6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B 当 时 cos ~ 5 6 ln ~ ~ 从低到高的顺序为 选择 B () 已知函数 ( ),, f ( ) ln,, 则 f ( ) 的一个原函数是 ( ),, (A) F( ) (ln ),. ( ),, (C) F( ) (ln ),. ( ),, (B) F( ) (ln ),. ( ),, (D) F( ) (ln ),. 解析 : 由原函数的定义知, f ( ) f ( )d f C, ( ) ( )d ( )., f ( ) ln d (ln ) C. 又原函数必可导, 则 f ( ) 一定连续. F( ) 在 连续 C C ( ) c, F( ), c R. 当 c 时, 选 D. (ln ) c,
() 反常积分 e d, e d 的敛散性为 (A) 收敛, 收敛. (B) 收敛, 发散. (C) 收敛, 收敛. (D) 发散, 发散. 解析 : e d e d lim e lim e 收敛 e d e d e 应选 B. lim e lim e 发散 () 设函数 f ( ) 在 (-,+ ) 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则 (A) 函数 f ( ) 有 个极值点, 由线 y f ( ) 有 个拐点. (B) 函数 f ( ) 有 个极值点, 由线 y f ( ) 有 个拐点. (C) 函数 f ( ) 有 个极值点, 由线 y f ( ) 有 个拐点. (D) 函数 f ( ) 有 个极值点, 由线 y f ( ) 有 个拐点. () 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a, b, c, d 当 a时, f ( ) a 为极大值点当 a时, f ( ) 当 b时, f ( ) a 不是极值点当 b时, f ( ) 当 c时, f ( ) c 为极小值点当 c时, f ( ) 当 d 和 d 时, f ( ) 故 d 不是极值点 有 个极值点 排除 C,D. 当 b时, f ( ) f ( ) 又 b 为拐点. 当 b e时, f ( ) f ( )
当 b e时, f ( ) f ( ) e 为拐点. 当 e d时, f ( ) f ( ) 当 e d时, f ( ) f ( ) d 为拐点. 当 d时, f ( ) f ( ) 有 个拐点, 排除 A 应选 B. (5) 设函数 fi( )( i,) 具有二阶连续导数, 且 f ( ) (i, ), 若两条曲线 y f ( )( i,) 在点 (, y ) 处具有公切线 y g( ), 且在该点处曲线 y f ( ) 的曲率大于曲线 y f ( ) " i i 的曲率, 则在 的某个邻域内, 有 f ( ) f ( ) g( ) (B) f ( ) f ( ) g( ) (A) f ( ) g( ) f ( ) (D) f ( ) g( ) f ( ) (C) 解析 : 因 y f ( ) 与 y f ( ) 在 (, y ) 有公切线, f ( ) f ( ), f ( ) f ( ). 则 又 y f ( ) 与 y f ( ) 在 (, y ) 处的曲率关系为 k k. 因 k f ( ) [ f ( )], k f ( ) [ f ( )] f ( ), f ( ), 则 f ( ) f ( ). 又 从而在 的某个领域内 f ( ) 与 f ( ) 均为凸函数, 故 f ( ) g( ), f ( ) g( ), 排除 (C),(D). F( ) f ( ) f ( ), 则 F( ), F( ), F( ). 令 由极值的第二充分条件得 为极大值点. F( ) F( ). 即 : f ( ) f ( ). 则 综合上述, 应选 (A). (6) 已知函数 e f (, y) y, 则
(A) f ' f '. (B) f ' f '. y (C) f ' f ' f. (D) f ' f ' f. y y y 解析 : f (, y) e y e ( y) e f ( y) e e f y ( y) ( y) e ( y) e e e f f y f ( y) y 应选 (D). (7) 设 A,B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是 (A) A T T 与 B 相似. (B) A 与 B 相似. T T (C) A+ A 与 B + B 相似. (D) A A 与 解析 : A 与 B 相似 B B 相似. 存在可逆矩阵 P, 使得 B P AP T T T T T T T 故 B P A ( P ) ( P ) A ( P ) A T T 与 B 相似 (A) 正确 又 B P A P, 故 B 与 A 相似,(B) 正确 B B P ( A A ) P, 故 所以应选 (C). A A 与 B B 相似,(D) 正确, (8) 设二次型 f (,, ) a( ) 的正 负惯性指数分别为,, 则 (A) a. (B) a. (C) a (D) a 与 a a 解析 : 二次型矩阵 A a a
