1- 期望值 變異數與標準差 Ex: 設某地區發行一種喜相逢彩券 1 萬張, 每張彩券有 4 碼, 從 0000 到 9999, 四位數全對 為第一獎, 末 3 位數對為第二獎, 末 位數字對為第三獎, 末 1 位數字對為第四獎, 但 每張彩券不得重複得兩個獎項 小華購買了一張喜相逢彩券, 數學上一張喜相逢彩券的平均價值是多少? 解 : 如果小華將 1 萬張彩券都買下, 則所有獎金都是小華的, 小華共得到獎金為 50000 1+10000 9+000 90+500 900=770000 ( 元 ) 但他共買了 10000 張, 所以平均每張彩券值 一張喜相逢彩券平均價值的另一種表示法為 770000 10000 =77 ( 元 ) 77= 770000 10000 = 50000 1+10000 9+000 90+500 900 10000 =50000 1 10000 +10000 9 90 900 +000 +500 10000 10000 10000 Notation: 上述的情形除了用平均數的概念之外, 也可以用機率乘上所對應的數值來表示 Define: 已知一隨機試驗, 得一樣本空間 S Ans: 隨機變數為 X,X 可能取的值為 x 1 x x, n 則數值 x 1 P X x 1 x P X x x n P X x n ( ) ( ) ( ) 稱為此隨機試驗的數學期 望值, 以符號 E( X ) 表示 Ex:( 龍 - 例 1) 擲一個公正的骰子若擲出 1 或 3 點可得 10 元擲出 4 或 5 點可得 0 元擲出 6 點可得 50 元.求擲骰子 1 次所得金額的期望值解 : 故期望值 3 1 10 E X = 10 0 50 0 6 6 6 6 1
Ex:( 龍 - 例 1- 類 ) 擲一個公正的骰子若擲出 x 點可得 x 元則擲骰子 1 次所得金額的期望值為多 解 : 少? 1 1 1 1 1 1 1 7 故期望值 E( X ) 1 3 4 5 6 ( 元 ) 6 6 6 6 6 6 6 Ex:( 龍 - 例 ) 袋中裝有相同大小的 10 元代幣 3 枚 5 元代幣 枚自袋中任取 枚則所得金額的期望值為多少? 3 6 1 E X 0 15 10 16 ( 元 ) 10 10 10 解 : Ex:( 龍 - 例 - 類 ) 袋中裝有相同大小的 10 元代幣 3 枚 5 元代幣 枚自袋中任取 3 枚則所得金 額的期望值為多少? 1 6 3 解 : E( X ) 30 5 0 4 10 10 10 1.( 龍 - 習 1) 關於期望值的敘述, 選出正確的選項 :(1) 擲一個公正骰子 1 次, 點數的期望值等於所有可 能出現點數的算術平均數 () 擲一個公正骰子 次, 點數和的期望值等於所有可能出現點數和的算 1 術平均數 (3) 丟一枚均勻硬幣 1 次, 正面出現次數的期望值是 出現次數的期望值是 1 Ans:(1)()(3)(4) (4) 丟一枚均勻硬幣 次, 正面.(99 學測 ) 箱中有 3 顆紅球和 3 顆白球, 一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出 球.若抽出的 球顏色 不同, 可得獎金 100 元;若 球顏色相同, 則無獎金.請問此遊戲獎金的期望值為何? Ans:60 元 Notation: 已知一個隨機試驗的隨機變數為 X, 期望值為 E( X ), 則 E( nx ) ne( X ) Ex:( 龍 - 例 3) 一箱子中有 10 個燈泡其中有 個是壞的.今從箱子中取 3 個燈泡測試求取出的燈泡中壞燈泡個數的期望值 1 1 E X = 1 5 5 解 : 3 E(3 X ) 3 E( X ) 5
