第 5 卷 第 期 爆 炸 与 冲 击 Vol.5,No. 005 年 3 月 EXPLOSION ANDSHOCK WAVES Mar.,005 文 章 编 号 :1001-1455(005)0-0163-08 * 齿 轮 系 统 传 动 轴 受 横 向 冲 击 的 响 应 分 析 饶 伟 锋, 文 鹤 鸣 ( 中 国 科 学 技 术 大 学 中 科 院 材 料 力 学 行 为 与 设 计 重 点 实 验 室, 安 徽 合 肥 3007) 摘 要 : 将 齿 轮 传 动 系 统 的 齿 轮 轴 承 简 化 为 具 有 集 中 质 量 的 固 支 梁, 将 齿 轮 受 到 啮 合 齿 轮 的 意 外 撞 击 看 成 是 质 量 块 对 梁 的 冲 击 给 出 弯 扭 组 合 的 Mises 屈 服 条 件, 指 出 传 动 轴 受 冲 击 时 不 能 忽 略 扭 矩 作 用 分 析 了 弯 曲 和 扭 转 作 用 下 的 结 构 响 应, 进 行 了 应 变 率 修 正, 给 出 特 殊 情 况 下 弯 扭 响 应 的 简 化 分 析 算 例 表 明, 弯 扭 冲 击 下 传 动 轴 的 横 向 位 移 和 扭 转 角 都 较 大, 不 可 忽 略 应 变 率 效 应 ; 传 动 轴 直 径 是 影 响 横 向 位 移 的 重 要 因 素 关 键 词 : 固 体 力 学 ; 弯 扭 响 应 ; 横 向 冲 击 ; 传 动 轴 承 ; 应 变 率 效 应 ; 屈 服 条 件 中 图 分 类 号 :O344.3 国 标 学 科 代 码 :1301515 文 献 标 志 码 :A 1 引 言 齿 轮 传 动 系 统 是 在 各 种 机 器 和 机 械 设 备 中 应 用 最 广 泛 的 动 力 和 运 动 的 传 递 装 置, 其 力 学 行 为 和 工 作 性 能 对 整 个 机 器 有 重 要 的 影 响 但 是, 齿 轮 传 动 系 统 的 动 力 装 置 多 种 多 样, 荷 载 工 况 复 杂 多 变 在 通 常 的 工 况 下, 会 出 现 由 原 动 机 或 负 载 引 入 的 外 部 激 励, 以 及 时 变 啮 合 刚 度 齿 轮 传 动 误 差 和 啮 入 啮 出 冲 击 引 起 的 内 部 激 励 文 献 [1] 系 统 总 结 和 阐 述 了 通 常 工 况 下 分 析 齿 轮 系 统 的 振 动 冲 击 噪 声 的 关 键 理 论 和 方 法 在 某 些 特 定 情 况 下, 尤 其 是 在 意 外 事 故 中, 传 动 中 的 齿 轮 轴 承 会 受 到 啮 合 齿 轮 的 冲 击, 使 受 载 的 齿 轮 轴 承 产 生 塑 性 变 形, 影 响 系 统 正 常 工 作 为 了 评 估 传 动 系 统 受 到 的 冲 击, 必 须 对 冲 击 效 应 进 行 分 析 但 是 这 种 响 应 超 出 了 弹 性 机 械 的 范 畴, 传 统 的 机 械 振 动 的 理 论 和 方 法 不 再 适 用, 必 须 应 用 塑 性 动 力 学 的 观 点 和 方 法, 将 其 处 理 成 结 构 冲 击 问 题 进 行 分 析 文 献 [] 详 尽 地 综 述 了 多 种 结 构 冲 击 的 问 题, 为 相 关 研 究 提 供 了 系 统 的 方 法 和 参 考 由 于 受 到 啮 合 齿 轮 强 冲 击 的 传 动 齿 轮 轴 承 的 情 况 比 较 复 杂 而 且 特 殊, 不 能 简 化 成 文 献 [] 中 的 简 单 模 型 本 文 中 结 合 文 献 [1] 中 的 全 耦 合 振 动 分 析 模 型, 将 传 动 齿 轮 轴 承 简 化 为 具 有 集 中 质 量 的 固 支 梁 ; 应 用 文 献 [3] 中 的 方 法, 给 出 弯 矩 和 扭 矩 组 合 的 Mises 屈 服 条 件 ; 把 啮 合 齿 轮 的 冲 击 转 化 成 集 中 质 量 块 撞 击, 参 考 文 献 [4] 中 的 求 解 过 程, 给 出 弯 扭 组 合 下 的 结 构 响 应 ; 对 于 应 变 率 敏 感 的 材 料, 参 照 文 献 [5~ 7] 的 结 论, 本 文 中 将 给 出 应 变 率 修 正 结 果 分 析 模 型 齿 轮 系 统 可 分 成 传 动 系 统 ( 齿 轮 传 动 轴 和 轴 承 ) 和 结 构 系 统 ( 主 要 是 箱 体 ) 两 部 分 本 文 中 将 传 动 系 统 看 成 跨 度 为 L 的 圆 截 面 梁 ; 把 齿 轮 看 成 集 中 质 量 块, 固 定 在 传 动 轴 上 ; 