東吳經濟統計 B 組 學年上學期期末考題庫 大致分數分配 : 定義 解釋名詞及改錯 %, 補充題目 35%, 課本例題 習題 老師講義及上課練習 35%, 沒看過的新鮮題目 % 英文考題在整份考卷中約佔 % 以上原則可能誤差 ± 5% 補充題目. ( 年高考三級 ) 設以,, 6, 8,,, 構成一個大小為 7 之母體, 自此母體 中以還原方式隨機抽出一個 的樣本, 並求算其平均數 x.5, s : ( 一 ) 此母體變異數之值為何?(5 分 ) 答 : 用七筆資料算出之母體平均數 µ 8, 母體變異數 7 7 ( X i µ ) ( X i 8) i i 6, N 7 ( 二 ) X 之平均數 變異數 標準誤 (stadard eor) 分別為何? (5 分 ) 答 :7 定理 5.: 若 Y, Y,..., Y 是 個獨立隨機變數, 則 E aiyi aie ( Yi ), i i V aiyi ai V ( Yi ) 樣本平均數 X X, 故 X 之平均數是 i i i i E ( X ) E X i E ( X i ) µ 8, X 之變異數是 i i 6 V X ( X ) V X i i V ( X i ), X 之標準誤是 X 6 i 6,. (97 高考 7-3) 若 XYZ 公司之每日股價變動 X 為一隨機變數, 其隨機分配如下 X x 3 P ( X x)... ( 一 ). 試求隨機取二個樣本之平均數的抽樣分配 答 : 下表前兩欄是 X 分配, 後四欄是由所有 可能兩日樣本所得到的 X 分配 依據分配資料可算出各自之平均數與標準差 ( 二 ). 每日股價變動,X 隨機抽取兩日平均股價變動, X 機率 X 機率 P ( X x) X X X f ( X )...6..5.6 3. 3..8.5.6..6 3.5.8 3..8 3.5.8 3 3 3.. µ X.8, X.56 µ X.8,.8,.59 X X
( 三 ). 根據 ( 一 ) 式, 計算樣本平均數之期望值和標準差 答 : 直接由上表可算出.8,.59 X X µ X.8, ( 四 ). 利用中央極限定理計算出樣本平均數之期望值和變異數 答 : 利用中央極限定理,.56 E ( X ) µ.8, 標準誤.8 和上述計算結果相同 X 3. ( 年高考三級 ) 某政府單位想瞭解 A 城市與 B 城市之家庭平均收入的差異性, 抽樣調查 的結果如下 : 樣本數平均收入 ( 干元 ) 標準差 A 城市 35 B 城市 398 ( 一 ) 兩樣本平均差的標準誤為何?(5 分 ) 答 : 因為樣本數都超過 3, 故可用中央極限定理 並以樣本 s 代替母體 故算出標準誤為 s s.85 35 ( 二 ) 若想檢定 H µ 時, 檢定統計量為何?(5 分 ) 答 : 以 Y, Y 分別表示 A 城市與 B ( ) y y 398 3 城市之平均收入, 則檢定統計量是 z.68.85 35 ( 三 ) 當標準差相等時, 若想檢定 H µ 時, 檢定統計量為何? 檢定統計量之值為何? 答 : 若標準差相等, 合併兩樣本計算合併標準差 s.877.9 統計檢定量 z 3.65.889 ( 四 ) 當標準差相等時, 在 H µ 呈現常態分配, 平均數為 ( µ µ ) z ( Y Y ) ( µ µ ) s ( ) ( ) 3 39 s s 35 ( Y Y ) ( µ µ ) s, 其值為 z 398.9 35 時, 檢定統計量的分配為何? 答 : 樣本平均數差異 ( Y Y ), 標準差是 s 呈現 Z (,) 的標準常態分配, 標準化後就得到統計檢定量 ( 五 ) 當標準差相等時, 若想檢定 H µ vs. H µ, 在顯著水準 α.5下, 你如何下結論?(5 分 ) 答 : 雙尾檢定之關鍵值為 zα z.5.96, 不論標準差是否相等, 樣本統 計量都落在拒絕區間之外, 故結論是無法拒絕兩城市家庭平均收入相等之虛無假設
. ( 高考 3 級 ) 具有自由度 a 和 b 的 F 分配的 ( α ) th 百分位數以 F ( a, b) α 表示 : ( 一 ) 百分位數 Fα ( a, b) 與 F α ( b, a) 的關係式為何?(5 分 ) 答 : 其關係為 Fα ( a, b) 課本 367, 作業 7.8 是電腦題, 7.9 證明此關係之一半 ( 二 ) 若兩組樣本數分別為 與, 樣本變異數分別為 比 S S 的實際分配為何 F α ( b, a) S 與 S 與, 則兩個常態母體樣本變異數 ( 三 ) 若兩組樣本數分別為 與 5, S 96 與 S, 則兩個常態母體變異數比 的 9% 信賴區間為何? ( 三 ) 若想檢定 H : v.s. H :, 在 α.