第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1
打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1000 100 100 以內的質數有 25 個 - 44 -
第 2 章神奇的質數 100~200 之間的質數有 21 個 200~300 之間的質數有 16 個 300~400 之間的質數有 16 個 400~500 之間的質數有 17 個 500~600 之間的質數有 14 個 600~700 之間的質數有 16 個 700~800 之間的質數有 14 個 800~900 之間的質數有 15 個 900~1000 之間的質數有 14 個 2 57885161 1 17425170 2013 1 25 GIMPS 2008 8 23 2 43112609 1 12978189 2.1.2 驗證質數 1000 質數驗證演算法 確定性演算法 隨機演算法 - 45 -
打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 N 2 N-1 N N-1 int is_prime(int n) int i; if(n <= 1) //1 n<=1 0 for(i = 2; i < n; i++) if(n % i == 0) // n i return 1; N N N-1 n N=15 15 1 3 5 5 N 3 5 N 5 is_prime() int is_prime(int n) int i; if(n <= 1) //1 n<=1 0-46 -
第 2 章神奇的質數 for(i = 2; i * i <= n; i++) if(n % i == 0) i return 1; for i 2 n 2.1.3 尋找質數的演算法 1000 is_prime() 1000 #include <stdio.h> #include<conio.h> int is_prime(int n) int i; if(n <= 1) //1 n<=1 0 for(i = 2; i * i <= n; i++) if(n % i == 0) i return 1; int main() int i,n=0,t=1; - 47 -
打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 printf("1000 \n"); for(i=2;i<1000;i++) if(is_prime(i)) n++; t++; printf("%4d",i); if(t>10) printf("\n"); t=1; printf("\n1000 %d \n",n); // 10 getch(); 1000 is_prime() 2 1000 is_prime() - 48 -
第 2 章神奇的質數 Eratosthenes 100 Eratosthenes 2 100 a 2 2 b 3 c 5 d 7 e 100 a b c d - 49 -
打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 e Eratosthenes 4 100 Eratosthenes #include <stdio.h> #include<conio.h> #define MAXNUM 1000 int main() int i,j,c=0; int prime[maxnum+1]; for(i=2;i<=maxnum;i++) prime[i]=1; for(i=2;i*i<=maxnum;i++) if(prime[i]==1) for(j=2*i;j<=maxnum;j++) if(!prime[j]) continue; if(j%i==0) prime[j]=0; for(i=2;i<maxnum;i++) if(prime[i]==1) // 1000 // 1 i // j - 50 -
第 2 章神奇的質數 printf("%4d ",i); c++; if(c%10==0) printf("\n"); 10 printf("\n %d ",c); getch(); 2.1.4 已被證明的質數定理 1. 在 (a,2a] 之間必有一個質數 1 a 2 (a, 2a] (a, 2a] 2. 存在任意長度的質數等差數列 等差數列 :1 3 5 7-51 -
打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 5 12 5 17 29 41 53 65 5 6 65 5 5 5 17 29 41 53 10 210 199 409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879 2089 2004 4 18 K K K=3 3 5 7 2 K=10 199 409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879 2089 210 50 Annals of Mathematics 3. 其他已證明的質數定理 一個偶數可以寫成兩個數字之和, 其中每一個數字最多只有 9 個質因數 一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個合數, 其中的因數個數有上界 - 52 -
第 2 章神奇的質數 一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個最多由 5 個因數所組成的合數 後來, 有人簡稱這個結果為 (1+5) 一個充分大偶數必定可以寫成一個質數加上一個最多由 2 個質因數所組成的合數, 簡稱為 (1+2) 2.2.1 什麼是孿生質數 2 3 5 2 100 5 7 11 13 17 19 29 31 41 43 59 61 71 73 (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) 100 8 2.2.2 孿生質數的公式 Q Q+2 Q+2 Q Q+2-53 -
打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 Q =P1M1+B1 =P2M2+B2 = =PKMK+BK P1 P2 P k 2 3 5 7 B i 0 B i P i 2 Q<(P K+1) 2 2 Q Q+2 Q 0 P i-2 Q 2M 3M+1 5M+3 7M+5 P im i 2 Q+2 Q=29 29 =2 14+1 (2M+1) =3 9+2 (3M+2) =5 5+4 (5M+4) 29 2 5 5 3 k=3 B 0 B i P i 2 29 29+2 Q 2=14 餘 1 Q 3=9 餘 2 Q 5=5 餘 4 2 3 5 Q 29-54 -
第 2 章神奇的質數 2.2.3 中國剩餘定理 1500 3 2 5 3 7 2 1073 500 1073 3 2 5 3 7 2 3 2 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 5 3 3, 8, 13, 18, 23, 28, 8 3 5 15 8+15 n - 55 -
打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 n 1 2 3 8, 23, 38, 7 2 2, 9, 16, 23, 30, 23 105 23 1500 1000 2.2.4 孿生質數分佈情況 105 10+23=1073 Euclid #include <stdio.h> #define MAXNUM 10000 int main() // 10000-56 -
第 2 章神奇的質數 long i,j,c=0,twin=2,t=0; char prime[maxnum+1]; prime[0]=0; prime[1]=0; for(i=2;i<=maxnum;i++) prime[i]=1; for(i=2;i*i<=maxnum;i++) if(prime[i]==1) for(j=2*i;j<=maxnum;j++) if(!prime[j]) continue; if(j%i==0) prime[j]=0; for(i=2;i<maxnum;i++) if(prime[i]==1) c++; if(i-2==twin) printf("(%d,%d) ",twin,i); t++; if(t%5==0) printf("\n"); twin=i; // 1 // j printf("\n %d %d ",c,t); getch(); 10000 1229 205-57 -
打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 MAXNUM 10000 10000 MAXNUM MAXNUM RSA RSA RSA RSA RSA 2.3.1 什麼是 RSA Key Key Key - 58 -
第 2 章神奇的質數 明文 密文 密鑰 key 密鑰 key 密文 明文 Key Key Key Key PK SK 明文 密文 公鑰 key 公鑰 key 密文 明文 RSA - 59 -