.5 全稱命題 (universal statement) 與特稱命題 (existential statement) 將一些有明確性質的東西看成一體, 就形成一個集合 (set), 例如 :{ 所有會飛的動物 }, { 所有能被 5 整除的正整數 }, { 所有法國或德國進口的跑車 } 等都是集合 至於沒有元素的集合, 我們特別稱之為空集合 (empty set), 用符號 表示, 如 { 有四個邊的三角形 }, { 會下蛋的公雞 } 都是空集合, 而且, 我們認為空集合只有一個, 也就是說 { 有四個邊的三角形 } = { 會下蛋的公雞 } = 集合常以大寫英文字母表示, 如 :A, B, 而裡頭的元素則以小寫英文字母表示, 如 :a, b 若要說 x 是集合 A 中的元素, 我們記做 xa; 否則記做 xa 另外, 我們會將元素以大括號 { } 括起來以表示它們在一個集合中 我們常常把要討論的集合放在某個足夠大的集合中, 稱為宇集 (universal set), 用符號 U 來表示 假設 B 集合含有 A 集合的所有元素, 則稱 A 為 B 的子集 (subset), 以 A B 表示 通常我們以 R 代表所有實數所成的集合, 以 Q 代表所有有理數所成的集合, 以 Z 代表所有整數所成的集合, 而以 N 代表所有正整數所成的集合 所謂一個述語 (predicate) 是一個包含了若干個變數的敍述, 而當敍述中所含的變數都確定之後此敍述即成為一個命題 ; 敍述中的各個變數的範圍則稱為此變數之定義域 (domain) 例 :. P( x ) := x, xr, 是一個包含變數的述語. P( x, y ) := x y 0, x, yr, 是一個兩個變數的述語 設 D 為一集合,P(x), xd 是一個述語, 所謂全稱命題 (universal statement) 是指 xd, P(x). 這樣的命題型式, 若對每一個 xd,p(x) 均為真, 則 xd, P(x). 為真; 若至少有一個 xd 使得 P(x) 為偽, 則 xd, P(x). 偽 使得 P(x) 為偽的 x 則稱為此全稱命題的反例 (counterexample) 設 D 為一集合,P(x), xd 是一個述語, 所謂特稱命題 (existential statement) 是指 xd such that P(x). 這樣的命題型式 若至少有一個 xd 使得 P(x) 為真, 則 xd such that P(x). 為真; 若對每一個 xd,p(x) 均為偽, 則 xd such that P(x). 為偽 我們稱 ( 所有, for all) 及 ( 有些, there exists) 為量詞 (quantifiers)
例 :. x{,,, 4, 5}, x x 為真 因為, 4, 9, 4 6 4, 5 5 5. xr, x x 為偽, x. xr, such that x x 為一反例 為真, 因為 全稱命題和特稱命題的否定 (negation) 是什麼呢? 設 D 為一集合,P(x), xd 是一個述語 若 xd, P(x). 為真, 則每一個 xd,p(x) 均為真 ; 故 ~P(x) 均為偽 因此, xd such that ~P(x). 為偽 若 xd, P(x). 為偽, 則至少有一個 xd, P(x) 為偽 ; 故 ~P(x) 為真 因此, xd, such that ~P(x). 為真 若 xd such that P(x). 為真, 則至少有一個 xd, 使得 P(x) 為真 ; 故 ~P(x) 為偽 因此, xd, ~P(x). 為偽 若 xd such that P(x). 為偽, 則每一個 xd,p(x) 均為偽 ; 故 ~P(x) 均為真 因此, xd, ~P(x). 為真 由上面的討論, 我們知道 ~ ( x, P(x) ) x such that ~P(x). ~ ( x such that P(x) ) x, ~P(x). 例 :. xr, x 0. 的否定為 xr, such that x 0.. xr, such that x. 的否定為 xr, x 若 D 為一集合,P(x) 和 Q(x), xd 是述語, 我們可以考慮下面這四個命題型式 : xd, P(x) Q(x). xd, P(x) Q(x). xd, P(x) Q(x). xd, P(x) Q(x).