下, 你如何下結論? 5. (9 初等,8-) 若已知 E( X ) 5, ( X ) 多少的樣本? 答 : X 5 標準化後得到 5, 若欲達到 P ( X 5 ). 99 z, 故需抽樣 66 人 5 的準確度, 需抽樣 6. (98 初等, 8-5) 隨機抽取某藥廠所生產的 毫升瓶裝感冒藥水 瓶, 得到其容量的樣本 標準差為. 毫升 設藥水容量之母體分配為常態, 請計算該藥廠所生產的瓶裝感冒藥水的 容量之母體變異數的 95% 信賴區間為何 答 :(.95,.33) 7. (95 初等, 8-8) 假設某公司業務員接訂單每筆金額呈現常態分配, 平均金額為 35 元, 標準 差為 元 某業務員一個月接 6 筆訂單 a. 求該業務元月平均銷售金額 95% 雙尾信賴區間 答 : (96, 39) 請注意, 此處是用常 態分配, 因為題目給的是母體資料 b. 若信賴水準 9%, 則 t 信賴區間與常態信賴區間的長度相差多少 答 : 信賴水準 9%, 標準常態關鍵值 z.5.65,df8 的 t 分配關鍵值是 t.5.753 故 t 信賴區間長度.753 96.5,z 信賴區間長度.65 9.75 前者比後者長 6 6 59.55 8. (93 公務人員委任升等 ) 某民調機構意欲以簡單隨機抽樣方式, 進行高雄市市長候選人支持度民調, 事先規劃民調的抽樣誤差最多為.5%, 並訂定信賴水準為 95% 請問: a. 該民調公司至少得從全市市民當中隨機抽選多少人, 才能達到以上的要求? 答 :E.5 z.96 表示抽樣誤差, 由 ( ).5.5.5.5 ( 78.) 536. 6, 樣本 E.5 應選取 537 人 b. 若該民調公司依據您在第 小題所算出的樣本數進行民調, 並且在所有被選中的市民中, 6 有 6 人支持甲候選人 請算出甲候選人支持度的 99% 信賴區間 答 :. 39, 537 3
99% 信賴水準之 z.5.58, 標準差 ( ).39.696 537 ( ).38 537.55., 故信賴區間為 : ± zα.39 ±.58..39 ±.3, 也就是甲候選人 99% 信賴區間介於.3583 到.5 之間 9. (9 地方政府三等 ) 某社團有社員 5, 位, 每年的社員大會參與人數比例為, 今年利用電 話隨機抽取 位, 結果有 6 為決定參加, 其餘決定不參加 試問 之 9% 信賴區間為何?. M 公司原來處理個案的平均成本是 6, 比同業要高 故 M 公司推行成本節約計畫, 其後處 理 9 個案之平均成本是 X 5, 假設我們知道母體標準差母體標準差是 8( 所以用? 分配 ) M 公 司經理決定用.5 顯著水準來檢定推行節約計畫後平均成本是否低於 6 但是他也擔心會 有型二誤差, 所以經理用其他公司資料 µ 5.5 當成對立假設 a. 請畫出型一與型二誤差圖形 b. 型二誤差與檢定力各是多少?. (96 地方政府三等,9-) 台灣某藥廠在廣告上宣稱該藥廠所研發的藥品對某種疾病的治癒 率為 8%, 藥品檢驗中心對該藥廠之 A 藥進行 例之臨床治療實驗, 結果有 例治癒 跟舉此臨床治療實驗結果, 請問該藥廠對 A 藥品的廣告所述是否真實? 請以 α 5% 檢定之 答 : 雙尾檢定, H : π.8,h : π.8 決策規則是拒絕 H 如果 z >. 96 由資.7.8 料算出樣本 z.9, 研究結論是拒絕 H.8(.8). (96 專技高考,9-3) 假設某個國家在去年 個登記結婚的男性國民中, 平均年齡為 6 歲, 標準差為 8 歲 在使用.5 的顯著水準下, 試問這是否暗示現在男性結婚年齡大於 歲? 答 : 單尾檢定, H,H > 決策規則是拒絕 H 如果 z>.65 由資料算出樣 6 本 z. 5, 研究結論是拒絕 H 8 3. (95 身心障礙三等, 9-37) 假設 X,,X 6 為由母體 N X, 所抽出的一組隨機樣本 若 令放棄虛無假設 (ull hyothesis)h 之區域為 X < 及 X > 5 a. 當 6 時, 試求在 µ.5 下, 第一型錯誤 (tye I error) 的機率為何? 答 : ~ N( µ,) 當 µ.5 時, Pr ( X < ) Pr( z <.5). 3, Pr ( X > ) Pr( z >.75). 66 誤差 α.3.66.679 b. 當 5 時, 試求在 µ 下, 第二型錯誤 (tye II error) 的機率為何? 5 X, 型一