轴 承 和 结 构 系 统 合 而 为 一, 看 成 梁 的 支 撑, 真 实 情 况 下 它 有 6 个 自 由 度 齿 轮 副 的 形 心 和 啮 合 点 三 点 共 线, 与 传 动 轴 的 轴 心 线 相 交, 并 与 轴 心 线 一 同 确 定 梁 的 运 动 平 面 如 果 不 考 虑 传 动 轴 沿 轴 线 的 平 移, 由 于 轴 承 和 结 构 系 统 限 定 了 传 动 轴 的 垂 直 位 移 和 面 内 旋 转, 在 运 动 平 面 内 边 界 条 件 可 以 看 成 是 固 支 啮 合 齿 轮 的 冲 击 可 看 作 是 在 梁 的 运 动 面 内 垂 直 于 轴 心 线 作 用 在 梁 上 鉴 于 齿 轮 的 刚 度 大, 结 构 响 应 速 度 比 应 力 波 速 小 很 多, 齿 轮 副 间 的 冲 击 可 看 成 是 以 初 速 度 v 0 运 动 的 质 量 块 ( 受 冲 击 齿 轮, 质 量 为 * 收 稿 日 期 :004-06-15; 修 回 日 期 :004-09-11 作 者 简 介 : 饶 伟 锋 (1977 ), 男, 硕 士, 讲 师
164 爆 炸 与 冲 击 第 5 卷 m 1 ) 对 梁 的 横 向 冲 击, 并 认 为 质 量 块 始 终 与 梁 相 接 触, 分 析 模 型 如 图 1 所 示, 其 中 图 1(a) 为 物 理 简 化 模 型 一 般 情 况 下, 如 果 冲 击 方 向 与 齿 轮 副 的 形 心 连 线 不 重 合, 质 量 块 初 速 度 v 0 就 要 分 解 成 两 个 分 量 : 产 生 弯 矩 的 横 向 速 度 v b0 和 产 生 扭 矩 的 离 面 速 度 v t0 为 了 分 析 简 单, 根 据 动 能 守 恒 原 理, 可 将 离 面 速 度 等 效 成 对 轴 心 线 的 转 动 惯 量 为 J 1 的 圆 盘 ( 齿 轮 ) 具 有 初 始 角 速 度 Ω, 即 Ω=v t0 m 1 /J 1 (1) 传 动 轴 除 了 旋 转 以 外, 还 承 受 负 载 扭 矩 T l, 可 用 下 式 计 算 T l=n k /ω () 式 中 :N k 为 此 传 动 轴 传 递 的 功 率 ;ω 为 传 动 轴 旋 转 角 速 度 ; 在 对 称 传 动 情 况 下,T l 沿 梁 的 分 布 如 图 1(b) 所 示 此 外, 他 只 能 随 着 齿 轮 共 同 旋 转, 而 不 是 扭 转, 因 此 齿 轮 与 端 部 传 动 轴 不 具 有 相 对 速 度, 可 认 为 梁 不 具 有 初 始 速 度, 并 且 约 束 扭 转 (a) 具 有 初 始 横 向 和 转 角 速 度 的 质 量 块 对 梁 的 撞 击 (a)abeamimpactedbyamass withinitialtraverseandrotaryvelocities (b) 对 称 传 动 情 况 下 的 负 载 扭 矩 分 布 图 (b)distributionoftorque inthesymmetricaltransmissioncase (c) 第 一 相 的 横 向 速 度 和 角 速 度 场 (c)fieldsoftraverseandrotaryvelocities ofthefirstresponsephase (d) 第 二 相 的 横 向 速 度 和 角 速 度 场 (d)fieldsoftraverseandrotaryvelocities ofthesecondresponsephase 图 1 传 动 轴 受 冲 击 的 分 析 模 型 Fig.1Ilustrationofthetransmissionshaftimpactedbyamass 3 传 动 轴 的 极 限 状 态 梁 在 短 时 强 冲 击 下 绝 大 部 分 能 量 为 塑 性 变 形 耗 散, 弹 性 变 形 吸 收 部 分 很 小 可 以 假 定 传 动 轴 是 由 刚 性 - 理 想 塑 性 材 料 制 成, 其 应 力 - 应 变 关 系 如 图 (a) 所 示 3.1 屈 服 条 件 扭 矩 作 用 下 的 剪 应 力 不 为 零, 记 为 τ; 弯 矩 作 用 下 如 果 忽 略 其 他 次 要 应 力, 并 将 正 应 力 记 为 σ, 同 时 假 定 材 料 满 足 Mises 屈 服 条 件, 可 表 达 为 æσ ö èσ s ø + τ æ ö =1 (3) èτ s ø
