第一章波動 - 波的基本性質. 波動 : 介質受擾動時, 以擾動點為中心, 將擾動的能量向外傳播的現象 <> 分類 : () 依介質的有無 : <a> 力學波 ( 機械波 ): 須藉介質振動傳播者 例 : 聲波 <b> 非力學波 ( 電磁波 ): 藉電場和磁場的交互變化傳播能量, 而不必靠介質傳播者 例 : 光波 () 依介質的振動方向 : <a> 橫波 : 介質質點振動的方向和波前進方向互相垂直者 例 : 電磁波 (3) 頻率固定的弦波, 其波動的能量和振幅的平方成正比 () 空間中某點可以同時容納幾個波動通過 (5) 不同的介質, 波速不同 波由一介質傳到另一介質, 波速改變但頻率不變 - 週期波. 若介質僅作一短暫振動, 而振動後不再出現波動者, 此種波動稱為脈波. 週期波 : 波源作連續性有規律之擾動所形成的波動 註 : 常見的週期波為正弦波, 其產生方法如下圖 <b> 縱波 : 介質質點振動的方向和波前進方向互相平行者 例 : 聲波 Ⅰ. 橫波圖示 : Ⅱ. 縱波圖示 : 3. 名詞介紹 : () 波前 : 介質中同時受擾動之各點的連線, 和波的前進方向互相垂直 () 位移 : 振動的介質質點位置距平衡點的距離 (3) 振幅 : 振動的介質質點的最大位移 () 波峰 : 質點振動的最高點處 (5) 波谷 : 質點振動的最低點處 (6) 波長 () : 連續週期波中相鄰兩對應點 ( 振動模式相同 ) 的距離 (7) 波速 (v) : 波動傳播的速率 v = f (8) 頻率 (f) : 波源每秒鐘振動的次數 (9) 週期 (T) : 波源振動一次所需的時間 觀念 :. 一個週期的時間, 波行經一個波長的距離. 正弦波在介質中傳播時, 各質點只在其平衡位置附近作 S.H.M. 註 : 水波傳播時, 其介質的質點運動方向既不是縱向也不是橫向, 而是橫波與縱波的混合 如圖, 可見到水面上的質點在原處作圓周運動 <> 波的一般性質 : () 波動傳播的是波形和能量 ; 但振動質點不會隨波前進的 () 在同種介質中波速相同且作等速移動, 但在弦波上各質點作週期性振動. 繩波傳波的速率 : <> 繩上有脈動或波動通過時, 繩上的質點僅作上下振動, 而質點本身並不 隨波動前進 <> 若繩的兩端所受的張力為 F, 繩的線密度 ( 單位長度的質量 ) 為 μ, 則 繩上波動的傳播速度為 v = F 高三選修第 章波動
說明 : ( ) m v F C = R s = F sinθ F R v = F. 輕繩 重繩的反射 ( 線密度 μ 不同 ) 波速由介質的張力及線密度決定, 而與波形 振幅 頻率 波長皆無關 5. 傳遞波動的介質質點振動的速度 u= 說明 : d d d u= - = - ( ) ( ) dt d dt = - v tanθ 6. 正弦週期波通過時, 繩上任一介質質點位移與時間關係可用正弦函數來表示 : π = Asin t + φ A: 振幅 T: 週期 φ: 週期波的相角 T -3 繩波的反射及透射. 固定端與自由端的反射 ( 均為完全反射 ) () 無論是反射波或透射波的頻率皆相同 () 繩波入射於相同密度繩時 : 線密度 μ = μ 結果 : 完全透射, 且透射波和入射波的各種特性均相同 (3) 兩繩輕重相差愈大, 則反射波能量愈多, 透射波能量愈小 兩繩輕重相差愈小, 則反射波能量愈少, 透射波能量愈大 () 反射波 反 = 0 ; 透射波 + 透 ( 參考用, 可看出波形顛倒或正立, 變大或變小 ) 類型 波速 波長 振幅 波形 輕 極重 固定端反射 不變 不變 不變 顛倒 ( 反相 ) 極重 輕 自由端反射 不變 不變 不變 不顛倒 ( 同相 ) 輕 重 反射波不變不變變小顛倒透射波變小變小變小不顛倒 重 輕 反射波不變不變變小不顛倒透射波變大變大變大不顛倒 = 0 + - 波的疊加原理 註 : 自由端反射可用牛頓第一定律 ( 慣性定律 ) 解釋, 固定端反射可用牛頓第三定律 ( 作用力 反作用力 ) 解釋. 波的重疊原理 : 兩波同時到達某處時, 則其合成波的位移為各成分波在該處位移的向量和 <> 兩波交會時, 合成波的波形和原波形不同 合成波質點振動的速度 ( 加速度 ) 為成分波在該處質點振動的速度 ( 加速度 ) 的向量和 <> 交會後, 各波動仍保持原波形和波速繼續前進, 此稱為波的獨立性 高三選修第 章波動
