Microsoft Word - 95_1_stat_handout_04抽樣與抽樣分配.doc

4 第四章抽樣與抽樣分配 006 年 8 月 9 日最後修改 4. 抽樣與抽樣方法 4. 抽樣分配概論 4. 常見的抽樣分配 4.4 中央極限定理 4. 抽樣與抽樣方法母體 (populatio): 我們有興趣的研究對象, 一般是由許多個體或所組成的集合樣本 (sample): 母體的部分集合我們有興趣的是母體, 但是實際測量研究的是樣本我們希望經由樣本提供的資訊來推測母體的狀況 ( 推論統計 ) 需要樣本的理由 : 普查的成本高 ( 時間金錢 ) 無法作普查 ( 無法掌握每一個體 ) 有時測量會破壞樣本抽樣 (samplig): 由母體中挑選出樣本的動作抽樣的考量 : 代表性 ( 正確反應母體的狀況 ) 抽樣成本 ( 金錢時間方便性 ) 研究母體 (study populatio, 抽樣母體 ): 以抽樣的目的而對母體的另一種定義真正可以被選取之個體的集合為研究母體例如以電話訪問選民的投票傾向, 母體是所有合格選民, 研究母體 ( 抽樣母體 ) 則是有登錄電話號碼的選民 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4- 頁

抽樣方法抽樣方法分成兩大類 : () 隨機抽樣方法 () 非隨機抽樣方法隨機抽樣 (radom samplig): 知道母體中特定個體被抽中之機率隨機抽樣可以計算抽出某特定樣本的機率非隨機抽樣 (o-radom samplig): 不涉及機率的抽樣方法隨機抽樣方法 : () 簡單隨機抽樣 (Simple Radom Samplig) 每個元素被抽中的機率皆相等 () 分層隨機抽樣 (Stratified Radom Samplig) 有自然分組, 各組內分別作簡單隨機抽樣適用組間差異大的情況 () 叢集抽樣 (Cluster Samplig) 有自然分組, 以組為單位作簡單隨機抽樣 ( 抽中哪些組 ) 適用組間差異小的情況 (4) 系統抽樣法 (Systematic Samplig) 有系統分組後,( 以簡單隨機抽樣法 ) 隨機抽取一組隨機抽樣方法 : () 立意抽樣法 () 滾雪球抽樣法 () 偶遇抽樣法 (4) 定額抽樣法抽樣誤差母體參數 (populatio parameters): 母體的特徵, 如 μ σ 樣本統計量 (sample statistic): 樣本的特徵, 如 x s 樣本統計量是一個樣本的函數, 應寫成 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4- 頁

x + x + + x x = x( x, x,, x ) = (,,, ) s= s x x x = ( x x) + ( x x) + + ( x x) 樣本統計量隨樣本的不同而改變, 母體參數則為定值樣本統計量也是隨機變數既然 x x,,, x 都是隨機變數, x ( x x x ) s( x x x ),,,,,, 抽樣誤差 (samplig error): 樣本統計量與母體參數間的差距 ε = μ =,,, μ, 也是隨機變數抽樣誤差, x x( x x x ) 當然也是隨機變數 4. 抽樣分配概論抽樣分配 (samplig distributios): 樣本統計量的分配最常見的樣本統計量為 : x + x + + x x = x( x, x,, x ) = (,,, ) = = s s x x x 基本樣本統計量 : (,,, ) ( ) T = T x x x = x + x + + x U = U x, x,, x = x + x + + x ( x x) + ( x x) + + ( x x) 一致且獨立分配 (Idetical ad Idepedet Distributio, i.i.d.): 若 x x,,, x 有相同的分配, 而且互相獨立, 則稱 x, x,, x 為一致且獨立樣本需 i.i.d. 才容易計算其抽樣分配例若 x, x,, x 皆為參數 p 的白努力分配, 且互相獨立, 則 T = x + x + + x 為參數 p 的二項分配例題設 Z = + Y, 其中 Y 的機率分配分別如下 : P(,Y) \ Y / / 4/ / 4/ / 4/ 5/ / 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4- 頁

求 Z 的分配 Y Z=+Y P(Z)=P(+Y) Z P(Z) / / / 6/ 4 4/ 4 / / 5 8/ 4 4/ 6 / 5 / 4 4/ 5 5/ 6 / 例題設 Z = + Y, 其中 Y 的機率分配分別如下 : P() Y P(Y) / / 5 / 4 / Y 相互獨立, 求 Z 的分配 P(,Y) \ Y 4 /6 /6 5 /6 /6 Y Z=+Y P(Z) Z P(Z) 5 /6 5 /6 4 7 /6 7 /6 5 7 /6 9 /6 5 4 9 /6 例題設 Z = + +, 其中,, 的機率分配分別皆如下 : P() 0 / /,, 相互獨立, 求 Z 的分配 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-4 頁