第 期 饶 伟 锋 等 : 齿 轮 系 统 传 动 轴 受 横 向 冲 击 的 响 应 分 析 165 式 中 :σ s 为 屈 服 应 力,τ s 为 屈 服 剪 应 力,τ s=σ s / 3 对 于 圆 截 面 梁, 由 于 扭 转 剪 应 力 关 于 梁 的 轴 线 反 对 称, 而 弯 曲 正 应 力 平 行 于 轴 心 线, 关 于 过 圆 心 的 中 性 轴 反 对 称, 他 们 有 共 同 的 交 点 这 样, 在 广 义 应 力 空 间 的 屈 服 条 件 可 以 表 示 为 æ M ö èm Pø + T æ ö =1 (4) èt Pø 式 中 :M 和 T 分 别 是 作 用 在 梁 截 面 上 的 弯 矩 和 扭 矩,M P 和 T P 分 别 是 梁 截 面 的 全 塑 性 极 限 弯 矩 和 扭 矩, 如 图 (b) 所 示 图 (a) 刚 性 - 理 想 塑 性 材 料 的 应 力 - 应 变 曲 线 Fig.(a)Stress-straincurveofperfectlyrigiḏplasticmaterials 对 圆 截 面 梁,M P 和 T P 可 用 下 式 求 得 T P = π M P = π 0 r 0 0 0 r 0 0 τ sr drdϕ= 3 τsπr3 0 σ sr cosϕ drdϕ= 4 3 σsr3 0 图 (b) 弯 扭 组 合 梁 的 屈 服 曲 线 Fig.(b)Yieldcurveofabendingṯorsionbeam 式 中 :r 和 ϕ 分 别 为 极 坐 标 的 极 径 和 角 度,r 0 为 圆 截 面 梁 的 半 径 而 梁 截 面 弹 性 极 限 扭 矩 T e = π 0 r 0 0 1 r 0 τ sr 3 drdϕ= 1 τsπr3 0 = 3 4 TP 由 于 机 械 设 计 基 于 弹 性 原 理, 其 正 常 工 作 的 扭 矩 必 定 小 于 T e, 所 以 如 果 不 考 虑 冲 击 扭 转, 控 制 梁 的 塑 性 变 形 的 屈 服 条 件 必 定 为 图 (b) 中 的 粗 线 部 分 由 图 可 见, 由 于 扭 矩 的 存 在, 梁 的 极 限 抗 弯 能 力 明 显 改 变 ( 最 大 降 低 33.9%), 所 以 在 分 析 传 动 轴 的 强 冲 击 响 应 时 不 能 忽 略 轴 上 的 初 始 扭 矩 3. 极 限 弯 矩 和 扭 矩 的 关 系 为 简 化 分 析, 假 设 响 应 过 程 中 的 扭 矩 大 小 和 分 布 不 变 考 虑 到 离 面 冲 击 产 生 的 扭 矩 与 负 载 扭 矩 在 分 布 的 对 称 性 上 一 致, 响 应 过 程 中 的 扭 矩 可 表 达 为 (5a) (5b) (5c) T =T l /+T i (6) 式 中 :T i 为 离 面 冲 击 产 生 的 扭 矩, 和 极 限 弯 矩 一 样 由 屈 服 条 件 控 制, 而 且 他 的 分 布 区 间 是 一 个 时 间 函 数 负 载 扭 矩 T l 在 机 器 正 常 运 行 时 已 分 布 于 梁 上, 并 达 到 了 平 衡 在 响 应 过 程 中, 其 产 生 的 内 力 为 常 量, 起 到 影 响 屈 服 条 件 的 常 数 作 用 M i 是 冲 击 产 生 的 组 合 极 限 弯 矩, 极 限 状 态 下 T i 和 M i 的 取 值 必 与 冲 击 速 度 相 关 考 虑 到 当 v b0= 0,v t0 0 时, 屈 服 条 件 要 求 T=±T P,M i=0, 则 T i=±t p-t l /; 当 v b0 0,v t0=0 时, 必 有 T i=0, 此 时,M i=m p 1-(T l /(T p )) 不 妨 设 M i 和 T i 的 取 值 与 冲 击 速 度 的 两 个 分 量 的 关 系 为 M iv t0=t iv b0 (7) 这 样, 当 v b0 0,v t0 0 时, 不 难 给 出 塑 性 行 为 完 全 由 式 (4) 控 制 的 M i 和 T i 4 弯 扭 组 合 分 析 文 献 [4] 考 察 了 在 梁 跨 任 意 位 置 的 质 量 撞 击, 其 中 的 理 论 预 测 与 实 验 结 果 在 总 的 特 征 上 保 持 一 致 ; 此 外, 文 献 [] 也 提 供 了 跨 中 受 质 量 块 撞 击 的 理 论 推 演 可 以 证 明, 文 献 [4] 的 结 果 用 到 中 心 受 冲 击 时,
