三角形內的比例線段 ( 二 ) 劉俊傑 一. 前言 從本文開始, 我將嘗試以在第一篇文章中所得到的比例公式, 來進行嚴謹的邏輯推理, 導引出一系列關於平面幾何學的性質 我所要研究的主要圖形, 是在三角形各邊取等比例點, 連接它們形成新的小三角形, 然後重覆這個作圖方法, 如圖 A 所示, 為便於討論將稱之為比例三角形 線及共線點在這單純的圖形中, 等這些性質被推理證明後, 又由它們製造出新的平行線及點共線等題材, 如此不斷地衍生擴展, 一道接著一道的性質被發現並予以解決 在做這個幾何圖形的研究過程中, 深深體會到, 只需利用比例的性質, 就可以盡情地討論點共線, 線共點, 平行線, 線段比 等 題材 事實上, 我是在大量處理比例三角形的性質時, 發現到有許多過程完全相同的比例計算, 為了節省時間, 便於求值, 遂逐步地將這些計算過程整理成公式, 爾後只要遇見符合條件的情況, 立即代入公式, 就可以很快地 圖 A 我們將驚訝地發現到, 在這個看似簡單的規律圖形中, 存在著許許多多點共線, 線共點, 平行線 等的幾何關係, 而在這些點 線彼此之間也都互有關連, 它們相互架構出一套完整的推理系統及美麗的幾何圖形 比例三角形原本只是一個簡單的作圖方法, 但只需要拿把直尺一比, 就會發現有平行 得到所想要的比例值, 這些公式就是前篇文 章的 37 個比例公式 [8] 二. 本文 性質. 已知 : AD DB = BE EC = CF FA = DH HE = FI ID = 2 求證 : HI//BC ( 如圖 ) 60
三角形內的比例線段 ( 二 ) 6 圖 (i) 由 Menelaus 定理, 得知 FA DB GC CF AD BG = GC BG = 4 再應用 Menelaus 定理 FG CB AD DF GC BA = FG DF = FI (ii) 將 =, FG =, 代入公式 I- ID 2 DF DI (2), 得到 = BE 將 =, GI = IG 2 EG 3 ID 2, DH =, 代入公式 III-(4), 得知 HE 2 DJ = AD 將 = DJ =, 代入公式 JB 2 DB JB 2 AJ I-(5), 得到了 = 5 JB 4 BE (iii) 綜合 = AD =, AJ = 5, EH = EC DB 2 JB 4 HD 性質 2. 已知 : 2, CK 套入公式 V-(5), 得有 = 4, KA 5 由 (ii), (iii) AJ = AK 因此得證 JB KC HI//BC JE EG = GH HI = IK KJ = EB BH = KC CE = 2 延長 BC, 交 GJ, JI 於 A, D 求證 : AD GI = 5 9, 且 BG GI = 3 ( 如圖 2) 圖 2 (i) 利用性質., 得知 JA JG = 5 9 (ii) 因為 //GH 且 且 AD//GI AD GI = 5 9 EB EH = 3 = 3 GH = 9 GI 過 E 點, 作 EF//GI, 同前理 CD = 3 EF = 9 GI, 由於 AD = 5 9 GI, 而 BC =AD CD= 3 9 GI = 3 GI 得證 BC GI = 3 說明 : 這兩個邊長的比例關係, 在後續的推理 性質 3. 中, 將常被引用 已知 : 圖 3 是在 C 各邊取 : 2 比例 點, 連接比例點成新三角形, 並重覆作 圖, 以後將以 : 2 S 簡稱之
62 數學傳播 20 卷 3 期民 85 年 9 月 被用來導引其它證明, 因此特別列在這 裡 性質 5. 已知 : AD = BE =, BN = NC, DB EC 2 求證 : DE//AN ( 如圖 5) 圖 3 求證 : C DEF 由性質, 得有 HI//BC, HJ//AC, IJ//, 所以 C JIH 同理可知 DEF JIH, 所以得證 C DEF 因為 BE EC = 2, BN = NC, 代入公式 I-(4) BE EN = 2, 所以 BD DA = BE EN, 得證 DE//AN 性質 4. 已知 : : 2 S, 如圖 4 圖 5 性質 6. 已知 : AD DB = BE EC = CL LA = 2, O 為 C 圖 4 求證 : G, I, C 共線 由第一篇文章中的例題, 即可得知這條線 因為它很重要, 也很漂亮, 又常 的重心, 中線 BF 交 DL 於點 G, 中 線 CP 交 DE 於點 H 求證 : HG//BC ( 見圖 6)
三角形內的比例線段 ( 二 ) 63 圖 6 (i) O 是重心, AF = FC 依據性質 5, 知 EL//BF 得 LW EW = FO BO = 2 (ii) 同理 CP//LD, DH HE 性質 7. 同理可證 HG//BC = LW WE = 2, LG GD = 2 再由性質, 得證 性質 8. 圖 7 已知 : : 2 S,O 為 HIC 的重心 求證 : = BC ( 如圖 8) (i) 由前文例題 2 O 亦為 DAK 的重 心 因為性質 5, DE//FG 再由性質, FG//HC, 綜合得知 DB//HC 所 以 (ii) 將 CB = HD BI = DI 2 IA =, IB = 2 代入公式 I-(4), AC 2 BC 即可得證 = BC 已知 : AD DB = BE EC = CL LA = 2, O 為 C 的重心 求證 : C 三中線, 三等切分 DEL 的邊 ( 如圖 7) 利用性質 6 的推理過程, 可得 H, W 為三分點, 即 DH HE = LW WE = 2, 同理 可知 Z, T, K, G 亦為三分點 由此得 圖 8 證本題 性質 9.