Z= + + P(Z) Z P(Z) 0 0 0 0 /7 0 /7 0 0 /7 6/7 0 0 /7 /7 0 4/7 8/7 0 0 /7 0 4/7 0 4/7 8/7 計算統計量的分配給定一組隨機變數 x, x,, x, 則求取統計量 f ( x x x ),,, 的分配有三種方法 : () 累計分配函數法 (Cumulative-distributio-fuctio Techique) () 動差母函數法 (Momet-geeratig-fuctio Techique) () 變數變換法 (Trasformatios) 兩個簡單的結果 : 若 Y, 的聯合機率函數為 P Y,, 且 Z= + Y則 = (, ) = (, ) P Z P Z P Z Y Y 範圍 Y 範圍若 Y, 的聯合機率密度函數為 f xy,, 且 Z= + Y則 = (, ) = (, ) f z f x z x dx f z y y dy x 範圍 y 範圍例題 4 若 (a) f ( x ) (b) f x, y = xy, 0 x, 0 y, 且令 z = x+ y, 求 f y (c) f xy (d) f z 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-5 頁

y= y= 0 0 ( a) f x = f x, y dy = xydy = x y = x = x= 0 0 x (, ) ( b) f y = f x, y dx = xydx = y x = y f x y xy () c f x y = = = x f y y = ( ) ( d) f z f x, z x dx x= x( z x) dx= z 0 z x= 0 z = x( z x) dx= z ( z ) ( z ) < z x= 0 x( z x) dx= z x= z ( z ) ( z ) < z 計算統計量的期望值與變異數定理 : 令 Z = + + +, 若,,, 互相獨立, 則 E Z = E + E + + E Var Z = Var + Var + + Var 定理 : 對任一隨機變數, 與任一實數值常數 r R, 則 E( r ) = re( ) Var r = r Var( ) 定理 : + + + 令 Z = EZ, 若,,, 互相獨立, 則 E( ) + E( ) + + E( ) = Var( ) + Var( ) + + Var( ) Var( Z) = 定理 : + + + 令 Z = E = E = = E = μ, 若,,, 互相獨立, 且 Var( ) = Var( ) = = Var( ) = σ 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-6 頁

則 EZ E + E + + E μ = = = μ Var( ) + Var( ) + + Var( ) σ σ Var( Z) = = = 例題 5 設 Z = + Y, 其中為 = p = 0.5 的二項分配,Y 為 = p = 0. 的二項分配, 且 Y 相互獨立, 計算 E( Z ) Var( Z ) EZ = E ( + Y) = E + EY = 0.5 + 0. =.9 Var( Z) = Var( + Y ) = Var( ) + Var( Y ) = 0.5 ( 0.5) + 0. ( 0.) =. 例題 6 設 Z = + Y, 其中 Y 為相互獨立的標準常態分配, 計算 E( Z ) Var( Z ) EZ = E + EY = 0+ 0= 0 Var Z Var Var Y = + = + = 例題 7 設 Z = + +, 為 λ = 的卜瓦松分配, 為 λ = 的卜瓦松分配, 為 λ = 0.5 的卜瓦松分配, 計算 E( Z ) Var( Z ) EZ = E + E + E = + + 0.5=.5 Var( Z) = Var( ) + Var( ) + Var( ) = + + 0.5=.5 例題 8 設 Z = + + + 4 + 5,,,, 分別為 = 0 p = 0.4, 相互獨立的二項分配, 5 計算 E( Z ) Var( Z ) EZ = 5 E = 5 p= 5 0 0.4= 0 Var( Z) = 5 Var( ) = 5 p ( p) = 5 0 0.4 0.6 = 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-7 頁

4. 常見的抽樣分配四個基本的抽樣分配 : () z 分配標準常態分配, 對稱鐘形, μ = 0, σ = () χ 分配卡方分配, 右偏, μ = k, σ = k ( 自由度 = k ) () F 分配 m+ 右偏分配, μ =, σ = mm 4 ( = ( m, ) (4)t 分配對稱鐘形分配, μ = 0, k σ = k ( 自由度 = k ) 自由度 ) 若則,,, 皆為標準常態分配, 且相互獨立, Y = + + + 為自由度的卡方分配 df χ = 若皆為自由度的卡方分配, 且相互獨立, 則 Y = 為自由度 (, ) 的 F 分配 F df =, 若為標準常態分配, 為自由度的卡方分配, 且相互獨立, 則 Y = 為自由度的 t 分配 t df = 一些有用的結果 : 若 N( μ, σ ) N( μ, σ ) (, ) Y = + N μ + μ σ + σ, 且相互獨立, 則若,,, N( μ, σ ), 且相互獨立, 則 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-8 頁