. 兩波重疊時, 組成新合成波的現象稱為波的干涉現象 3. 當兩波相會時, 若兩波的波峰 ( 或波谷 ) 皆同時抵達同一地點時, 即兩波波峰 ( 或波谷 ) 到達該點的時間間隔為零時, 則稱兩波在該點為同相 兩波同相干涉時, 可產生最大的振幅, 稱為完全相長干涉, 或稱為完全建設性干涉. 當兩波相會時, 若一波的波峰和另一波的波谷同時抵達同一地點時, 即兩波波峰 ( 或波谷 ) 到達該點的時間間隔恰等於半週期時, 則稱兩波在該點為反相 兩波反相干涉時, 可產生最小的振幅, 稱為完全相消干涉, 或稱為完全破壞性干涉 若兩波的振幅相同, 當它們反相干涉時, 其所生合成波的振幅為零 5. 當兩波相會時, 若兩波未能剛好同相或反相者, 則其合成波的振幅可能大於或小於成分波的振幅 ; 若合成波的振幅大於成分波的振幅者, 稱為相長干涉 ; 若合成波的振幅小於成分波的振幅者, 則稱為相消干涉 () 在觀察駐波在弦上時, 有些點永遠不動, 其位移必為零, 此位置稱為節點 而在相鄰兩節點間的中央處其振動振幅為最大值, 此位置稱為腹點 () 觀察駐波上某一點, 此點上下作 S.H.M., 振動週期和波動前進的週期相同 + 兩波同相干涉, 有最大的振幅 + 兩波未恰是同相, 合成波振福較原兩波振幅之和小 + 兩波反相干涉, 合成波振幅最小 + -5 駐波. 駐波 (standing wave): 兩週期性正弦波動, 在同一介質中反向而行, 因為干涉作用造成波幅在節點間作週期性漲落, 而波形不前進的現象 形成的條件為兩波頻率相同, 振幅相同, 波速相同且相向而行重疊而成 兩波振幅相等且反相, 合成波振幅為零 高三選修第 章波動 3
(3) 因節點振幅 = 0, 故節點兩邊各質點振動動能及質點間之位能, 無法經由 節點傳遞 駐波不傳遞能量 v nv 可能的頻率 f = = (n =,,3, ) l n =, 頻率最低的音稱為基音, 或第一諧音 n =, 稱為第一泛音, 或第二諧音 其餘以此類推 -6 水波的反射及折射 () 駐波和行進波的比較 : <a> 駐波不傳遞能量 <b> 駐波有固定的節點 <c> 駐波各質點振動之振幅和位置有關 <d> 駐波上的每一質點的力學能不相等. 當水波遇到障礙物或通過深淺不同的水域會產生反射及折射的現象 ( 和繩波相同 ) <e> 駐波上相鄰兩節點 ( 或腹點 ) 間之距離為 實際上因視覺暫留的作用,N 點看起來非常清楚, 而 A 點看起來有點模糊. 觀察水波裝置 : 水波槽 3. 水波的反射 : 結果 :() 入射線 法線和反射線三者在同一平面上 () 入射角等於反射角. 弦長 l 且兩端固定的弦, 要在弦上產生駐波的條件 : 駐波條件 l = n 上述稱為波的反射定律, 凡波皆有此一特性 (n =,,3, ) l 可能的波長 = (n =,,3, ) n 高三選修第 章波動
-7 海更士原理. 波前 : 連接介質中相同相位的各振動點之線或面, 稱為波前 註 : 波前必和波的傳遞方向互相垂直. 海更士原理 : 波前上各點可視為新的點波源, 以其為圓心或球心, 各自發出圓形波或球面波 在某一時刻和這些圓形波或球面波相切的線或面 ( 稱為包跡 ), 即為新的波前 3. 反射定律的說明 :. 水波的折射 : 實驗得知水波在深水區的波速較在淺水區來得快. 折射定律的說明 : 結果 : 當水波由深水區進入淺水區時, 則 () 入射線 法線和折射線三者在同一平面上 sin i () 入射角 (i) 大於折射角 (r), 其折射線偏向法線, 且 = 常數 註 : 波的反射定律 sin r 上述稱為波的折射定律, 凡波皆有此一特性 sini = sin r BC = = = 高三選修第 章波動 5 BC v v 定值
-8 水波的干涉與繞射. 水波的干涉 ( 平面波 ) <> 利用兩個點波源, 在水面上打點, 形成兩組向外擴大的圓形波動 <> 兩組向外擴大的圓形波相遇而干涉時, 波峰和波峰 波谷和波谷交會處都形成加強性干涉而形成腹點, 但如波峰和波谷相會處, 則形成相消性的干涉而形成節點 <3> 若兩波的波長相同且同相時, 則有固定的干涉條紋 ( 節線 ) <> 節 ( 腹 ) 線為動點 P 至 S S 之距離差為一常數之點集合, 為雙曲線, 以兩波源為焦點, 節線左右對稱於中兩波源連線的中垂線 () 若波程差 δ = PS PS = 0,,,3, = m P 點為腹點, 振動位移最大, 在白屏幕上呈現明暗交替 P 點之集合稱為腹線, 其形狀為雙曲線或直線 m = 0 中央腹線,m = 第一條腹線,m = 第二條腹線 <8> 兩波源連線上, 相鄰節線間的最近距離為 <9> 節線數求法 :sinθ = ( n ) d d n + N= n 等號成立時, 即 θ=90, 節線為自波源向兩側之直線 S S 註. 亦可由波源連線求得 註. 若兩波源為反相振動者, 則上述公式節線改為腹線, 腹線改為節線 <5> 波程差 : 任一點和兩點波源之間的距離差值 當節線上某一點距波源甚 遠時, 此點和兩波源之波程差為 = PS PS = d sinθ <6> 節線序 : 當 n = 時波程差 PS - PS 最小, 離中央線最近 ; 故節線 序由中央線向旁邊數起 3 5 <7> () 若波程差 δ = PS PS =,,, = n P 點為節點, 振動位移相抵消, 故靜止不動 P 點之集合稱為節線, 其形狀為雙曲線或直線 ( 兩波源不同相時 ) n = 第一條節線 ; n = 第二條節線. 水波的繞射 ( 平面波 ) 水波行進時, 若遇到障礙物, 仍可繞過阻礙而出現, 也可以通過小孔或細縫後, 往各方向傳播, 此現象稱為波的繞射 高三選修第 章波動 6