166 爆 炸 与 冲 击 第 5 卷 与 文 献 [] 的 结 果 是 一 致 的, 但 是 他 们 都 没 有 考 虑 弯 扭 耦 合 情 况 本 文 中 将 传 动 轴 强 冲 击 简 化 为 质 量 块 对 梁 中 心 的 撞 击, 且 质 量 块 始 终 与 梁 接 触 由 于 弯 扭 共 同 作 用 而 进 入 屈 服 状 态, 且 此 后 弯 矩 和 扭 矩 不 再 增 长, 可 以 假 定 弯 曲 塑 性 铰 和 扭 转 塑 性 铰 始 终 重 合 参 照 文 献 [] 的 方 法, 可 假 定 响 应 过 程 分 为 两 相 : 在 运 动 第 一 相, 如 图 1(c) 所 示, 一 个 弯 扭 塑 性 铰 在 t=0 时 刻 在 撞 击 点 产 生, 两 个 塑 性 铰 把 弯 曲 和 扭 转 扰 动 从 跨 中 向 两 个 支 撑 端 传 入 梁 未 变 形 部 分 ; 在 运 动 第 二 相, 如 图 1(d) 所 示, 支 撑 处 和 跨 中 点 的 塑 性 铰 保 持 不 动, 运 动 继 续 进 行, 直 到 梁 和 撞 击 物 都 静 止, 此 时 所 有 初 始 动 能 m 1v 0/ 都 消 耗 于 塑 性 变 形 4.1 弯 曲 分 析 由 于 屈 服 条 件 与 T 相 关, 弯 曲 分 析 中 梁 可 以 看 成 关 于 跨 中 对 称 针 对 梁 右 半 跨 的 第 一 相 分 析, 图 1(c) 所 示 的 横 向 速 度 场 可 表 述 为 w =W (1-x/ ξ ) 0 x ξ (8a) w =0 ξ<x L (8b) 式 中 : ξ 为 依 赖 于 时 间 的 移 动 塑 性 铰 的 位 置 根 据 两 塑 性 铰 之 间 部 分 的 力 和 力 矩 平 衡, 重 复 文 献 [] 中 的 推 演 步 骤, 可 以 得 到 塑 性 铰 位 置 与 横 向 速 度, 时 间 与 塑 性 铰 位 置 的 关 系 式 分 别 为 W =v b0 /(1+mξ / m 1 ) (9) t=mm 1v b0 ξ /[1M i (m 1 +mξ )] ( 10) 式 中 :m 为 单 位 长 梁 的 质 量,M i 为 弯 扭 组 合 下 修 正 的 极 限 弯 矩, 由 式 (7) 和 屈 服 条 件 共 同 控 制 由 式 (10) 可 知, 塑 性 铰 的 移 动 速 度 与 塑 性 弯 矩 和 冲 击 速 度 v b0 的 比 值 相 关 式 中 : 余 总 动 能 有 经 推 演 可 求 得 t=t( ξ ) 时 刻 的 位 移 场 ì m 1v b0 é 1+β w = 4mM i (1+α) - 1+ β 1+β + β ë ê 1+α +ln1+α ù ï 1+ û ú 0 x ξ í β ï î0 ξ<x L (11) α=mξ / m 1, β=mx/m 1 (1) 由 式 (10), 并 根 据 ξ=l, 易 得 第 一 相 终 止 的 时 间 t 1 在 t=t 1 时 刻, 第 一 相 结 束 时 质 量 块 和 梁 的 剩 E a = m1v b0(1+ml/(3m 1 )) (1+mL/m 1 ) (13) 上 面 的 动 能 将 在 运 动 第 二 相 耗 散 于 支 撑 和 跨 中 的 驻 定 塑 性 铰 中, 如 图 1(d) 所 示 根 据 能 量 守 恒, 式 中 :θ 为 支 撑 端 塑 性 铰 的 转 角 量 第 二 相 增 加 的 横 向 位 移 4M iθ= m1v b0(1+ml/(3m 1 )) (1+mL/m 1 ) (14) w = m1v b0l(1+ml/(3m 1 ))(1-x/L) 8M i (1+mL/m 1 ) (15) 在 式 (11) 的 前 一 式 中, 令 ξ=l, 并 加 上 式 (15), 就 可 以 得 到 要 求 的 最 终 的 横 向 位 移 场 4. 扭 转 分 析 文 献 [] 中 给 出 了 静 力 容 许 性 分 析 和 梁 的 半 跨 弯 矩 分 布, 可 见 弯 矩 仅 在 塑 性 铰 处 取 最 大 值 在 扭 转 分 析 中, 前 面 假 设 扭 矩 在 跨 中 与 塑 性 铰 之 间 为 常 数, 所 以 塑 性 变 形 仅 发 生 在 塑 性 铰 与 跨 中 之 间 梁 的 扭 矩 反 对 称, 针 对 梁 右 半 跨 的 第 一 相 分 析, 梁 截 面 的 相 对 角 速 度 场 可 用 图 1(c) 表 示, 表 述 为 根 据 两 塑 性 铰 之 间 部 分 的 力 矩 平 衡, 有 Φ 0 x ξ φ = { 0 ξ<x L (16)