( μ, σ ) T = + + + N + + + = μ Y = z 分配 σ N μ, σ 若,,, N( μ, σ ) ( ) s 其中, 且相互獨立, 則 Y = χ σ s df = ( ) ( ) ( ) + + + + + + =, = 若,,,, Y, Y,, Y N( μ, σ ) 其中, 且相互獨立, 則 s Z = F s s s (, ) df = ( ) + + + + + + =, = ( ) Y Y + Y Y + + Y Y Y + Y + + Y =, Y = 若,,, N( μ, σ ) μ Y = t s 其中, 且相互獨立, 則 df = ( ) + + + + + + s =, = 例題 9 設 Z = + + + 0, 其中,,, 0為相互獨立的標準常態分配, () 右尾檢定, 臨界值為 5, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α = 0., 請計算臨界值 Z 成為 μ = 0 0 = 0 σ = 0 = 0 的常態分配 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-9 頁

() 計算 P( Z ) α = 5 = 0.0569, () 計算 a 使得 P( Z a) = 0. a=.664 + + + 0 例題 0 設 Z =, 其中,,, 0為相互獨立的標準常態分配, 0 () 右尾檢定, 臨界值為, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α = 0., 請計算臨界值 Z 成為 μ = 0 0 0 = 0 σ = 0 0 = 0 0 的常態分配 () 計算 α = P( Z ) = 0.0008, () 計算 a 使得 P( Z a) = 0. a= 0.66 例題設 Z = + + +, 其中,,, 0為相互獨立的標準常態分配, 0 () 右尾檢定, 臨界值為 5, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α = 0., 請計算臨界值 Z 成為自由度 0 的 χ 分配 α = P Z = χ = 0 5 = 0., () 計算 ( df ) () 以及計算 a 使得 ( χ df = ) P Z = 0 a = 0. a= 5.987 例題設 Z = ( + + ) ( Y + Y ) () 右尾檢定, 臨界值為 0, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α = 0., 請計算臨界值 Z 成為自由度 (, ) 的 F 分配 () 計算 α P( Z F df = ) () 以及計算 a 使得 ( df = ) = =, 0 = 0.0480,, 其中,,, Y, Y 為相互獨立的標準常態分配, P Z = F, a = 0. a= 9.68 例題設 Z = ( Y + Y + Y ) () 右尾檢定, 臨界值為, 請計算 α 值, 其中, Y, Y, Y 為相互獨立的標準常態分配, 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-0 頁

() 右尾檢定, α = 0., 請計算臨界值 Z 成為自由度的 t 分配 () 計算 α P( Z t df = ) () 以及計算 a 使得 ( df = ) = = = 0.088, P Z = t a = 0. a=.677 + + + + + + + + 例題 4 設 Z =, 其中 σ,, 分別為平均數 μ 標準差 σ, 相互獨立的常態分配, () 右尾檢定, 臨界值為 9, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α = 0., 請計算臨界值 Z 成為自由度 = 的 χ 分配 α = P Z = χ df = 9 = 0.0, () 計算 () 以及計算 a 使得 ( χ df = ) 四個抽樣分配間的關係符號 : P Z = a = 0. a= 4.605 z α 表示累計機率為 α 之 z 分配臨界值 : P( x z α ) = α χ α, df 表示累計機率為 α 自由度 df 之 ( ),, χ 分配臨界值 : P( x χα, df ) = α F α 表示累計機率為 α 自由度 (, ) 之 F 分配臨界值 : P x F α, (, ) = α t α, df 表示累計機率為 α 自由度 df 之 t 分配臨界值 : (, df ) P x t α = α χ 分配的變化 α, df z α χ α, df = lim = 自由度 df = 時, 成為 z 分配的平方 : χ = = 自由度 df = 時, F 分配的變化 df χ α, df df 為常數 : 自由度 = (, ) 與 df (, ) 自由度 df (, ) = 的 F 分配互為倒數 : Fα df = ( ) F α df = ( ) = = 時, 成為 χ 分配除分子自由度 : Fα,,,, = χ α, df =, df =, 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4- 頁