a E A a a a a a a a a a a A 的特征值为 a, a a 二次型的正 负惯性指数分别为,, 则 a 所以 a, 所以选 (C) 二 填空题 :9~ 小题, 每小题 分, 共 分. (9) 曲线 y arctan( ) 的斜渐近线方程为. y arctan( ) 解析 : k lim lim[ ], ( ) b lim( y k) lim[ arctan( )], 所以斜渐近线方程为 y. n () 极限 lim (sin sin nsin ). n n n n n n 解析 : lim sin sin nsin n n n n n n lim sin sin sin n n n n n n n ' o sin d n sin cos () 以 y e 和 y 为特解的一阶非齐次线性微分方程为. 解析 : e 为对应齐次方程的解, 即 e 是 y ' y 的解 ; 设非齐次方程为 y ' y f ( ), 将 y 代入得 f ( ), 所求方程为 y ' y. 5
( ) 已知函数 f ( ) 在, 上连续, 且 ( ) ( ) ( )d f f t t, 则当 n 时, f ( n ) () =. 解析 : ( ) ( ) ( ) f f t dt f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ), f ( ) f ( ), ( ) ( )( ), ( n) n f f n f (), f (), f () f () 5 ( n) n n () 已知动点 P 在曲线 y 上运动, 记坐标原点与点 P 间的距离为 l. 若点 P 的横坐标时间的变化 率为常数 v, 则当点 P 运动到点 (,) 时, l 对时间的变化率是. 解析 : 设 P 的坐标为 (, ), 则由题意 d dt v L ( ) 6 则 L 对 t 的变化率为 5 dl dl d 6 v dt d dt 6 dl 8 v v dt a () 设矩阵 a 与 等价, 则 a =. a a 解析 : A a 与 B 等价 a r( A) r( B) 6
B r( B) A, 即 a a, 得 a 或 a= a 当 a 时, a A, 此时 r( A) 不合题意 解答题 :5~ 小题, 共 9 分. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分 分 ) (6)( 本题满分 分 ) 设函数 ( ) ( ), f t dt 求 f ( ) 并求 f ( ) 的最小值. 解析 : f ( ) t dt( ) 当 时 f t dt ( t )dt ( t )dt d ( ) t t 故 f ' 当 时 f ( ) ( t )dt 故 f ' f '( ) 当 << 时, 令 f '( )= 得 7
f "( ) 8, f "( ) 为最小值点, 最小值为 f ( ) 8 当 时, 令 f '( ) 得 ( 舍 ) f ( ) 的最小值为 (7)( 本题满分 分 ) 已知函数 z z(, y) 由方程 ( y ) z ln z ( y ) 确定, 求 z z(, y) 的极值. 解析 :() 方程 ( y ) z ln z+( y ) 两边对 y 分别求偏导得 z z z ( y ) z z z yz ( y ) y z y z z z 令, 得 解得 z ( 舍 ) 或 y y yz 当 z 时 代入原式 ( y ) z ln z ( y ) 得 y ( ) ln( ) ( ) 解得, y, z 当 时无解 () 式两边对, y 分别求偏导得 z z z z z z ( y ) ( )( ) z z z z z z z z y ( y ) y y z y z y 5 式两边对 y 求偏导得 z z z z z z y y ( y ) y y y z y z y 6 将, y, z 代入 56 得 z, z A B, C z y y 8
AC B, A 9, y 为极大值点, 极大值为 z (8)( 本题满分 分 ) 设 D 是由直线 y, y, y 围成的有界区域, 计算二重积分 解析 : 积分区域如图 : y y D 关于 y 轴对称而与关于 为偶函数. y y D y y ddy y y y ddy y D D y y ddy y y D ddy y ddy y D r cos r sin r dr sin d r sin (cos sin ) d d r r sin (cos sin ) r d (cos sin ) d cot d sin (cos ) d csc d cot. (9)( 本题满分 分 ) 已知 ( ) y e, y ( ) u( ) e 是二阶微分方程 ( ) y ( ) y y 的解, 若 9