第 期 饶 伟 锋 等 : 齿 轮 系 统 传 动 轴 受 横 向 冲 击 的 响 应 分 析 167 J 1Φ + ξ dx+t =0 (17) 0Jφ 式 中 :J 为 单 位 长 度 的 转 动 惯 量 将 式 (16) 的 前 一 式 代 入, 求 积 分 并 整 理 有 J 1Φ +JξΦ +T =0 (18) 利 用 式 (10) 和 式 (18), 可 给 出 转 角 加 速 度 与 时 间 的 关 系 利 用 初 始 条 件 Φ t=0=ω, ξ t=0=0, 有 Φ= d acs é æ Qln1+ a t+ak ö æ +arln1+ Qt-RK ö ù ë ê è b ø è b ø û ú + d S ( at-k)+ω (19) 式 中 :a=1m i /(m 1v b0 );b=1m i /(mv b0 );c=j/j 1 ;d=-t/j 1 ;Q=a -abc+b c ;R=a-bc;S =a-bc;k= 4bt+a t 有 这 样 就 构 成 了 求 解 转 角 速 度 的 初 值 问 题, 于 是 可 以 求 得 t=t( ξ ) 时 刻 的 转 角 速 度 场 任 意 点 的 转 角 利 用 初 始 条 件 φ t=0,x=0=0, 中 点 的 转 角 可 表 达 为 φ ( 0,t)=Ωt+ dt 4S ( at-k)+ φ ( x,t)= t t(x) Φdt (0a) æ Qd - b d ac S 3 a 3 S + Qdt ö æ ln1+ a t+ak ö + è acs ø è b ø Rd æ1 cs ècs + ö æ t ln1+ Qt-RK ö - Q+a Kd - drt ø è b ø 4a cs cs 在 t=t 1 时 刻, 第 一 相 运 动 结 束, 运 用 式 (19), 可 得 终 相 齿 轮 和 传 动 轴 的 剩 余 扭 转 动 能 (1+JL/J E T = J1 1 )Φ (t 1 ) (0b) (1) 这 些 动 能 也 将 在 运 动 第 二 相 耗 散 于 支 撑 和 跨 中 的 驻 定 塑 性 铰 中, 如 图 1(d) 所 示 根 据 能 量 守 恒, 式 中 : φ 为 跨 中 和 支 撑 端 塑 性 铰 的 截 面 相 对 转 角 第 二 相 增 加 的 扭 转 角 5 应 变 率 修 正 Tφ =E T () (1+JL/J φ= J1 1 )Φ (t 1 ) 4T (3) 质 量 冲 击 一 般 涉 及 较 高 的 应 变 率, 对 于 采 用 应 变 率 敏 感 材 料 的 结 构, 必 须 考 虑 应 变 率 的 强 化 效 应, 以 得 到 符 合 实 际 的 结 构 响 应 关 于 材 料 应 变 率 敏 感 行 为 的 本 构 方 程 很 多, 但 是 大 部 分 方 程 缺 乏 可 靠 的 实 验 数 据 支 持 对 于 双 轴 动 载 下 的 材 料 行 为, 更 缺 乏 可 利 用 的 数 据 文 献 [] 中 对 应 变 率 下 金 属 的 性 能 进 行 了 详 尽 的 综 述, 而 文 献 [5] 提 出 了 一 种 对 实 验 要 求 低, 又 与 可 利 用 的 实 验 数 据 符 合 较 好, 并 且 在 工 程 上 应 用 广 泛 的 本 构 方 程 σ e /σ s=1+ (εe/d) 1/ q (4) 式 中 :σ s 是 静 单 轴 流 动 应 力,D 和 q 对 于 具 体 材 料 来 说 是 常 数, 可 从 单 向 动 态 拉 伸 试 验 或 动 态 纯 剪 切 试 验 得 到 σ e 是 等 效 动 态 流 动 应 力 ἐe 是 相 关 的 等 效 应 变 率 这 个 关 系 式 可 用 来 估 计 材 料 在 任 意 复 杂 应 力 状 态 下 的 应 变 率 敏 感 性, 在 弯 扭 组 合 情 况 下 σ e = σ +3τ, εe = (4ε +3γ)/3 (5) 式 中 :σ 和 τ 如 前 所 述 ἐ 和 γ 分 别 为 与 弯 曲 相 关 的 拉 伸 应 变 率 和 与 扭 转 相 关 的 剪 切 应 变 率 文 献 [6] 观 察 到, 在 整 个 结 构 响 应 期 间 的 动 态 流 动 应 力 可 近 似 地 看 成 不 变 量, 并 且 最 大 应 变 率 发 生 在 质 量 块 初 始 动 能 的 一 半 左 右 耗 散 在 结 构 中 时 基 于 上 述 两 个 结 论, 文 献 [6~7] 假 定 整 个 响 应 期 间 的 平 均 应 变 率 等 于 最 大 值 的 一 半 而 文 献 [] 进 一 步 假 设 最 大 应 变 率 也 发 生 在 质 量 块 的 横 向 位 移 为 最 终