自由度 df (, ) t 分配的變化 zα = 時, 成為 t 分配的平方 : Fα, df = (, ) = = t α χ, df = α, df = 自由度 df = 時, 成為 z 分配 : t α, df = = zα F 可由 F 分配得到 : Fα, df (, ) = = F α, df = (, ) χ 可由 F 分配得到 : χα, df = = Fα, df = (, ) t 可由 F 分配得到 : tα, df = = F α, df = (, ) z 可由 F χ 或 t 分配得到 : zα = F α df (, ) = χ α = = t, =, df α, df = 例題 5 就以下 F 分配機率表, 請計算 :() F α = 0.88, df = ( 6,8) ;() χ α = 0.06, df = ;() t α = 0.06, df = 6 ;(4) z α = 0.0 F 分配右尾機率表 α = 0.0 α = 0.06 α = 0. 8 6 8 6 8 6 4 0.8744 8.06 7.907 7.808 6.7640 5.46 5. 5.56.8858.540.469.445 8 6.970 4.556.944.8 4.794.09.0664.999.084.866.49.757 6.0550.09.6.000 4.6.6845.540.469.808.099.06.9674 6 5.678.980.764.646 4.0966.456.070.50.6977.9596.879.84 0 5.4580.788.5695.4498.9749.77.75.0907.679.884.79.740 9999 4.706.75.8964.76.58.8704.700.6006.477.5968.4889.48 () Fα = 0.88, df = ( 6,8) = = = 0.50 Fα = 0., df = ( 8,6).9596 () χ α 0.06, df F 0.06, (, ).700 0.406 = = = α = df = = = () tα = 0.06, df = 6 = Fα = 0.06, df = (,6) =.6977 =.645 (4) zα= 0.0 = tα= 0.0, df = = Fα = 0.06, df = (, ) =.58 =.880 抽樣分配的查表練習題目四種機率 ( 左尾右尾區間雙尾 ) 中, 區間又稱為信賴區間 (cofidece itervals), 左尾右尾雙尾有時會稱為拒絕區域 (regio of rejectio) 一般拒絕區域不會包含等式 : P( < a) P( > b) P( < a > b) 或左尾右尾雙尾的機率又稱為顯著水準 (sigificace level), 以 α 表示, 如 P( x a) = α, 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4- 頁

左尾右尾雙尾的機率有時也稱為 p 值 (p-value) 信賴區間的機率又稱為信賴度 (level of cofidece), 以 α 表示, 如 P( a x b) = α 信賴區間的兩臨界值 (cofidece limits) 一般都以平均數對稱點互相對稱例題 6 隨機變數為標準常態分配 : (a) 計算信賴區間 { } (b) 計算左尾 { } 的顯著水準 ; (c) 計算右尾 { } 的顯著水準 ; 的信賴度 ; (d) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值 ; (e) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值 ; (f) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值 ( a) α = P z = 0.687 ( b) α = P z = 0.08 ( c) α = P z = 0.00 ( d) P z a = 0.05 a=.645 ( e) P z a = 0.05 a=.645 ( f) P a z a = 0.05 a=.96 例題 7 隨機變數為 μ = 4, σ = 的常態分配 : (a) 計算信賴區間 { 7} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 9, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.0, 求臨界值 ; (f) 右尾檢定, α = 0.0, 求臨界值 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.0, 求臨界值 * 4 * 7 4 x= x= 7 α ( a) z = =, z = =, = P z = 0.8664 * * * ( b) α = P z z z = 0.9 z =.645 臨界值 = 4 ±.645 a= 0.7, b= 7.9 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4- 頁

* ( c) z 4 5 5 x= = =, p= P z = 0.006 * ( d) z 9 4 5 5 x= 9 = =, p= P z = 0.006 * * ( e) α = P z z = 0.0 z =.6 a = 4.6 = 0.65 * * ( f) α = P z z = 0.0 z =.6 b= 4 +.6 = 8.65 ( 或 ) * * * ( g) α = P z z z z = 0.0 z =.576 臨界值 = 4 ±.576 a=.5, b= 9.5 例題 8 設 Z = + Y, 其中 Y 相互獨立, 且為 μ = σ = 的常態分配,Y 為 μ = σ = 4 的常態分配, (a) 計算信賴區間 { Z 7} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 9, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.0, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.0, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.0, 求臨界值拒絕區域 Z 成為 μ = + = σ = + 4 = 5的常態分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α = 0.446 ( b) 5. Z. ( c) p= 0.9 ( d) p= 0.5 ( e) Z < 8.6 ( f) Z > 4.6 ( g) Z 9.88 Z 5.88 例題 9 設 Z = + + + 9, 其中,,, 9為相互獨立的標準常態分配, (a) 計算信賴區間 { Z 7} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 9, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 Z 成為 μ = 9 0= 0 σ = 9 = 的常態分配 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-4 頁