Ex:( 龍 - 例 3- 類 ) 一袋子中裝有大小相同的 4 顆紅球和 6 顆白球從中同時取出 3 球則其中含紅球個數的期望值為多少? 4 6 解 : E( X ) 1 E(3 X ) 3 E( X ) 3 10 5 5 5 1.( 龍 - 習 3) 擲一個公正的骰子 3 次, 其中 6 點出現次數的期望值為多少? Ans: 1.(85 學測 ) 擲一均勻硬幣三次, 每出現一個正面得 5 元, 一個反面賠 元, 則所得總和之期 望值為何? Ans: 9 元 Ex:( 龍 - 例 4) 在丟硬幣的遊戲中玩者同時丟 3 枚硬幣.若其中出現 1 枚正面可得 5 元;出現 枚正面可得 10 元;出現 3 枚正面可得 15 元;若全無正面就需付給莊家 100 元. (1) 玩者玩這個遊戲一次所得金額的期望值是多少? () 若改成全無正面時需付給莊家 60 元其餘不變則玩者玩一次的期望值是多少? 3 3 1 1 解 :(1) 期望值為 E X 5 10 15 100 5 ( 元 ) 8 8 8 8 () 若改成全無正面時需付給莊家 60 元則玩者的期望值為 3 3 1 1 E X 5 10 15 60 0 ( 元 ) 8 8 8 8 Ex:( 龍 - 例 4- 類 ) 甲 乙兩人相約玩遊戲兩人各擲骰子一次.若擲出的點數相同甲需付該點數 10 倍的金額給乙;若點數不同則乙要付甲 30 元. (1) 此遊戲乙所得金額的期望值為多少元?這個遊戲對誰有利? () 若要求此遊戲對雙方都公平當點數不同時乙應付甲多少元? 1 1 1 1 1 1 30 115 解 :(1) E( X ) 10 0 30 40 50 60 ( 30) ( 元 ) 36 36 36 36 36 36 36 6 故這遊戲對甲有利. 1 1 1 1 1 1 x () E( X ) 10 0 30 40 50 60 ( 30) 0 得 x 7( 元 ) 36 36 36 36 36 36 36 1.( 龍 - 習 4) 甲 乙兩人相約玩遊戲, 由乙擲一個公正的骰子.若乙擲出的點數為質數, 則可得到該點 數 3 倍的金額;若出現其他點數, 則要付該點數的金額給甲.試問此遊戲乙所得金額的期望值為多 少?Ans: 19 元 6 3
.(93 學測 ) 某電視臺舉辦抽獎遊戲, 現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 1000 800 600 0 元獎額的球.參加者自行從抽獎箱裡摸取一球 ( 取後即放回 ), 主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金, 並規定摸取到 0 元的人可以再摸一次, 但是所得獎金折半 ( 若再摸到 0 元就沒有第三次機會 ).試問一個參加者可得獎金的期望值是多少元? Ans:675 元 3.(98 學測 ) 抽獎遊戲中, 參加者自箱中抽出一球, 確定顏色後放回 只有抽得藍色或紅色球者可得消費劵, 其金額分別為 ( 抽得藍色球者 ) 000 元 ( 抽得紅色球者 )1000 元 箱中已置有 顆藍色球及 5 顆紅色球 在抽出任一球之機率相等的條件下, 主辦單位希望參加者所得消費劵金額的期望值為 300 元, 則主辦單位應於箱內再置入幾顆其他顏色的球? Ans:3 顆 4.( 龍 - 習 5) 某飲料公司發售每瓶 0 元的飲料, 配合 開瓶得現金 活動, 其瓶蓋內印有 100 元 300 元 500 元等獎項, 其中獎機率依次為千分之 14 1 10, 其餘均為銘謝惠顧.若每瓶飲料的成本為 元, 試問該公司預期每瓶飲料可賺多少元? Ans:8 元 5.( 龍 - 習 6) 學科能力測驗中, 多重選擇題每題有 5 個選項, 其中至少有一個選項是正確的.其計分方式為: 每題答對得 5 分, 只錯一個選項可得 3 分, 錯兩個選項可得 1 分, 未作答或答錯兩個以上者以 0 分計算. 今有一題你只確定選項 A 是正確的, 其餘選項則隨意猜測, 那麼依此計分方式, 該題得分的期望值為多少? Ans: 3 分 16 Ex:( 龍 - 例 5) 保險公司針對 60 歲長青族推出一年期壽險保險額 000 萬元保費 400 元.若依 統計資料顯示 60 歲長青族一年內死亡的機率為 0.0001.則每張保單中保險公司利潤的期 望值是多少? 解 : E X 4000.9999 0000000 400 0.0001 400 0.9999 0.0001 0000000 0.0001 400 000 400 Ex:( 龍 - 例 5- 類 ) 保險公司推出一年期的住宅房屋火險: 在一年內房屋發生火災可獲理賠 100 萬元保費只需 000 元. 根據資料顯示住宅房屋發生火災的機率為 0.0015 試問每張保單中保險公司獲利的期望值是多少解 :E(X) 000 0.9985 ( 1000000 000) 0.0015 000 (0.9985 0.0015) 1000000 0.0015 000 1500 500( 元 ) 1. 根據統計:一位 60 歲的人, 在一年內生存的機率為 0.95, 陳老師 60 歲保一年壽險 10000 元須繳納保險費 1000 元, 試問保險公司的獲利期望值為多少元? Ans:500 元. 由統計資料得知:一位 80 歲的人在一年內生存的機率為 85%, 老王 80 歲投保一年期的壽險 10 萬元, 須繳保費 18000 元, 試問保險公司獲利的期望值為多少元? Ans:3000 元 4