168 爆 炸 与 冲 击 第 5 卷 位 移 的 三 分 之 二 的 时 候, 所 以 平 均 应 变 率 ε (W f /3)(v b0 / )/(L )=v b0w f /(3 L ) (6) 式 中 :W f 为 跨 中 的 最 终 位 移 t 时 刻 扭 转 中 的 平 均 剪 切 应 变 率 记 为 γ =r[ φ(0)+φ (L)]/L (7) 如 果 要 使 截 面 上 各 点 的 应 变 率 总 和 不 变, 可 取 r=r 0 /3 的 应 变 率 为 其 平 均 值 分 析 图 1(c), 并 考 虑 到 扭 转 的 能 量 在 响 应 过 程 中 始 终 在 减 小, 可 设 最 大 剪 切 应 变 率 发 生 在 扭 转 冲 击 的 初 始 时 刻 如 果 采 用 与 文 献 [6] 相 同 的 假 设, 即 平 均 应 变 率 等 于 最 大 值 的 一 半, 则 (7) 式 变 为 γ =r 0Ω/(3L) (8) 综 合 式 (8) (6) (5) 和 (4), 可 得 æ σ v e =σ s+σ s b0w f/(3l 4 )+r 0Ω ö è 3D ø 1/q (9) 由 上 式 可 见, 应 变 率 效 应 与 扭 转 冲 击 不 耦 合, 仅 与 初 始 扭 转 角 速 度 有 关 考 率 应 变 率 效 应 时, 虽 然 T p 和 M p 都 发 生 改 变, 但 是 依 据 式 (7),T i 和 M i 仅 与 两 个 方 向 撞 击 相 关, 可 以 推 知 M i 与 σ e 之 间 存 在 简 单 的 函 数 关 系 在 进 行 应 变 率 修 正 时, 可 先 单 独 进 行 弯 曲 分 析, 得 到 式 (11) 与 式 (15), 从 中 得 出 W f 的 表 达 式, 由 式 (9) 得 到 σ e ; 对 这 个 过 程 进 行 多 次 求 解, 得 出 σ e 修 正 的 结 果 ; 最 后 可 进 行 扭 转 分 析, 得 出 考 虑 应 变 率 效 应 的 结 构 响 应 的 全 部 信 息 6 算 例 分 析 与 讨 论 考 虑 传 动 轴 由 应 变 率 敏 感 的 软 钢 制 成 ( 公 式 (7) 中 的 参 数 D=40.4s -1,q=5), 其 准 静 态 屈 服 应 力 σ s=434.7 MPa, 离 面 角 度 为 30, 传 动 轴 转 速 15r/min, 负 载 功 率 10kW, 其 他 选 取 参 数 如 表 1 所 示, 表 中 啮 合 冲 击 速 度 和 齿 轮 参 数 共 同 改 变, 保 证 冲 击 能 量 相 等 典 型 情 况 计 算 结 果 如 表 所 示, 撞 击 特 性 为 : 啮 合 冲 击 速 度 0m/s, 齿 轮 直 径 360mm, 厚 度 30mm, 传 动 轴 参 数 为 : 长 度 840mm, 直 径 36mm 表 1 算 例 选 取 参 数 Table1 Parametersofcalculatedexamples 传 动 轴 撞 击 特 性 长 度 /mm 直 径 /mm 啮 合 冲 击 速 度 /(cm/s) 直 径 /mm 齿 轮 厚 度 /mm 30 60 11.6 480 50 1680 48 0.00 360 30 840 36 36.74 40 0 360 4 表 典 型 算 例 计 算 结 果 Table Resultsofatypicalexample 修 正 时 间 第 一 响 应 时 间 /ms 中 点 位 移 /mm 第 一 相 第 二 相 总 位 移 中 点 转 角 /( ) 第 一 相 第 二 相 总 转 角 修 正 前.31 34.0 198.8 3.8 10.37.51 1.88 修 正 后 1.53.5 131.6 154.1 6.87 1.79 8.66 从 表 的 计 算 结 果 可 以 看 出, 冲 击 加 载 情 况 下 传 动 轴 的 横 向 位 移 和 扭 转 角 都 较 大, 并 且 冲 击 过 程 中 的 应 变 率 对 结 构 响 应 的 影 响 不 能 忽 略