5 答 : X ~ N µ, 但是我們需要 µ 和型一誤差 α 才能算型二誤差, 故原題目敘述不完整, 6 建議可以這樣做 用上小題的 µ.5 當作 H 以及上一小題的 α, 然後對 H 求型二誤 差 上一小題的接受區域是 < X < 5, 對 µ 可以計算出.6 < z <., 故型二誤差 β.35. (9 初等,9-7) 假設 H :.75,H : >.75, 其中 為在職工作者希望取得碩士文憑之比 例 當隨機抽樣某群體樣本 5 在職工作者, 其中有 35 位希望取得碩士文憑, 問所 35.75 需的標準化統計檢定量 Z 為何? 答 : z 5.9.75(.5) 5 5. (96 年高考,9-65) 某年全省民營加油站經度量衡檢定所抽查油量計 795 具, 發現超過法定誤 7 差範圍的有 具 而公營加油站抽驗的 9 具中, 只有 7 具不合格 A 先生認為 > 795 9 故應對民營加油站加強檢驗工作 B 先生則認為應該進行統計檢定, 並選擇 H : P公 P民 vs. H : P 公 > P民 但是 C 先生卻認為虛無假設和對立假設應設為 H : P公 P民 vs. H : P 公 < P民 ( 已知 Z.5.65,Z.5.96) ( 一 ). 請協助 B 先生進行假設檢定 答 : 先計算民營比例 P民.337, 公營比例 795 7 X 公 X民 7 P 公.77, 和混合比例 Pc.33 B 先生的假設是 9 公 民 795 9 H : P公 P民 vs. H : P 公 > P民 ( 若怕混淆, 可將對立假設改寫為 H : P 公 P民 > ), 這 是右尾檢定, 5% 顯著水準關鍵 z.65 代入資料後算出樣本 P公 - P民.77 -. 337 -. 593 z c ( - c ) c ( c ). 33. 98867. 33. 98867. 6 795 9 -.39, 故結論是無法拒絕 H : P公 P民, 我們尚無足夠證據來說 公營加油站不合格 比例低於民營 不成立 ( 二 ). 請問 B 先生和 C 先生的虛無和對立假設之設定對統計檢定的影響 答 :C 先生的假設是 H : P公 P民 vs. H : P 公 < P民 現在是左尾 5% 顯著水準, 故關鍵 z-.65 由資料算 P公 - P民.77 -. 337 -. 593 出樣本 z c ( - c ) c ( c ). 33. 98867. 33. 98867. 6 795 9 -.39, 故結論是無法拒絕 H : P公 P民, 我們尚無足夠證據來說 公營加油站不合格比 例高於民營 不成立 ( 三 ). 請問您支持 A B C 哪一位先生的結論, 請說明理由 答 : 首先要做假設檢定才能決定 是否可由樣本資料來決定母體有顯著差異 至於如何建構假設, 支持 C 先生作法 因為樣本資 5
料顯示公營加油站不合格率較低, 故合理的推想應該是 H : P 公 < P民, 這正是 C 先生的對立假設 雖然目前樣本 z 還無法拒絕 H, 但至少方向正確 而 B 先生的對立假設 H : P 公 > P民也可寫成 H : P 公 P民 >, 其關鍵 z 值是正數, 是公營不合格率大於民營時較可能成立, 這與目前觀察到資料的趨勢相反 ** 如果要判斷單尾檢定的方向, 可以這樣想 : 樣本 z 在右方就進行右尾檢定, 樣本 z 在左方就進行左尾檢定 6. (96 年普考,9-59) 一位研究人員欲瞭解兩種肥料對韓國草的生長影響 他隨機選擇 所學校 區域並將每個區域劃分為兩塊, 分別施灑兩種肥料進行觀察, 並記錄韓國草的高度如下 : 3 5 6 7 8 9 A 肥料 3..6.9 3.5 3..8 3..6.8. B 肥料 3... 3. 3..7 3.3.7.6.3 ( 一 ) 請問此種蒐集資料方式的優點或缺點? 答 : 在每塊土地都使用兩種肥料, 也就是蒐集成 對母體資料, 之後就可專注於分析兩種肥料效果是否有差異, 而不考慮韓國草在各塊土地生長 速率不同 缺點則是自由度降低, 雖然試種 塊土地, 但是因為當作成對母體, 故自由度只 有 -9 ( 二 ) 協助此為研究人員進行單尾統計檢定和推論, 顯著水準 5% 答 : 首先由上述資料算出 A 肥料與 B 肥料之差異 d 如下表 da 肥料 -B 肥料...8... -. -... 因為 d 大多是正數, 故將虛無假設與對立假設建構為 H d, H d > 右尾檢定 自由度 9 的 t 分配,α.5 之關鍵值是.833, 故決策規則是拒絕 H 如果 t >.833 d 的平均 ( ) 值是 d.8, 變異數 d d s d.68, 標準差 d s.66 故 d 的標準誤是 s d.66 d.8.87 代入成對母體平均數檢定公式得到 t.757, 落在 sd.87 拒絕區間, 故結論為兩種肥料有顯著差異, 使用 A 肥料的韓國草顯著高於 B 肥料 6