{ < 或 > } { } { } { } ( a) α = 0.596 ( b) 4.9 Z 4.9 ( c) p= 0.694 ( d) p= 0.00 ( e) Z < 4.9 ( f) Z > 4.9 ( g) Z 5.88 Z 5.88 + + + 6 例題 0 設 Z =, 其中,,, 6為相互獨立的標準常態分配, 6 (a) 計算信賴區間 { 0.5 Z 0.5} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 6 0 6 Z 成為 μ = = 0 σ = = = 的常態分配 6 6 6 4 { < 或 > } { } { } { } ( a) α = 0.9545 ( b) 0.4 Z 0.4 ( c) p= 0.0000 ( d) p= 0.0000 ( e) Z < 0.4 ( f) Z > 0.4 ( g) Z 0.4900 Z 0.4900 例題設 Z = + + +, 其中,,, 0為相互獨立的標準常態分配, 0 (a) 計算信賴區間 { Z 8} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 8, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 Z 成為自由度 0 的 χ 分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α = 0.94 ( b).94 Z 8. ( c) p= 0.007 ( d) p= 0.0550 ( e) Z <.94 ( f) Z > 8. ( g) Z.5 Z 0.48 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-5 頁

例題設 Z = ( + + ) ( Y + Y ) (a) 計算信賴區間 { Z 8} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 8, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 Z 成為自由度 (,) 的 F 分配 { < 或 > }, 其中,,, Y, Y 為相互獨立的標準常態分配, { } { } { } ( a) α = 0.974 ( b) 0.05 Z 9.6 ( c) p= 0.6495 ( d) p= 0.05 ( e) Z < 0.05 ( f) Z > 9.6 ( g) Z 0.06 Z 9.7 例題設 Z = ( Y + Y + Y ) (a) 計算信賴區間 { Z } 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 Z 成為自由度的 t 分配 { < 或 > }, 其中, Y, Y, Y 為相互獨立的標準常態分配, { } { } { } ( a) α = 0.8607 ( b).5 Z.5 ( c) p= 0.088 ( d) p= 0.088 ( e) Z <.5 ( f) Z >.5 ( g) Z.8 Z.8 + + + + + + + + 例題 4 設 Z =, 其中 σ,, 分別為平均數 μ 標準差 σ, 相互獨立的常態分配, 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-6 頁

(a) 計算信賴區間 { Z 6} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 6, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 Z 成為自由度 = 的 χ 分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α = 0.6897 ( b) 0.5 Z 7.85 ( c) p= 0.987 ( d) p= 0.6 ( e) Z < 0.5 ( f) Z > 7.85 ( g) Z 0.6 Z 9.48 Y μ 例題 5 設 Z =, 其中 s + + + + + + ( ) + ( ) + ( ) s =,,,, Y 分別為平均數 μ 標準差 σ, 相互獨立的常態分配, (a) 計算信賴區間 { Z } 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 Z 成為自由度 = 的 t 分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α = 0.865 ( b).9 Z.9 ( c) p= 0.098 ( d) p= 0.098 ( e) Z <.9 ( f) Z >.9 ( g) Z 4.0 Z 4.0 s 例題 6 設 Z =, 其中 s 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-7 頁

s s = = + + + + + + ( ) + ( ) + ( ) Y+ Y+ Y Y+ Y+ Y Y+ Y+ Y ( Y ) + ( Y ) + ( Y ),,, Y, Y, Y 分別為平均數 μ 標準差 σ, 相互獨立的常態分配, (a) 計算信賴區間 { Z 8} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α = 0.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 8, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α = 0.05, 求臨界值拒絕區域 Z 成為自由度 (,) 的 F 分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α = 0.807 ( b) 0.05 Z 9.00 ( c) p= 0.6667 ( d) p= 0.056 ( e) Z < 0.05 ( f) Z > 9.00 ( g) Z 0.06 Z 9.00 4.4 中央極限定理若,,, 為 i.i.d., 來自平均數 μ 標準差 σ 的母體, 令 + + + = 則當時, σ N μ, μ N σ ( 0,) 006 陳欣得統計學抽樣與抽樣分配第 4-8 頁