3. 某保險公司銷售旅遊平安險, 每名保額 500 萬, 保費 000 元, 公司的管理及行銷成本為 00 元, 根據統計得知, 出險的機率為 0.0%, 試求對每一保戶, 保險公司的期望值為幾元? Ans:800 元 1 4. 設一年間一家失火的機率為 5000, 1 鄰家失火而被延燒的機率為 5, 若投 保 50 萬元的一年期火險, 今有 3 戶人家相鄰 ( 如圖 ), 則 : (1) 兩側人家應繳保費為幾元? () 中間一戶人家應繳保費為幾元? Ans:(1) 14 元 () 140 元 5.(89 年社 ) 某電子公司欲擴廠, 新建廠房有大中小三種規模 建廠規 模的決策與未來一年的經濟景氣情況有關 : 經濟景氣如果高度成 長, 則建大規模廠較有利, 如果微幅成長或持平, 則建中規模廠 即可 ; 如果經濟衰退, 則應建小規模廠 進一步評估三種建廠規 模在四種經濟景氣情況 下的獲利如下 : 經分析未來一年經濟高度成長的機率 P1 0.3, 微幅成長的機率 P 0.1, 持平的機率 P3 0.4, 衰退的機率 P4 0. 試問以未來一年利潤期望值越大越好的判斷準則, 此公司選用哪一種建廠 規模獲利較佳? Ans: 中型廠 ; 期望值為 17 百萬元 6.(91 指考乙 ) 某公司考慮在甲 乙兩地間選擇一地投資開設新廠 經評估, 在甲地設廠, 如 獲利, 預計可獲利 10000( 萬元 ); 如不獲利, 預計將虧損 7000( 萬元 ) 在乙地設廠, 如獲利, 預計可獲利 6000( 萬元 ); 如不獲利, 預計將虧損 5000( 萬元 ) 又該公司評估新廠在甲 乙兩 地獲利的機率分別為 0.6 0.7 如以獲利期望值為決策準則, 該公司應選擇甲地或乙地投資? 寫出決策的過程 Ans: 甲地投資 7.(88 年社 ) 某市為了籌措經費而發行彩券 該市決定每張彩券的售價為 10 元, 且每發行一百 萬張彩券, 即附有壹百萬元獎 1 張, 拾萬元獎 9 張, 壹萬元獎 90 張, 壹千元獎 900 張 假 設某次彩券共發行三百萬張, 試問當你購買一張彩券時, 你預期會損失幾元? Ans:6.3 元 8.(94 指考乙 ) 某銀行檢討 一年期 0 萬元的小額急用貸款, 一年後選款 1 萬元 的申請資 格 過去幾年的記錄顯示 : 申辦此項貸款者一年後只有依約還款 1 萬元與違約不理 (1 元都 不還 ) 兩種情形, 沒有還一部分錢等其他情形發生 ; 且發現會還錢或不會還錢者與其年收入 有關, 兩者的累積次數分配部分圖形如下 : 5
(1) 一個年收入 30 萬元以下的貸款者, 會還錢的機率為何? () 銀行貸款給一個年收入 30 萬元以下的客戶, 銀行的獲利期望值為多少元? Ans:(1) 9 ()3000 30 Recall: 一群數值 x1, x,, xn 中, 各項數值 x i 與算術平均數的差 xi x 稱為離均差 Recall: 一群數值 x1, x,, xn 中, 所有數值的離均差平方的算術平均數 ( x1 ) ( x ) ( x n ) 稱為變異數, 以符號 表示, 而變異數的正平方根 n 稱為標準差, 以符號 表示 Define: 已知一個隨機試驗的隨機變數為 X, 其中 X x 0 x 1 x n 而其中對應的機率為 P( X x ) p, 其中 0 i i i 1 n, 期望值 E X 則數值 1 1 n n, x p x p x p 稱為隨機變數 X 的變異數, 以符號 Var X 表示, 其正平方根 Var X 稱為隨機變數 X 的標準差 Ex:( 龍 - 例 6) 丟一均勻的硬幣三次令 X 表示出現的正面數求 X 的期望值 變異數與標準差 解 : 期望值為 Var X 1 3 3 1 1 3 E X = 0 1 3 8 8 8 8 8 3 1 3 3 3 3 3 1 0 1 3 8 8 8 8 9 1 1 3 1 3 9 1 3 4 8 4 8 4 8 4 8 4 標準差 X 3 3 4 6