第 期 饶 伟 锋 等 : 齿 轮 系 统 传 动 轴 受 横 向 冲 击 的 响 应 分 析 169 6.1 横 向 变 形 讨 论 对 表 1 中 的 各 组 参 数 进 行 组 合, 分 别 用 3 组 撞 击 特 性 计 算, 并 进 行 应 变 率 修 正, 得 到 的 结 果 如 图 3 所 示 很 明 显, 方 框 A 中 的 1 个 算 例 超 出 小 变 形 的 假 设, 不 再 适 合 本 文 的 理 论 分 析, 需 要 考 虑 有 限 位 移 的 影 响 由 于 传 动 轴 直 径 为 4mm 的 1 个 算 例 组 成 了 A 中 的 全 部 数 据 点, 而 且 B 中 的 1 个 数 据 点 均 来 自 直 径 为 36mm 的 算 例, 可 见 传 动 轴 直 径 大 小 是 影 响 横 向 位 移 的 重 要 参 数 此 外, 如 果 结 构 具 有 某 些 特 殊 性 质, 横 向 变 形 可 以 进 行 简 化 分 析 考 虑 公 式 (13), 当 ml/m 1 1 时, 即 传 动 轴 细 短 而 齿 轮 宽 大 时, 横 向 冲 击 动 能 的 大 部 分 由 运 动 的 第 二 相 耗 散, 通 过 能 量 平 衡 可 直 接 求 得 最 终 位 移 场 图 3 最 终 位 移 与 半 轴 长 比 值 分 布 图 Fig.3 DistributionofWf/L w f= m1v b0l(1-x/l) 8M i (30) 当 ml/m 1 1 时, 既 齿 轮 较 小 而 传 动 轴 粗 长, 横 向 冲 击 动 能 基 本 由 第 一 相 耗 散 分 析 式 (11) 可 得 对 数 形 式 位 移 场 6. 扭 转 变 形 讨 论 w f= m 1v b0 æ ln ml /m 1 ö 1mM i è1+mx/m 1 ø 一 般 地, 扭 转 响 应 分 析 可 能 出 现 两 种 情 况 : 运 动 的 第 一 相 期 间 耗 散 全 部 扭 转 动 能 ; 扭 转 动 能 的 部 分 耗 散 于 第 二 相 当 Tt 1>J 1Ω 时, 对 应 于 齿 轮 具 有 较 小 冲 量, 传 动 轴 有 足 够 的 时 间 吸 收 扭 转 动 能 ; 此 时 令 式 (19) 等 于 零, 将 求 得 的 响 应 时 间 代 入 式 (0b), 即 可 求 得 最 终 转 角 当 Tt 1<J 1Ω 时, 即 齿 轮 转 动 动 量 较 大, 可 由 t 1 代 入 式 (0a) 求 得 第 一 相 末 的 角 速 度, 如 果 出 现 负 值, 则 用 前 述 途 径 求 解 ; 否 则 由 式 (0b) 求 得 第 一 相 转 角, 而 后 由 式 (3) 得 到 第 二 相 扭 转 角, 求 和 得 到 总 扭 转 角 在 特 殊 情 况 下, 扭 转 角 也 可 简 单 求 得 当 JL/J 1 1 时, 即 齿 轮 宽 大 而 传 动 轴 细 短, 扭 转 动 能 主 要 耗 散 于 运 动 第 二 相, 此 时 转 角 也 可 以 直 接 求 得 φ= J1Ω 4T 如 果 JL/J 1 1, 即 齿 轮 细 小 而 传 动 轴 粗 长, 此 时 式 (19) 可 简 化 为 Φ 进 一 步, 式 (0b) 可 简 化 为 7 结 论 (31) (3) = d æ t+ak ö ac ln1+a - d è b ø bc ( at-k)+ω (33) φ ( 0,t)= d æb ö æ + t ac èa ln1+ a t+ak ö - dk ø è b ø a c - dt 4bc ( at-k)+ωt (34) 对 齿 轮 副 间 的 撞 击 进 行 分 析, 将 传 动 轴 和 齿 轮 简 化 成 固 支 梁 和 集 中 质 量 块, 认 为 质 量 块 撞 击 速 度 可 分 解 成 离 面 速 度 和 面 内 速 度, 并 将 离 面 速 度 等 效 成 对 固 支 梁 的 初 速 度 扭 转 基 于 Mises 屈 服 条 件, 给 出 了 弯 扭 组 合 控 制 方 程, 认 为 传 动 轴 上 负 载 影 响 不 可 忽 略, 设 定 了 冲 击 扭 矩 和 冲 击 弯 矩 的 简 单 关 系 对 弯 曲 和 扭 转 解 耦, 分 别 给 出 了 两 种 结 构 响 应 的 分 析 方 法 和 应 变 率 修 正 算 例 分 析 表 明 : 冲 击 加 载 下 传 动 轴 的 横 向 位 移 和 扭 转 角 度 较 大, 应 变 率 对 结 构 响 应 影 响 不 能 忽 略 ; 传 动 轴 直 径 是 影 响 横 向 位 移 的 直 接 因 素 对 于 齿 轮 和 转 动 轴 之 间 存 在 悬 殊 关 系 的 齿 轮 系 统, 给 出 了 简 化 的 响 应 分 析 方 法