u( ) e, u(), 求 u( ), 并写出该微分方程的通解. 解析 : ' y( ) ( u ' u) e, y ( ) ( u u u) e, 代入方程得 ( ) u ( ) u, 令 p u, p u, 则 ( ) p ( ) p, 解得 p c( ) e du, 即 c( ) e, d 解得 u( ) c( ) e c, 又 u( ) e, u(), 则 u( ) ( ) e, 方程的通解为 y( ) ce c( ) e. ()( 本题满分 分 ) cos t 设 D 是由曲线 y ( ) 与 t 围成的平面区域, 求 D 绕 轴旋转一周所得 y sin t 旋转体的体积和表面积. 解析 :D 的图形如下图所示,D 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积可看作两个体积之差, 即 V π d π d π π sin cos sin d π π I I 8π 5 π d π d 6 7 π t t t t 7 9 6 π π 9 7 5 π π π sin sin d t t t 表面积 A A A, 其中
A π ( )d π d π y y, cos t π 由 ( t ) 得 y y sin t,, π A π y y ' ( )d π d 6π sin tcostdt π π 5 6π sin td sin t 6π sin t 6π 5 5 6π 6π 故 A π+ 5 5 ()( 本题满分 分 ) cos 已知 f ( ) 在, 上连续, 在, 内是函数的一个原函数 f (). (Ⅰ) 求 f ( ) 在区间, 上的平均值 ; (Ⅱ) 证明 f ( ) 在区间, 内存在唯一零点. cost 解析 :() 由题设知 f ( ) d t c. f () c t 则函数平均值为 π f ( )d π π π. cost cost π t π π t t π π- cost f ( ) dt. t d dt dt d π cos t π = π d cos d π t t t t t π π π = sin t π π cos () f ( ) π 方, π 时 f ( ) 当, π 而 f (), 当 π, 时, f ( ), 即 ( ) 时 f ( ) 单调减少 π f 在, 内无零点 当, 时, f ', 则当, 时, f ( ) 单调增加.
由题意知, 显然 f cos sin t 而 f d t dt t sin t sin t dt dt t t sin t sin t sin u d d d t t u t t u sin t sin t dt dt t t t 由零点函理知 : f 在, 内有唯一的零点 综上知 : f ( ) 在, 有唯一零点 ()( 本题满分 分 ) a 设矩阵 A a,, 且方程组 A 无解. a a a (Ⅰ) 求 a 的值 ; T T (Ⅱ) 求方程组 A A A 的通解. 解析 : A 无解 () A, 即 a 或 a 当 a 时, a a a a ( ) a a a( a ) a a a a A, r( A) r( A, ) 当 a 时, A 无解 当 a 时, A, 6 r( A) r( A, ) a a a a a
() 当 a 时 A T A A T A T T A A A T T A AX A 的通解为 k ( 其中 k 为任意常数 ) ()( 本题满分 分 ) 已知矩阵 A. (Ⅰ) 求 99 A ; (Ⅱ) 设 阶矩阵 B (,, ) 满足 B BA. 记 B 线性组合. 解析 : () E A (,, ), 将,, ( )( ) A 的特征值为,, 分别表示为,, 的 当 时解 ( E A) 即 A 由 A
得 A 对应于 的无关特征向量 d 当 时解 ( E A) 由 E A 得 A 对应于 的无关特征向量 d 当 时解 ( E A) 由 ( E A) 得 A 对应于 的无关特征向量 d 令 P d, d, d, 则 P AP 99 99 A P P 99 其 P A 99 99 99 99 99 98 99
() B BA B 则 BA 99,,,, 99 ( ) ( ) 99 ( ) ( ) 98 99 ( ) ( ) 99 99 98 99 A 99 99 99 () B 99 99 98 99 BA B 则 BA 99,,,, 99 ( ) ( ) 99 ( ) ( ) 98 99 ( ) ( ) 99 99 98 99 5