Ex:( 龍 - 例 6- 類 ) 一箱子中有 3 顆紅球和 顆白球 今從箱子中取出 3 球求取出的白球個數的 期望值 變異數與標準差 1 6 3 1 6 解 : 期望值 E( X ) 0 1 ( 個 ). 10 10 10 10 5 6 1 6 6 6 3 36 1 1 6 16 3 9 變異數為 Var( X ) (0 ) (1 ) ( ) 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 9 3 得標準差 ( X ) ( 個 ) 5 5 1.( 龍 - 習 7) 帽子裡有五張卡片, 其中兩張寫著 1, 另三張寫著.從中抽出兩張, 令 X 表示兩張數字的 和, 求 X 的機率分布 期望值與標準差 16 Ans: 期望值 5, 3 標準差 5.( 龍 - 習 8) 設生男生女的機率均等, 對有 3 個小孩的家庭而言, 令隨機變數 X 表示男孩的數量, 求 X 的期望值 變異數與標準差 Ans: 期望值 3 3 個,變異數 4,標準差 3 個 n Notation: Var X p ixi E X E X E X i1 Ex:( 龍 - 例 7) 已知一個不公正的骰子, 其擲出各點數的機率與該點數成正比, 求擲此骰子一次所出現點數的期望值與變異數解 : 令隨機變數 X 為擲骰子一次所出現的點數, 依題意, 各點數出現的機率比為 1: : 3: 4 :5: 6, 得 X 的機率分布如下 1 3 4 5 6 91 13 E X 1 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 3 Var X 1 3 4 5 6 13 1 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 3 441 169 140 0 1 9 63 9 7
Ex:( 龍 - 例 7- 類 ) 設隨機變數 X 的機率分布如下: 1 1 1 1 8 解 : E( X ) 1 3 4 6 3 6 3 3 求 X 的期望值與變異數 1 1 1 1 8 11 6 3 6 3 3 9 Var( X ) (1 3 4 ) ( ) 1.( 龍 - 習 10) 一箱中有 顆白球和 7 顆紅球.從箱中隨機取球, 一次一球取後不放回, 直到取到紅球為 止 求所取出球個數的期望值和標準差 5 Ans: 期望值 4, 35 標準差 1 Notation: 若 X 為隨機變數, 則對任意常數 a, b, ax b 也是隨機變數, 且滿足 (1) E ax b ae X b () Var ax b a Var X (3) ax b a X Ex:( 龍 - 例 8) 福利社舉辦抽獎活動, 原本所有獎額的期望值為 50 元, 標準差為 10 元.今為慶祝校慶, 將每個獎項的獎額提高 0%, 再贈送 100 元現金抵用券.求慶祝活動中抽獎一次所得獎額的期望值與標準差 解 : X 為原抽獎活動的獎額則 E X 50 X 10 其期望值為 E Y E 1. X 100 E X 標準差為 Y 1. X 100 X 新獎額 Y 1.X 100 1. 100 1. 50 100 400 ( 元 ) 1. 1.10 144 ( 元 ) Ex:( 龍 - 例 8- 類 ) 已知隨機變數 X 滿足 E X 3 47, Var X E X, 變異數 Var X 與標準差 X 解 :E( X 3) E(X) 3 47 E(X) 3 196, 求 X 的期望值 Var( X 3) ( ) Var(X) 4Var(X) 196 Var(X) 49 ( X ) Var( X ) 49 7 8
1.(96 學測 ) 摸彩箱裝有若干編號為 1,,,10 的彩球, 其中各種編號的彩球數目可能不同.今從中 隨機摸取一球, 依據所取球的號數給予若干報酬.現有甲 乙兩案:甲案為當摸得彩球的號數為 k 時, 其所獲報酬同為 k ;乙案為當摸得彩球的號數為 k 時, 其所獲報酬為 11 k(k 1,,,10). 67 已知依甲案每摸取一球的期望值為 14, 則依乙案每摸取一球的期望值為何? Ans: 87 14 9