請注意 : xd, P(x) Q(x). ( xd, P(x)) ( xd, Q(x)). xd, P(x) Q(x). ( xd, P(x)) ( xd, Q(x)) 然而, xd, P(x) Q(x). 和 ( xd, P(x)) ( xd, Q(x)). 等價 xd, P(x) Q(x). 和 ( xd, P(x)) ( xd, Q(x)). 等價 為什麼呢? 由 DeMorgan s Laws 我們得出 xd, P(x) Q(x). 的否定為 xd such that ~ P(x) ~Q(x). xd such that P(x) Q(x). 的否定為 xd, ~ P(x) ~Q(x). xd, P(x) Q(x). 的否定為 xd such that ~ P(x) ~Q(x). xd such that P(x) Q(x). 的否定為 xd, ~ P(x) ~Q(x). 若 D 為一集合,P(x) 和 Q(x) 是定義域為 D 的述語, xd, if P(x) then Q(x). 為真的意思是 對每一個 xd, if P(x) then Q(x) 均為真 " 我們稱 xd, P(x) 為 xd, Q(x) 的充分條件(sufficient condition), 稱 xd, Q(x) 為 xd, P(x) 之必要條件(necessary condition) 任給一 xd, 若 P(x) 為偽, 則 if P(x) then Q(x) 為真 因此, 要判定 xd, if P(x) then Q(x). 的真偽, 我們只需考慮 P(x) 為真的情形 以 xr, if x then x 4. 為例, 任給一實數 x, 我們知道 x 或 x, (i). 若 x, 則 x 4 ; 故 if x then x 4. 為真 (ii). 若 x, 則 x 為偽; 故 if x then x 4. 為真 因此, xr, if x then x 4. 為真 同時, 我們也注意到我們只需要考慮 x 的情形 換句話說, xr, if x then x 4. 和 x { x }, x 4. 是等價的 因此, 我們通常將它寫成 If x, then x 4. 或 x, x 4.
一般而言, 我們有下面的等價關係 : xd, if P(x) then Q(x). xa, Q(x). 其中 A = { xd P(x) 為真 }, 我們稱之為 P(x) 的真集 (truth set) 若 D 為一集合,P(x) 和 Q(x) 是定義域為 D 的述語, 則 xd, if P(x) then Q(x). 的否定為 xd, P(x) ~ Q(x). 考慮命題型式 xd, if P(x) then Q(x)., 其逆轉命題 (contrapositive) 為 xd, if ~ Q(x) then ~P(x)., 其逆命題 (converse) 為 xd, if Q(x) then P(x)., 其轉命題 (inverse) 為 xd, if ~P(x) then ~Q(x). 口語或文字中全稱命題和特稱命題常出現的形式 : 全稱命題 ( ) 特稱命題 ( ) 對於所有 (for, for all) 有些 (for some, some) 每一個 (for every) 存在 (there exists, there is such that) 讓 (let be) 至少有一個 (at least one for which) 每當 (whenever satisfies) 有一個 (has a such that) 給定 (given satisfies) 任意 (any, arbitrary) 若 則 (if then) 例 :. 下面的敍述均表示 xr, x 0. : For all xr, x 0. If xr, then x 0. Given xr, x 0. Every xr, x 0. x 0, whenever xr. Let x be a real number, x 0. 4
. 下面的敍述均表示 xr, such that x. : There exists xr, such that x. Some xr, x. x, for some xr. At least one real number x for which x. 數學中的敘述常包含不只一個量詞 x, y, such that P ( x, y). 表示 x, { y, such that P ( x, y) }., 其否定為 也就是 x, such that ~{ y, such that P ( x, y) }. x, such that y, ~P ( x, y). 同樣地, x, such that y, P ( x, y). 表示 x, such that { y, P ( x, y) }., 其否定為 x, y, such that ~P ( x, y). 若考慮包含只一個變數的述語, 量詞的順序將會影響命題的真偽 我們以下列的命題為例來說明 : 命題真偽值 x, y R, y x. F x, y R such that x R, y R, such that y x. T y x. T x R such that y R, y x. F y R, x R, such that y R such that x R, y x. T y x. F 5
命題 真偽值 x, y R, xy 0. F x, y R such that xy 0. T x R, y R such that xy 0. T x R such that y R, xy 0. T y R, x R, such that xy 0. T y R such that x R, xy 0. T 命題 真偽值 x R, n N, nx. F x R +, n N, such that nx. T x R +, n N, such that nx. T x R + such that n N, nx. T n N, x R +, such that nx. T n N such that x R +, nx. F ( 其中 R + 表示所有正實數所成之集合 ) 註 :. x R +, n N such that nx. 即為有名的阿基米德性質 (Archimedean Property). n N, x R + such that nx. 為真, 因為對於任意的正整數 n, n. n N such that x R +, nx. 之否定為 n N, x R + such that nx. 對於任意的正整數 n, 若取 x, 則 nx n n n 因此, n N, x R + such that nx. 為真, 而其否定 n N such that x R +, nx. 為偽 6
最後, 讓我們來仔細看看單變數實函數極限 (limit) 的定義 : 也就是 或是 lim f ( x) L 的定義為 xa 0, 0 such that f ( x) L whenever 0 x a 0, 0 such that {if 0 x a, then f ( x) L.} 0, 0 such that { 0 x a, f ( x) L.} 因此, lim f ( x) L 的意思是 或是 xa 0 such that 0, { 0 x a such that f ( x) L.} 0 such that 0, { x R, such that 0 x a and f ( x) L.} x 你能由定義證明 嗎? x lim0 x 7