64 數學傳播 20 卷 3 期民 85 年 9 月 已知 : : 2 S 求證 : A, B, C 共線 ( 如圖 9) 由已知有比例式 CF FA = BE EC = EG FG = 2 代入公式 III-(2) 得 AD DB = 4 所 BE CF AD 以 EC FA = 依據 Ceva 定理, DB 得證 AE, BF, CG 共點 性質. 已知 : : 2 S 求證 : A, B, C, D, E, F 共線 ( 圖 ) 圖 9 由題意 C 為三分點 因為性質 7 重心 O 在 AC 線上 B 亦為三分點 ; 同理 O 在 BC 線上由以上可得 A 在 OC 線上, B 在 OC 線上, 得證 A, B, C 共線 性質 0. 已知 : : 2 S 求證 : AE, BF, CG 共點 ( 圖 0) 圖 由性質 0 B, E 落在 AF 線上, 又因性質 4 C 落在 AF 線上, 再由性質 0 D 落在 AC 線上 綜合以上結果, 可得知 A, B, C, D, E, F 六點共線 性質 2. 已知 : : 2 S ( 如圖 2) 圖 0 求證 : ACHE 是平行四邊形 從性質, 知 CH//AE 由性質 得 CH = KE = AE 由此可知 3 ACHE 是平行四邊形
三角形內的比例線段 ( 二 ) 65 性質 3. 圖 2 已知 : : 2 S, AD, HL 交於點 B 求證 : EB//HF ( 如圖 3) 圖 3 性質 4. 已知 : : 2 S 求證 : AH//DG ( 圖 4) (i) 已知 HK KI = AE EH = EL LK = 2, 代入公 AG 式 III-(2), 得 = ; IC 同理 = GI 4 CH 4 作 IB 交 AH 於 J, 由 Ceva 定理 AJ JH = 6 AJ (ii) 因 =, HC JH 6 CI (3), 有 BC = 4 經由公式 II- = 5 6 在性質 2 時得知 AD DC = 5 4 現在將 BC = 5 6, AD DC = 5 4, 代入公式 I-(4) 運算得 BD = 3 4 (iii) 再將 ED DF = 2, BD = 3 4, 代入公式 II- (2), 知 AM MF = 2 因為 AM MF = AE EH, 得 證 EB//HF 圖 4 (i) 引性質 3-(i) 的步驟 BM MC = 4 由性質 -(i) 的步驟, 有 CI = 3 BC 及 DF = FI IF EG (ii) 將 =, =, 代入公式 II-4, FD GF 2 EO 得 = 即 EO = BC OI = OI 4 5 4 BC 由以上可得知 OC = OI 5
66 數學傳播 20 卷 3 期民 85 年 9 月 CI = 7 BC, OM = OC CM = 5 4 BC, BO = BE + EO = 8 BC 5 5 BO = 2 = BD, 因此得證 OM DA AH//DG 已知 : : 2 S 求證 : BE//IJ ( 如圖 6) 性質 5. 已知 : : 2 S, AC 交 KJ 於 B, EH 交 NJ 於 I 求證 : BI//AE ( 如圖 5) 圖 6 圖 5 AJ (i) 因 = MC =, 應用公式 II-(3) JM CK 2 = 3 BC 4 DG (ii) 由性質 4-(ii) 的步驟, 有 = 8, GE 7 DF 配合 = 4, 代入公式 I-(4), 得 FE GF 到 = 4 再依據性質 4. FE 3 EI NJ//MH 所以 = EF = 3, 綜 IH FG 4 合 () 知道 = EI BC IH (iii) 依據性質 2. ACHE 是平行四邊 性質 6. 形, 因此 AC//HE 配合 (ii) 的結論 得證 BI//AE (i) 已知 : 2 S, 由公式 II-(3), 得 = 3 AJ 再由公式 II-(), 得 = 6 BC 4 JC 代入公式 I-(4), 有 = BJ (ii) 從性質 5 的推論 IE 平行四邊 性質 7. 形 因此 = EI, 所以 EI = BJ 由性質 4, AC//EH BEIJ 平行 四邊形, 得證 BE//IJ 已知 : : 2 S 求證 : //IH ( 如圖 7) 由性質 JD//BC 及 HJ//AC 故 CGJF 是平行四邊形, 得 C = J 再由性質 2, 知 HJ = 3 AC, JD = BC 因此 IJ = 3 JD = 3 BC IJ BC = HJ AC = 3 所以 C HIJ, 有 C = HIJ 因性質 JD//BC; BEJ = C( 內
