為 : w ( w + w2 2 +... + w = ( w + w +... w 2 ) ) Q: 使用算數平均數之缺點為何? ( bar sub w) 2 3
範例 若某商店賣出 0 杯飲料 中杯價格為 $0.9 的有 3 杯, 大杯價格為 $.25 的有 4 杯, 重量杯價格為 $.5 的有 3 杯 使用公式找出這 0 杯飲料的平均價格 w 3($0.9) + 4($.25) + 3($.5) = 3+ 4+ 3 範例 : Weghted Mea The Carter Costructo Compay pays ts hourly employees $6.50, $9.00, or $25.00 per hour. There are 26 hourly employees, 4 of whch are pad at the $6.50 rate, 0 at the $9.00 rate, ad 2 at the $25.00 rate. What s the mea hourly rate pad the 26 employees? $2.20 = = $.22 0 3 4 3.6 中位數 (meda) 中位數 : 將一組數值由小排列到大或是由大排列到小之後, 中間的數值就是中位數 大於和小於中位數的資料值個數一樣多 對於偶數個資料值, 中位數將是兩個中間資料值的平均數 適用於算數平均數不具有代表性 範例 五位大學生之年齡 :2, 25, 9, 20, 22 由小至大排列 : 9 20 2 22 25 因此中位數為 2 四位籃球選手的身高為 :76, 73, 80, 75 英吋 由小至大排列 : 73 75 76 80 因此中位數為 75.5, 即 (75+76)/2 5 6 4
中位數的主要特徵 3.7 眾數 (mode). 中位數不受極大值或極小值所影響 因此, 在資料中出現了極端值時, 中位數是一個適合用來表示資料的集中趨勢的測量值 2. 中位數可以用來計算比例尺度 區間尺度及順序尺度的資料 3. 就像平均數一樣, 中位數也是唯一的 亦即一組資料只有一個中位數 眾數 : 在觀測資料中次數出現最多的數值 如果沒有出現一次以上時, 將沒有眾數 可能會超過一個眾數 範例 7: 十位學生的考試分數為 : 8 93 84 75 8 87 8 75 8 87 因為 8 分最多, 所以為眾數 7 8 3.8 平均數, 中位數, 眾數的相對位置 對稱分配 : 平均數 = 中位數 = 眾數 正偏斜分配 圖形呈現平均數 > 中位數 > 眾數的分配圖 偏斜到右邊 9 20 5
負偏斜分配 圖形呈現平均數 < 中位數 < 眾數 偏斜到左邊 3.9 幾何平均數 (Geometrc Mea) 幾何平均數 : 為一組包含 個正數的資料, 計算幾何平均數的方式為將 個正數相乘後, 開 次方根 幾何平均數 (geometrc mea) 適合用在計算百分比 比例 指數或成長率的平均數 GM = ( )( 2)( 3)...( ) 2 22 幾何平均數 幾何平均數的第二個應用是, 計算一段時間內平均百分比的增加率 GM = 期末值期初值 3.0 為什麼要研究資料離散程度 理由 : 平均值, 中位數等只描述資料集中的位置, 沒有提供資料離散的程度 資料離散的程度測量值很小, 可用算術平均數代表整個資料 資料離散的程度測量值很大, 算術平均數不是很具有代表性 23 離散程度 (Dsperso) 24 6
平均 :4.9, 離散 :6 個月 ~6.8 年 3.0 為什麼要研究資料離散程度 理由 2: 可以對二組或二組以上資料分配的離散程度進行比較 ( 佳 ) ( 不穩定 ) 25 26 3. 離散程度的測量 是一組資料中所有數值的分散程度 (the spread of the data) 分散趨勢的測量方法有 : 全距 平均差 變異數 標準差 全距 (Rage) 全距 : 最簡單的離散程度測量法 它是一組資料中最大值與最小值之間的差距 全距 = 最大值 - 最小值 在計算全距時只使用到兩個資料值 非常容易受極端值所影響 容易計算與瞭解 應用於品質管理之統計流程控制 (SPC) 27 28 7
EXAMPLE Rage The umber of cappuccos sold at the Starbucks locato the Orage Coutry Arport betwee 4 ad 7 p.m. for a sample of 5 days last year were 20, 40, 50, 60, ad 80. Determe the rage for the umber of cappuccos sold. Rage = Largest Smallest value = 80 20 = 60 29 平均差 (Mea Devato) 平均差 : 所有數值與算術平均數間差距之絕對值 的算數平均數 平均差的特性有 : 它不易受極端值所影響 M D = 在計算平均差的過程中使用了所有數值 缺點在於絕對值不容易運算 = 30 EXAMPLE Mea Devato 母體變異數 (Populato Varace ) The umber of cappuccos sold at the Starbucks locato the Orage Coutry Arport betwee 4 ad 7 p.m. for a sample of 5 days last year were 20, 40, 50, 60, ad 80. Determe the mea devato for the umber of cappuccos sold. 3 母體變異數 : 計算各數值與平均數差距, 取平方後的算術平均數 ( ) 2 µ 變異數不會是負數 2 變異數可以等於零 ( 實務較少 ) 主要的特徵 : 在計算中使用了所有的數值 不易受極端值所影響 = σ = 單位的意義不容易解釋, 其為原來單位的平方 計算變異數的程序 (p. 88) 32 8
母體標準差 (Populato Stadard Devato) 樣本變異數 (sample varace) 母體標準差 σ: 母體變異數開的平方根 = = σ ( ) 2 µ s = 2 = ( ) 2 ( 估計 ) 樣本變異數 母體變異數 33 34 樣本標準差 (Sample Stadard Devato) 樣本標準差為樣本變異數的平方根 s = = ( ) 2 3.2 標準差的使用與解釋 柴比雪夫定理 : 對於任何觀測資料組 ( 無論是母體還是樣本 ), 落在算術平均數加減 k 個標準差範圍內數值的比例, 至少佔所有數值比例的 -/k 2 其中,k 為任何大於 的常數 35 36 9
標準差的使用與解釋 經驗法則 : 在對稱的鐘形次數分配中, 約有 68% 的數值落在平均數加減 個標準差的範圍內 ; 約有 95% 的數值位於平均數加減 2 個標準差的範圍內 ; 幾乎全部 (99.7%) 之數值位於平均數加減 3 個標準差的範圍內 37 38 0