170 爆 炸 与 冲 击 第 5 卷 但 是, 本 文 中 的 工 作 仅 局 限 于 理 论 探 讨, 如 果 能 结 合 相 关 的 数 值 模 拟 和 实 验 结 果, 将 具 有 更 大 的 意 义 鉴 于 相 关 实 验 的 难 度, 数 值 模 拟 将 是 进 一 步 工 作 的 方 向 参 考 文 献 : [1] 李 润 方, 王 建 军. 齿 轮 系 统 动 力 学 振 动 冲 击 噪 声 [M]. 北 京 : 科 学 出 版 社,1996. [] JonesN.StructuralImpact[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,1989. [3] 杨 桂 通. 塑 性 动 力 学 [M]. 新 版. 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,000. [4] ParkesE W.Thepermanentdeformationofbeamstrucktransverselyatanypointinitsspan[J].Proceedingsof theinstitutionofcivilengineers,1958,10:77-304. [5] CowperG R,SymondsPS.Strain HardeningandStraiṉrateEfectsintheImpactLoadingofCantileverBeams [R].BrownUniversityDivisionofApplied MathematicsReportNo.8,1957. [6] PerroneN,BhadraP.Asimplifiedmethodtoaccountforplasticratesensitivitywithlargedeformation[J].Journal ofapplied Mechanics,1979,46:811-816. [7] PerroneN,BhadraP.Simplifiedlargedeflectionmodesolutionsforimpulsivelyloaded,viscoplastic,circularmembranes[J].JournalofApplied Mechanics,1984,51:505-509. Responseofatransmissionshaftimpacted byjoggledgearinthegeartransmisionsystem RAO Wei-feng *,WEN He-ming (CASKeyLaboratoryforMechanicalBehaviourandDesignof Materials, UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei3007,Anhui,China) Abstract:Theresponseofatransmissionshaftingeartransmissionsystemsubjectedtoaccidentalimpactbythejoggledgearissimplifiedasthatofafulyclampedbeamstuckbyanequivalentmasswith aninitialvelocity,whichisanalyzedwithintheframeworkofrigiḏplasticmethod.theefectoftoṟ sioniscateredforinthevon Misesyieldconditionandthatthestrainrateefectistakenintoaccount usingcowpeṟsymondsempiricalconstitutiveequation.itisfoundthatboththedisplacementandthe rotationarerelativelylargeandthatthestrainrateefectcannotbeneglected.itisalsofoundthatthe diameterofshaftisacrucialfactorinthebendingresponse. Keywords:mechanicsofexplosion;torsionresponse;traverseimpact;transmissionshaft;strainrate efect;misesyieldcondition * Correspondingauthor:RAO Wei-feng E-mailaddress:wfrao@ustc.edu Telephone:0551-3603044