三角形內的比例線段 ( 二 ) 67 錯角 ) BEJ = HIJ, 得證 //HI 圖 8 性質 8. 已知 : 圖 7 (i) D, E, F 為 3 分點 (ii) L 為 中點 (iii) G 為 C 的重心 求證 : IG//LJ( 如圖 8) (i) 由公式 II-3 及公式 I-(4) 可得 AI = IJ 已知 L 為 的中點, 因 此 LI//BJ, 同理 LJ//MK, 得到 LMKJ 為平行四邊形 LM = JK (ii) 因 AM//LJ LJI = MAI, AIM = JIL, AI = IJ, 有 ILJ = IMA, 知 LI = IM LI = 2 LM G 為 C 的重 心, 由前文例題 2, 可知 G 亦為 IJK 的重心 因此 JO = OK JO = 2 JK, 綜合 (i)(ii) 可證 IG//LJ 性質 9. 已知 : : 2 S( 如圖 9) 圖 9 求證 : GLK 的外心和 IJF 的外心, 重心共線 (i) 設 A 為 IJF 的外心, C 為 GLK 的外心, 由性質 KL//IJ 因 AD IJ, CE KL AD//CE 所以 D ECB 再利用性質 3 的 IJF LKG 及從性質 2 知
68 數學傳播 20 卷 3 期民 85 年 9 月 KL : IJ = : 3 得到 AD = 3CE, 所以 BD = 3BE, DF = 3GE (ii) 由性質 2, 得 FH FI = 5 9, 因此 FH HI = 5 4 = FE ED, BE+BD = DE, 3 BD+BD = 4 9 FD, BD = 3 FD, D 為 IJ 中點, 得知 B 為 IJF 重心 得證 GLK 性質 20. 的外心, 和 IJF 的外心, 重心共線 已知 : : 2 S 求證 : DEF, GFH 和 IFJ 三重心 共線 ( 如圖 20) IC (ii) 將 = 2, IM = MN, 代入公式 I- CM IC (2), 得 =, LA 並且 =, LF = CN 2 AF 2 LA FN, 代入公式 I-(2), 得 =, 再 AN 5 LA 將 =, NM AN 5 MI =, NC CI = 2, 代入 LB 公式 VI-(), 得到 = 4 BM 5 (iii) LI//FM 且 FH = HI MH = 2 HL, LB 配合 = 4, 代入公式 I-(4) 2 BM 5 LB/BH = 2 (iv) 因為 LF//GH 且 LF = 3 PJ = GH LFHG 為一平行四邊形 所 以 HK 為中線且 LK = KH 配合 LB KB BH = = 2, 代入公式 I-(4), 得 BH 得知 B 為 GFH 的重心 得證 2 DEF, GFH 和 IFJ 三重心共 線 三. 結論 圖 20 設 A 為 DEF 的重心, C 為 IFJ 的重心, 由公式 IV () 可知 LHM 共線, 如圖 AC 與 LM 的交點為 B (i) 如圖延長中線 LF 交中線 IM 於 N, 因 LN//PJ 且 FM = MJ IM = MN; 同理可得 LF = FN 比例三角形所討論的題材, 及使用的定理, 只需要對平面幾何學有些基礎的中學生, 都應該可以看得懂 主要的是想向他們介紹推理程序, 每一道性質都是由前面已得證的性質建立出來的, 而每一個推理步驟都是有憑有據, 毫不含糊, 如此所有的定理, 性質都能一路往前追溯, 直到幾個 無法證明, 人訂出來 的公設, 這也就是公設推理系統的結構 在本文中許多的平行線或共線的性質, 不僅是對比例為 : 2 時成立, 事實上對於任何一般的 a:b 都是可以成立的, 當然討論起來會比較複雜些, 以後將有專篇研討 在往後的幾篇文章中, 將以本文所獲得的結果做基礎, 繼續對比例三角形進行更詳
三角形內的比例線段 ( 二 ) 69 盡的解析, 我們將會見到更多有趣的幾何性質, 展現於比例三角形中 四. 參考資料. 九章編輯部譯, 幾何學辭典, 九章出版社, 986 2. D.R. Davis, Modern College Geometry, 949 3. Otto Schreier, Projective Geometry of n dimensions, Chelsea Publishing company,985 4. Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, INC.960 5. 孫文先, 平面幾何, 九章出版社,986, P.3 6. Howard Eves, A Survey of Geometry, Vol. 7. 趙文敏, 幾何學概論, 九章出版社, 986 8. 劉俊傑, 三角形內的比例線段, 數學傳播, 第十九卷第二期, 84 年 6 月, pp.76-85 本文作者任教於臺灣省立西螺農工數學科